2017福建省高中数学竞赛预赛试题
2017福建省高中数学竞赛预赛试题
2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案
（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合{}2log (1)1A x x =-<，{}2B x x a =-<，若A B ?≠?，则实数a 的
取值范围为 。
【答案】 (15)-，
【解答】由2log (1)1x -<，得012x <-<，13x <<，(13)A =，。 由2x a -<，得22x a -<-<，22a x a -<<+，(22)B a a =-+，。 若A B ?=?，则21a +≤或23a -≥，1a ≤-或5a ≥。 ∴ A B ?≠?时，a 的取值范围为(15)-，。
2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，
3()f x x =，则9
()2
f = 。
【答案】
18
【解答】由函数(1)y f x =+为偶函数，知(1)(1)f x f x -+=+。 又()f x 为奇函数，
∴ (2)()()f x f x f x +=-=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=。
∴ 391111
()()()()22228
f f f ==--=--=。
3．已知
{}n a 为等比数列，且120171a a =，若
2
2
()1f x x =
+，则
1232017()()()()f a f a f a f a +++
+= 。
【答案】 2017
【解答】由2
2
()1f x x
=+知，2222212222()()211111()x f x f x x x x x
+=+=+=++++。 ∵ {}n a 为等比数列，且120171a a =， ∴ 120172201632015201711a a a a a a a a =====。
∴ 12017220163201520171()()()()()()()()2f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+=
=+=。
∴ []12320172()()()()f a f a f a f a +++
+
[][][][]12017220163201520171()()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a f a =++++++
++
【解答】如图，不妨设点P 在第一象限，D 、E 、F 分别为I ⊙与12PF F △三边相切的切点。
则由切线长定理以及双曲线定义，得
121212122()()a PF PF PF FF PE EF FF EF F D F D =-=+-+=-=-
()()2D D D x c c x x =+--=
∴ 2D x a ==，2M I D x x x ===。
设00()P x y ，
，由M 为12PF F △重心，知036M x x ==，046y =。
∴ 221(64)(460)14PF =++-=，
222(64)(460)10PF =-+-=。
设12PF F △内切圆半径为r ，则
1212121
()162
PF F S PF PF F F r r =++?=△。
另一方面，
1212011
84616622
PF F S F F y =??=??=△。
∴ 16166r =，6r =。
7．在ABC △中，内角A 、B 、
C 所对的边分别是a 、b 、c ，且sin cos (2cos )sin 22
A A
C C =-，3
cos 5
A =
，4a =，则ABC △的面积为 。 【答案】 6 【解答】由sin cos
(2cos )sin 22A A C C =-，知22sin cos 2(2cos )sin cos 222
A A A C C =-。 ∴ sin (1cos )(2cos )sin C A C A +=-，sin sin cos 2sin cos sin C C A A C A +=-。 ∴ sin sin cos cos sin 2sin C C A C A A ++=，sin sin()2sin C C A A ++=。 ∴ sin sin 2sin C
B A +=，即2c b a +=。 又3
cos 5
A =
，4a =。 ∴ 22242cos b c bc A =+-，即2223
4(8)2(8)5
b b b b =+---?，解得3b =或5b =。
∴ 35b c =??=?，或53b c =??=?
。
∴ ABC △的面积114
sin 356225
S bc A ==???=。
8．若关于x 的方程230x ax b ++-=（a ，b R ∈）在区间[]12，上有实根，则22
(4)a b +-的最小值为 。
【答案】 2
【解答】由230x ax b ++-=知，23b x ax =--+。
∴ 22222222222(4)(1)(1)2(1)a b a x ax a x ax x a x +-=+---=+++++
222222(1)(12)(1)()1x x ax a x x a x =++++=++++。
∵ []12x ∈，，
∴ 222(4)12a b x +-≥+≥，当1x =，1a =-，3b =时，等号成立。 ∴ 22(4)a b +-的最小值为2。
9
．函数()f x =的最大值为
。
【答案】 11
【解答】由柯西不等式知，
22
= 2271244(326)(
)11326
x x x
---≤+
+++=。
==，即9436271244x x x ==
---，8x =时等号成立。 ∴ ()f x 的最大值为11。
10.A 、B 、C 为圆O 上不同的三点，且120AOB ∠=?，点C 在劣弧AB 内（点C 与A 、B 不重合），若OC OA OB λμ=+（λ，R μ∈），则λμ+的取值范围为 。
【答案】 (]12，
【解答】如图，连结OC 交AB 于点D 。 设OD mOC =，则由OC OA OB λμ=+，得
OD m OA m OB λμ=+。 ∵ A 、D 、B 三点共线， ∴ 1m m λμ+=，1
m
λμ+=
。 不妨设圆的半径为1，作OE AB ⊥于E ，由120AOB ∠=?
，知
12
OE =
。 ∵ 1
2
OD OE ≥=，且点C 在劣弧AB 内（点C 与A 、B 不重合）， ∴
1
12
m ≤<。于是，12λμ<+≤。 ∴ λμ+的取值范围为(]12，。
另解：如图，以O 为原点，线段AB 的垂直平分线所在直线为y 轴建立直角坐标系。
不妨设圆O 半径为2，则由120AOB ∠=?，知(31)A -，
，(31)B ，。 设(2cos 2sin )C αα，。 则由OC OA OB λμ=+，得
(2cos 2sin )(31)(31)ααλμ=-+，，，。
∴ 2sin λμα+=。
∵ 点C 在劣弧AB 内（点C 与A 、B 不重合）， ∴ 30150α?<
1
sin 12
α<≤，(]2sin 12λμα+=∈，。 ∴ λμ+的取值范围为(]12，。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
11．若数列{}n a 中的相邻两项n a 、1n a +是关于x 的方程20n x nx c -+=（n =1，2，3，…）的两个实根，且11a =。
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设21n n b c -=，求数列{}n b 的通项公式及{}n b 的前n 项的和n T 。 （必要时，可以利用：2222(1)(21)
1236
n n n n +++++
+=
）
【解答】（1）依题意，由韦达定理，得1n n a a n ++=，1n n n c a a +=。
∴ 121()()(1)1n n n n a a a a n n ++++-+=+-=，即21n n a a +-=。 ……………… 5分 ∴ 1a ，3a ，5a ，…；和2a ，4a ，6a ，…，都是公差为1的等差数列。 又11a =，2110a a =-=。
∴ 对*k N ?∈，21k a k -=，21k a k =-。
即1
2
22
n n n a n n +???=?-???，为奇数，为偶数。 ……………………… 10分
（2）由（1）知，22121221122
(1)22
n n n n n n b c a a n n n n ---+-==?=
?=-=-。 ……………………………… 15分
∴ 2222(1)(21)(1)
(123)(123)62
n n n n n n T n n +++=+++
+-+++
+=
-
(1)(1)
3
n n n -+=
。
……………………………… 20分