高二数学上学期开学考试试题 文1
湖北省宜昌市第一中学高一年级2016学年度秋季学期
文科数学试题
★ 祝考试顺利 ★
时间：120分钟 分值150分 第I 卷（选择题共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设R U =，{}
12>=x x A ，{}
0log 2>=x x B ，则U A C B ?=（ ）C A ．{}0 10<≤x x 2．已知等差数列{}n a 的前13项之和为134π ， 则678tan()a a a ++等于（A ） A ．-1 B C ．1 3．设4log a =π，14 log b =π，4 c =π，则a ，b ，c 的大小关系是（ D ） A ．b c a >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．b a c >> 4．已知四个命题： ①三点确定一个平面；②若点P 不在平面α内，A 、B 、C 三点都在平面α内，则P 、A 、B 、C 四点不在同一平面内；③两两相交的三条直线在同一平面内；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形。其中正确命题的个数是（ ）A A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．△ABC 中D 为BC 边的中点，已知AB →＝a ，AC →＝b ，则在下列向量中与AD → 同向的向量是( C ) A.a |a |＋b |b | B.a |a |－b |b | C.a ＋b |a ＋b | D ．|b |a ＋|a |b 6．已知函数2 ()sin(2),()2cos f x x g x x π=-=，则下列结论正确的是（ C ） A ．函数()f x 在区间[ ,]42 ππ 上为增函数 B ．函数()()y f x g x =+的最小正周期为2π C ．函数()()y f x g x =+的图像关于直线8 x π =对称 D ．将函数()f x 的图像向右平移 2 π 个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图像。 7.在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )C A ．24 B ．48 C ．60 D ．84 8.已知函数()21,x f x a b c =-<<且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，一定成立的是( )D A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ≥0，c ＞0 C ．2－a ＜2c D ．2a ＋2c ＜2 9．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果2 k A ?A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定 {}2 lg(36) S x N y x =∈=- ，设集合M由集合S中的两个元素构成，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有（）C A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10.如图是某几何体的三视图，当xy最大时，该几何体的体积为（）A A. 15π 215 12 B． π 1 12 C． 15π 15 4 D． 15π 1 4 11．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端 点）有* (1,) n n n N >∈个点，相应的图案中总的点数记为n a，则 23344520152016 9999 a a a a a a a a ++++=（）C A． 2012 2013 B． 2013 2012 C． 2014 2015D． 2014 2013 12.已知函数() f x是奇函数，当0 x<时，()2 f x x x =-+.若不等式()2log a f x x x -≤（0 a> 且1 a≠）对任意的 2 0, 2 x ?? ∈ ? ?? 恒成立，则实数a的取值范围是（）C A. 1 0, 4 ?? ? ?? B. 1 ,1 4 ?? ? ??? C. 1 0, 2 ?? ? ?? D. () 11 ,1, 42 ?? +∞ ?? ?? 第II卷（非选择题） 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 13.已知幂函数() y f x =的图像过点() 3,3,则 4 log(2) f的值为． 1 4 14.若tanα＝2，则 sinα－3cosα sinα＋cosα 的值是．－ 1 3 15.湖面结冰时，一个球漂在其上，取出后（未弄破冰），冰面上留下了一个直径为24cm，深为6cm的空穴，那么该球的半径为 cm．15 16.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是________万元．27 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）设关于x的函数2 ()lg(23) f x x x =--的定义域为集合A，函数(),(04) g x x a x =-≤≤，的值域为集合B. （1）求集合A ，B ； （2）若集合A ，B 满足A B B =,求实数a 的取值范围. 解：（1）A=2 {|230}x x x -->={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或…2分 B {|4}y a y a =-≤≤-. ..…….…...4分 （2）∵A B B =，∴B A ?．∴41a -<-或3a ->， ∴实数a 的取值范围是{a|5a >或3a <-}．….…..10分 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足356,15S S ==. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设2 n n n a a b = 求数列{}n b 的前n 项和n T . 解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为 1a ，∵356,15S S == ∴11133(31)62155(51)152 a d a d ? +??-=????+??-=??即11 223a d a d +=??+=?，解得111a d =??=? ∴{}n a 的通项公式为1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-?= （Ⅱ）由（Ⅰ）得22n n n a n a n b = =∴231 123122222n n n n n T --=+++++ ① ①式两边同乘以12，得234111********* n n n n n T +-=+++++ ② ①-②得23111111222222 n n n n T +=++++- 111111********* n n n n n n ++??- ???=-=--- ∴11222n n n n T -=-- 19．（本小题满分12分）如图所示，,A B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，(0)AOP θθπ∠=<<，C 点坐标为(2,0)-，平行四边形OAQP 的面积为S . (1)求OA OQ S ?+的最大值； (2)若//CB OP ，求sin(2)6 π θ- 的值． 解 (1)由已知，得A(1,0)，B(0,1)，P(cos θ，sin θ)，因为四边形OAQP 是平行四边形， 所以O Q →＝O A →＋O P → ＝(1,0)＋(cos θ，sin θ)＝(1＋cos θ，sin θ)． 所以O A →·O Q →＝1＋cos θ.又平行四边形OAQP 的面积为S ＝|O A →|·|O P →|sin θ＝sin θ， 所以O A →·O Q →＋S ＝1＋cos θ＋sin θ＝2sin ? ????θ＋π4＋1.又0<θ<π， 所以当θ＝π4 时，O A →·O Q → ＋S 的最大值为2＋1. (2)由题意，知C B →＝(2,1)，O P → ＝(cos θ，sin θ)，因为CB ∥OP ， 所以cos θ＝2sin θ.又0<θ<π，cos 2 θ＋sin 2 θ＝1，解得sin θ＝55，cos θ＝255 ， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝45，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2 θ＝35 . 所以sin ? ????2θ－π6＝sin 2θcos π6－cos 2θsin π6＝45×32－35×12＝43－310. 20.（本小题满分12分） 如图，在ABC ?中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D 在直线AC 上，且AD=4DC. （1）求BD 的长； （2）求sin ∠CBD 的值. （I ）解：因为∠ABC=90°，AB=4，BC=3， 所以34 cos ,sin 55 C C = =，AC=5， 又因为AD=4DC ，所以AD=4，DC=1.在△BCD 中，由余弦定理， 得2 2 2 2cos BD BC CD BC CD C =+-? 22332 3123155 =+-???=，所以410BD =.………6分 （II ）在△BCD 中，由正弦定理，得sin sin CD BD CBD C =∠， 所以410 1 54sin 5 CBD =∠， 所以10sin 10CDB ∠=.……………………12分 21.（本小题满分12分）在三棱锥P ABC -中，,F M 分别是棱,PB AC 的中点，E 为PC 上一动点. (1) 若//AF 平面MEB ，试确定点E 的位置，并证明你的结论. (2)在满足（1）的条件下，求三棱锥C MEB -与三棱锥C PAB -的体积比. 解：（1）E 为PC 上靠近C 的三等分点； （2）1 6 22.（本小题满分12分）已知函数2 (1)() ()x x a f x x ++=为偶函数． (1)求实数a 的值； (2)记集合{} {} (),1,1,2E y y f x x ==∈-， 21lg 2lg 2lg5lg54 λ=+?+-，判断λ与E 的关系； (3)当11,(0,0)x m n m n ?? ∈>>? ?? ?时，若函数f (x )的值域为[2－3m,2－3n ]，求实数m ，n 的 值． 解析 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )．∴x ＋1 x ＋a x 2 ＝ －x ＋1 －x ＋a x 2 . ∴2(a ＋1)x ＝0，∵x ∈R 且x ≠0，∴a ＝－1. (2)由(1)可知：f (x )＝x 2－1x 2，当x ＝±1时，f (x )＝0；当x ＝2时，f (x )＝34，∴E ＝{0，3 4 }． ∵λ＝lg 2 2＋lg2lg5＋lg5－14＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5－14＝lg2＋lg5－14＝lg10－14＝34，∴λ ∈E . (3)∵f (x )＝x 2－1x 2＝1－1x 2，x ∈[1m ，1n ]，∴f (x )在[1m ，1 n ]上单调递增． ∴????? f 1 m ＝2－3m ，f 1 n ＝2－3n ， ∴? ???? 1－m 2 ＝2－3m ， 1－n 2 ＝2－3n . ∴m ，n 为x 2 －3x ＋1＝0的两个根．又由题意可知：1m <1n ，且m >0，n >0，∴m >n . ∴m ＝3＋52，n ＝3－52 .