2020年高考数学仿真押题试卷(五)(含解析)

专题05高考数学仿真押题试卷（五）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．已知复数z满足是虚数单位），则复数z的模||(

z=)

A．5

B．

C．

D．

【解答】解：，

，

故，

【答案】B．

2．已知集合，，则(

A B=

I) A．(1

-，1]B．(1,2)C．(1,1)

-D．(0,2)【解答】解：Q集合，

，

．

【答案】C ．

3．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足9235S S -=，则6a 的值是( ) A ．5

B ．7

C ．9

D ．3

【解答】解：Q 等差数列{}n a 中，前n 项和n S ，满足9235S S -=，

，

55a ∴=，

【答案】A ．

4．军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：（1）甲的平均成绩比乙的平均成绩高；（2）甲的成绩的极差是29；（3）乙的成绩的众数是21；（4）乙的成绩的中位数是18．则这4个结论中，正确结论的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解答】解：由茎叶图得：

在（1）中，甲的成绩集中于茎叶图的左下方，乙的成绩集合于茎叶图的右上方，

∴甲的平均成绩比乙的平均成绩高，故（1）正确；

在（2）中，甲的成绩的极差是：37829-=，故（2）正确；在（3）中，乙的成绩的众数是21，故（3）正确；在（4）中，乙的成绩的中位数是：，故（4）错误．

【答案】C ．

5．从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人知识竞赛代表队，则不同的选法共有( ) A ．15种

B ．180种

C ．360种

D ．90种

【解答】解：先现从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，再从剩下的4人选2人，故有22

64180A C =种，

【答案】B ．

6．实数x ，y 满足约束条件，则2z x y =-的最大值是( )

A ．5-

B ．6-

C ．4

D ．5

【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件，作出可行域：

联立，解得(2,0)B ，

化2z x y =-为2y x z =-，由图可知，当直线2y x z =-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为：4．

【答案】C ．

7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，且侧视图中的曲线都为圆弧线，则该几何体的表面积为( )

A ．8π

B ．84π+

C ．64π+

D ．6π

【解答】解：三视图定义的几何体的直观图如图：几何体是上下底面是半径为1的4段

的圆弧，柱体的高为3，所以几何体的表面积为：．

【答案】C ．

8．勒洛三角形是由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．作法：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为( )

A ．

2332(3)

ππ-- B ．

32(3)

π- C ．

32(3)

π+ D ．

2332(3)

ππ-+

【解答】解：如图，设2BC =，以B 为圆心的扇形的面积为

226

ππ?=

， ABC ∴的面积为，

∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，

即为，

故勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为，

【答案】B ．

9．已知双曲线的左焦点为F ，过点F 作圆的切线，切点为M ，且

交双曲线C 右支于点N ．若2FN FM =u u u r u u u u r

，则双曲线C 的渐近线方程为( )

A ．30x y ±=

B ．30x y ±=

C ．20x y ±=

D ．20x y ±=

【解答】解：设双曲线的右焦点为F '，若2FN FM =u u u r u u u u r

，可得M 为FN 的中点，又O 为FF '的中点，可得//OM FF '，

由M为切点，可得90

FNF'

∠=?，

且，

由双曲线的定义可得||2

FN b a

=+，

由勾股定理可得，

化简可得2

b a

=，

则双曲线的渐近线方程为2

y x

=±．

【答案】C．

10．三棱锥A BCD

-中，棱AD是其外接球（多面体各顶点都在球面上）的直径，，平面ABD⊥平面ACD，则该三棱锥的体积为()

A．1

B．1 C．2 D．3

【解答】解：如图，，AD是球O得直径，

，且，

．

Q平面ABD⊥平面ACD，，

∴．

【答案】C．

11．已知椭圆

，直线1l ，2l 分别平行于x 轴和y 轴，1l 交椭圆于A ，B 两点，2l 交椭圆

于C ，D 两点，1l ，2l 交于点M ，若，则该椭圆的离心率为( )

A ．

B ．

3 C ．

2 D ．

3 【解答】解：由，

不妨设||6MA =，||2MB =，||1MC =，||3MD =，可得(4,1)A ，(2,2)B -．代入椭圆方程可得：

221611a b +=，22

1a b +=．

联立解得220a =，25b =．

则该椭圆的离心率．

【答案】D ．

12．已知函数，给出三个命题：①()f x 的最小值为4-，②()f x 是轴对称图形，③

()4||f x x π…．其中真命题的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【解答】解：①若()f x 的最小值为4-等价为恒成立，且能取等号，

即

恒成立，

设，则，

当3

x =

时，，即0能取到，故①正确， ②3

x =Q 是3sin()y x π=和共同的对称轴，

x ∴=

是()f x 的对称轴，即()f x 是轴对称图形，故②正确， ③，

，

只要证明

，即可，

设|sin |||t t ?，(0)t … 当1t …时不等式恒成立，当01t

，即()h t '在01t

，

即sin t t ?成立，综上

，成立，故③正确，故三个命题都是真命题，【答案】D ．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知实数x ，y 满足约束条件01020y x y x y ??

++??-+?…

?…，则2z x y =+的最大值是 12- ．

【解答】解：作出实数x ，y 满足约束条件01020y x y x y ??

++??-+?

…

?…对应的平面区域，

由2z x y =+，得，

平移直线，由图象可知当直线经过点A 时，

直线

的截距最大，此时z 最大．由

，得3(2A -，1

，

此时z 的最大值为

，

故答案为：1

-．

14．的展开式中2x 的系数为9，则a = 1 ．

【解答】解：

的通项公式

，

若第一括号是1，则第二个括号必须是2x ，相乘，若第一括号是x -，则第二个括号必须是x 相乘，则2x 项系数为，即

，得

，

得1a =或3

a =-（舍)，

故答案为：1．

15．已知点F 为抛物线2:4C y x =的焦点，直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，

(2,0)M -，若

，MBF S ?分别表示MAF ?，MBF ?的面积），则直线l 的斜率的取值范围为

[22,26]．

【解答】解：(1,0)

F，

设直线l的方程为：1

ty x

=-．

(A x，

)

y，

x>，

y>，

)(B x，

)

y．

联立

ty x

y x

，化为：，

解得：．

MAF

MBF

剟，∴1

剟，

∴>，取，．

∴，

解得：，

=．

．

故答案为：[22，26]．

16．已知正三棱锥的体积为3，则其表面积的最小值为63．

【解答】解：设正三棱锥的底面边长为a，高为h，如图，过顶点S作底面ABC的垂线，垂足为O，过O作OD垂直AB于D，连接SD，

AB a

∴=，SO h

=．

∴⊥底面ABC，AB?底面ABC，

AB SO

∴⊥，SO OD

⊥，

又AB OD ⊥Q ，，

AB ∴⊥平面SOD ，

又SD ?Q 平面SOD ，

AB SD ∴⊥，即SD 为侧面SAB 的斜高，

三棱锥体积，得212a h =，

又O 为底面中心，，

，

三棱锥的表面积

，将212

a h

代入得：．

，令0S '=，得

，令

31h t +=，(0)t >，上式可化为

2230t t --=，解得3t =，或1t =-（舍)，

∴313h +=，得2h =，当02h <<时，0S '<，当2h >时，0S '>，故S 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上

S 单调递增，故当2h =时，表面积最小，

此时

，

故填：63．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．设函数

．

（Ⅰ）当[0x ∈，]2

时，求函数()f x 的值域；

（Ⅱ）ABC ?的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且f （A ）3

=，23a b =，13c =+，求ABC ?的面积．

【解答】解：（Ⅰ）

，

[0x ∈Q ，]2

π，

，

7]6

， ∴

， ∴函数()f x 的值域为1

，2]；

（Ⅱ）f Q （A ），

0A π<

，，即3

A π

，

由正弦定理，Q 23a b =，

∴，

2sin B ∴=， 203B π∴<<

，则4

B π= ．

Q ，2b ∴=，

．

18．世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：每周累计户外暴露时间（单位：小时）

[0，7)

[7，14)

[14，21)

[21，28)

不少于28小

时近视人数 21 39 37 2 1 不近视人数

（Ⅰ）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；

（Ⅱ）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（Ⅱ）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？

近视不近视足够的户外暴露时间不足够的户外暴露时间

附：

20()P K k …

0.050 0.010 0.001 0k

3.841

6.635

10.828

【解答】解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件A ，则P （A ）11

31241

C C C ==

故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为1

．（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：

近视不近视足够的户外暴露时间 40 60 不足够的户外暴露时间

所以2K 的观测值

，

故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系．

19．如图，在三棱锥D ABC -中，ABC ?与BDC ?都为等边三角形，且侧面BCD 与底面ABC 互相垂直，O 为BC 的中点，点F 在线段OD 上，且1

OF OD =，E 为棱AB 上一点．

（Ⅰ）试确定点E 的位置使得//EF 平面ACD ；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角D FB E --的余弦值．

【解答】解：（Ⅰ）在BDC ?中，延长BF 交CD 于点M ， 13

OF OD ∴=u u u

r ，BDC ?是等边三角形，F ∴为BDC ?的重心，

，

//EF Q 平面ACD ，EF ?平面ABM ，且面ABM ?面ACD AM =，

//EF AM ∴，1

AE AB ∴=，

即点E 为线段AB 上靠近点A 的三等分点．

（Ⅱ）等边BCD ?中，OD BC ⊥，OD ?平面BCD ，面ABC ⊥面BCD ，交线为BC ， OD ∴⊥平面ABC ，

如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，

Q 点A 在平面BEF 上，∴二面角D FB E --与二面角D FB A --为相同二面角．

设2AB =，则

，(0F ，0，

)，(3A ，0，0)，(0B ，1，0)， ∴(0BF =u u u r ，1-，3)，

，

设平面AFB 的法向量(m x =r

，y ，)z ，

则

，取1x =，得(1,3,3)m =r

，

又OA ⊥平面OBD ，(3OA =u u u r

，0，0)，

则

，

又二面角D FB E --为钝二面角，所以二面角D FB E --的余弦值为13-

．

20．已知椭圆

的左、右两个顶点分别为A 、B ，点P 为椭圆1C 上异于A 、B 的一个动点，

设直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，若动点Q 与A 、B 的连线斜率分别为3k 、4k ，且，

记动点Q 的轨迹为曲线2C

（Ⅰ）当4λ=时，求曲线2C 的方程；

（Ⅱ）已知点1

(1,)2

M ，直线AM 与BM 分别与曲线2C 交于E 、F 两点，设AMF ?的面积为1S ，BME ?的

面积为2S ，若[1λ∈，3]，求12

S 的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）设0(P x ，0)y ，0(2)x ≠±，则22

0014

x y +=，

因为(2,0)A -，(2,0)B ，则，

设(,)Q x y ，则2x ≠±，

所以，

整理得22

14x y λ

+=，(2)x ≠±．

所以，当4λ=时，曲线2C 的方程为224x y +=，(2)x ≠±，（Ⅱ）设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，由题意知，

直线AM 的方程为：62x y =-，直线BM 的方程为22x y =-+．

由（Ⅰ）知，曲线2C 的方程为22

14x y λ

+=，(2)x ≠±．

联立，消去x ，得

，得1691

y λ

λ=

+，联立，消去x ，得

，得221

y λ

λ=

+，所以

设，则()g λ在[1，3]上递增

又g （1）5=，g （3）7=，所以

S S 的取值范围为[5，7] 21．已知()(x f x e e -=为自然对数的底数），．

（Ⅰ）当1a =时，求函数的极小值；

（Ⅱ）当0t …时，关于t 的方程有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，

，

，令()0h x '=，解得：0x =，

x ，()h x '，()h x 的变化如下：

(,0)-∞ 0 (0,)+∞

()h x ' -

0 +

()h x

递减

极小值

递增

；

（Ⅱ）设，

令1(1)t x x +=…，

，1x …，

，设

，，

由1x …得，21x …，2

01x

∴<

?，x e e Q …，，()t x 在(1,)+∞单调递增，

即()F x '在(1,)+∞单调递增，F '（1）1e a =+-，

①当10e a +-…

，即1a e +?时，(1,)x ∈+∞时，()F x F '>'（1）0…，()F x 在(1,)+∞单调递增，又F （1）0=，故当1x …

时，关于x 的方程有且只有一个实数解，

②当10e a +-<，即1a e >+时，

F '（1）0<，，又，

故0(1,)x lna ?∈，0()0F x '=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又F （1）0=，故当(1x ∈，0]x 时，()0F x <，在[1，0)x 内，关于x 的方程

有一个实数解1x =，

又0(x x ∈，)+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，且F （a ），

令

，

，，故()k x '在(1,)+∞单调递增，又k '（1）0>，

故()k x 在(1,)+∞单调递增，故k （a ）k >（1）0>，故F （a ）0>，又0a

a x e

>，由零点存在定理可知，10(x x ?∈，)a ，1()0F x =，故在0(x ，)a 内，关于x 的方程有一个实数解1x ，

此时方程有两个解．综上，1a e +…．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为为参数），直线l 的方程为y kx =，以坐

标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；

（Ⅱ）曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，若

，求k 的值．

【解答】解：（Ⅰ）Q ，

所以曲线C 的极坐标方程为

．

（Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为1(R θθρ=∈，1[0θ∈，))π，其中1θ为直线l 的倾斜角，代入曲线C 得

，设A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ．

，1210ρρ=>，△

满足△106

θ>∴=

或

56l π∴的倾斜角为6

或

56π，则或3

． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数

，a R ∈．

（Ⅰ）若不等式2()f x a …

对x R ?∈恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设实数m 为（Ⅰ）中a 的最大值，若实数x ，y ，z 满足，求

的最小

值．

【解答】解：（Ⅰ）因为

，

所以24||a a ?，解得：44a -剟．故实数a 的取值范围为[4-，4]；（Ⅱ）由（1）知，4m =，即，

根据柯西不等式

等号在即87x =

，8

y =-，421z =时取得．所以的最小值为

．