应力状态理论
第8章 应力状态理论
§8-1 一点应力状态概念
1．凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。因为受力构件内同一
截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力；
图8-2通过轴向拉伸杆件同一点m的不同（方向）截面上具有不同的应力。
２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。如图8-3是通过轴向拉伸杆m
件内点不同（方向）截面上的应力情况（集合）
３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。
特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。
*平面应力状态的工程实例
１．薄壁圆筒压力容器
0D 为平均直径，δ为壁厚 由平衡条件04200=??=∑D p D X L π
δπσ
得轴向应力： δ
σ40pD L = （8-1a ） 图8-5c （Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为B 的横截面，H-H 为水平径向面）
2．球形贮气罐（图8-6）
由平衡条件∫=?=∑π
δσαα0002sin 2
B d D pB Y H 或δσB pBD H 20= 得环向应力： δ
σ20pD H = （8-1b ） 由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为 a σ
对半球写平衡条件：p D D a ?=
?2004πδπσ
得 δ
σ40pD a =
（8-2） 3．
弯曲与扭转组合作用下的圆轴
4．
受横向载荷作用的深梁
§8-2平面一般应力状态分析——解析法
1．空间一般应力状态
如图8-9a 所示，共有9个应力分量：x 面上的xx σ，xy τ，xz τ；y 面上的yy σ，yx τ，yz τ；面上的z zz σ，zx τ，zy τ 。
1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。由剪应力互等定理，有：
yx xy τ=τ，zy yz ττ=，zx xz ττ=。
2）平面一般应力状态如图8-9b 所示，即空间应力状态中，z 方向的应力分量全部为零（0==zy zx zz ττ=σ）；或只存在作用于x-y 平面内的应力分量x σ，y σ，xy τ，yx τ，其中x σ，y σ分别为xx σ，yy σ的简写，而xy τ= yx τ。
3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。
2．平面一般应力状态斜截面上应力
如图8-10所示，斜截面平行于 轴且与z x 面成倾角α ，由力的平衡条件：
0=∑αn 和 0=∑αt
可求得斜截面上应力ασ，ατ：
αατασασσαcos sin 2sin cos 22??+=xy y x ατασσσσ2sin 2cos )(2
1)(21xy y x y x ??++= （8-3a ）
)sin (cos cos sin )(22ααταασστ?+?=xy y x xy ατασσ2cos 2sin )(2
1xy y x +?= (8-3b)
注意到：1）图8-10b 中应力均为正值，并规定倾角α 自x 轴开始逆时针转动者为正，反之为负。2）式中xy τ均为x 面上剪应力，且已按剪应力互等定理将 yx τ换成xy τ。
3．正应力极值——主应力
根据（8-3a ）式，由求极值条件0=α
σαd d ，得 02cos 22sin )(=???ατασσxy y x
即有 y x xy
σστα??=22tan 0 （8-4a ）
0α为ασ取极值时的α角，应有0α，°+900α两个解。
将相应值02sin α，02cos α分别代入(8-3a)，(8-3b)即得：
224)(2
1)21xy y x y x τσσσσσ+?±
+=（极小极大， （8-4b ） 09000==°+ααττ (8-4c)
说明：
1）当倾角α转到0α和°+900α面时，对应有0ασ，°+900ασ，其中有一个为极大值，另一个为极小值；而此时0ατ，°+900ατ均为零。可见在正应力取极值的截面上剪应力为零（如图8-11a ）。
2）定义：正应力取极值的面（或剪应力为零的面）为主平面，主平面的外法线方向称主方向，正应力的极值称主应力，对平面一般应力状态通常有两个非零主应力：极大σ，极小σ，故也称平面应力状态为二向应力状态。
4．剪应力极值——主剪应力
根据(8-3b)式及取极值条件0=α
ταd d ，可得： xy
y x τσσα22tan *0?= （8-5a ） *0α为ατ取极值时的α角，应有，两个解。将相应值，分别代入(8-3b)，(8-3a)即得：
*0α°+90*0α*02sin α*02cos α）极小极大极小极大，σστσστ?±=+?±
=(214)(2
122xy y x (8-5b) σσσσσαα=+==°+）极小极大(2
190*0*0
说明：1）当倾角α转到和面时，对应有*0α0
*090+α极大τ，极小τ，且二者大小均为）极小极大σσ?(2
1，方向相反，体现了剪应力互等定理，而此两面上正应力大小均取平均值）极小极大σσ+(2
1（如图8-11b ）。 2）定义：剪应力取极值的面称主剪平面，该剪应力称主剪应力。注意到：
12tan 2tan 0*0?=?αα
°±=90220*0αα 或
°±=450*0αα因而主剪平面与主平面成°±45夹角。
关于应力集中的概念及其避免措施的讨论
关于应力集中的概念及其避免措施的讨论 一．摘要 材料构件的应力集中现象危害很大，应力集中会引起脆性材料断裂；使物体产生疲劳裂纹，严重影响结构的安全性。因此，研究应力集中的避免措施具有重要的意义。生活中各种各样的例子也证明了其研究的重要性。为避免应力集中造成构件破坏，可采取消除尖角、改善构件外形、局部加强孔边以及提高材料表面光洁度等措施；另外还可对材料表面作喷丸、辊压、氧化等处理，以提高材料表面的疲劳强度。 二、关键词 应力应力集中措施 三、引言 现今社会，由于应力集中造成构件断裂，产生疲劳，对结构安全危害大。了解应力集中，并找出其避免措施，对人们的生活具有重大的意义。 四、正文 首先，先让我们了解一下应力与应力集中的概念，应力即受力物体截面上内力的集度，即单位面积上的内力。公式记为σ=f/s (其中，σ表示应力；δfj 表示在j 方向的施力；δai 表示在i 方向的受力面积)。材料在交变应力作用下产生的破坏称为疲劳破坏。通常材料承受的交变应力远小于其静载下的强度极限时，破坏可能发生。另外材料会由于截面尺寸改变而引起应力的局部增大，这种
现象称为应力集中。对于由脆性材料制成的构件，应力集中现象将一直保持到最大局部应力到达强度极限之前。因此，在设计脆性材料构件时，应考虑应力集中的影响。对于由塑性材料制成的构件，应力集中对其在静载荷作用下的强度则几乎无影响。所以，在研究塑性材料构件的静强度问题时，通常不考虑应力集中的影响。 承受轴向拉伸、压缩的构件，只有在寓加力区域稍远且横截面尺寸又无剧烈变化的区域内，横截面上的应力才是均匀分布的。然而实际工程构件中，有些零件常存在切口、切槽、油孔、螺纹等，致使这些部位上的截面尺寸发生突然变化。如开有圆孔和带有切口的板条，当其受轴向拉伸时，在圆孔和切口附近的局部区域内，应力的数值剧烈增加，而在离开这一区域稍远的地方，应力迅速降低而趋于均匀。这时，横截面上的应力不再均匀分布，这已为理论和实验证实。 图2-31 图2-32 在静荷载作用下，各种材料对应力集中的敏感程度是不同的。像低碳钢那样的塑性材料具有屈服阶段，当孔边附近的最大应力达到屈服极限时，该处材料首先屈服，应力暂时不再增大。如外力继续增加，增加的应力就由截面上尚未屈服的材料所承担，是截面上其
应力状态及强度理论
图8-1 第 8章 应力状态及强度理论 例8-1 已知应力状态如图7-1所示，试计算截 面m-m 上的正应力m σ与切应力m τ 。 解：由图可知，x 与y 截面的应力分别为 MPa x 100-=σ MPa x 60-=τ MPa y 50=σ 而截面m-m 的方位角则为 α= -30o 将上述数据分别代入式（7-1）与（7-2）， 于是得 ()()()()MPa m 5.11460sin 6060cos 250100250100-=?-?+?---++-=σ()()()MPa m 0.3560cos 6060sin 2 50100=?-?-?---=τ 例8-2 试用图解法解例8-1（图8-2a ）。 (a) (b) 图8-2 解：首先，在τσ-平面内，按选定的比例尺，由坐标(-100，-60）与(50，60)分别确定A 和B 点图7-2b ）。然后，以AB 为直径画圆，即得相应的应力圆。 为了确定截面m-m 上的应力，将半径CA 沿顺时针方向旋转α2=60o至CD 处，所得D 点即为截面m-m 的对应点。 按选定的比例尺，量得OE =115MPa （压应力），ED =35MPa ，由此得截面 m-m 的正应力与切应力分别为
MPa m 115-=σ MPa m 35=τ 例 8-3 从构件中切取一微体，各截面的应力如图8-3a 所示，试用解析法与图解法确定主应力的大小及方位。 (a) (b) 图8-3 解：1.解析法 x 和y 截面的应力分别为 MPa x 70-=σ，MPa x 50=τ，0=y σ 将其代入式 (7-3）与 (7-5），得 }{MPa MPa 2696502070207022max min -=+?? ? ??--±+-=σσ ?-=??? ??--=?? ? ??-- =5.6202650arctan arctan max y x o σστα 由此可见， MPa 261=σ，02=σ，MPa 963-=σ 而正应力1σ 的方位角 o α则为-62.5o(图8-3a ）。 2.图解法 按选定的在τσ-平面内，按选定的比例尺，由坐标(-70，50）与(0，-50)分别确定D 和E 点（图8-3b ）。然后，以DE 为直径画圆即得相应的应力圆。 应力圆与坐标轴σ相交于A 和B 点，按选定的比例尺，量得OA =26MPa ，
第7章-应力状态和强度理论03.
西南交it 大学应用力*与工程系材#^力学教研i 图示拉伸甄压缩的单向应力状态，材料的破 坏有两种形式： 塑性屈服；极限应力为0■力=<5；或bpO2 腌性斷裂；极限应力为O ■必= CJ\ 此时，4 O>2和偽可由实验测得.由此可建 互如下S 度余件： ^mai 其中n 为安全系数? 2）纯剪应力状态： 图示纯剪应力狀态，材料的破 坏有两 种形式： 塑性屈服：极限应力为 腌性斯裂：极限应力为5 = 5 %和昭可由实验测得.由此可建立如下 =(^■1 it §7.7强度理论及其相当应力 1、概述 1）单向应力状态: a. ＜亠［6 n 其中, ?度条件:
前述a 度条件对材料破坏的原因并不深究.例如 图示低碳钢拉（压）时的强度条件为： r V J - b, b|nw W — — — // n 然而，其屈服是由于 YnurJl 起的,对?示单向 应力状态，有： 「niu 依照切应力强度条件，有： 4）材料破坏的形式 常温、静栽时材料的破坏形式大致可分为: ?腌性斷裂型： 例如：铸铁：拉伸、扭转等； "钢：三向拉应力状态. -塑性屈月艮型： 例如：低碳钢：拉伸、扭转寻； 铸铁：三向压缩应力状态. 可见：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与应力状态有关. , 5）强度理论 根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，分别针对它们发生破坏的原因提出假说，并认为不论材料处于何种应力状态，某种类型的破坏都是由同一因素引起，此即为强度理论. 常用的破坏判据有： 旎性断裂：5,磁可皿 ?性斷裂：V； 下面将讨论常用的-基于上述四种破坏判据的?虞理论. 一点应力状态概念及其表示方法 凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。因为受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力； 图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。 ２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。如图8-3是通过轴向拉伸杆件内点不同（方向）截面上 的应力情况（集合） ３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件内围绕点截取的两种微元体。 特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。 §8-２平面应力状态的工程实例１．薄壁圆筒压力容器 为平均直径，为壁厚 由平衡条件 得轴向应力：（8-1a） 图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为的横截面，H-H为水平径向面） 由平衡条件或, 得环向应力：（8-1b） 2．球形贮气罐（图8-6） 由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为 对半球写平衡条件： 得（8-2） 3．弯曲与扭转组合作用下的圆轴 4．受横向载荷作用的深梁 §8-3平面一般应力状态分析——解析法 空间一般应力状态 如图8-9a所示，共有9个应力分量：面上的，，；面上的，，；面上的，，。 1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。由剪应力互等定理，有： ， ， 。2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中，方向的应力分量全部为零（）；或只存在作用于x-y平面内的应力分量，，，，其中，分别为，的简写，而= 。 3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。 2．平面一般应力状态斜截面上应力 如图8-10所示，斜截面平行于轴且与面成倾角，由力的平衡条件： 和 可求得斜截面上应力，： 变形固体的基本假设、内力、截面法、应力、位移、变形和应变的概念、杆件变形的基本形式；轴力和轴力图、直杆横截面上的应力和强度条件、斜截面上的应力、拉伸和压缩时杆件的变形、虎克定律、横向变形系数、应力集中；扭转的概念、纯剪切的概念、薄壁圆筒的扭转，剪切虎克定律、切应力互等定理；静矩、惯性矩、惯性积、惯性半径、平行移轴公式、组合图形的惯性矩和惯性积的计算、形心主轴和形心主惯性矩概念；应力状态的概念、主应力和主平面、平面应力状态分析—解析法、图解法（应力圆）、三向应力圆，最大切应力、广义胡克定律、三个弹性常数E 、G 、μ间的关系、应变能密度、体应变、畸变能密度；强度理论的概念、杆件破坏形式的分析、最大拉应力理论、最大拉应变理论、最大切应力理论、畸变能理论、相当应力的概念；疲劳破坏的概念、交变应力及其循环特征、持久极限及其影响因素。 第一章 a 绪论 变形固体的基本假设、内力、截面法、应力、位移、变形和应变的概念、杆件变形的基本形式 第一节 材料力学的任务与研究对象 1、 变形分为两类：外力解除后能消失的变形成为弹性变形；外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或 残余变形。 第二节 材料力学的基本假设 1、 连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。 2、 均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、 各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。 第三节 内力与外力 截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，得到分离体②对分离体建立平衡方程，求得内力 第四节 应力 1、 切应力互等定理：在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线。 胡克定律 2、 E σε=，E 为（杨氏）弹性模量 3、 G τγ=，剪切胡克定律，G 为切变模量 第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能 轴力和轴力图、直杆横截面上的应力和强度条件、斜截面上的应力、拉伸和压缩时杆件的变形、虎克定律、横向变形系数、应力集中 40 MPa .word 可编辑 . 应力状态强度理论 1. 图示单元体，试求60100 MPa (1)指定斜截面上的应力； (2)主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。 解： (1) x y x y cos 2x sin 276.6 MPa 22 x y sin 2x cos232.7 MPa 2 3 1 (2)max xy( x y) 2xy281.98MPa39.35 min22121.98 181.98MPa，2 ，3121.98MPa 12 xy1200 0arctan()arctan39.35 2x y240 200 6060 2. 某点应力状态如图示。试求该点的主应力。129.9129.9解：取合适坐标轴令x25 MPa，x 由 120xy sin 2xy cos20 得 y 2 所以m ax x y ( xy ) 2xy 2 m in 22 129.9 MPa 2525 (MPa) 125MPa 50752( 129.9)250 150100 MPa 200 1 100 MPa，20 ，3200MPa 3. 一点处两个互成45 平面上的应力如图所示，其中未知，求该点主应力。 解：y150 MPa，x120 MPa .word 可编辑 . 由得45x y sin 2xy cos 2x 15080 22 x10 MPa 所以max xy(x y) 22 22xy min y x 45 45 45 214.22 MPa 74.22 1214.22 MPa，20 ， 45 374.22 MPa 4.图示封闭薄壁圆筒，内径 d 100 mm，壁厚 t 2 mm，承受内压 p 4 MPa，外力偶矩 M e 0.192 kN·m。求靠圆筒内壁任一点处的主应力。 0.19210 3 解： xπ(0.104 40.14)0.05 5.75MPa t 32 x y pd MPa 50 4t pd MPa 100 2t M e p M e max x y(x y ) 2 xy2 min22100.7 MPa 49.35 1100.7 MPa，249.35 MPa，3 4 MPa 5.受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。 解：取坐标轴使 x 100 MPa，x 20MPa40 MPa100 MPa xy x y 12020 MPa 22cos2x sin 2 7.1已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求： ⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力； ⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。 解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0 30α=- （1）cos 2sin 2211.622 x y x y x ασσσσ σατα+-= + -=sin 2cos 293.32 x y x MPa ασστατα-=+= （2）max 261.82 x y MPa σσσ+= = min 38.22x y MPa σσσ+== MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ （3）13 max 130.92 MPa σστ-== 7.2扭矩m kN T ?=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成ο 30=α方向上的正应变。设E=200GPa, 0.3υ=。 解：表面上任一点处切应力为： max 59P T MPa W τ= = 表面上任一点处单元体应力状态如图 30sin 251MPa στα=-=- 120sin 251MPa στα=-= () 00430301201 3.310E εσυσ-= -=? 2 στ τ 7.3用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成ο45方向上的正应 变4 100.2-?=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传 递的功率。 解：表面任一点处应力为 max 9550P P P T n W W τ== max 9550 P W n P τ∴= 纯剪切应力状态下，0 45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=- 由广义胡克定律 ()11311E E υ εσυστ+= -= 又()21E G υ=+Q V 2G τε∴= 代入max 9550 P W n P τ= ，得109.4P KW = 7.4图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成ο 60 方向上的正应变4 60101.4-?=ο ε，E=200GPa ，0.3υ=， 试求荷载P 。 解：0P A σ= 204D P πσ=? 斜截面上 02 060cos 4 σσσα== 2001503cos 4 σσσα== 由广义胡克定律 () 0006015060134E E υεσυσσ-= -= 将060043E εσυ = -代入2 04 D P πσ=? 解得P=36.2KN ο 第五章应力状态分析与强度理论 1、内容提要 1.应力状态的概念 1.1一点的应力状态 通过受力构件的一点的各个截面上的应力情况的集合，称为该点的应力状态。 1.2一点的应力状态的表示方法——单元体 研究受力构件内一点处的应力状态，可以围绕该点取一个无限小的正六面体，即单元体。若单元体各个面上的应力已知或已计算出，则通过该点的其他任意方位截面上的应力就可用解析法或图解法确定。 1.3主平面、主应力 单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。 过受力构件内任一点总有三对相互垂直的主平面。相应的主应力用、、来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即。是最大主应力，是最小主应力，它们分别是过一点的所有截面上正应力中的最大值和最小值。 1.4应力状态的分类 （1）单向应力状态，只有一个主应力不为零，另两个主应力均为零；（2）二向或平面应力状态，两个主应力不为零，另一个为零； （3）三向或空间应力状态，三个主应力都不为零。 单向应力状态又称简单应力状态，二向、三向应力状态称为复杂应力状态。 2.平面应力状态分析的解析法 在平面应力状态的单元体中，有一对平面上的应力等于零，即为主平面，其上主应力为零。可将单元体用平面图形表示，如图5-1所示。 2.1任意斜截面上的应力 当已知、、时，应用截面法，可得 （5-1） 式中，正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对单元体内任意点的矩为顺时针转向为正，反之为负；为斜截面外法线与x平面外法线即x 轴间的夹角，角从x轴量起，反时针转向为正，反之为负。 2.2主应力 （5-2） 式中，和分别表示单元体上垂直于零应力面的所有截面上正应力的最大值和最小值。它们是三个主应力中的两个，而另一个主应力为零。三个 知识点9：应力状态理论和强度理论 一、应力状态理论 （一）应力状态的概念 １．一般情况下，受力构件内各点的应力是不同的，且同一点的不同方位截面上应力也不相同。过构件内某一点不同方位上总的应力情况，称为该点的应力状态。 ２．研究一点的应力状态，通常是围绕该点截取一个微小的正六面体（即单元体）来考虑。单元体各面上的应力假设是均匀分布的，并且每对互相平行截面上的应力，其大小和性质完全相同，三对平面上的应力代表通过该点互相垂直的三个截面上的应力。当单元体三个互相垂直截面上的应力已知时，可通过截面法确定该点任一截面上的应力。截取单元体时，应尽可能使其三个互相垂直截面的应力为已知。 ３．单元体上切应力等于零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。过受力构件内任一点，一定可以找到一个由三个相互垂直主平面组成的单元 体，称为主单元体。它的三个主应力通常用σ １，σ ２ 和σ ３ 来表示，它们按代数值 大小顺序排列，即σ １＞σ ２ ＞σ ３ 。 ４．一点的应力状态常用该点的三个主应力来表示，根据三个主应力的情况可分为三类：只有一个主应力不等于零时，称为单向应力状态；有两个主应力不等于零时，称为二向应力状态（或平面应力状态）；三个主应力都不等于零时，称为三向应力状态。其中二向和三向应力状态称为复杂应力状态，单向应力状态称为简单应力状态。 5．研究一点的应力状态是对构件进行强度计算的基础。 （二）平面应力状态的分析 １．分析一点的平面应力状态有解析法和图解法两种方法，应用两种方法时都必须已知过该点任意一对相互垂直截面上的应力值，从而求得任一斜截面上的应力。 ２．应力圆和单元体相互对应，应力圆上的一个点对应于单元体的一个面，应力圆上点的走向和单元体上截面转向一致。应力圆一点的坐标为单元体相应截面上的应力值；单元体两截面夹角为α，应力圆上两对应点中心角为２α；应力圆与σ轴两个交点的坐标为单元体的两个主应力值；应力圆的半径为单元体的最大切应力值。 ３．在平面应力状态中，过一点的所有截面中，必有一对主平面，也必有一对与主平面夹角为４５?的最大（最小）切应力截面。 ４．在平面应力状态中，任意两个相互垂直截面上的正应力之和等于常数。 图9-1（a ）所示单元体为平面应力状态的一般情况。单元体上，与x 轴垂直的平面称为x 平面，其上有正应力σx 和切应力τxy ；与y 轴垂直的平面称为y 平面，其上有正应力σy 和切应力τyx ；与z 轴垂直的z 平面上应力等于零，该平面是主平面，其上主应力为零。平面应力状态也可用图9-1（b ）所示单元体的平面图来表示。设正应力以拉应力为正，切应力以截面外法线顺时针转90?所得的方向为正，反之为负。 （a ） （b ） （c ） 图9-1 图9-1（c ）所示斜截面的外法线与x 轴之间的夹角为α。规定α角从x 轴逆时针向转到截面外法线n 方向时为正。α斜截面上的正应力和切应力为： ??? ??? ? +-=--++=ατασστατασσσσσαα2cos 2sin 22sin 2cos 22xy y x xy y x y x 最大正应力和最小正应力 2 2 min max 22xy y x y x τσσσσσσ+??? ? ? ?-±+= 1.应力集中的现象及概念 材料在交变应力作用下发生的破坏称为疲劳破坏。通常材料承受的交变应力远小于其静载下的强度极限时，破坏就可能发生。另外材料会由于截面尺寸改变而引起应力的局部增大，这种现象称为应力集中。对于组织均匀的脆性材料，应力集中将大大降低构件的强度，这在构件的设计时应特别注意。 承受轴向拉伸、压缩的构件，只有在寓加力区域稍远且横截面尺寸又无急剧变化的区域内，横截面上的应力才是均匀分布的。然而工程中由于实际需要，某些零件常有切口、切槽、螺纹等，因而使杆件上的横截面尺寸发生突然改变，这时，横截面上的应力不再均匀分布，这已为理论和试验所证实。 如图 2-31[a] 所示的带圆孔的板条，使其承受轴向拉伸。由试验结果可知 : 在圆孔附近的局部区域内，应力急剧增大，而在离开这一区域稍远处，应力迅速减小而趋于均匀( 图 2 — 31[b]) 。这种由于截面尺寸突然改变而引起的应力局部增大的现象称为应力集 中。在 I — I 截面上，孔边最大应力与同一截面上的平均应力之比，用表示 称为理论应力集中系数，它反映了应力集中的程度，是一个大于 1 的系数。而且试验结果还表明 : 截面尺寸改变愈剧烈，应力集中系数就愈大。因此，零件上应尽量避免带尖角的孔或槽，在阶梯杆截面的突变处要用圆弧过渡。 在静荷作用下，各种材料对应力集中的敏感程度是不相同的。像低碳钢那样的塑性材料具有屈服阶段，当孔边附近的最大应力达到屈服极限时，该处材料首先屈服，应力暂时不再增大。如外力继续增加，增加的应力就由截面上尚未屈服的材料所承担，使截面上其它点的应力相继增大到屈服极限，该截面上的应力逐渐趋于平均，如图2-32 所示。因此，用塑性材料制作的零件，在静荷作用下可以不考虑应力集中的影响。而对于组织均匀的脆性材料，因材料不存在屈服，当孔边最大应力的值达到材料的强度极限时，该处首先断裂。因此用脆性材料制作的零件，应力集中将大大降低构件的强度，其危害是严重的。这样，即使在静载荷作用下一般也应考虑应力集中对材料承载能力的影响。然而，对于组织不均匀的脆性材料，如铸铁，其内部组织的不均匀性和缺陷，往往是产生应力集中的主要因素，而截面形状改变引起的应力集中就可能成为次要的了，它对构件承载能力不一定会造成明显的影响。 要想搞明白这个问题，我想先要搞明白什么是荷载力、什么是应力？简单地来说荷载力来源于动力源作用于工作终端，其力的大小为工作终端负荷加传动损耗，而应力则是由材料内部的分子发生错位（部分分子受拉力或热力作用其分子链被拉长、而有些分子则受压缩力或冷凝力的作用其分子被压缩，同时这两种变形的分子又相互作用在其过渡区域就会受两种作用力的影响，分子链也会受到破坏产生裂纹）而产生的作用力。人们在生产实践中发现材料在受力情况下都会发生变形，其变形量与受力的大小及受力的区城大小有关，卸载后的剩余应力与局剖的变形量成正比，对台阶轴而言若不加任何措施、由于作用区域小其作用力仅在轴的圆周面上产生作用，轴芯部分并不受力，这种现象本人称它为集肤效应。因此此时的轴肩处的圆周面受到剪切变形，分子链相继受到破坏并向轴芯延伸最终导至轴颈断裂。若在轴肩处采用圆弧过度等措施，相对来说增加了作用区域（两作用力之间的距离增加，材料所允许的扭转角度就变大，随着轴的扭转角度的增加使得轴芯部分有更多的分子链来参加传递动力，这样每个分子链的负荷也就变小很多，轴的寿命也得以延长，值得注意的是这并不意味着此轴可永久使用，因为材料在受力的情况下都会受损，只不过程度不同，程度大的寿命短、程度小的寿命长，这也就是人们常说的疲劳寿命。 现在再来解释过盈配合为什么在边缘处产生应力集中？ 因为是过盈，所以内外圈在接触表面都要产生变形，而不接触的其它表面不会变形。这样接触面区域是压应力，而在接触边缘处轴的材料必然出现拉应力以阻止轮毂边缘和接触区外的材料进一步变形。但配合面的母线是直线，在外力作用下必然要产生相同的变形量，为了协 应力的定义[指南] 应力的定义 当材料在外力作用下不能产生位移时，它的几何形状和尺寸将发生变化，这种形变称为应变(Strain)。材料发生形变时内部产生了大小相等但方向相反的反作用力抵抗外力，定义单位面积上的这种反作用力为应力(Stress)。或物体由于外因(受力、湿度变化等)而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力(Stress)。按照应力和应变的方向关系，可以将应力分为正应力σ 和切应力τ，正应力的方向与应变方向平行，而切应力的方向与应变垂直。按照载荷(Load)作用的形式不同，应力又可以分为拉伸压缩应力、弯曲应力和扭转应力。 应力的分类 同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。应力会随着外力的增加而增长，对于某一种材料，应力的增长是有限度的，超过这一限度，材料就要破坏。对某种材料来说，应力可能达到的这个限度称为该种材料的极限应力。极限应力值要通过材料的力学试验来测定。将测定的极限应力作适当降低，规定出材料能安全工作的应力最大值，这就是许用应力。材料要想安全使用，在使用时其内的应力应低于它的极限应力，否则材料就会在使用时发生破坏。 有些材料在工作时，其所受的外力不随时间而变化，这时其内部的应力大小不变，称为静应力;还有一些材料，其所受的外力随时间呈周期性变化，这时内部的应力也随时间呈周期性变化，称为交变应力。材料在交变应力作用下发生的破坏称为疲劳破坏。通常材料承受的交变应力远小于其静载下的强度极限时，破坏就可能发生。另外材料会由于截面尺寸改变而引起应力的局部增大，这种现象称为应力集 第6章 应力状态分析 一、选择题 1、对于图示各点应力状态，属于单向应力状态的是（A ）。 20 （MPa ） 20 d （A ）a 点；（B ）b 点；（C ）c 点；（D ）d 点 。 2、在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力αβσσ=成立的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。 （A ）,0x y xy σστ=≠；（B ）,0x y xy σστ==；（C ）,0x y xy σστ≠=；（D ）x y xy σστ==。 3、已知单元体AB 、BC 面上只作用有切应力τ，现关于AC 面上应力有下列四种答案，正确答案是（ C ）。 （A ）AC AC /2,0 ττσ==； （B ）AC AC /2,/2ττ σ==； （C ）AC AC /2,/2 ττσ==；（D ）AC AC /2,/2ττσ=-=。 4、矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ）所示。关于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。 (b) (a) （A）点1、2的应力状态是正确的；（B）点2、3的应力状态是正确的； （C）点3、4的应力状态是正确的；（D）点1、5的应力状态是正确的。 5、对于图示三种应力状态（a）、（b）、（c）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（ D ）。 τ (a) (b) (c) （A）三种应力状态均相同；（B）三种应力状态均不同； （C）（b）和（c）相同；（D）（a ）和（c）相同； 6、关于图示主应力单元体的最大切应力作用面有下列四种答案，正确答案是（ B ）。 (A) (B) (D) (C) 解答： max τ发生在 1 σ成45的斜截面上 7、广义胡克定律适用围，有下列四种答案，正确答案是（ C ）。 （A）脆性材料；（B）塑性材料； （C）材料为各向同性，且处于线弹性围；（D）任何材料； 8、三个弹性常数之间的关系：/[2(1)] G E v =+适用于（ C ）。 （A）任何材料在任何变形阶级；（B）各向同性材料在任何变形阶级； （C）各向同性材料应力在比例极限围；（D）任何材料在弹性变形围。 材料力学 第一章 a 绪论 变形固体的基本假设、内力、截面法、应力、位移、变形和应变的概念、杆件变形的基本形式 第一节 材料力学的任务与研究对象 1、 变形分为两类：外力解除后能消失的变形成为弹性变形；外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或 残余变形。 第二节 材料力学的基本假设 1、 连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。 2、 均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、 各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。 第三节 内力与外力 截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，得到分离体②对分离体建立平衡方程，求得内力 第四节 应力 1、 切应力互等定理：在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线。 胡克定律 2、 E σε=，E 为（杨氏）弹性模量 3、 G τγ=，剪切胡克定律，G 为切变模量 第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能 轴力和轴力图、直杆横截面上的应力和强度条件、斜截面上的应力、拉伸和压缩时杆件的变形、虎克定律、横向变形系数、应力集中 第一节 拉压杆的内力、应力分析 1、 拉压杆受力的平面假设：横截面仍保持为平面，且仍垂直于杆件轴线。即，横截面上没有切应变，正应 变沿横截面均匀分布N F A σ= 2、 材料力学应力分析的基本方法：①几何方程：const ε=即变形关系②物理方程：E σε=即应力应变 关系③静力学方程：N A F σ?=即内力构成关系 3、 N F A σ= 适用范围：①等截面直杆受轴向载荷（一般也适用于锥角小于5度的变截面杆）②若轴向载荷沿横截面非均匀分布，则所取截面应远离载荷作用区域 4、 圣维南原理（局部效应原理）：力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的 轴向范围约离杆端1—2个杆的横向尺寸 5、 拉压杆斜截面上的应力：0c o s /c o s N N F F p A A αασαα= ==；2 0cos cos p αασασα==， sin sin 22 p αασταα==；0o α=， max 0σσ=；45o α=，0 max 2 στ= 第二节 材料拉伸时的力学性能 1、 材料拉伸时经过的四个阶段：线弹性阶段，屈服阶段，硬化阶段，缩颈阶段 2、 线（弹）性阶段：E σε=；变形很小，弹性；p σ为比例极限，e σ为弹 性极限 3、 屈服阶段：应力几乎不变，变形急剧增大，含弹性、塑性形变；现象是出 α p α α τα 8 应力状态与应变状态分析 1、应力状态的概念， 2、平面应力状态下的应力分析， 3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。 （1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为: 321σσσ≥≥ 最大切应力为 13 2 max σστ-= （2）任斜截面上的应力 α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += α τασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= （3) 主应力的大小 2 2min max )2 ( 2 xy y x y x τσσσσσ+-±+= 主平面的方位 y x xy tg σστα--= 220 4、主应变 12 2122x y x y xy xy x y ()()tg εεεεεεγγ?εε? = +±-+? = - 5、广义胡克定律 )]([1 z y x x E σσμσε+-= )] ( [ 1 x z y y E σ σ μ σ ε+ - = )] ( [ 1 y x z z E σ σ μ σ ε+ - = G zx zx τ γ= G yz yz τ γ= ，G xy xy τ γ= 6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。” 8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。 图8.1 [解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力: A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为： z M y I σ= b I QS z z * = τ 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。 8.2图8.2(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。 解题范例 应力状态和强度理论 一、判断题 1.若单元体某一截面上的剪应力为零，则该截面称为主平面。（） 2.主平面上的剪应力称为主应力。（） 3.当单元体上只有一个主应力不为零时，称作二向应力状态。（） 5.图2所示单元体最大剪应力为25Mpa。（） 6.图3所示单元体为单向应力状态。（） 图2图3图4 7. 向应力状态如图4所示，其最大主应力σ1=3σ（）。 8. 任一单元体，在最大正应力作用面上，剪应力为零。（） 9. 主应力是指剪力为零的截面上的正应力。（） 10.力圆上任一点的横坐标值对应单元体某一截面上的正应力。（） 二、选择题 1.图1所示应力圆对应的单元体为图（）。 图5 三、选择题 1.若一点的应力状态为平面应力状态，那么该点的主应力不可能为：（）。 A 、σ1> 0 σ2=σ3=0 B、σ1> 0 σ2 =0 σ3 < 0 C、σ1>σ2>0 σ3=0 D、σ1>σ2>σ3>0 ２.已知单元体各面上的应力如图，则其主平面方位为（）。 A、B、 C、D、 四、填空题 １.图示为一平面应力状态的单元体及其应力圆，试在应力圆上表示０－１，０－２，０－３平面的位置。 图6 2.试验表明，材料受力后的破坏主要有两种形式，一种是，是由于或所引起；另一种是，是由于所引起的。 3.一单元体如图所示，则单元体的主应力为__________ ，为 __________ ，为__________ ，最大主应力与x 轴的夹角为__________ 。 五、简单计算 1.单元体上的应力如图7所示，试求其它应力和最大剪应力。 2.图8所示单元体，试求图示斜截面上的正应力和剪应力。 图7图8 3.试求图示单元体o斜截面应力。已知：。 图9 第七章 应力状态和强度理论习题 一、单项选择题 1、第三强度理论和第四强度理论适合于何种材料？ A 、塑性材料， B 、脆性材料 C 、金属材料， D 、非金属材料 2、第一强度理论和第二强度理论适合于何种材料？ A 、塑性材料， B 、脆性材料， C 、金属材料， D 、非金属材料。 二、 填空题 1、 对于单元体，切应力等于零的平面叫做 ，该平面上的正应力叫做 。 2、第一、二强度理论适合于 材料；第三、四强度理论适合于 材料。 3、第三强度理论的相当应力为 。 4、单元体上只有一对主应力数值不等于零的应力状态称为 应力状态。 5、单元体上只有二对主应力数值不等于零的应力状态称为 应力状态。 6、单元体上三对主应力数值都不等于零的应力状态称为 应力状态。 三、填空题 1、求图示单元体的三个主应力和最大切应力 （图中应力单位：Mpa ）。 答：单元体的三个主应力和最大切应力分别为： σ1= Mpa, σ2= Mpa, σ3= Mpa, τmax = Mpa 。 2、求图示单元体的三个主应力和最大切应力 （图中应力单位：Mpa ）。 答：单元体的三个主应力和最大切应力分别为： σ1= Mpa, σ2= Mpa, 图 7.3.1 图 7.3.2 σ3= Mpa, τmax = Mpa 。 3、已知应力状态如图所示，应力单位为MPa 试求：（1）主应力大小；（2）最大切应力。 4、已知应力状态如图所示，应力单位为MPa 。 试求：（1）主应力大小；（2）最大切应力。 1、A 2、B 二、填空题 1、主平面 主应力 2、 脆性 塑性 3 、r313s s s =- 4、单向 5、二向 6、三向 二、填空题 1、 2、 3、解： （1）应力分量 50020x y x MPa MPa σστ===- max min 57.0507.022x y MPa MPa σσσσ+??===??-?? MPa MPa 0.70 0.57321-===∴σσσ （2）最大剪应力 MPa 0.3220 .70.572 3 1max =+= -= σστ 第10章 应力状态与强度理论 及其工程应用 10.1 概述 10.1.1 应力状态的基本概念 轴向拉伸或压缩杆： 横截面 1 P F A σ= 1A 横截面面积 斜截面 2 cos sin 22 x x θθσσθστθ? =??= ?? 即用不同方位的截面截取，任意点A 的应力是不同的。 受扭圆轴： 横截面 x P M I τρ= 斜截面 s i n2 α στα =-c o s2 α ττα = 即， A点的应力大小和方向随截面的方位不同而不同。 应力状态：构件受力后，通过一个点的所有截面上的应力情况的总体，称为该点的应力状态。 对于受力构件有必要研究其一点的应力状态。 研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。 10.1.2 应力状态分析的基本方法 研究一点的应力状态时，往往围绕所考察的点取一微小正六面体------ 单元体。 单元体：微小的立方体， dx dy dz 、、为无限小，其侧面上的应力可 看作是均匀分布的，立方体的两相对侧面的应力可看成是大小相等，方向相反。 在单元体各面上标上应力——应力单元体。 根据一点的应力状态中各应力在空间的不同位置，可以将 ?? ? 空间应力状态 应力状态平面应力状态 空间应力状态：所有面上均有应力作用的应力状态。 平面应力状态：所有应力作用线都处于同一平面内的应力状态（有一对面上总是没有应力）。 ?? ? 单向应力状态 平面应力状态纯剪切应力状态 单向应力状态：只受一个方向的正应力作用的应力状态。 纯剪切应力状态：只受剪应力作用的应力状态。 对于平面应力状态，由于单元体有一对面上没有应力作用，所以三维单元体可以用一平面微元表示。 1.强度：抵抗破坏的能力；刚度：抵抗变形的能力；稳定性：构建抵抗失稳、维持原有 平衡状态的能力。 2.材料的三个基本假设：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设 变形的两个基本假设：小变形假设、线弹性假设 3.基本变形：轴向拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲。 4.内力：因外力作用而引起的物体内部各质点相互作用的内力的该变量，即由外力引起 的“附加内力”，简称内力。 5.应力：受力杆件在截面上各点处的内力的大小和方向（一点处分布内力的集度），来 表明内力左右在该点处的强弱程度。 6.低碳钢拉伸四个阶段：弹性阶段、屈服阶段（滑移线）、强化阶段、紧缩阶段。 7.冷作硬化：在常温下降钢材拉伸超过屈服阶段，卸载再重新加载时，比例极限提高而 塑性降低的现象（提高强度，降低塑性）。 8.应力集中：由于截面尺寸突然改变而引起的局部应力急剧增大的现象。 9.轴：工程中常把以扭转为主要变形构件。 10.扭转；杆件两端受到两个作用面垂直于杆轴线的力偶的作用，两力偶大小相等，转向 相反，使杆的各截面绕轴线做相对转动产生的变形。 11.切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，沿垂直于两面交线作用的切应力 必然成对出现，且大小相等，方向共同指向或背离该两面的交线。 12.梁：凡是以弯曲变形为主要变形的构件通常称为梁。 13.弯曲：在一对转向相反，作用在杆的纵向平面内的外力偶作用下，直杆将在该轴向平 面内发生弯曲，变形后的杆轴线将弯成曲线，这种变形形式称为弯曲。 14.叠加原理：几个外力共同作用所引起的某一量值（支座反力，内力，应力，变形，位移 值）等于每个外力单独作用所引起的该量量值的代数和，这是力学分析的一个普遍原理，称为叠加原理。 15.纯弯曲：平面弯曲梁的横截面上，只有弯矩，而无剪力。横力弯曲：既有弯矩又有剪 力的弯曲。 16.中性层：由于变形的连续性，纵向纤维从受压缩到受拉伸的变化之间，必然存在着一 层既不受压缩、又不受拉伸的纤维，这层纤维称为中性层。 17.挠度：用垂直于梁轴线的线位移代表横截面形心的线位移。转角：绕本身的中性轴转过 一个角度。 18.应力状态：受力构件内一点处各个不同方位截面上的应力的大小和方向情况，称为一 点出的应力状态。 19.单元体：为了研究受力构件一点处的应力状体，可围绕该点取出一微小，正六面体， 称为单元体。 20.主平面、主应力：对于受力构件内任一点，总可以找到三对相对垂直的平面，在这些 面上只有正应力而没有切应力，这些切应力为零的平面的平面称为主平面，其上正应力称为主应力。 21.截面核心：压杆横截面上只产生压应力时压力作用区域。（对于偏心受压构件，为避 免截面产生拉应力，要求偏心压力作用在横截面性心附近的某个区域内，此区域称为截面核心） 22.临界压力： 23.失稳：压杆从稳定平衡状态转化为不稳定平衡状态，这种现象称为丧失稳定性，简称 失稳。 第九章应力状态与强度理论 教学目标：了解一点的应力状态；掌握一点应力状态主应力及主平面的计算。 重点、难点：一点应力状态主应力及主平面的计算。 学时分配：4学时。 （一） 一点的应力状态 通过受力构件内一点的所有截面上的应力情况称为一点的应力状态。 （二） 一点的应力状态的表示法一一单元体 围绕所研究的点，截取一个边长为无穷小的正六面体， 用各面上的应力分量表示周围材料对 其作用。称为应力单元体。 特点： 1单元体的尺寸无限小，每个面上的应力为均匀分布。 2?单元体表示一点处的应力，故相互平行截面上的应力相同。 （三） 主平面、主应力、主单元体 主平面单元体中剪应力等于零的平面。 主应力 主平面上的正应力。 可以证明：受力构件内任一点，均存在三个互相垂直的主平面。三个主应力用 厂、（T 2 和（T 3表示，且按代数值排列即 （T l > （T 2> b 3。 主单元体 用三对互相垂直的主平面取出的单元体。 （四）应力状态的分类 根据主单元体上三个主应力中有几个是非零的数值，可将应力状态分为三类: 只有一个主应力不等于零。 有两个主应力不等于零。 三个主应力都不等于零。 1 .单向应力状态 2 .二向应力状态 3 .三向应力状态 单向应力状态又称为简单应力状态，二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。单向及二向应力状态又称为平面应力状态。 （三）平面应力状态分析法 平面应力状态通常用单元体中主应力为零的那个主平面的正投影表示如图所示。 （四）任意斜截面成 a 的应力 （T x 、（T y 、（T xy ,则与I 轴成。角的斜截面上的应力分量为 ~ 2 _ T Ky sin2vt + r xv cos2a 式中 正应力T 以拉应力为正；剪应力 T 以对单元体产生顺时针力矩者为正, 时针转向为正。 （五）主平面 主应力 主平面的方位角 a 0 主应力 考虑到单元体零应力面上的主应力为零，因此若已知一平面应力状态 a 角以逆一点应力状态概念及其表示方法
材料力学基本概念
材料力学B试题7应力状态_强度理论.docx
第7章应力状态和强度理论(答案)
应力状态分析与强度理论
知识点应力状态理论和强度理论
应力集中的分析
应力的定义[指南]
材料力学习题第六章应力状态分析答案详解
材料力学基本概念
工程力学-应力状态与应力状态分析报告
应力状态和强度理论习题及答案
第七章应力状态和强度理论习题
第10章应力状态与强度理论及其工程应用
材料力学概念整理
第九章应力状态与强度理论.