人教版九年级数学第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提高训练 (37)(有解析)
第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提高训练 (37)
一、单选题
1．如图，正六边形ABCDEF 的半径为6，则它的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．108
D ．36π
2．如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=?，BC CD =，E 为梯形内一点，90BEC ∠=?，将BEC ?绕C 点旋转90?，使BC 与DC 重合，得到DCF ?，连接EF 交CD 于点M ．给出以下5个命题：
①::DM MC MF ME =；
②BE DF ⊥；
③若1sin 2EBC ∠=，则(3BCE EMC S S ??=；
④若1an 3
t EBC =∠，BC =D 到直线CE 的距离为1； ⑤若M 为EF 中点，则点B 、E 、D 三点在同一直线上．
则正确命题的个数（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、解答题
3．如图，某乡村学校有教学楼A ，在A 楼的南偏西45°方向距A 楼C 处有一辆拖拉机以每秒8米的速度沿北偏东60°的CF 方向行驶，若拖拉机的噪声污染半径为100米，试问A 教
1.7，各步计算结果精确到整数）
4．如图，在平面直角坐标系中，直线
1
4
2
y x
=-+分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD
的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．(1)求点B的坐标和OE的长．
(2)设点Q2为(m，n)，当n1
m6
=时，求点Q2的坐标．
(3)根据(2)的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．
①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．
②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．
5．游艇在湖面上以12千米/小时的速度向正东方向航行，在O处看到灯塔A在游艇北偏东60°方向上，航行1小时到达B处，此时看到灯塔A在游艇北偏西30°方向上，求此时游艇与灯塔的距离AB．
6．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=1 2
（1）试求sin B 的值；
（2）试求△BCD 的面积.
7．如图．抛物线2y x bx c =+＋交x 轴于,A B 两点．其中点A 坐标为()1,0，与y 轴交于点()0,3C -．
()1求抛物线的函数表达式；
()2如图①，连接AC ．点P 在抛物线上﹐且满足2PAB ACO ∠=∠．求点P 的坐标；
()3如图②，
点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线,AQ BQ 分别交抛物线的对称轴于点,M N ，求DM DN +的值．
8．已知．矩形ABCD 中，E 为边AB 上一点．F 为CE 上一点，3AB =．
(1)如图，E 为AB 中点，90BFC ?∠=，求EF EC 的值；
(2)如图，直线AF 交BC 于G ，且AF FG =，求13BG BE BC
+的值；
(3)如图，若2,5,90BF DF BFD FBC ?==∠-∠=，直接写出CF 的值．
9．如图．O 过长方形ABCD 的顶点D 和BC 上一点E ．且与BA 相切于点F ，O 分别交,AD CD 于,G H 两点，.BF BE =
()1求证：BC 是O 的切线；
()2连接,FE ED ．若1,5, 2.AG BF CH ===求tan FED ∠的值．
10．鹏鹏在端午假期和父母一起出去游玩，如图,他走到景点A 处发现景点C 位于北偏东65度方向，他沿正东方向走了900米到达景点B 处时发现景点C 位于北偏东45?方向（点、、A B C 在同一平面内）．你能求出景点A 与景点C 之间的距离吗（结果精确到1米）？（参考数据：
sin 250.4226,cos 250.9063?≈?≈，
tan 250.4663,sin 650.9063,cos650.4226,tan 65 2.1445?≈?≈?≈?≈）
11．如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是AB 下方圆上的一点，点C 是优弧AD 的中点，过点B 作⊙O 的切线BE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ，OD ，CB ，BD ．
（1）求证：BD ∥OC ；
（2）当AB ＝6时，完成填空：
①当BE ＝ 时，四边形ODBC 是菱形；
②当BE ＝ 时，S △BCE ＝14
S △ABC ． 12．如图为某美发店的洗发床位示意图，已知0.68=AP 米， 1.42=AB 米，BC AB ⊥，
136.5APC ∠=?．若在点A 处测得点P 的仰角为60°
，则该洗发床位所能容纳的顾客身高大约为多少米？（提示：身高≈+AP PC ）（结果精确到0.1米．参考数据：
sin73.50.96,cos73.50.28?≈?≈，tan 73.5 3.43≈）
13．疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规劝居民回家．如图，一条笔直的街道DC ，在街道C 处的正上方A 处有一架无人机，该无人机在A 处测得俯角为45?的街道B 处有人聚集，然后沿平行于街道DC 的方向再向前飞行60米到达E 处，在E 处测得俯角为37?的街道D 处也有人聚集，已知两处聚集点B D 、之间的距离为120米，求无人机
飞行的高度AC ．(参考数据：370.6sin ?≈，370.8cos ?≈，370.75tan ?≈ 1.414≈)
14．小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题：两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度，朝着同一个目标直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？ 小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：
如图，30B ∠=?，8cm AB =，9cm BC =，点D 以1cm/s 的速度从点A 向点B 运动，点E 以
1.5cm/s 的速度从点C 向点B 运动．当其中一点先到达点B 时，两点同时停止运动．若点D ，E 同
时出发，多长时间后DE 取得最小值？
小超猜想当DE BC ⊥时，DE 最小．探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设A ，D 两点间的距离为cm x ，D ，E 两点间的距离为cm y ，对函数y 随自变量x 的变化规律进行了探究． 下面是小超的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，得到了y 与x 的几组对应值；
（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）
（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
①小超的猜想______（填“正确”或“不正确”），理由是______．
②在运动过程中，当D 、E 两点距离最近时，距二者同时出发的时间约为______s ．
15．如图，在四边形ABCD 中，90A BCD ∠=∠=?，BC CD ==，CE AD ⊥于点E ．
（1）求证：AE CE =； （2）若tan 3D =，求AB 的长．
16．如图，ABC ?是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、
BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P
的运动时间(s)t . 解答下列各问题：
（1）求ABC ?的面积
（2）当t 为何值时，PBQ ?是直角三角形？ （3）设四边形APQC 的面积为(
)2
cm
y ，求y 与t 的关系式；是否存在某一时刻t ，使四边形
APQC 的面积是ABC ?面积的三分之二？如果存在，求出t 的值；不存在请说明理由
17．如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km ．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A 的正北方向的D 处．
（1）求观测点B 到航线l 的距离；
（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h ）．
≈1.73，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
18．如图，已知平行四边形ABCD ，过A 作AM BC ⊥于点M ，交BD 于点E ，过C 作CN AD ⊥于点N ，交BD 于点F ，连接AF 、CE ．
（1）求证：四边形AECF 为平行四边形；
（2）当四边形AECF 为菱形，M 点为BC 的中点时，求:AB AE 的值．
19．如图，在Rt ABC 中，90,30,C A AC ∠=?∠=?=
()1求AB 的长；
()2求Rt
ABC 的面积．
20．已知
ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，点P 在边AD 上，过点P 分
别作PE ⊥AC 、PF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，PE ＝PF ．
（1）如图，若PE EO ＝1，求∠EPF 的度数；
（2）若点P 是AD 的中点，点F 是DO 的中点，BF ＝BC ＋－4，求BC 的长．
21．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长50cm AB =，拉杆BC 的伸长距离最大时可达35cm ，点A 、B 、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒
A ，
A 与水平地面切于点D ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点
B 距离水平地面38cm 时，点
C 到
水平面的距离CE 为59cm ，设AF ∥MN ．
（1）求
A 的半径长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE 为80cm ，64CAF ∠=?，求此时拉杆BC 的伸长距离．（精确到1cm ，参考数据：sin 640.90?≈，
cos640.39?≈，tan64 2.1?≈）
22．我南海巡逻船接到有人落水求救信号，如图，巡逻船A 观测到67.5PAB ∠=?，同时，巡逻船
B 观测到36.9PBA ∠=?，两巡逻船相距63海里，求此时巡逻船A 与落水人P 的距离？（参考数
据：3sin 36.95?≈
，3tan 36.94?≈，12sin 67.513?≈，12
tan 67.55
?≈）
三、填空题
23．如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点M 为对角线BD 上一动点，ME BC ⊥于E ，MF CD ⊥于F ，则EF 的最小值为_____．
24．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC cm ，则AB 的长为_____．
25．如图，在等腰三角形ABC 中，30,4A AC BC ∠=?==，点D 为AC 的中点，点E 为AB 上一个动点，连接DE ，将ADE ?沿DE 折叠得到FDE ?，点A 的对应点为点F ，当EF AC ⊥时，
AE 的长为_________．
26．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，将矩形绕ABCD 绕顶点A 逆时针旋转得到矩形AB C D '''，点B '恰好落在对角线AC 上，BB '是点B 的运动轨迹，CC '是点C 的运动轨迹，则图中阴影部分的面积为__________．
27．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=?，30ACB ∠=?，2AB =，点E 为AC 上任意一点（不与点A 、C 重合），连结EB ，分别过点A 、B 作BE 、AE 的平行线交于点F ，则EF 的最小值为__________．
28．如图，在菱形ABCD 中，4AB =，45ABC ∠=?，菱形ABCD 的对角线交于点O ，则ABO 的面积为__________．
29．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=?，30C ∠=?，24AC =，BD 平分ABC ∠，点E 是AB 的中点，点F 是BD 上的动点，则AF EF +的最小值为______．
30．如图，在矩形ABCD 中，13AD =，24AB =，点E 是边AB 上的一个动点，将CBE ?沿CE 折叠，得到CB E '?．连接AB '、DB '，若ADB '?为等腰三角形，则BE 的长为_______．
【答案与解析】
1．B
【解析】
由于正六边形可以分成六个边长的正三角形，而正多边形的半径即为正三角形的边长，所以首先求出正三角形的面积即可求出正六边形的面积，而正三角形的高可以利用解直角三角形解决问题． 解：如图，连接OC ，OD 过O 作OH ⊥CD 于H ，
∵正六边形ABCDEF 的半径为6，
∴正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为6，
而正六边形可以分成六个边长相等的正三角形，
∴正多边形的半径即为正三角形的边长，
∴正三角形的边长为6，
∴正三角形的高为66033sin ， ∴该正六边形的面积为6
632
54133． 故选：B ．
此题主要考查正多边形的计算问题，解题时分别利用三角形的面积公式、解直角三角形及特殊角的三角函数等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
2．D
【解析】
①根据旋转的性质即可得：△BCE ≌△DCF ，又由同角的余角相等易证：∠ECM=∠EBC=∠FDC ，则可证得：EC ∥DF ，即可得DM ：MC=MF ：ME ；
②由BE ⊥EC ，EC ∥DF ，易证得：BE ⊥DF ；
③由相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形的面积比等于对应底的比即可求得答案； ④由三角函数与勾股定理即可求得点D 到直线CE 的距离；
⑤根据题意易证得：四边形DECF 是矩形，即可得∠BED 是平角，则问题得证．
①根据题意得：△BCE ≌△DCF ，
∴∠EBC=∠FDC ，
∵AD ∥BC ，∠ADC=90°，∠BEC=90°，
∴∠BCD=∠BEC=90°，
∴∠BCE+∠ECM=∠BCE+∠EBC=90°， ∴∠ECM=∠EBC=∠FDC ，
∴EC ∥DF ，
∴△ECM ∽△FDM ，
∴DM ：MC=MF ：ME ；
故①正确；
②∵∠BEC=90°，
∴BE ⊥EC ，
∵EC ∥DF ，
∴BE ⊥DF ，
故②正确；
③∵△BCE ≌△DCF ，
∴BCE DCF S S =，且EC=CF ，BC=DC ，∠EBC=∠CDF ， ∵sin ∠EBC=12，则sin ∠CDF=12， ∴1
2
CF CD =，则CF DF =， ∴
EC DF = ∵△ECM ∽△FDM ， ∴EMC FMD 13S S =，
∴DM DF
MC EC ==DM DC =， ∴FMD DCF BCE 331313S S S ==++， ∴()EMC FMD BCE 133313
S S S ==+，
∴BCE S EMC
S ， 故③正确；
④过点D 作DN ⊥EC 交CE 的延长线于点N ，
∵tan ∠EBC=13
，， 由①得：∠ECM=∠EBC ，
∴tan ∠DCN=13
，，
∵222DN CN CD +=，即()2
223DN DN +=， ∴DN=1，
则点D 到直线CE 的距离为1，
∴④正确；
⑤∵M 为EF 中点，
∴EM=FM ，
∵CE=CF ，且EC ∥DF ，
∴△CEF 与△DEF 是等腰直角三角形， ∴DM=CM ，
∴四边形DECF 是平行四边形， ∵∠ECF=90°，
∴四边形DECF 是矩形，
∴∠DEC=90°，
∵∠BEC=90°，
∴∠BED=180°，
∴点B 、E 、D 三点在同一直线上．
故⑤正确．
∴正确命题的个数是5个．
故选：D ．
本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及矩形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用．
3．A 教室不受影响
【解析】
过点A 作AE ⊥CF 于点E ，将C 沿水平方向延长至L ，过点A 作 AD ⊥CL 于点D ，在直角三角形ACD 中，根据正弦函数求出CD 的长，在直角三角形MCD 中，根据正切函数求出MD 的长，从而得到AM 的长，在直角三角形AME 中，根据正弦函数求出AE 的长，进而与100米进行比较，从而得出结果．
解：过点A 作AE ⊥CF 于点E ，将C 沿水平方向延长至L ，过点A 作 AD ⊥CL 于点D ，
∴在直角三角形ACD 中，∠CAD=45°， ，
∴sin ∠CAD=2
CD AC =， ∴CD=AD=300，
在直角三角形MCD 中，∠MCD=30°，CD=300，
∴ tan ∠MCD=MD CD =，
∴，
∴
∵∠AME=∠CMD=60°，
在直角三角形AME 中，，
∴ sin ∠
AME=AE AM = ∴AE=150×
1) ≈110(米) ，
∵110>100，
∴A 教室不受拖拉机噪声的污染．
本题考查了解直角三角形的应用．解决本题的关键是正确作出辅助线根据正弦函数与正切函数求出AE 的长．
4．（1）B （8，0），
OE=（2）Q 2（6，1）；（3）
①25(4)3s t ；②165或3019 【解析】
（1）令y=0，可得B 的坐标，利用勾股定理可得BC 的长，进而求出OE 的长；
（2）由16
n m =和142n m =-+，可得结论； （3）①先设s 关于t 成一次函数关系，设s=kt+b ，根据当点P 运动到AO 中点时，点Q 恰好与点C 重合，得t=2时，CD=4，DQ 3=2
，s =，根据Q 3（-4，6），Q 2（6，1），可得t=4
时，s =利用待定系数法可得s 关于t 的函数表达式，根据s 和t 都不是负数，确定t 的取值；
②分三种情况：
()i 当//PQ OE 时，如图2，
根据3cos AB BH QBH BQ BQ ∠====表示BH 的长，根据12AB =，列方程可得t 的值；
()ii 当//PQ OF 时，如图3，根据1tan tan 4
HPQ CDN ∠=∠=，列方程为1322(7)42t t -=-，可得t 的值．
()iii 由图形可知PQ 不可能与EF 平行．
解：（1）令0y =，则1402
x -+=， 8x ∴=，
(8,0)B ∴，
(0,4)C ，
4OC ∴=，8OB =，
在Rt BOC ?
中，BC ==
又E 为BC 中点，
12
OE BC ∴== （2）∵16n m =，且点Q 2在直线142
y x =-+上， 则m 、n 满足142n m =-
+， ∴14126
m m -+=，
解得：6m =，1n =，
2(6,1)Q ∴；
（3）①动点P 、Q 同时作匀速直线运动，
s ∴关于t 成一次函数关系，设s kt b =+，
当点P 运动到AO 中点时，点Q 恰好与点C 重合，
2t ∴=时，4CD =，32DQ =，
3s Q C ∴==
3(4,6)Q -，2(6,1)Q ，
4t ∴=
时，s
将2t s =???=??
4t s =???=??
24k b k b ?+=??+=??
，解得：k b ?=???=?
s ∴= 0s ，0t
0>， s ∴随t 的增大而增大，
当0s
0，即23
t ，当23t =时，3Q 与Q 重合， 点Q 在线段23Q Q 上，
综上，s 关于t
的函数表达式为：25(4)3s t ； ②()i 当//PQ OE 时，如图，QPB EOB OBE ∠=∠=∠，
作QH x ⊥轴于点H ，则1
2
PH BH PB ==，
3Rt ABQ ?中，36AQ =，4812AB =+=，
3BQ ∴=，
6BQ s
==
， 3cos AB BH QBH BQ BQ ∠==== 143BH t ∴=-，
286PB t ∴=-，
28612t t ∴+-=，165
t =； ()ii 当//PQ OF 时，如图，过点Q 作3QG AQ ⊥于点G ，过点P 作
PH GQ ⊥于点H ，
由△3Q QG CBO ?∽
得：33::1:
Q G QG Q Q =，
3Q Q s == 3312
Q G t ∴=-，32GQ t =-， 33336(1)722
PH AG AQ Q G t t ∴==-=--=-， 3222QH QG AP t t t ∴=-=--=-，
HPQ
CDN
∠=∠，
1tan tan 4
HPQ CDN ∴∠=∠=，
1322(7)42t t ∴-=-，3019
t =， ()iii 由图形可知PQ 不可能与EF 平行，
综上，当PQ 与OEF ?的一边平行时，AP 的长为165或3019
． 此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，三角形相似的性质和判定，三角函数的定义，勾股定理，正方形的性质等知识，并注意运用分类讨论和数形结合的思想解决问题．
5．6千米
【解析】
过点A 作AC ⊥OB 交OB 于C ，构造直角三角形，设AC ＝x ，结合锐角三角函数将OC 、BC 用x 表示，然后列式求解，算出AC 长，最后再根据锐角三角函数算出AB 长．
如图，过点A 作AC ⊥OB 交OB 于C ，则AC 为所求，设AC ＝x ，
由题意得：OB ＝12千米，∠AOC ＝30°，∠ABC ＝60°，
在Rt △ACO 和Rt △ACB 中：
tan30°＝x OC ，tan60°＝x BC
， 则OC
，BC
＝
3x ， 而OC +CB
＝12， 解得：x
＝
故AB
＝6cos30AC ==?（千米）， 答：此时游艇与灯塔的距离AB 为6千米．
本题考查锐角三角函数的实际应用，解题的关键是做辅助线构造直角三角形，然后利用锐角三角函数解直角三角形．
6．（1）3sin 5
B =
；（2）485BCD S ?=. 【解析】
（1）作AH ⊥BC ，则△ABH 中，根据勾股定理即可求得AH 的长，即可求得sinB ；
（2）作DE ⊥BC ，则根据勾股定理可以求得BE 的长，求得BC=BE+EC ，即4k+6k=8，求得k 的值即可求△BCD 的面积．
（1）作AH BC ⊥ ，垂足为H ，
∵5AB AC == ， ∴118422
BH BC ==?= 在ABH
中，3AH =
== ∴3sin 5
AH B AB == （2）作DE BC ⊥,垂足为E ,
在BDE 中， 3sin 5
B =，令3DE k = ,5BD k = ，
则4BE k == ，
又在CDE △中，1tan 2
BCD ∠=， 则361
tan 2
DE k CE k BCD ===∠ ， 于是BC BE EC =+ ，即4610k k k += ， 解得45
k = ， ∴11444810322555BCD
S BC DE ????=?=????= ? ?????. 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键．
人教版九年级数学 知识点总结
第二十一章二次根式 1.二次根式:式子 a≥0叫做二次根式。 2.最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式; (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式,因被开方数中含有4是可开得尽方的因数,又如 , ,..都不是最简二次根式,而 , ,5 , 都是最简二次根式。 3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式,因为 2 , 3 ,它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两个代数式互为有理化因式。如与 ,a+ 与a- , - 与 + ,互为有理化因式。 二次根式的性质: 1. a≥0是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数,即: 2aa≥0; 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即 |a| 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即 ? (a ≥0,b≥0)。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即 (a≥0,b0)。 21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变,即(≥0,≥0)。
说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,、都是非负数; (2)(≥0,≥0)可以推广为(≥0,≥0); (≥0,≥0,≥0,≥0)。 (3)等式(≥0,≥0)也可以倒过来使用,即(≥0,≥0)。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合,可以对一些二次根式进行化简。2. 二次根式的除法 两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变,即(≥0,>0)。 说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,≥0,在分母中,因此>0; (2)(≥0,>0)可以推广为(≥0,>0,≠0); (3)等式(≥0,>0)也可以倒过来使用,即(≥0,>0)。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合,可以对一些二次根式进行化简。? 3. 最简二次根式 (1)被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式; (2)被开方数中不含分母。 21.3 二次根式的加减 1. 同类二次根式? 注:判断几个二次根式是否为同类二次根式,关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式,再观察它们的被开方数是否相同。? (2)合并同类二次根式:合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似,系数相加减,二次根号及被开方数不变。? 2. 二次根式的加减? (1)二次根式的加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式分别合并。? (2)二次根式的加减法与多项式的加减法类似,首先是化简,在化简的基础上去括号再合并同类二次根式,同类二次根式相当于同类项。? 一般地,二次根
九年级下册人教版数学知识点归纳
九年级下册人教版数学 知识点归纳 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
第二十二单元二次函数一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如 2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数， a≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类 似，二次项系数0 a≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实 数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式 二次函数的基本形式()2 y a x h k =-+的性质： a 的 绝对 值越 大， 抛物 线的 开口 越 小。 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标() h k ，； ⑵保持抛物线2 y ax =的形状不变，将其顶点平移到() h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y+ + =2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，c bx ax y+ + =2 变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或 c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式， 后者通过配方可以得到前者，即 2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点 ()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的 点()2h c ， 、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两 组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =- 时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称 轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =- 时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()() y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以 化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
人教版初中数学九年级全册教案
22.1一元二次方程(教案） 教学内容 本节课主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念． 教学目标 知识技能 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识。 数学思考 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。 解决问题 培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养。 情感态度 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用． 重难点、关键 重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用． 难点：根的作用的理解． 关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、 情境引入 【问题情境】 问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析:设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 ,宽为 .根据方盒的底面积为3600cm2,得方程为 _______________ ,, 整理， 得 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间 等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？ 分析:全部比赛共4×7=28场 设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他 _____ 个队各赛1场,由于甲队对乙 350752=+-x x 0350752=+-x x
最新人教版九年级数学上册知识点总结史上最全
a ,x 2= a 2 2 2 数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式： ax + bx + c = 0(a ≠ 0). 其中， ax 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一 次项系数； c 是常数项。知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） ） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一 般地，对于形如 x =a(a ≥ 0) 的方程，根据平方根的定义可解得 x 1= . （2） ） 直接开平方法适用于解形如 x 2=p 或(mx+a)2 =p(m ≠ 0) 形式的方程， 如果 p ≥0，就可以利用直接开平方法。 （3） ） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） ） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平 方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
人教版九年级数学上册期末测试题(含答案)
九年级数学上册期末测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有（ ） A ．221 x x + B ．02=++c bx ax C ．()()121=+-x x D ．05232 2 =--y xy x 2．化简 1 321 21++ -的结果为（ ） A 、23+ B 、23- C 、322+ D 、223+ 3.已知关于x 的方程2 60x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2- 4．要使二次根式1-x 有意义，那么x 的取值范围是（ ） （A ）x ＞－1 （B ） x ＜1 （C ） x ≥1 （D ）x ≤1 5．有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上（如图 2），从中任意一张是数字3的概率是（ ） A 、61 B 、31 C 、21 D 、3 2 6．已知x 、y 是实数，3x ＋4 ＋y 2 －6y ＋9＝0，则xy 的值是（ ） A ．4 B ．－4 C ．94 D ．－94 7、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A B C D 8．已知两圆的半径分别是5cm 和4cm ，圆心距为7cm ，那么这两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．内切 C ．外切 D ．外离 9．如图3，⊙Ｏ的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ上的动点，则线段ＯＭ长的最小值为（ ） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 10．已知：如图4, ⊙O 的两条弦AE 、BC 相交于点D,连接AC 、BE. 若∠ACB ＝60°,则下列结论中正确的是（ ） A ．∠AO B ＝60° B ． ∠ADB ＝60° C ．∠AEB ＝60° D ．∠AEB ＝30° 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．方程 x 2 = x 的解是______________________ 12．如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个 五角星可以由一 个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O 至少经过____________次旋转而得到， 每一次旋转_______度． 13．若实数a 、b 满足1 112 2+-+-= a a a b ，则a+b 的值为 ________． 14．圆和圆有不同的位置关系.与下图不同的圆和圆的位置关系是_____.(只填一种) 15．若关于x 方程kx 2–6x+1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 . 16．如图6，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=2。分别以A 、B 、C 为圆心，以2 1AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是______. 17．已知：如图7，等腰三角形ABC 中，AB=AC=4，若以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，DE ∥AB ，DE 与AC 相交于点E ，则DE=____________。 18. 如图，是一个半径为6cm ，面积为π12cm 2的扇形纸片，现需要一个半径为R 的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则R 等于 cm 三．解答题 19．（6 分）计算：÷ （6分）解方程：2（x+2）2=x 2 -4 图2 O A B M 图3 图4 图5 图7 图 6 12题图
人教版初中数学九年级知识点总结
反比例函数 一.知识框架 二．知识概念 1.反比例函数：形如y ＝x k （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k 1-=kx y x k y 1 = 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x 和 y=-x 。对称中心是：原点 3.性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小； 当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
一元二次方程 二.知识概念 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。
（1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． （2）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． 介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更 为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例 说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如 的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。 （3）一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时， ?将a、b、c代入式子x= 24 2 b b ac a -±- 就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰 好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
人教版九年级数学下册：全套教案
第二十六章 二次函数 [本章知识要点] 1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决 简单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例1． m 取哪些值时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是： 02≠-m m ． 解 若函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02 ≠-m m ． 解得 0≠m ，且1≠m ． 因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2 的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数． 探索 若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些
初三数学上册知识点总结
初三数学上册知识点总 结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
九年级数学上册知识点 （ 为重中之重） 第一章 二次根式 二次根式：形如a (0≥a )的式子为二次根式； 1 性质：a （0≥a ）是一个非负数； ()()02≥=a a a ； ()02≥=a a a 。 2 二次根式的乘除： ()0,0≥≥=?b a ab b a ； ()0,0>≥=b a b a b a 。 3 4 二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式华为最简二次根式， 再将被开方数相同的二次根式进行合并。 5 二次根式的混合运算 第二章 一元二次方程 1 一元二次方程：等号两边都是整式，且只有一个未知数，未知数的最高次是2的方程。 2 一元二次方程的解法 ① 配方法：将方程的一边配成完全平方式，然后两边开方； ② 公式法：a ac b b x 242-±-=（其中当△=ac b 42-＞0时，方程有两个不同的实数根：a ac b b a ac b b x x 24,242221---=-+-=；当△=ac b 42-=0时方程有两个相等的实数根：a b x x 221-= =；当△=ac b 42-＜0时，方程无实数根 ） ③ 因式分解法：左边是两个因式的乘积，右边为零。 3 一元二次方程在实际问题中的应用
4 韦达定理：设21,x x 是方程02=++c bx ax 的两个根，那么有 a c x x a b x x =?-=+2121, 第三章 旋转 1 图形的旋转 旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，就叫做图 形的旋转。 性质：①对应点到旋转中心的距离相等； ②对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角 ③旋转前后的图形全等。 会画出一个图形顺时针或逆时针旋转30°、60°、90°后的图形。 2 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°， 如果它能够与另一个 图形重合，那么就说这两个图形中心对称。 中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图 形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对 称图形。 会画出一个图形关于原点对称得图形，也就是中心对称图形。 3 关于原点对称的点的坐标 已知点P 的坐标是（x ，y ）：关于原点对称的点的坐标是（-x,-y ） 关于x 轴对称的点的坐标是( x,-y ) 关于y 轴对称的点的坐标是( -x,y ) 第四章 圆 1 圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义 2 垂直于弦的直径 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴； 垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧； 平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。 3 弧、弦、圆心角 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也 相等。 4 圆周角 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半； 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是 直径。 5 点和圆的位置关系 点在圆外 r d >
人教版九年级上册数学单元测试卷(全册)
第二十一章 单元测试题 班级_________ 姓名___________成绩： 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．化简32的结果是（ ） (A)25 (B)24 (C)23 (D)26 2．计算3÷6的结果是（ ） (A)2 1 (B)26 (C)23 (D)2 3．计算18(-)8÷2的结果是（ ） (A) 2 1 (B)2 (C)22 (D)42 4．下列各组二次根式化简后，被开方数相同的一组是（ ） ((A)93和 (B)3 1 3和 (C)318和 (D)2412和 5．下列运算错误的是（ ） (A)2×3=6 (B) 21 =2 2 (C)22+23=25 (D)2 21(）—=1-2 6. 下列二次根式中，x 的取值范围是2≥x 的是（ ） A ．2－x B ．x+2 C ．x －2 D ．1x －2 二、填空题（每小题3分，共30分） 7．计算64=__________. 12．计算2 )32(=_________ 8．计算2 10 =___________ 14．如2 m =4，则m=__________ 9．在直角坐标系中，点A （-6,2）到原点的距离是__________ 10．计算36a ÷ 2 a 的结果是____________ 11．在a 、2a b 、1x +、21x +、3中一定是二次根式的个数有______个． 12. 当x = 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 。 13. 化简82-的结果是_____________ 14. 计算：2 3·= 15. 实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：2 1(2)______a a -+-=． 16. 已知三角形底边的边长是6cm,面积是12cm 2 ,则此边的高线长 ． 三、解答题（4×8=32分） 17．计算 (1)3×23 (2)2+8 (3)27×32÷6 (4)(4+3)(4-3)
人教版九年级上册数学公式
第二十一章 二次根式 1、一个正数有两个平方根；在实数范围内，负数没有平方根。 2、一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 3、a （a ≥0）是一个非负数.当a 为带分数是，要把a 改写成假分数，即5322要写成538 4、二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0）， 2a =a （a ≥0） 5、用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 6、二次根式的乘法规定：a ×b =ab （a ≥0,b ≥0） 7、二次根式的除法规定：b a =b a （a ≥0,b ＞0） 8、最简二次根式条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 9、二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 10、同类二次根式即指被开方数相同的最简二次根式 11、平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2 12、二次根式除法没有分配率，任何非零数的零次幂都是1，（ab ）m =a m b m 第二十二章 一元二次方程 1、 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2、 一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0(a ≠0),其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 3、 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 4、 解一元二次方程的方法： （1） 直接开方法：如果方程能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p(p ≥0)的形式，那么可得x=p ±或mx+n=p ± （2） 配方法：步骤：第一步，把方程化成一般形式（二次项系数是1）；第二步，把常数项移到方程的右边；第三步，配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式，即（x-k ）2=h(h ≥0)；第五步，用直接开平方法解方程。 （3） 公式法：Δ=b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的判别式。当Δ＞0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个相
最新人教版数学九年级下册全册教案
人教版数学九年级下册教学计划 教师_______日期_______ 本学期是九年义务教育的终结期也是初中学习的关键时期，教学任务非常艰巨。因此，要完成教学任务，必须紧扣教学大纲，结合教学内容和学生实际情况，把握好重点、难点，努力把本学期的任务圆满完成。九年级毕业班总复习的教学时间紧，任务重，要求高，如何提高数学总复习的质量和效益，是每位毕业班数学教师必须要解决的问题。下面特制定以下教学学习及复习计划。 一、学情分析进入初三以来，通过多次集体备课讨论，我们初三数学组 感到压力很大。从、考成绩来看，和兄弟学校差不多，高分可能偏多，但其中应有不少水分，不能光看数据；二是随着知识的深入，临近毕业，学生之间的学习差异越来越大，有些学生坚持不住，成绩出现很大的滑坡，这些都为我们的正常教学带来很不利的影响。上学期虽然涌现了一批学习刻苦，成绩优异的优秀学生，但后进学生因数学成绩十分低下，厌学情绪非常严重，基本放弃对数学的学习了。部分中等学生对前面所学的一些基础知识记忆不清，掌握不牢等，这都是这学期我们急需解决的问题。 二、教学内容分析 本期教学进程主要分为新课教学和总复习教学两个阶段 新课教学共分两章。 第二十八章《锐角三角函数》分为两节，第一节主要学习正弦、 余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的 边角关系和解直角三角形的内容。第二十九章《投影与视图》分为三 节，主要内容包括：投影的基础知识；视图、三视图等概念，课题学 习：制作立体模型。 总复习是本期教学的一个重点。通过系统的总复习使学生全面熟悉 初中数学教学内容，在牢固掌握基础知识的前提下，能娴熟的运用所 学知识分析问题和解决问题。
九年级上册数学总复习资料
九年级数学上册知识点总结 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即
正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么 方程的两个根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公
人教版九年级数学下册全套单元试卷
人教版九年级数学下册单元试卷 目录 第二十六章卷（1） 第二十六章卷（2） 第二十六章卷（3） 第二十六章卷（4） 第二十七章卷（1） 第二十七章卷（2） 第二十七章卷（3） 第二十七章卷（4） 第二十八章卷（1） 第二十八章卷（2） 第二十八章卷（3） 第二十八章卷（4） 第二十九章卷（1） 第二十九章卷（2） 第二十九章卷（3） 第二十九章卷（4）
人教版九年级数学下册第二十六章单元测试卷（1）一、填空题 1．u与t成反比，且当u=6时，t=，这个函数解析式为u=． 2．反比例函数y=的图象经过点（﹣2，﹣1），那么k的值为． 3．函数和函数的图象有个交点． 4．反比例函数的图象经过（﹣，5）、（a，﹣3）及（10，b）点，则k=，a=，b=． 5．若反比例函数y=（2k﹣1）的图象在二、四象限，则k=．6．已知y﹣2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x的函数关系式为．7．函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而． 8．如图是反比例函数y=的图象，那么k与0的大小关系是k0． 9．反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点MP 垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是． 10．是y关于x的反比例函数，且图象在第二、四象限，则m 的值为． 二、选择题 11．下列函数中，y与x的反比例函数是（） A．x（y﹣1）=1 B．y=C．y=D．y=
12．已知反比例函数的图象经过点（a，b），则它的图象一定也经过（）A．（﹣a，﹣b）B．（a，﹣b）C．（﹣a，b）D．（0，0） 13．如果反比例函数y=的图象经过点（﹣3，﹣4），那么函数的图象应在（）A．第一，三象限B．第一，二象限C．第二，四象限D．第三，四象限14．若y与﹣3x成反比例，x与成正比例，则y是z的（） A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定 15．函数y=的图象经过点（﹣4，6），则下列各点中在y=的图象上的是（）A．（3，8） B．（﹣4，﹣6）C．（﹣8，﹣3）D．（3，﹣8） 16．正比例函数y=kx与反比例函数y=在同一坐标系中的图象为（）A．B． C．D． 17．在同一直角坐标平面内，如果y=k1x与没有交点，那么k1和k2的关系一定是（） A．k1＜0，k2＞0 B．k1＞0，k2＜0 C．k1、k2同号D．k1、k2异号 18．已知变量y和x成反比例，当x=3时，y=﹣6，那么当y=3时，x的值是（）A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 19．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y=和y=kx+3的图象大致是（）A．B．C．D．
人教版初中九年级下数学知识点总结
初中数学知识点总结（精华） 第一章 有理数 1、有理数的分类: ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的 相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 . 4、.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意： 绝对值的几何意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或???
最新人教版九年级数学下册教案全册
最新人教版九年级数学下册教案全册 正弦和余弦（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实． （二）能力训练点 逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． （三）德育渗透点 引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯． 二、教学重点、难点 1．重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实． 2．难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论． 三、教学步骤 （一）明确目标 1．如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米？ 2．长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少？ 3．若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少？
4．若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度？ 前两个问题学生很容易回答．这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识．但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用．同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来． 通过四个例子引出课题． （二）整体感知 1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值． 学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值．程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长． 2．请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的．大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？ 这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知． （三）重点、难点的学习与目标完成过程 1．通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”．但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃．对于这个问题，部分学生可能能解决它．因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成． 2．学生经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导：
人教版九年级数学上册单元测试题
人教版九年级数学上册单元测试题全套 第二十一章测试卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是() A．ax2＋2＝x(x＋1) B．x2＋1 x＝3 C．x2＋2x＝y2－1 D．3(x＋1)2＝2(x＋1) 2．如果2是方程x2－3x＋k＝0的一个根，那么常数k的值为() A．1 B．2 C．－1 D．－2 3．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是() A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3 C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5 4．方程x2－42x＋9＝0的根的情况是() A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根 C．无实根D．以上三种情况都有可能 5．等腰三角形的两边长为方程x2－7x＋10＝0的两根，则它的周长为() A．12 B．12或9 C．9 D．7 6．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行(或列)吗？设增加了x行(或列)，则列方程得() A．(8－x)(10－x)＝8×10－40 B．(8－x)(10－x)＝8×10＋40 C．(8＋x)(10＋x)＝8×10－40 D．(8＋x)(10＋x)＝8×10＋40 7．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的根，则?ABCD的周长为() A．4＋2 2 B．12＋6 2 C．2＋2 2 D．4＋22或12＋62
8．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是() 9．在直角坐标系xOy中，已知点P(m，n)，m，n满足(m2＋1＋n2) (m2＋3＋n2)＝8，则OP的长为() A. 5 B．1 C．5 D.5或1 10．如图，某小区规划在一个长为40 m，宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使每块草坪(阴影部分)的面积都为144 m2，则路的宽为() A．3 m B．4 m C．2 m D．5 m 二、填空题(每题3分，共30分) 11．方程(x－3)2＋5＝6x化成一般形式是__________________，其中一次项系数是________． 12．三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长为________________． 13．已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则(a＋b)2 023的值为________． 14．若关于x的一元二次方程2x2－5x＋k＝0无实数根，则k的最小整数值为________． 15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x21－x22＝10，则a＝________． 16．对于任意实数a，b，定义f(a，b)＝a2＋5a－b，如f(2，3)＝22＋5×2－3，若f(x，2)＝4，则实数x的值是________．
人教版数学九年级下册知识点
人教版数学九年级下册 第二十六章二次函数 (1) 26．1二次函数及其图像 (1) 26．2用函数观点看一元二次方程 (6) 26．3实际问题与二次函数 (6) 第二十七章相似 (6) 27．1图形的相似 (6) 27．2相似三角形 (7) 27．3位似 (7) 第二十八章锐角三角函数 (8) 28．1锐角三角函数 (8) 28．2解直角三角形 (10) 第二十九章投影与视图 (12) 29．1 投影 (12) 29．2 三视图 (12) 第二十六章二次函数 26．1二次函数及其图像 二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式 y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ；顶点式
y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧２+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-m，k）对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax∧２的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式； 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ； 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。 牛顿插值公式（已知三点求函数解析式） y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x -x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距) 求根公式 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 求根公式 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a (即一元二次方程求根公式）（如右图） 求根的方法还有因式分解法和配方法 在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。