特殊平行四边形难题综合训练(含答案)
第五章 特殊平行四边形难题综合训练
1、正方形ABCD ,正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示,点G 在线段DK 上,且G 为BC 的三等分点,R 为EF 中点,正方形BEFG 的边长为4,则△DEK 的面积为( ) A .10
B .12
C .14
D .16
2、如图,在正方形ABCD 内有一折线段,其中AE ⊥EF ,EF ⊥FC ,并且AE =6,EF =8,FC =10,则正方形的边长为 .
第1题 第2题 第3题 第4题 3、如图,平面内4条直线l 1、l 2、l 3、l 4是一组平行线,相邻2条平行线的距离都是1个单位长度,正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平行线上,其中点A 、C 分别在直线l 1、l 4上,该正方形的面积是 平方单位. 4、如图,在菱形ABCD 中,边长为10,∠A =60°.顺次连结菱形 ABCD 各边中点,可得四边形A 1B 1C 1D 1;顺次连结四边形 A 1B 1C 1D 1各边中点,可得四边形A 2B 2C 2D 2;顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点,可得四边形A 3B 3C 3D 3;按此规律继续下去…….则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是 ;四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是 . 5、如图,四边形ABCD 是矩形,点E 在线段CB 的延长线上,连接DE 交AB 于点F ,∠AED =2∠CED ,点G 是DF 的中点,若BE =1,AG =4,则AB 的长为 .
6、如图,四边形ABCD 中,AB =BC ,∠ABC =∠CDA =90°,BE ⊥AD 于点E ,且四边形ABCD 的面积为8,则BE =( ) A .2 B .3 C .22 D .32
第5题 第6题 第7题 第8题
7、如图,菱形OABC 的顶点O 在坐标原点,顶点A 在x 轴上,∠B =120°,OA =2,将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA ′B ′C ′的位置,则点B ′的坐标为( )
A 、(2,2-)
B 、(2,2-)
C 、(3,3-)
D 、(2,2--)
8、如图,正方形ABCD 中,AB =3,点E 在边CD 上,且CD =3DE .将△ADE 沿AE 对折至△AFE ,延长EF 交边BC 于
A .①②
B .①③
C .②③
D .①②③ 9、如图,在正方形ABCD 中,点O 为对角线AC 的中点,过点0作射线OM 、ON 分别交AB 、BC 于点
E 、
F ,且∠EOF =90°,BO 、EF 交于点P .则下列结论中:(1)图形中全等的三角形只有两对;(2)正方形ABCD 的面积等于四边形OEBF 面积的4倍;(3)BE +BF =20A ;(4)AE 2+CF 2=20POB .正确的结论有( )个. A .1
B .2
C .3
D .4
10、如图,在矩形ABCD 中,由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置,则矩形ABCD 的周长为 .
11、在边长为6的菱形ABCD 中,动点M 从点A 出发,沿A →B →C 向终点C 运动,连接DM 交AC 于点N .
(1)如图11-1,当点M 在AB 边上时,连接BN .求证:ABN ADN △≌△;
(2)如图11-2,若∠ABC = 90°,记点M 运动所经过的路程为x (6≤x ≤12).试问:x 为何值时,△ADN 为等腰三角形.
12、如图所示,正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上,连接BE DG ,. (1)求证:BE DG .
(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形若存在,说出旋转过程;若不存在,请说明理由. C
M
B
N
A
D
(图11-2)
C
B M A
N
D
(图11-1)
13、请阅读,完成证明和填空.
数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果,内容如下:
(1)如图13-1,正三角形ABC 中,在AB AC 、边上分别取点M N 、,使BM AN =,连接BN CM 、,发现BN CM =,且60NOC ∠=°.请证明:60NOC ∠=°.
(2)如图13-2,正方形ABCD 中,在AB BC 、边上分别取点M N 、,使AM BN =,连接AN DM 、,那么AN = ,且DON ∠= 度.
(3)如图13-3,正五边形ABCDE 中,在AB BC 、边上分别取点M N 、,使AM BN =,连接AN EM 、,那么AN = ,且EON ∠= 度.
(4)在正n 边形中,对相邻的三边实施同样的操作过程,也会有类似的结论.
请大胆猜测,用一句话概括你的发现: . 14、ABC △是等边三角形,点D 是射线BC 上的一个动点(点D 不与点B C 、重合),ADE △是以AD 为边的等边三角形,过点E 作BC 的平行线,分别交射线AB AC 、于点F G 、,连接BE . (1)如图(a )所示,当点D 在线段BC 上时.
A A A B
B
B C
C
C D
D
O O
O
M M M N
N
N E
图13-1
图13-2
图13-3
…
(3)在(2)的情况下,当点D 运动到什么位置时,四边形BCGE 是菱形并说明理由.
15、如图,ABC △中,点O 是边AC 上一个动点,过O 作直线MN BC ∥,设MN 交BCA ∠的平分线于点E ,交BCA ∠的外角平分线于点F .
(1)探究:线段OE 与OF 的数量关系并加以证明;
(2)当点O 在边AC 上运动时,四边形BCFE 会是菱形吗若是,请证明,若不是,则说明理由; (3)当点O 运动到何处,且ABC △满足什么条件时,四边形AECF 是正方形
16、如图,已知直线128
:33
l y x =
+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12,、分别交x 轴于A B 、两点.矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上,顶点F G 、都在x 轴上,且点G 与点B 重合.
(1)求ABC △的面积;
A
G C
D B
F E 图(a )
A
D
C
B
F
E
G
图(b )
A
F N D
C B M E
O
17、在ABC △中,2120AB BC ABC ==∠=,°,
将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC A B 111△,交AC 于点E ,11A C 分别交AC BC 、于D F 、两点.
(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段1EA 与FC 有怎样的数量关系并证明你的结论; (2)如图2,当α30=°时,试判断四边形1BC DA 的形状,并说明理由
18、在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,56AB AC ==,.过点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E .
(1)求BDE △的周长;
(2)点P 为线段BC 上的点,连接PO 并延长交AD 于点Q .求证:BP DQ =.
A
D
B
E
C
F 1A
1C
A
D
B
E
C
F 1
A 1C
19、如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC在第一象限内,E是边OB上的动点(不包括端点),作∠AEF = 90,
使EF交矩形的外角平分线BF于点F,设C(m,n).
(1)若m = n时,如图,求证:EF = AE;
(2)若m≠n时,如图,试问边OB上是否还存在点E,使得EF = AE若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若m = tn(t>1)时,试探究点E在边OB 的何处时,使得EF =(t + 1)AE成立并求出点E的坐标.
20、如图,将正方形沿图中虚线(其中x<y)剪成①②③④四块图形,用这四块图形恰.
能拼成一个
.....矩形(非正方形).
(1)画出拼成的矩形的简图;
(2)求x
的值.
A Q D
E
B P C
O
x
O E B
A
y
C
F
x
O E B
A
y
C
F
x
O E B
A
y
C
F
21、如图所示,在矩形ABCD 中,1220AB AC ==,,两条对角线相交于点O .以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形1OBB C ;对角线相交于点1A ;再以11A B 、1A C 为邻边作第2个平行四边形111A B C C ,对角线相交于点1O ;再以11O B 、11O C 为邻边作第3个平行四边形1121O B B C ……依次类推. (1)求矩形ABCD 的面积;
(2)求第1个平行四边形11OBB C 、第2个平行四边形111A B C C 和第6个平行四边形的面积.
22、如图(22),直线l 的解析式为4y x =-+,它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点.平行于直线l 的直线m 从原点O 出发,沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动,它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点,设运动时间为t 秒(04t <≤). (1)求A B 、两点的坐标;
(2)用含t 的代数式表示MON △的面积1S ;
A 1 A 2
B 2
C 2
C 1 B 1
O 1 D
A
B
C O
①当2t ≤4时,试探究2S 与t 之间的函数关系式;
②在直线m 的运动过程中,当t 为何值时,2S 为OAB △面积的516
23、如图15,在四边形ABCD 中,E 为AB 上一点,△ADE 和△BCE 都是等边三角形,AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ,试判断四边形PQMN 为怎样的四边形,并证明你的结论. O
M
A
P N y l m
x B
O M
A
P N y l m
x
B
E P
F 图22
24、数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 的中点.90AEF ∠=,且EF
交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ,求证:AE =EF .
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB 的中点M ,连接ME ,则AM =EC ,易证AME ECF △≌△,所以AE EF =.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上(除B ,C 外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE =EF ”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图3,点E 是BC 的延长线上(除C 点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE =EF ”仍然成立.你认为小华的观点正确吗如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
25、如图,ABCD 是正方形,点G 是BC 上的任意一点,DE AG ⊥于E ,BF DE ∥,交AG 于F .求证:AF BF EF =+. A
D
F C
G
E B
图1 A
D
F C G
E B 图2 A
D
F
C G
E B
图3
D
C
B
A E
F G
参考答案
1、D
2、104
3、5或9
4、20
1005
2
3
55 5、15 6、C 7、A 8、B 9、C 10、58
11、(1)证明:∵四边形ABCD 是菱形∴AB = AD ,∠1 =∠2又∵AN = AN ∴△ABN ≌ △ADN (2)解:∵∠ABC =90°,∴菱形ABCD 是正方形此时,∠CAD =45°. 下面分三种情形:
Ⅰ)若ND =NA ,则∠ADN =∠NAD =45°.此时,点M 恰好与点B 重合,得x =6;
∴∠3=∠4,从而CM =CN ,易求AC =62,∴CM =CN =AC -AN =62-6, 故x = 12-CM =12-(62-6)=18-62
综上所述:当x = 6或12 或18-62时,△ADN 是等腰三角形
12、(1)因为ABCD 是正方形,所以BC =CD 。又因为ECGF 是正方形,所以EC =CG 。
所以三角形BCE 和三角形DCG 全等(HL )。所以BE =DG (全等三角形的对应边相等) (2)存在。以点C 为旋转中心逆时针旋转90度
13、(1)证明:∵ABC △是正三角形,∴60A ABC AB BC ∠=∠==°,,
在ABN △和BCM △中,AB BC
A ABC AN BM =??
∠=∠??=?
∴ABN BCM △≌△.
∴ABN BCM ∠=∠.又∵60ABN OBC ∠+∠=°,∴60BCM OBC ∠+∠=°,∴60NOC ∠=°. 注:学生可以有其它正确的等价证明.
(2)在正方形中,90AN DM DON =∠=,°. (3)在正五边形中,108AN EM EON =∠=,°. (4)以上所求的角恰好等于正n 边形的内角
(2)180n n
-°
14、(1)①证明:∵ABC △和ADE △都是等边三角形, ∴60AE AD AB AC EAD BAC ==∠=∠=,,°.
又∵EAB EAD BAD ∠=∠-∠,DAC BAC BAD ∠=∠-∠,∴EAB DAC ∠=∠, ∴AEB ADC △≌△.
②法一:由①得AEB ADC △≌△,∴60ABE C ∠=∠=°.又∵60BAC C ∠=∠=°, ∴ABE BAC ∠=∠,∴EB GC ∥.又∵EG BC ∥,∴四边形BCGE 是平行四边形. 法二:证出AEG ADB △≌△,得EG AB BC ==.由①得AEB ADC △≌△. 得BE CG =.∴四边形BCGE 是平行四边形. (2)①②都成立.
(3)当CD CB =(2BD CD =或1
2
CD BD =
或30CAD ∠=°或90BAD ∠=°或30ADC ∠=°)时,四边形BCGE 是菱形.
理由:法一:由①得AEB ADC △≌△,∴BE CD =分又∵CD CB =,∴BE CB =. 由②得四边形BCGE 是平行四边形,∴四边形BCGE 是菱形.
法二:由①得AEB ADC △≌△,∴BE CD =.又∵四边形BCGE 是菱形, ∴BE CB =∴CD CB =.
∴6060FBE BAC F ABC ∠=∠=∠=∠=°,°∴60F FBE ∠=∠=°,∴BEF △是等边三角形.
又∵AB BC =,四边形BCGE 是菱形,∴AB BE BF ==,∴AE FG ⊥∴30EAG ∠=°,∵60EAD ∠=°, ∴30CAD ∠=°. 15、(1)OE OF =.
其证明如下:∵CE 是ACB ∠的平分线,12∴∠=∠.∵MN BC ∥,∴13∠=∠. ∴23∠=∠.∴OE OC =.同理可证OC OF =.∴OE OF =.
(2)四边形BCFE 不可能是菱形,若BCFE 为菱形,则BF EC ⊥,而由(1)可知FC EC ⊥,在平面内过同一点F 不可能有两条直线同垂直于一条直线.
(3)当点O 运动到AC 中点时,OE OF =,OA OC =,则四边形AECF
为,要使AECF 为正方形,必须
使EF AC ⊥.
∵EF BC ∥,∴AC BC ⊥,∴ABC △是以ACB ∠为直角的直角三角形,
∴当点O 为AC 中点且ABC △是以ACB ∠为直角的直角三角形时,四边形AECF 是正方形. 16、(1)解:由
28
033
x +=,
得4x A =-∴.点坐标为()40-,. 由2160x -+=,得8x B =∴.点坐标为()80,.
∴()8412AB =--=. 由2833216y x y x ?
=+???=-+?
,
.解得56x y =??
=?,.∴C 点的坐标为()56,. ∴11
1263622
ABC C S AB y =
=??=△·.
(2)解:∵点D 在1l 上且28
88833
D B D x x y ==∴=
?+=,.
∴D 点坐标为()88,. 又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=,..∴E 点坐标为()48,.
∴8448OE EF =-==,.
17、(1)1EA FC =.
证明:(证法一)
AB BC A C =∴∠=∠,.
由旋转可知,111AB BC A C ABE C BF =∠=∠∠=∠,,,∴ABE C BF 1△≌△. ∴BE BF =,又1BA BC =,∴1BA BE BC BF -=-.即1EA FC =.
(证法二)
AB BC A C =∴∠=∠,.
由旋转可知,11A C A B CB ∠=∠,=,而1EBC FBA ∠=∠,∴1A BF CBE △≌△. ∴BE BF =,∴1BA BE BC BF -=-,即1EA FC =.
证明:
111130A ABA AC AB ∠=∠=∴°,∥,
同理AC BC 1∥. ∴四边形1BC DA 是平行四边形. 又
1AB BC =,∴四边形1BC DA 是菱形.
18、(1)因为四边形ABCD 为菱形,所以BE AD AC DE ∥,∥,故四边形ABCD 为平行四边形, 则有5AB AD BC CE ====,所以10BE BC CE =+=,
6AC DE ==,又6
113522OA AC AB OA ??
==== ???
,,垂直于OB ,
所以在Rt ABC △中有222AB OB OA =+,所以1
482
OB BD BD ===,, 故三角形BDE 的周长为861024BD DE BE ++=++= (2)因为四边形ABCD 为菱形,
所以OB OD BE AD =,∥,则DBC ∠=DOQ ∠又BOP DOQ ∠=∠,所以BOP △全等于DOQ △ 故有BP DQ =
19、(1)由题意得m = n 时,AOBC 是正方形.
如图,在OA 上取点C ,使AG = BE ,则OG = OE . ∴ ∠EGO = 45,从而 ∠AGE = 135.
由BF 是外角平分线,得 ∠EBF = 135,∴ ∠AGE =∠EBF . ∵ ∠AEF = 90,∴ ∠FEB +∠AEO = 90. 在Rt △AEO 中,∵ ∠EAO +∠AEO = 90, ∴ ∠EAO =∠FEB ,∴ △AGE ≌△EBF ,EF = AE .
(2)假设存在点E ,使EF = AE .设E (a ,0).作FH ⊥x 轴于H ,如图. 由(1)知∠EAO =∠FEH ,于是Rt △AOE ≌Rt △EHF . ∴ FH = OE ,EH = OA .
∴ 点F 的纵坐标为a ,即 FH = a .
由BF 是外角平分线,知∠FBH = 45,∴ BH = FH = a . 又由C (m ,n )有OB = m ,∴ BE = OB -OE = m -a , ∴ EH = m -a + a = m .
又EH = OA = n , ∴ m = n ,这与已知m ≠n 相矛盾. 因此在边OB 上不存在点E ,使EF = AE 成立.
(3)如(2)图,设E (a ,0),FH = h ,则EH = OH -OE = h + m -a .
且
FH OE EH AO =,即h
a
a m h n =-+,
整理得 nh = ah + am -a 2,∴ a
n a m a a n a am h --=--=)
(2
.
把h =(t + 1)a 代入得
a t a
n a m a )1()
(+=--,
即 m -a =(t + 1)(n -a ).
而 m = tn ,因此 tn -a =(t + 1)(n -a ). 化简得 ta = n ,解得t
n a =. ∵ t >1, ∴
t
n
<n <m ,故E 在OB 边上. ∴当E 在OB 边上且离原点距离为t n 处时满足条件,此时E (t
n
,0).
20、(1)
(2)解法一:由拼图前后的面积相等得:2)(])[(y x y y y x +=++
因为y ≠0,整理得:01)(2=-+y
x y x 解得:2
1
5-=
y x
(负值不合题意,舍去) 解法二:由拼成的矩形可知:y
x
y y x y x =+++)(
以下同解法一.
21、(1)在Rt ABC △中,
2222201216BC AC AB --=,
1216192ABCD S AB BC ==?=矩形·.
(2)
矩形ABCD ,对角线相交于点O ,
4ABCD OBC S S ∴=△,四边形1OBB C 是平行四边形,11OB CB OC BB ∴∥,∥, 11OBC B CB OCB B BC ∴∠=∠∠=∠,,又BC CB =,1OBC B CB ∴△≌△,
112962OBB C OBC ABCD S S S ∴==
=△, 同理,1111111
48222
A B C C OBB C ABCD S S S ==??=, 第6个平行四边形的面积为61
32
ABCD S =.
H x
O E
B A
y
C
F
(2)1OM OA MN AB ON OB ∴
==∥,,2111
22
OM ON t S OM ON t ∴==∴==,·; (3)①当24t <≤时,易知点P 在OAB △的外面,则点P 的坐标为()t t ,,
F 点的坐标满足4x t y t =??
=-+?,
,
即(4)F t t -,, 同理(4)E t t -,,则24PF PE t t t ==-=-(4-), 所以2MPN PEF OMN PEF S S S S S =-=-△△△△
2221111324248822222
t PE PF t t t t t =-=---=-+-·()(); ②当02t <≤时,22211515
44221622
S t t ==???=,,
解得125052t t =-<=>,,两个都不合题意,舍去;
当24t <≤时,223
5882
2S t t =-+-=,解得347
33
t t ==,, 综上得,当73t =或3t =时,2S 为OAB △的面积的5
16
.
23、如图,连结AC 、BD .
∵ PQ 为△ABC 的中位线,∴ PQ 2
1
AC . 同理 MN
2
1
AC .∴ MN PQ ,
∴ 四边形PQMN 为平行四边形.在△AEC 和△DEB 中,
AE =DE ,EC =EB ,∠AED =60°=∠CEB ,即 ∠AEC =∠DEB .∴ △AEC ≌△DEB .∴ AC =BD . ∴ PQ =
21AC =2
1
BD =PN ,∴ □PQMN 为菱形. 24、(1)正确.
证明:在AB 上取一点M ,使AM EC =,连接ME .
BM BE ∴=.45BME ∴∠=°,135AME ∴∠=°.
CF 是外角平分线,
45DCF ∴∠=°,135ECF ∴∠=°.AME ECF ∴∠=∠.
90AEB BAE ∠+∠=°,90AEB CEF ∠+∠=°,∴BAE CEF ∠=∠. AME BCF ∴△≌△(ASA ). AE EF ∴=.
(2)正确.
证明:在BA 的延长线上取一点N . A
D
F
C G
E B
N A D
F C G
E
B
M
DAE BEA ∴∠=∠.NAE CEF ∴∠=∠.ANE ECF ∴
△≌△(ASA ).AE EF ∴=. 25
、
ABCD 是正方形,
90AD AB BAD ∴=∠=,°. DE AG ⊥,
90DEG AED ∴∠=∠=°. 90ADE DAE ∴∠+∠=°.
又
90BAF DAE BAD ∠+∠=∠=°,
ADE BAF ∴∠=∠. BF DE ∥,
AFB DEG AED ∴∠=∠=∠.
在ABF △与DAE △中,AFB AED
ADE BAF AD AB ∠=∠??
∠=∠??=?
,
(AAS)ABF DAE ∴△≌△.
BF AE ∴=. AF AE EF =+, AF BF EF ∴=+.