经济数学第一章典型例题与综合练习

经济数学第一章典型例题与综合练习
经济数学第一章典型例题与综合练习

经济数学基础 第一章 函数

第一章 典型例题与综合练习

第一节 典型例题

一、函数的概念

例1求函数

2

4)1ln(1)(x x x f -+-=的定义域. 解:要使函数有意义,必须

?????≥->-≠-040

10)1ln(2x x x ,即?????≤≤->≠2212x x x

故定义域 {}21|<<=x x D

例2求函数

???≤<+<-=20 520 32)(2x x x x x f 的定义域. 解:分段函数的定义域是自变量x 取值的各个区间的并集,即

{}20}0{≤<

例3已知函数f (x +1)=x 2+4x -3,求f (x ),)1(x

f ,f (0),f (1). 解方法一:

f (x )=f ((x -1)+1)=(x -1)2+4(x -1)-3=x 2-2x +1+4x -4-3=x 2+2x -6;

)1(x f =2)1(x +2)1(x -6=6212-+x x =22621x x x -+; f (0)=02+2?0-6=-6;f (x )=12+2?1-6=-3

经济数学基础 第一章 函数

方法二:将x +1看作一个变量,得f (x )=x 2+2x -6,后面的作法同方法一,分别得出22

621)1(x x x x f -+=,3)1(,6)0(-=-=f f

例4判断函数f (x )=log 0.5(x 2+1)的单调性.

解:易知函数f (x )=log 0.5(x 2+1)为偶函数,偶函数的图形关于y 轴对称,故只

需讨论x >0时函数的单调性.

对任意x 1>x 2>0,有x 12+1>x 22+1

因为对数之底0.5<1,此时对数函数单调减少,故

log 0.5(x 12+1)<log 0.5(x 22+1),即f (x 1)<f (x 2)

由单调性定义可知当x >0时,f (x )=log 0.5(x 2+1)是单调减函数.再由偶函数的

性质可知当x <0时,f (x )=log 0.5(x 2+1)是单调增函数.

因此函数f (x )=log 0.5(x 2+1)在(-∞,0)上单调增加,在(0,+∞)上单调减少.

例5设函数f (x )和g (x )都是奇函数,试证f (x )·g (x )是偶函数.

证明:已知f (x )和g (x )都是奇函数,由定义可知,对任意x ,有

f (-x )=-f (x );

g (-x )=-g (x ),上两个等式的左右端分别相乘得

f (-x )·

g (-x )=(-f (x ))·(-g (x ))=f (x )·g (x )

即对任意x 有f (-x )·g (-x )=f (x )·g (x )

由定义可知f (x )·g (x )是偶函数.

二、函数的运算

例1将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算:

(1)y =ln(tan x 21+);(2)y =e x 2

cos 2x

经济数学基础第一章函数解:(1)y=ln u,u=tan v,v=w,w=x2+1

其中y,u,v作为中间变量u,v,w的函数都是基本初等函数,而w是幂函数x2与常数函数1的和.

(2) y=e u v2,u=x2,v=cos x

y是指数函数e u和幂函数v2的乘积,u,v为中间变量.

三、经济分析中的常见函数

例1某种产品的需求函数为q d=100-2p,供给函数为q s=10p-8,求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量.

解:由100-2p=10p-8;移项整理得12p=108,故p

=9

因q

0=100-2p

,故q

=82

即该产品的市场均衡价格为9,市场均衡数量为82.

例2已知生产某种产品的成本函数为C(q)=80+2q,试求生产该产品的固定成本,并求当产量q为50时的平均成本.

解:固定成本就是当产量为零时的总成本,设为c

0,有c

=C(0)=80

因为平均成本为C=C q q ()

所以C(50)=C(50)

50=

80250

50

+?

=3.6

即生产该产品的固定成本为80,产量q为50时的平均成本为3.6.

经济数学基础 第一章 函数

例3已知某厂生产某种产品的成本函数为C (q )=500+2q (元),其中q 为该产品的产量,如果该产品的售价定为每件6元,试求:(1)生产200件该产品时的利润和平均利润;(2)求生产该产品的盈亏平衡点.

解(1)已知C (q )=500+2q (元)

又由题意知收入函数为R (q )=6q

因此,利润函数为L (q )=R (q )-C (q )=6q -(500+2q )=4q -500 (元) 又因该产品的平均利润函数为L =L q q ()=4-500

q (元/件)

生产200件该产品时的利润为L (200)=4×200-500=300(元) 而此时平均利润为L =4-500

200=1.5(元/件)

即生产200件该产品时的利润为300元,平均利润为每件1.5元.

(2)利用L (q )=0得4q -500=0

解得q 0=125 ,(件),即盈亏平衡点为125件.

第一节 典型例题

一、填空题

1. 函数y =41--x

x lg()的定义域是 .

2. 函数f (x +1) = x 2+2x -5,则f (x ) = .

3. 函数y = x 2-6x +10的单调区间是 .

4. 设f (u )=u 2+1,g (x )=x

+11,则f (g (2)) = .

经济数学基础 第一章 函数

5. 如果某商品的需求函数是q d =25-2 p ,供给函数是q s =3p -12,那么该商品的市场均衡价格是 .

6. 已知某产品的成本函数为C (q )=0.2q 2+4q +294,该产品的需求函数为 q =180-4 p ,该产品的利润函数为 .

7. 厂家生产某种产品的固定成本是18000元,而可变成本是总收入的40%,若厂家以每件30元的价格出售该产品,则生产该产品的盈亏平衡点是 .

-0.45q 2-294;7.1000件 二、单选题

1.设f (x )=log a x ,则( )成立.

(A)f (x )·f (y )=f (x +y );(B)f (x )+f (y )=f (x +y )

(C)f (x ·y )=f (x )·f (y );(D)f (x ·y )=f (x )+f (y )

2.下列各函数对中,( )中的两个函数相等.

(A)f (x )=sin 2x +cos 2x ,g (x )=1;(B)f (x )=lg x 2,g (x )=2lg x ;

(C)f (x )=(x )2

,g (x )=x ;(D)f (x )=112--x x ,g (x )=x +1 3.下列函数中,( )是奇函数.

(A)y =x 3

+1;(B)y =2x x a a -+;(C)y =x x -+1ln(2;(D) y =)2sin(π+x 4.下列函数中,( )不是基本初等函数.

(A)y =31x ;(B)y =lg(1-x );(C)y =x )10

1(;(D)y =108 5.设f (x )=x

1,则f (f (x ))=( ).

经济数学基础 第一章 函数

(A)x 1;(B)21x

;(C)x ;(D) x 2

1.D ;2.A ;3.C ;4.B ;5.C

三、多选题

1.设f (x )=

x x x x x x +-∞-+∞?????202

02223<<≤<≤<()则( )成立. (A)f (-1)=f (0);(B)f (0)=f (1);(C)f (-1)=f (3);(D)f (-3)=f (3)

2.设f (x )=a x (a >0,a ≠1),则等式( )成立.

(A)f (x )+f (y )=f (x +y );(B)f (x )·f (y )=f (x +y ); (C))()()(y

x f y f x f =;(D))()()(y x f y F x f -= 3.下列函数中( )是偶函数.

(A)y =x 3

sin x ;(B)y =2x x a a -+;(C)y =e x 2;(D)y =5+cos x 4.下列结论中( )是正确的.

(A)基本初等函数都是单调函数;(B)偶函数的图形关于y 轴对称

(C)奇函数的图形关于坐标原点对称;(D) 周期函数都是有界函数

5.指数函数y =a x (a >0,a ≠1)满足( ).

(A)图形过点(0,1);(B)是单调函数;(C)是有界函数;(D)函数值都大于零

6.设C (q )是成本函数,R (q )是收入函数,L (q )是利润函数,则盈亏平衡点是方程( )的解.

(A)C (q )+R (q )=0;(B)L (q )=0;(C) R (q )-C (q )=0;(D)L (q )-C (q )=0

1.AC ;2.BD ;3.ABCD ;4.BC ;5.ABD ;6.BC

经济数学基础 第一章 函数

四、配伍题

1.(A)函数f (x )=e sin x ;①在区间(-∞,1)内是单调减少的

(B)函数f (x )=x 2-2x +5;②是偶函数

(C)函数f (x )=x 3sin x +6;③是有界函数

2.(A)函数f (x )=2tan x ;①是奇函数

(B)函数f (x )=cos2010x x x x -∞++∞???

<<≤<e ;②是以π为周期的函数 (C)函数f (x )=a x -a -x ;③满足f (0)=2

1.A ③;B ①;C ②;2.A ②;B ③;C ①;

五、是非题

1.函数y =ln x 3与函数y =3ln x 是相同的.( )

2.设a

3.若函数f (x )是定义在(-l ,l )(l >0)上的函数,则有

(1)f (x )+f (-x )是偶函数( );(2)f (x )-f (-x )是奇函数( ).

4.初等函数是由基本初等函数经复合而得到的.( )

5. 分段函数不一定是初等函数.( )

6. 利润函数L (q )是销售量q 的单调增加函数.( )

1.√ ; 2.× ; 3.(1) √;(2) √ ; 4.× ; 5.√ ; 6.×

六、计算题1.求函数y =x x 26--的定义域.

2.设函数f (x )=1001412-∞-+∞?????<<≤<≤<x x x x x e

经济数学基础 第一章 函数

求f (-1),f (2

1),f (1)和f (2). 3.求函数y =ln(4+3x -x 2)的定义域.

4.设函数f (u )的定义域为[0,1],求f (ln x )的定义域.

5.将下列函数写成较简单函数的复合形式

(1)y =e x 21+;(2)y =cossin 2x 3

6.已知某产品的需求函数是q d =50-10 p ,供给函数是q s =10p -10,求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量.

7.已知厂家生产某种产品的成本函数为C (q )=50+3q ,收入函数为R (q )=5q ,

(1)求该产品的平均利润;(2)求该产品的盈亏平衡点.

8.某商品的成本函数为C (q )=2q 2-4q +27,供给函数为q =p -8,(1)求该商品的利润函数;(2)说明该商品的盈亏情况.

经济数学基础第一章函数8.(1)L(q)=12q-q2-27;(2)由L(q)=(q-3)(9-q)可以分析出,当39时亏损,当q=3或q=9时盈亏平衡.

七、证明题

1.试证:两个单调增函数之和仍是单调增函数.

2.试证:奇函数与偶函数的乘积是奇函数.

3.试证:若奇函数f (x)在原点有定义,则f (0)=0.

1.证明:设f1(x),f2(x)都是单调增函数.令h(x)=f1(x)+f2(x),

对任意x

1

2

有f1(x1)

故h(x1)=f1(x1)+f2(x1)

即h(x1)

2.证明:设f1(x)是奇函数,f2(x)是偶函数.令h(x)=f1(x)·f2(x),对任意x有f1(-x)=-f1(x),f2(-x)=f2(x)

故h(-x)=f1(-x)·f2(-x)=-f1(x)·f2(x)=-h(x)

即h(-x)=-h(x),由此可知h(x)是奇函数.

3.证明:已知f (x)是奇函数,对任意x有f(-x)=-f(x)

令x=0代入上式得f(-0)=-f(0)

即f(0)=-f(0),由此得出f(0)=0.

三年级上数学经典例题-加油站青岛版

2014-2015年青岛版三年级数学上册经典例题 1.(1)一包奶粉的重量约是484( )。 (2)一头牛约重480( )。 (3)一头鲸重20( )。 2.1200克+800克=()克=()千克 6吨50千克=()千克 2吨-800千克=()千克 1420克=()千克()克 3.建材商店有水泥3000吨,运了4天,还剩600吨,平均每天运多少吨? 4.列竖式。 365×4= 5.文化路上有2000棵树,他们3天能否完成各自的任务。 6.将向右平移4格的图形涂上颜色。 7.请你帮助小动物找到自己的家。 (1)熊猫住在森林公园的北面,小鹿住在森林公园的南面。 (2)羊住在森林公园的东面,小牛住在森林公园的西面。 (3)森林公园的东北角住着小花猫,东南角住着小兔,西北角住着小猪,西南角住着小狗。 8.列竖式。 309÷3= 9.商店卖掉800千克的橘子,卖掉的是剩下的4倍,剩下的橘子是多少千克?10.用一根多长的铁丝刚好围成边长是10厘米的正方形? 11.一个长方形操场,长80米,宽50米,围着操场跑两圈,共跑了多少米? 12.

13.把一个圆平均分成四份,每份是它的()分之一,写作()。 14.6 21 ○ 5 21 4 8 ○ 4 7 15.盒子里放了8个球,6个红球,2个白球。 随便摸出一个球,可能有()种结果,摸出()球的可能性大,摸出()球的可能性小,不可能摸出()球。 16.经统计,书架上各种书如下: (1)请你先根据“正”字统计结果完成下表: (2)完成条形统计图: (3)随便拿一本,最可能拿到的是()书,最不可能拿到的是()书,拿到()书和()书的可能性差不多。

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 (1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围; (2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. (1)由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-,则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立, 而()()2 '21f x x =--+,其最大值为1. 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? (2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b = 当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-, 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点,且|AB|=2,αββα-=-)()(f f .

高中数学经典例题

高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中,满足唯一性的是 (). A.过直线外一点作与该直线垂直的直线 B.过直线 外一点与该直线平行的平面C.过平面外一点与平面平行的直 线D.过一点作已知平面的垂线分析:本题考查的是空间线线 关系和线面关系,对定义的准确理解是解本题的关键.要注意空间垂直并非一定相关.解:A.过直线外一点作与这条直线垂直的直线,由于并没有强调相交,所以这样的垂线可以作无数条.事实上这无数条直线还在同一个平面内,这个平面为该直线的一个垂面.B.过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行,但可以作无数个平面和该直线平行.C.过此点作平面内任一直线的平行线,这条平行线都平行于平面.所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条..过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条.假设空间点、平面,过点有两条直线、都垂直于,由于、为相交直线,不妨设、所确定的平面为 ,与的交线为,则必有,,又由于、、都在平面内,这样在内经过点就有两条直线和直线垂直,与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾.故选D.说明:有关“唯一性”结论的问题,常用反证法,或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明.在本书中,过一点作已知平面的垂线有且仅有一条,同时,过一点作

已知直线的垂面也是有且仅有一个.它们都是“唯一性”命题,在空间作图题中常常用到.典型例题二例2 已知下列命题:(1)若一直线垂直于一个平面的一条斜线,则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影;(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行;(3)若平面外的两条直线,在这个平面上的射影互相垂直,则这两条直线互相垂直;(4)若两条直线互相垂直,且其中的一条平行一个平面,另一条是这个平面的斜线,则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直.上述命题正确的是(). A.(1)、(2) B.(2)、(3) C.(3)、(4) D.(2)、(4)分析:本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用.应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件,同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形.解:(1)已知直线不一定在平面内,所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系; - 1 - 高中数学经典例题讲解(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直,所以它们之间也平行;(3)根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直,但不能进一步说明直线和直线垂直;(4)根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念,不难证明此命题的正确性.故选D.说明:(3)中若一直线与另一直线的射影垂直,则有另一直线必与这一直线的射影垂直.如E、FGBC在

高中数学集合典型例题

-- -- 集 合 1.集合概念 元素:互异性、无序性、确定性 2.集合运算 全集U:如U =R 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且 并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集:}{A x U x x A C U ?∈=且 3.集合关系 空集A ?φ 子集B A ?:任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注:数形结合---文氏图(即韦恩图、Ve nn 图)、数轴 典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A 2. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22,{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和. 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02,且{}7,3=B A ,求a 的值. 5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ,若B A ?,则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ,{}52≤≤-=x x B ,若B A ?,求实数m 的取值范围. 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ,{}2,12-=a A ,{}5=A C S ,求a 的值. 8. 若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22,试问B A ,是否相等. 9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围. 10. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ?,求实数a 的取值范围. 11. 设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442,(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122,{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集,求实数a 的取值范围. 12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){} 05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +,是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由.

三年级下册数学典型及易错题型(1)

三年级下册数学典型及易错题型(1) 一、培优题易错题 1.在方框里填上合适的数字。 (1) (2) (3) 【答案】(1)133+46=179 (2)1018-235=783 (3)876+126=1002 【解析】【解答】(1); (2); (3). 【分析】(1)已知和与一个加数,求另一个加数,用和-一个加数=另一个加数,据此计算; (2)被减数的个位是8,差的个位是3,则减数的个位是8-3=5,减数的十位是3,差的十位是8,则被减数的十位是8+3=11,十位是1,据此解答; (3)根据题意可知,个位相加满十,向十位进1,由此可以得出另一个加数的个位是4、5、6、7、8、9都可以,另一个加数十位是2,7+2=9,9加上个位进上的1,刚好等于10,百位上1+8=9,9加上十位进上的1,刚好等于10,向千位进1,据此解答.

2. 从小明家到超市有4条路可以走,从超市到学校有2条路可以走,从小明家经过超市到学校,有几种不同的走法? 【答案】 4×2=8(种) 答:从小明家经过超市到学校,有8种不同的走法. 【解析】【分析】此题主要考查了排列组合的知识,用乘法求出一共有几种不同的走法,据此列式解答. 3.小玲有一根长4厘米5毫米长的彩带,小兰也有一条同样长的彩带。把两根彩带用胶水粘成一条彩带后有多长?(接头处长1厘米)小玲的彩带: 小兰的彩带: 【答案】解:4厘米5毫米+4厘米5毫米-1厘米=8厘米答:把两根彩带用胶水粘成一条彩带后有8厘米。 【解析】【分析】小玲彩带长度+小兰彩带长度-接头处长度=粘成一条彩带后的长度。毫米÷10=厘米。 4.甲、乙、丙三人共有人民币168元,第一次甲拿出与乙相同的钱给乙,第二次乙拿出与丙相同的钱给丙,第三次丙拿出甲此时相同的钱给甲,这时三人的钱同样多。原来甲比乙多多少元? 【答案】解:168÷3=56(元)56÷2=28(元) 答:原来甲比乙多28元。 【解析】【分析】最后每人的钱数是第三次拿完之后,甲乙丙的钱数相等,用除法计算出现在每个人的钱数,然后逆推,逆推的解题策略就是从结果倒着推回去,在逆推过程中总数是不变的,我们要能找出关键条件,即最后得到的数量入手分析. 5.王老师、李老师和张老师分别教足球、信息、美术中的一门学科。王老师不是美术老师,李老师从不在操场上课,张老师上课经常用电脑。他们分别是哪一学科老师?(画“√”)足球信息美术

[高考数学]高考数学函数典型例题

?0x时,总有 00 ?01}的四组函数如下: ①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2(x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ) 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块,其中一块是梯形,记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 , 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 。 34 .( 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35.(20XX 年高考江苏卷试题 14)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长) 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . (Ⅰ)若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

高考数学百大经典例题 曲线和方程(新课标)

典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ,的点都在曲线C 上”不正确,那么以下正确的命题是 (A )曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ,. (B )坐标满足方程()0=y x f ,的点有些在C 上,有些不在C 上. (C )坐标满足方程()0=y x f ,的点都不在曲线C 上. (D )一定有不在曲线C 上的点,其坐标满足方程()0=y x f ,. 分析:原命题是错误的,即坐标满足方程()0=y x f ,的点不一定都在曲线C 上,易知答案为D . 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系. 分析:“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件,二者缺一不可.其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”,即纯粹性;“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,即完备性.这是我们判断方程是不是指定曲线的方程,曲线是不是所给方程的曲线的准则. 解:如下图所示,过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ,因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ,所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上.但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上,因此方程1=y 不是直线l 的方程,直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分. 说明:本题中曲线上的每一点都满足方程,即满足纯粹性,但以方程的解为坐标的点不都在曲线上,即不满足完备性. 典型例题三

例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系. 分析:该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析. 解:方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等.但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =,例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3,但它不满足方程x y =.因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程,到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹. 说明:本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”,即满足完备性,而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”,即不满足纯粹性.只有两者全符合,方程才能叫曲线的方程,曲线才能叫方程的曲线. 典型例题四 例 4 曲线4)1(2 2 =-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点,求k 的取值范围.有一个交点呢?无交点呢? 分析:直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点,就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解,也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式?分别满足0>?、0=?、0?即0)52)(12(<--k k ,即 25 21<--k k ,即21k 时,直线与曲线没有公共点. 说明:在判断直线与曲线的交点个数时,由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数 与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同,所以如果上述一元方程是二次的,便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数,但如果是两个二次曲线相遇,两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同,所以遇到此类问题时,不要盲目套用上例方法,一定要做到具体问题具体分析. 典型例题五

高一数学集合练习题及答案-经典

升腾教育高一数学 满分150分 姓名 一、选择题(每题4分,共40分) 1、下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ,b ,c }的真子集共有 个 ( ) A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1,2}?A ?{1,2,3,4,5}则满足条件的集合A 的个数是 ( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则C U (M ∪N )= ( ) A . {1,2,3} B. {2} C. {1,3,4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式:{}00∈,{}0??,Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? , {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中,错误的个数是 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=} { 12x x <<,B=} { x x a <,若A ?B ,则a 的取值范围是 ( ) A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4

二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ,},|{2 A t t x x B ∈==,用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ,则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-,A={}2,b ,C U A={} 5,则a = ,b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或,{}41|><=x x x B 或,A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ,A∩C=Φ,求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-,B=} { 2 20x x ax b -+=,若B ≠?,且A B A ?= 求实数 a , b 的值。

24道三年级数学上册经典应用题汇总

24道三年级数学上册经典应用题汇总,孩子期末考试要考! 1.一个果园里栽了125棵苹果树,梨树的棵数比苹果树的4倍少20棵。这个果园一共栽了多少棵树? 2.一段路长324米,已经修了240米,剩下的计划4小时修完。平均每小时修多少米? 3. 红光印刷厂装订一批日记本,前三天共装订了960本,后16天平均每天装订420本。这批日记本共有多少本? 4.一个打字员4分钟输入200个汉字。照这样计算,输入3000个汉字需要多少分钟? 5. 3袋面粉共重75千克,8袋面粉重多少千克? 6.一个钢铁厂,炼750千克钢需要用5吨水。照这样计算,钢铁厂一天节约55吨生活用水,可以炼钢多少千克?

7.5箱蜜蜂一年可以酿375千克蜂蜜。照这样计算,19箱蜜蜂一年可以酿多少千克蜂蜜?一年要酿1725千克蜂蜜需要养多少箱蜜蜂? 8.两个年级的同学去买书,三年级有48人,每人买2本,四年级每人买3本,四年级买的总本数和三年级一样多。四年级一共有多少人买书? 9.工人们修马路,原计划用40个工人,实际用了45个工人。计划要修路90天,实际修了多少天? 10.小华从学校步行回家要20分,骑自行车回家要10分。小华步行每分走45米,他骑自行车每分行多少米? 11.学校买15盒彩色粉笔,每盒50枝,用去10盒。还剩多少枝没有用? 12.海天机械厂第一,二,三车间各生产了6箱零件,每箱120个,一共生产零件多少个?

13.一台织布机一小时织布21米,5小时4台同样的织布机共织布多少米? 14.汽车从南京开往上海,每小时行60千米,3小时行了全程的一半。因车上一人生病,剩下的路程要2小时行完。平均每小时要行多少千米? 15.刘师傅23天共加工4255个零件,王师傅平均每天比刘师傅多加工18个。王师傅每天加工零件多少个? 16.李伯伯家的一头牛,10天吃草50千克。照这样计算,有155千克草够这头牛吃多少天? 17.湖滨公园有18条游船,每天收入1008元。照这样计算,现在有26条游船,每天增加收入多少元? 18.工厂要加工360个零件,小王5天可做完,用这样的速度,做8天能加工多少个零件? 19.明明看一本故事书,每天看20页,5天看了这本书的一半。这本书一共有多少页?

高考数学百大经典例题不等式证明

典型例题一 例1 若10<-(0>a 且1≠a ). 分析1 用作差法来证明.需分为1>a 和10<a 时, 因为 11,110>+<---=x a . (2)当10<+<--=x a . 综合(1)(2)知)1(log )1(log x x a a +>-. 分析2 直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号. 解法2 作差比较法. 因为 )1(log )1(log x x a a +-- a x a x lg ) 1lg(lg )1lg(+- -= [])1lg()1lg(lg 1 x x a +--= [])1lg()1lg(lg 1 x x a +---= 0)1lg(lg 1 2>--= x a , 所以)1(log )1(log x x a a +>-.

说明:解法一用分类相当于增设了已知条件,便于在变形中脱去绝对值符号;解法二用对数性质(换底公式)也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法自然简捷、明快. 典型例题二 例2 设0>>b a ,求证:.a b b a b a b a > 分析:发现作差后变形、判断符号较为困难.考虑到两边都是正数,可以作商,判断比值与1的大小关系,从而证明不等式. 证明:b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( ∵0>>b a ,∴ .0,1>->b a b a ∴1)(>-b a b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a , ∴.a b b a b a b a >. 说明:本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步 骤是:判断符号、作商、变形、判断与1的大小. 典型例题三 例3 对于任意实数a 、b ,求证 444 ()22 a b a b ++≥(当且仅当a b =时取等号) 分析 这个题若使用比较法来证明,将会很麻烦,因为,所要证明的不等式中有4 ( )2 a b +,展开后很复杂。若使用综合法,从重要不等式:2 2 2a b ab +≥出发,再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明:∵ 222a b ab +≥(当且仅当22 a b =时取等号) 两边同加4 4 4 4 2 22 ():2()()a b a b a b ++≥+, 即: 44222 ()22 a b a b ++≥ (1) 又:∵ 22 2a b ab +≥(当且仅当a b =时取等号) 两边同加2 2 2 2 2 ():2()()a b a b a b ++≥+

三年级数学上册典型例题

三年级数学上册典型例题 1、小红家、小丽家与学校正好在一条直线上,小红家离学校480米,小明家离学校345米,小红家和小明家相距多少米。(想一想有几种情况) 2、小明的爸爸在河边挖了一块长方形菜地,长8米,宽5米。他用篱笆把不靠河边的三面围了起来,至少得用多少米篱笆? 3、学校买来800本书,准备用8个箱子装。前7个箱子各装了105本,第8个箱子要装多少本? 4. 能够种几行?还剩几棵? 5、邮局从早上8时开始营业,中午休息2小时,下午6时下班,邮局共工作多少小时? 6、晨光小学一年级有男生378人,女生346人。已经检查身体的有398人,没检查身体的有多少人 7、一个长方形的长是5米,宽是3米。小军绕着这个花坛走了2圈,一共走了多少米? 8、一根绳子长17米,剪8米做一根跳绳,剩下的每2米做一根短跳绳,最多做几条? 9、花店里有菊花58枝,玫瑰花81枝,百合花65枝 (1)7枝菊花扎成一束,能够扎几束菊花? (2)8枝百合扎成一束,能够扎几束百合花?

(3)如果7枝菊花、8枝百合、9枝玫瑰花扎成一束,这些花最多扎几束这样的花束? 10、一条铁丝能够围成一个长8厘米,宽4厘米的长方形,如果用它围成一个正方形,正方形的边长是多少厘米? 11.小明、爸爸、妈妈一家去旅游,买了3张火车票,每张215元,回来还乘火车,这次旅游一共花了多少钱? 12.李老师带6个小朋友去公园玩,怎样购票合算? 13、明明买了两本同样的故事书和一个文具盒,一共花了28元,一文具盒花了10元,一本故事书多少元? 14、一筐苹果连筐共重46千克,卖出一半苹果后,连筐共重24千克,筐和原来苹果各重多少千克? 15、一张长方形厚纸,长20厘米,宽15厘米。把它剪成一个最大正方形,这个正方形的周长是多少厘米? 3、□96是一个三位数,□96×5的积最接近2000,□里数字是()。 A、3 B、4 C、5 4、甲把长方形分为甲、乙两部分(如左图),比较乙甲、乙两个图形的周长()。 A、甲比乙长 B、乙比甲长 C甲、乙一样长

高考数学百大经典例题——不等式解法

典型例题一 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或 0)(-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3 ,2 5 , 0321=-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分. ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 (2)原不等式等价于 ?? ?>-<-≠????>-+≠+?>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<--

①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 (1)解:原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 (2)解法一:原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二:原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三

高中数学必修一集合经典习题

集合练习题 一、选择题(每小题5分,计5×12=60分) 1.下列集合中,结果是空集的为() (A)(B) (C)(D) 2.设集合,,则() (A)(B) (C)(D) 3.下列表示①②③④中,正确的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4.满足的集合的个数为() (A)6 (B) 7 (C) 8 (D)9 5.若集合、、,满足,,则与之间的关系为() (A)(B)(C)(D) 6.下列集合中,表示方程组的解集的是() (A)(B)(C)(D) 7.设,,若,则实数的取值范围是() (A)(B)(C)(D) 8.已知全集合,,,那么 是() (A)(B)(C)(D) 9.已知集合,则等于() (A)(B) (C)(D) 10.已知集合,,那么() (A)(B)(C)(D) 11.如图所示,,,是的三个子集,则阴影部分所表示的集合是()

(A)(B) (C)(D) 12.设全集,若,, ,则下列结论正确的是() (A)且(B)且 (C)且(D)且 二、填空题(每小题4分,计4×4=16分) 13.已知集合,,则集合 14.用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为 15.设全集,,,则的值为 16.若集合只有一个元素,则实数的值为三、解答题(共计74分) 17.(本小题满分12分)若,求实数的值。 18.(本小题满分12分)设全集合,, ,求,,, 19.(本小题满分12分)设全集,集合与集合,且,求,

20.(本小题满分12分)已知集合 , ,且 ,求实数 的取值范围。 21.(本小题满分12分)已知集合 , , ,求实数的取值范围 22.(本小题满分14分)已知集合 , ,若 ,求实数的取值范围。 已知集合}31{≤≤-=x x A ,},{2A x y x y B ∈==,},2{A x a x y y C ∈+==,若满足B C ?, 求实数a 的取值范围. 已知集合}71{<<=x x A ,集合}521{+<<+=a x a x B ,若满足 }73{<<=x x B A ,求 实数a 的值.

三年级数学下册经典应用题100题汇总

三年级数学下册经典应用题100题 1.一列火车从第一天上午8:30出发,在第二天16:30到达目的地,这列火车一共运行了多长时 间? 2.2004年上半年一共有多少天?爸爸从2月15日出差,到5月29日回来,一共出差多少天? 3.一个梨的重量与两个桃的重量相等。三个苹果的重量等于两个梨的重量。多少个桃的重量与6个 苹果同样重? 4.5箱蜜蜂一年可以酿375千克蜂蜜。照这样计算,20箱蜜蜂一年可以酿多少千克蜂蜜?一年要酿 1725千克蜂蜜需要养多少箱蜜蜂? 5.10元钱可以买3双袜子,30元钱可以买2个太阳帽。买4个太阳帽的钱可以买几双袜子? 6.工人们修马路,原计划用40个工人,实际用了45个工人。计划要修路90天,实际修了多少天? 7.三年级有30位同学。在一次劳动中,有18个同学带水桶,有22个同学带扫把。同时带水桶和 扫把的同学有多少个? 8.我们班参加数学竞赛的有38人,参加作文竞赛的有36人,两项都参加的有15人,两项都没有 参加的有4人。你知道我们班有多少人吗?

9.海天机械厂第一,二,三车间各生产了6箱零件,每箱120个,一共生产零件多少个? 10.一台织布机一小时织布21米,5小时4台同样的织布机共织布多少米? 11.汽车从南京开往上海,每小时行60千米,3小时行了全程的一半。因车上一人生病,剩下的路程 要2小时行完。平均每小时要行多少千米? 12.李伯伯家的一头牛,10天吃草50千克。照这样计算,有155千克草够这头牛吃多少天? 13.湖滨公园有18条游船,每天收入1008元。照这样计算,现在有26条游船,每天增加收入多少 元? 14.工厂要加工360个零件,小王5天可做完,用这样的速度,做8天能加工多少个零件? 15.明明看一本故事书,每天看20页,5天看了这本书的一半。这本书一共有多少页? 16.老师买来6枝钢笔,钢笔的价钱是圆珠笔的3倍,一枝圆珠笔的价钱是2元。老师买钢笔用了多 少元?

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。 (1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围; (2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. (1)由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-,则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立, 而()()2 '21f x x =--+,其最大值为1. 故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? (2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b = 当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-, 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、)) (,(ββf B

高一数学集合典型例题、经典例题

《集合》常考题型 题型一、集合元素的意义+互异性 例.设集合 {0} 例.已知A ={2,4,a 3-2a 2-a +7},B ={1,a +3,a 2-2a +2,a 3+a 2+3a +7},且A ∩B ={2,5},则A ∪B =____________________________ 解:∵A∩B={2,5},∴5∈A. ∴a 3-2a 2-a +7=5解得a =±1或a =2. ①若a =-1,则B ={1,2,5,4},则A∩B={2,4,5},与已知矛盾,舍去. ②若a =1,则B ={1,4,1,12}不成立,舍去. ③若a =2,则B ={1,5,2,25}符合题意.则A ∪B ={1,2,4,5,25}. 题型二、空集的特殊性 例.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-,且BA , 则实数m 的取值范围为_____________ 例.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=,012,{} 0≥=x x B ,且φ=B A I , 求实数a 的取值范围。 解:①当0a =时,{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-,此时{|0}A x x ≥=ΦI ; ②当0a ≠时,{|0}A x x ≥=ΦQ I ,A ∴=Φ或关于x 的方程2 10ax x ++=的根均为负数. (1)当A =Φ时,关于x 的方程210ax x ++=无实数根, 140a ?=-<,所以14a > . (2)当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时, 12121401010a x x a x x a ???=-≥??+=-?? 140a a ?≤?????>?104a <≤. 综上所述,实数a 的取值范围为{0}a a ≥. 题型三、集和的运算 例.设集合S ={x |x >5或x <-1},T ={x |a

学而思三年级数学典型题1资料

三年级秋季: 一、 23×4×25= 125×13×8=12×25=48×125= 125×(80+4)= (100-8)×25= 36×19+64×10= 32×25+68×25= 268×75-68×75= 35×20+70+35×78= 99×22+33×34= 21×20+14×40+8×35= 155×83-55×83= 80×195-390+195×22= 你知道2010×20112011和2011×20102010哪个数大吗?

二、 6480÷80= 111000÷125= 3232÷202= 2400÷15÷4= 88000÷125÷11= 400÷16÷5= 7000÷2÷125÷4= (189+27)÷9= 25÷7+24÷7= (110+77+88)÷11= 东东参加智力竞猜,有道计算题他算不出来,求助于你,你能算出来吗?1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)= (4×5×6×9×11×17)÷(36×66×85)=

1、10只兔子可以换3只鹅(重量相等),6只鹅可以换1只羊(重量相等),1只兔子重1千克,1只羊重多少千克? 2、1只猴子的体重等于3只猫的体重,3只狗的体重等于9只猫的体重,如果1只猴子重3千克,问1只狗重多少千克? 3、如果20只兔子可换2只羊,9只羊可换3头猪,8头猪可换2头牛,那用1头牛可换多少只兔子? 4、已知13个李子的总量等于2个苹果和1个桃子的重量,而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的重量,问多少个李子的重量等于1个桃子的重量? 5、甲、乙两人共储蓄32元,乙、丙两人共储蓄30元,甲、丙两人共储蓄22元,三人各储蓄多少元?

高考数学典型例题详解

高考数学典型例题详解 奇偶性与单调性 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一,特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题,掌握基本方法,形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且f (2)=0,解不等式f [log 2(x 2+5x +4)]≥0. ●案例探究 [例1]已知奇函数f (x )是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f (x -3)+f (x 2-3)<0,设不等式解集为A ,B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=-3x 2+3x -4(x ∈B )的最大值. 命题意图:本题属于函数性质的综合性题目,考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力,属★★★★级题目. 知识依托:主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析:题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上的最值问题时,学生容易漏掉定义域. 技巧与方法:借助奇偶性脱去“f ”号,转化为x cos 不等式,利用数形结合进行集合运算和求最值. 解:由? ??<<-<

∴x -3>3-x 2,即x 2+x -6>0,解得x >2或x <-3,综上得2f (0)对所有θ∈[0, 2 π ]都成立? 若存在,求出符合条件的所有实数m 的范围,若不存在,说明理由. 命题意图:本题属于探索性问题,主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力,属★★★★★题目. 知识依托:主要依据函数的单调性和奇偶性,利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析:考生不易运用函数的综合性质去解决问题,特别不易考虑运用等价转化的思想方法. 技巧与方法:主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题. 解:∵f (x )是R 上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,∴f (x )是R 上的增函数.于是不等式可等价地转化为f (cos2θ-3)>f (2m cos θ-4m ), 即cos2θ-3>2m cos θ-4m ,即cos 2θ-m cos θ+2m -2>0. 设t =cos θ,则问题等价地转化为函数g (t ) =t 2-mt +2m -2=(t - 2 m )2 -4 2 m +2m -2在[0,1]上的值恒为正,又转化为函数g (t )在[0,1]上的最小值为正. ∴当 2 m <0,即m <0时,g (0)=2m -2>0?m >1与m <0不符; 当0≤2 m ≤1时,即0≤m ≤2时,g (m )=-42m +2m -2>0 ?4-221,即m >2时,g (1)=m -1>0?m >1.∴m >2 综上,符合题目要求的m 的值存在,其取值范围是m >4-22.

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