高中数学知识复习总结(复数)

复数知识复习总结

1.虚数单位i 的性质

(1)它的平方等于-1，即 2

1i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；（2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ；（3）i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, 4n =1。

2．复数的定义与表示：

（1）形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数， a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成

的集合叫做复数集，用字母C 表示*

（2）复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式。

3 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，

复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0 4．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C

[题目3]如果复数2

(i)(1i)m m ++是实数，则实数m =____________

[题目4]如果复数

i

bi

212+-的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于________ [题目1] 23

212123n n n n i

i i i --+++++（n Z ∈）的值等于_______________

[题目2] 计算2

3

4

1234()n n i i i i n i --+-++-（*n N ∈）的值。

5．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ?a =c ，b =d 。这是解决复数问题时进行虚实转化的工具：

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小， 也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。

注意：有些实数据内成立的命题在复数及内部一定成立，如： 6．复数的几何形式：复数集与平面上的点集一一对应，可用平面上的点来表示复数，一般地，可用(,)Z a b 表示复数(,)a bi a b R +∈，或用向量OZ 表示复数(,)a bi a b R +∈。 特别提醒：对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法

7．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，即：(,)z a bi z a bi a b R =+=-∈与互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

（1）几何特征：非零复数12z z ，互为共轭复数?对应点12Z Z ，（或对应向量1OZ ，2OZ ）关于实轴对称.

（2）代数特征： ①22i z z a z z b +=∈-=R ，为纯虚数或零； ②z z =.

8．复数的模：设(,)z a bi a b R =+∈在复平面上对应的点为(,)Z a b ，则把向量OZ 的模叫做复数的模。即；||z =

．对于任意两个复数1z =12122z x x =．设非零复数为坐标原点，如果120ω=，在复平面上的对应点、2z 关于原点成中心对称，且

i z )1(1+，求、2z 。

9．复数的运算及其几何意义

（1）对于代数形式的加、减、乘、除四则运算法则，要特别注意复数的除法可以用“分母实数化”理解.

（2）复数的加减法满足交换律、结合律.

（3）复数的乘除法满足交换律、结合律及对加法的分配律.

（4）复数的混合运算顺序也是先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. （5）复数加法、减法的几何意义，即向量加法、减法的平行四边形法则或三角形法则. （6）开平方运算：a+bi 的平方根x+yi(a,b,c,d R)∈，可由2

(x+yi)=a+bi 利用复数相等的充要条件转化为解实方程组。

10．共轭复数的运算性质：

①1212z z z z ±=± ②1212z z z z = ③1122

z z z z ??=

??? ④()()n n

z z n =∈Z . ⑤z z = ⑥z z z ∈?=R ⑦若z 为纯虚数z z ?=-⑧2

2

z z z z ==.

11．复数模的运算性质

①z z = ②2

2

z z z z == ③1212z z z z = ④

11

222

(0)z z z z z =≠ ⑤n

n

z z =（当z ≠0时，n ∈Z ） *⑥121212z z z z z z -±+≤≤.

注：性质⑥通常叫做三角形不等式，其几何意义为三角形中两边之和大于第三边，两边

之差小于第三边（不作要求） ⑦2

2

22

1212

122()z z z z z z ++-=+

注：性质⑦的几何意义为平行四边形两对角线平方和等于四条边的平方和.

⑧非零复数1i z a b =+，2i()z c d a b c d =+∈R ，，，，对应的向量

1212120OZ OZ ac bd z z z z ?+=?-=+⊥（矩形的对角线相等）.

12．复数与点的轨迹

①两点间的距离公式：12d z z =-； ②线段的中垂线：12z z z z -=-；

③圆的方程：z p r -=（以点p 为圆心，r 为半径）； ④椭圆：122z z z z a -+-=（2a 为正常数，122a z z >-）； ⑤双曲线：122z z z z a ---=（2a 为正常数，122a z z <-）； ⑥圆的内部：z p r -<（以点p 为圆心，r 为半径）；

⑦闭圆环：12r z p r -≤≤（以点p 为圆心，12r

r ，为半径）。

13．关于复数122

ω=-

±：①为1的立方虚根，即31ω=；②满足以下等式： ωωωωω3

2

2

110==++=，，；

ωωωωω3

2

2

110==++=，，.

14．除ω外，熟练掌握下面的运算：（1）2

2

(i)(i)()i i(i)a b a b a b a b b a +-=++=-，； （2）4414243i

1i i i 1i i()n

n n n n +++===-=-∈N ，，，.

（3）2

1i 1i

(1i)2i i i 1i 1i

+-±=±==--+，

，. （4）1的立方根是11

i 22，-±； 1-的立方根是1122

-±，.

15．熟悉三个结论：（1）z R z z ∈?=；（2）若z 0≠，则z 纯虚数z z ?=-； （3）2||(,0)a

z R z R z a a R a

+

∈?∈=∈>或。

（本式可由（1）得出）。 16．复系数一元二次方程及性质

（1）实系数一元二次方程2

0(ax bx c a b c ++=∈R ，，且0)a ≠及性质

①0?≥时，方程有实根：12

2b x a

-±=，；0?<时，在复数集C 中，方程有

②（与系数的关系：无论0?≥还是0?<，总有112b c x x x x a a

+=-=，. ③虚根成对出现的性质：当?＜0时，12x x =且2

2

1212c x x x x a

===

.

④齐二次实系数二次方程22

11220(,,)az bz z cz a b c R ++=∈，将等式两端除以2z 后，将得

到一个关于

1

2

z z 得实系数一元二次方程。（不作要求） （2）虚系数一元二次方程2

0(0ax bx c a a b c ++=≠，，，至少有一个为虚数） ①判别式判断实根情况失效； ②虚根成对出现的性质失效 如x 2-ix-2=0，△=7>0，但该方程并无实根。但韦达定理仍适用。

17．复数复习注意点

（1）复数有关的证明问题

①i 0()z a b b a b =+∈?=∈R R ，；②2

0z z ∈?R ≥； ③z z z ∈?=R .

（2）证明复数是纯虚数的方法

①z a b =+i 是纯虚数0a ?=且0()b a b ≠∈R ，； ②z 是纯虚数0z z ?+=且z ≠0；

③z 是纯虚数2

0z ?<.

（3）数的概念扩展到复数后，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等.再如下列结论，当z ∈C 时都可以举出结论不成立的例证（由于前4个结论都较容易给出反例，我们不再给出，只对（5）、（6）进行分析）： （1）(1)m n

z z m n z =?=≠；

（2）22

121200z z z z +=?+=；

（3）2

2

z z =；

（4）z a a z a

（5）()()mn

m n a a m n =∈Q ，对虚数a

不再适用，如，求值2005

1i 22??

-+ ? ?

??

.

注：()mn

m n a

a =，若a 为虚数，则m n ∈Z ，。

（6）2

2

00a b a +=?=，且0b =对虚数a b ，不再成立。如在复数集上解方程

42220x x x -++=。

错解：将原方程变形为2

2

2

(1)(1)0x x -++=210110x x x ?-=??=-?

+=?

，

。 正解： 原方程可化为22222

(1)(1)0(1)[(1)1]0x x x x -++=?+-+=， 22(1)(22)01x x x x ∴+-+=?-或1i x =±。

复数知识复习总结参考答案

[题目1] 0； [题目2] 2242(21)41

22(21)4222(22)43k ki

n k k k i n k k k i

n k k k i

n k --=??-++=+??

+++=+??+-+=+?； [题目3] －1 ； [题目4] －2

3

； [题目5] 充分不必要； [题目6]（1）1m =或2m =；（2）

(,1)(1,2)(2,)m ∈-∞??+∞；

（3）1

2

m =-； [题目7]不存在； [题目

83355

x x y y ==-???

?

==-??或]； [题目9] 6π

θ=； [题目10] （1）（2）（3）（4）； [题目11]z 2

≥0（不唯一）； [题目12] 1(,0)(1,2)2-

?； [题目13] 2

π

； [题目14]

i

z 51

1=

i

z 512-=； [题目15] (2，6)； [题目16] (43)i ±-； [题目17] 1a >； [题

目18] (1,1)-； [题目19]

1z ≤≤ [题目20] 12

55

i -+；1.i -； [题目21]

－6； [题目22] (2)i ±-；

[题目23]

10

； [题目24] 计算

2121212()()||0B A z z z z z z -=--=-≥，又

,B R B A ∈∴≥； [题目25] 22564； [题目26] C ； [题目27] 21

r

； [题目28]9；

[题目29]

{0,2}；

[题目30]

； [题目31] （1）图形为直线y = x-1 在集合M 所表示的圆内的一

段线段，（2）p

z min

=

2

2

, p z max = 22+； [题目32]33； [题目33]

12

ω=-+

时，

原式=15-

；12ω=--时，

原式； [题目34]1； [题目35]D ； [题目36]C ； [题目37]D ； [题目38] （1

）1,23,4324z z ==；（2）提示：1zz =； [题目39]13z i =±或i z ±=3； [题目40]

12-±； [题目41] 3

5-

=m 或214； [题目42]2； [题目43] 0或4或8-； [题目44] （1）510i --；

（2）3117i --；（3）12

55

i -； [题目45]

时，k =-，

实数根为

时，k =