一类数学问题的多种解法

一类数学问题的多种解法

题目：某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元，如果买2个鸡蛋、4个鸭蛋、3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个，共需多少钱？

这类题目的特点是所能列出的方程的个数少于未知数的个数，看似不可解，但由于所求的并不是每一个未知数的值，而是一个代数式的值。所以可解。这类题对学生来说是有一些难度的，但如果掌握了以下方法，既可以化繁为简，又可以收到一题多解，提高学生能力的效果。

下面让我们先来列出方程。

设鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，可得方程 ?

??=++=++20.334225.99513z y x z y x ，求z y x ++的值。 解法一：变元法：

把z 看成常数，解关于x 、y 的方程，可得???

????-=-=20101121z y z x 然后代入所求式z y x ++中，得：05.120

101121=+-+-=++z z z z y x 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个，共需1.05元。

解法二：直接构造法：

因为题目中要求z y x ++的值，所以将原方程互助组变形直接构造出z y x ++。

???=--++=++++????=++=++20

.32)(425.948)(520.334225.99513z x z y x z x z y x z y x z y x ②?4+①得05.22)(21=++z y x

05.1=++∴z y x

答：略

解法三：间接构造法：

将原方程组中的①两边同乘以常数a ，②的两边同乘以常数b ，得

?

??=++=++b bz by bx a az ay ax 20.334225.99513 ①+②得b a z b a y b a x b a 20.325.9)39()45()213(+=+++++

∵我们想要求的代数式是x+y+z ，

∴令b a b a b a 3945213+=+=+

可得a=1，b=4，代入上式得 21x+21y+21z=9.25+12.80=22.05

∴ x+y+z=1.05

以下题目，供同学们练习时使用。

1、若2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，求x+y-z 的值。

2、已知a-2b+3c=7，4a+3b-2c=3，求5a+12b-13c 的值。

3、已知a+2b+3c=20，a+3b+5c=31，求a+b+c 的值。

4、有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需3.15元，若购甲4件、乙10件、丙1件，共需4.20元，现在购甲、乙、丙各1件，共需多少元？