第18章勾股定理全章学案

勾股定理（第一课时）

执笔：陈家菊

一．温故知新

1.直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角 ；（2）直角三角形斜边上的中线等于 ；（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于 。

2.分别求出下式中的x 的值：①x 2=5 ②(x -2)2=5 ③2(2x -1)2=9 二．学习新知

1.完成P 65的探究，猜想得出的结论： 。

2.分别用下面的图形证明上述结论（方法：面积法）

b

a

b

c a

a c

b

c

b

a a

b c b

c a b

c c b

a D

C

B

A

4.在上面第4个图中画出剪裁线，拼成能证明勾股定理的图形，你能拼出几种？ 5．完成P 68--2，并对答案，由小组长给予评价。 三．释疑提高

求正方形B 的边长

625

400

求正方形A 的面积

14425

A

B

3.在Rt △ABC 中，有两边长为5，12，求第三边长及斜边上的高线的长度。

4、在Rt △ABC 中，∠C =90°（1）已知a :b =1:2,c =5,求a .（2）已知b =6, ∠A =30°, 求a ,c .

四．小结归纳：

五．巩固检测：

1.课本P 70,4、5、8

2.作业精编 P 32 、33

3.课堂作业P 27、28

勾股定理（第二课时）

执笔：陈家菊

一．温故知新

1.勾股定理的内容： 2、几组常用的勾股数为：

3、实数包括 和 ，数轴上的点与实数是 的关系。 二．学习新知

1.完成P 66的探究1，门框的对角线AC 是斜着能通过的最大长度，只要AC （大于或小于）木板的长或宽中较短的一边，木板 （能或不能）从门框内通过。

2.完成P 67的探究2，在Rt △ABO 中,已知 ，可求 ，在Rt △ODC 中，已知 ，可求 。

3.完成P 68的练习1，组长检查并做出评价。

4. 完成P 68的探究3，在数轴上找无理数的位置，先要确定这个无理数是直角边分别为哪两个正整数的直角三角形的 ，再用尺规在数轴上找到它的位置。

5. 完成P 69的练习1。 三．释疑提高

1.有一根70cm 长的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm ,40cm ,30cm 的木箱中，能否放进去？

2.将一个长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是hcm ,求h 的范围。

3.小明拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖着来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，竹竿的两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？

4.一圆柱底面周长为6cm ,高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，求爬行的最短距离。

B

5. 一圆柱底面半径为2/∏cm ,高3cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，求爬行的最短距离。

四．小结归纳：

五．巩固检测：1.课本P 719、10、11、12 2.作业精编P 34 3.课堂作业：18.1

勾股定理的逆定理

执笔：陈家菊

一．温故知新

1.勾股定理的内容：（直角三角形的边的性质）

2.在Rt△ABC中，∠C=90°,已知a=8,c=10,则b=

3.直角三角形两条直角边分别是3和4，则斜边上的高是

二．学习新知

1.自学课本P73-74，勾股定理的逆定理的内容：

2.勾股定理逆定理的用途：已知三角形的，可判定三角形的。（直角三角形的判定）

3.自学P74的例1，判断由三边组成的三角形是否是直角三角形的方法：先计算，看是否等于。

4. 自学P75的例2，建立数学模型后，自己再据条件独立做一遍后与书上相对照。

5. 完成P74的练习1、2

三．释疑提高

1.一个零件的性质如图所示，工人师傅量得这个零件的各边尺寸如下，AB=3,AD=4,BC=12,CD=13且∠DAB=90°，求这个零件的面积。

2.如图所示，三个村庄A、B、C之间的距离分别是AB=5km,BC=12km,AC=13km,要从B修一条公路BD 直达AC，已知公路的造价2600万元/km,求修这条公路的最低造价是多少？

A B

D C

A

B

C

D

D

C

B A

3、如图所示，是一个零件的形状，按规定这个零件中的AD与CD必须互相垂直，工人师傅通过测量得到A到C的距离是10cm,AD=8cm,CD=6cm,问这个零件是否合格？

4

、已知2

12(5)0

x y

--=，则以x、y、z为三边的三角形是什么形状的三角形？

5.已知a、b、c为的三条边，且满足a2+b2+c2+578=30a+34b+16c，判断△ABC的形状。

6、如图，等腰△ABC的底边长为8cm,腰长为5cm,一动点P在底边上从B向C以0.25cm/s的速度移动，请你探究：当P运动几秒时，P点与顶点A的连线P A与腰垂直。

P C

B

A

四．小结归纳：

五．巩固检测：1.课本P 761、3、4、5 2.作业精编P35、36 3.课堂作业18.2

勾股定理的应用（练习）

执笔：陈家菊1、场地上有两棵树相距12m,一棵树高13m，另一棵树高8m，一只小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？

2、如图1，在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A处，另一只猴子爬到树顶后直接跃向池塘A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树的高度是多少？

B

30

乙楼

甲楼

D

C

B

A

图3

A

B

C

E

D

3、如图2，甲楼在乙楼的南面，它们的设计是若干层，每层楼的高度均为3米，冬天太阳光与水平面的夹角为30°.（1）若要求甲楼与乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落到乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少？（保留根号）（2）由于受空间限制，甲楼到乙楼的距离BD=21米，若仍要求冬天甲楼的影子不能落到乙楼上，那么设计甲楼的时候，最高应建几层？

4、如图3，有一片直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，试求CD。

5、如图4，公路MN和公路PQ在点P交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所学校，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由。如果受影响，已知拖拉机的速度是18km/h，那么学校受影响的时间是多少？

图5

A

B

C D

6、如图5，A、B两个小镇在河岸CD的同侧，到河的距离分别是AC=10km,BD=30km,且CD=30km，现在要在河边建一水厂，向A、B两个镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请同学在河岸CD 上选择水厂的位置M，使铺设的费用最低，并求出最低费用。

《18.勾股定理》复习学习路线图

一、温故知新

勾股定理：

c

b

a

C B

A

勾股定理的逆定理： 二、示例

类型一 已知两边求第三边

例1．在直角三角形中,若两边长分别为1cm ，2cm ，则第三边长为_____________． 类型二 构造Rt △，求线段的长

例2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，求EB 的长．

C

P

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

F

B

A

例3．如图，P 为边长为2的正方形ABCD 对角线AC 上一动点，E 为AD 边中点，求EP +DP 最小值。 例4、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是_____________ dm .

类型三 判别一个三角形是否是直角三角形

例5、如图，正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且CE =14

BC ．你能说明∠AFE 是直角吗？ F

E D C B A

类型四 实际运用

例6、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭。近日，A 城气象局测得沙尘暴中心在A 城的正西方向240km 的B 处，以每时12km 的速度向北偏东 60度方向移动（如图），距沙尘暴中心150km 的范围为受影响区域。 ①A 城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？②若A 城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？

东

西

北

B

类型五、拼图

例6、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______．

练习：

1、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．

2、如图4为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?

5米

3米

3、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？

4、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm

5、在直角△ABC 中，斜边长为2，周长为2+6，求△ABC 的面积．

6、小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度．

7、点A 是一个为半径300m 的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，在BC 两个村庄之间修一条长1000m 的笔直公路将两村连通，经测量得∠ABC =45°，∠ACB =30°，问次公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。

A

B C D

C B A

8、如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，其中，BC =6，AD ＝4，AB ＝5，．求证：AB ＝AC 。

9、如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 . (1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明) (2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明； (3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你猜想S 1、S 2、S 3之间的关系?.

第18章《勾股定理》测试题

执笔人：万伟平

一.选择题（每题3分，共30分）

1.小明想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成（ ）

A

B

l

3

2

1

S 4

S 3

S 2

S 1

A.7厘米，12厘米，15厘米；

B.7厘米，12厘米，13厘米；

C.8 厘米，15厘米，17厘米；

D.3 厘米，4厘米，7厘米。

2.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )

A.8米

B.10米

C.12米

D.14米

3.若直角三角形的两条直角边长分别为3cm、4cm，则斜边上的高为( )

A.5

2

cm B.

5

12

cm C. 5 cm D.

12

5

cm

4.直角三角形斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，则这个三角形的锐角是（）

A.15°

B.30°

C.45°

D.75°

5.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2,则斜边长为（）

A.80cm

B.30cm

C.90cm

D.120cm

6.下列结论错误的是（）.

A.度数之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形

B．三个边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形

C．三个边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形

D．三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形

7.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )

A.1倍

B. 2倍

C. 3倍

D. 4倍

8.直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).

A. 30

B. 28

C. 56

D. 不能确定

9.如图，已知正方形的面积为25，且AC比AB小1，BC的长为( ).

A.3

B.4

C.5

D.6

10.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是( ).

A. 20cm

B. 10cm

C. 14cm

D. 无法确定

二.填空题（每空3分，共24分）

11.能成为直角三角形三边长的三个正整数叫勾股数（如3，4，5），请再写出三组不同的勾股数________________；______________；______________。

12.三角形的三边满足a2=b2+c2,这个三角形是______三角形，它的最大边是_____.

13.如图，字母B所代表的正方形的面积是；

14.若某直角三角形两条直角边长的比为2∶1，斜边长为10cm，则这个直角三角形的面积为cm2；

15.如图，长方体长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，则BD1＝cm。

16.已知等腰三角形底边上的高为4，周长为16，则这个三角形面积

为。

17.测得一块三角形麦田三边长分别为9m、12m、15m，则这块麦田的面积为

_______m2。

18. 在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，如果AB=17，BC=16，那

么AD=______.

三．解答题（共66分）

19.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横拿着进不去，又竖着来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？（6）

20.已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量，90

A

∠=?，3,12,13,4

AB m BC m DC m DA m

====，若每平方米草皮需200元，则买草皮共需多少钱？（6分）D

C

B

A

21.已知等边△ABC的边长为a，求其面积．（8分）

B

15题图

A1B

1

C1

D1

A B

C D

169

25

第13题图

B

C

B

A

22.折叠矩形ABCD，使顶点D与BC边上的点F重合，如果AB＝6，AD＝10，求BF、DE之长．（8分）

F E D C

B A

23.已知直角三角形的周长为

，斜边长为2，求它的面积。（8分）

24.如图，△ABC中，AB=5，AC＝3，BC边上的中线AD=2，求BC的长。（10分）

C

B

A

25.△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长.（10分）

A B

C

D

26.过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60度方向移动（如图），距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域。①A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？②若A城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？（10分）

东