几何与代数历年真题版
01-02学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一（30%）填空题：
1． 设(1,2)α=，(1,1)β=-，则T
αβ= ；T
αβ== ； 100
()
T
αβ= ；
2． 设矩阵120031130A ?? ?= ? ???，234056007B ?? ?
= ? ???
，则行列式1AB -= ；
3． 若向量组123,,ααα线性无关，则当参数k 时，122331,,k αααααα---也线性无关；
4． 矩阵11110
11100110001A ?? ?
?
= ?
???的伴随矩阵*A =?
?
?
? ?
??
?
； 5． 设矩阵A 及A E +均可逆，则1
()G E A E -=-+，且1
G
-= ；
6． 与向量(1,0,1)α=，(1,1,1)β=均正交的单位向量为 ；
7． 四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为 ；
8． 设实二次型222
12312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++，则当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是椭
球面；当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是柱面。
二（8%）记1π为由曲线23
z y x ?=-?=?绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的
交线为准线，母线平行于z -轴的柱面。试给出曲面12ππ及的方程，并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）
。 三（8%）求经过直线22
21x y z x y z +-=??-+-=?
且与x y -平面垂直的平面方程.
四（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解，其中，
311101010,321003A B ??
-?? ?
== ? ?-?? ?
??
.
五（12%）设线性方程组
12341234234
1234
03552
232(3)1
x x x x x x x x x px x q x x x p x +
++=
??+++=??
-+-=??++++=-?
1． 问：当参数,p q 满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解。
六（12%）设矩阵11113120132A k ?? ?
=- ? ?--??
，已知()2A =秩。
1． 求参数k 的值；
2． 求一42,,()2;B AB O B ?==矩阵使得且秩
3． 问：是否存在秩大于2的矩阵M 使得O AM =？为什么？ 七（12%）设实对称矩阵
001100.1001A k B l ????
? ?== ? ? ? ?????与相似
1． 求参数,k l 的值；
2． 求一正交阵,.T
Q Q AQ B =使得
八（6%）已知n 阶方阵A 相似于对角阵，并且，A 的特征向量均是矩阵B 的特征向量。证明：AB BA =。
02-03学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一． 填空题、单选题（每小题３分，共３６分）
1．[]2002
105132????????-=??
??????????
?? ? ? ? ??
?
； 2．1230110002-?? ?
= ? ?
??
?? ?
? ? ??
?
； 3．若A 是正交矩阵，则行列式3T A A = ；
4．空间四点(1,1,1)A ，(2,3,4)B ，(1,2,)C k ，(1,4,9)D -共面的充要条件是k = ； 5．点(2,1,1)P -到直线11:221x y z l -+==- 的距离为 ；
6．若４阶方阵A 的秩为２，则伴随矩阵A *
的秩为 ；
7．若可逆矩阵P 使AP PB =，1203B -??
=
???
，则方阵A 的特征多项式为 ；
8．若３阶方阵A 使,2,3I A I A A I --+都不可逆，则A 与对角阵 相似（其中，I 是３阶单位阵）；
9．若0111
120A x y ??
?
= ? ?-??
与对角阵相合，则(,)x y = ； 10．设()1234,,,A A A A A =，其中列向量124,,A
A A 线性无关，31242A A A A =-+，则齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系是 ；
11．设,A B 都是３阶方阵，AB O =，()()2r A r B -=，则()()r A r B +=（ ） （Ａ）5； （Ｂ）4； （Ｃ）3； （Ｄ）2
12．设n 阶矩阵A 满足2
2A A =，则以下结论中未必成立的是（ ）
（Ａ）A I -可逆，且1
()A I A I --=-；
（Ｂ）A O =或2A I =；
（Ｃ）若2不是A 的特征值，则A O =；
（Ｄ）0A =或2A I =。 二． 计算题（每小题8分，共24分）
13．
20
1511011231
30
1
2
-
14．求直线211
:212
x y z l --+==
在平面:210x y z π+-+= 上的垂直投影直线方程． 15．设XA AB X =+，其中102020101A ?? ?= ? ?-??，101B -??
?
= ? ???
，求99X ．
三． 计算题、解答题（三小题共３２分） 16．设向量组
12311222115,,,101302a b αααβ????????
? ? ? ? ? ? ? ?==== ? ? ? ?-- ? ? ? ?????????
123(,,)V L ααα=是123,,ααα生成的空间．已知()2V =维，V β∈．
（１） 求,a b ；
（２） 求V 的一个基，并求β在此基下的坐标； （３） 求V 的一个标准正交基． 17．用正交变换化简二次曲面方程
22121213234221x x x x x x x x +---=
求出正交变换和标准形）并指出曲面类型．
18．设D 为由yoz 平面中的直线0z =，直线,(0)z y y =≥及抛物线2
2y z +=围成的平面区域．将D
绕y 轴旋转一周得旋转体Ω．（１）画出平面区域D 的图形；（２）分别写出围成Ω的两块曲面12,S S 的方程；（３）求12,S S 的交线l 在zox 平面上的投影曲线C 的方程；（４）画出12,S S 和l ，C 的图形．
四． 证明题、解答题（每小题４分，共８分）
19．设η是线性方程组Ax b =的一个解，0b ≠，12,ξξ是导出组0Ax =的基础解系．证明：
12,,ηξηξη++线性无关．
20．设α是３维非零实列向量，α=T
=．（１）求A的秩；（２）求A的全部特征值；
Aαα
（３）问A是否与对角阵相似？（４）求3
-．
I A
0３-0４学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一． （24%）填空题
1．若向量i a j k α=+-u r
r r r ，bi j k β=++u r r r r
，k =γ共面，则参数b a ,满足 .
2．过点)1,2,1(P 且包含x 轴的平面方程为 .
3．已知矩阵A 满足O I A A =-+322
，则A 的逆矩阵1
-A = .
4．设矩阵120031130A ??
?= ?
?
??
，234056007B ?? ?= ? ???，则行列式
=-12B A .
5．设向量组1231312,2,311k ααα?????? ? ? ?=== ? ? ?
?
? ?-??
??
??
，则当k 时，123,,ααα线性相关.
6．向量空间2R 中向量)3,2(=η在2R 的基)1,1(=α，)1,0(=β下的坐标为 .
7．满足下述三个条件的一个向量组为 ，这三个条件是：①它是线性无关的；②其中的每个向
量均与向量()121=α正交；③凡与α正交的向量均可由它们线性表示.
8．已知22?矩阵?
??
? ??=d b c a A ，若对任意2维列向量η有0=ηηA T ，则d c b a ,,,满足条件 . 二．（12%）假设矩阵B A ,满足AB B A =-，其中???
?
?
??---=021021020A .求B .
三．（15%）设向量()T
a
1021=α，
()T 5122-=α，()T 4213-=α，()T c b 1=β. 问：当参数c b a ,,满足什么条件时
1．β能用321,,ααα唯一线性表示？ 2．β不能用321,,ααα线性表示？
3．β能用321,,ααα线性表示，但表示法不唯一？求这时β用321,,ααα线性表示的一般表达式. 四．（8%）设实二次型
ayz axy z y x z y x f 22),,(2
2
2
++++=
问：实数a 满足什么条件时，方程1),,(=z y x f 表示直角坐标系中的椭球面？
五．（12%）设3阶方阵A 的特征值为2，2-，1，矩阵I aA aA B +-=43
。
1． 求参数a 的值，使得矩阵B 不可逆；
2． 问：矩阵B 是否相似于对角阵？请说明你的理由. 六．（12%）已知二次曲面1S 的方程为：
223y x z +=，2S 的方程为：21x z -=。
1． 问：1S ，2S 分别是哪种类型的二次曲面？ 2． 求1S 与2S 的交线在xOy 平面上的投影曲线方程； 3． 画出由1S 及2S 所围成的立体的草图.
七．（10%）假设33?实对称矩阵A 的秩为2，并且C AB =，其中?
?
??
?
??-=110011B ，????? ??-=110011C 。求A 的所有特征值及相应的特征向量；并求矩阵A 及9999
A .
八．（7%）证明题：
1． 设t ηηη,,,21Λ是齐次线性方程组θ=Ax 的线性无关的解向量，β不是其解向量。证明：
t ηβηβηββ+++,,,,21Λ也线性无关.
2． 设A 是n 阶正定矩阵，证明：1>+A I .
04-05学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一、 (24%)填空题
1． 以(1,1,2)A ，(2,1,1)B --，(1,1,1)C --为顶点的三角形的面积为 ；
2． 设3阶矩阵123(,,)A ααα=，23131(,2,)B ααααα=+-。若A 的行列式3A =，则B 的行列式
B = ；
3． 若向量(1,0,1)α=，(2,1,1)β=-，(1,1,)k γ=-共面，则参数k = ；
4． 若A 为n 阶方阵，则方阵2I O B A I ??= ???
的逆矩阵1
B -= ；
5． 已知向量111η??
?= ?
?
??是矩阵11201122a A ?? ?
= ? ?-??的特征向量，则参数a = ，相应的特征值等于 ；
6． 假设矩阵1000A ??= ???
，则在实矩阵11001110,,,,11021101B C D E ????????==== ? ? ? ?--????????1300F ??
= ???
中，与A 相抵的有 ；与A 相似的有 ；与A 相合的有 ．
二、 （8%）计算行列式
121
11
1
x x x x x x x
x x
x ．
三、 （10%）假设
200110102A ??
?
= ? ?
??
，121210B -??= ?-??，
求矩阵方程3X
B XA =+的解．
四、 （14%）假设矩阵
1101011A λλλ?? ?=- ? ???，
000θ?? ?= ? ???，11a b ?? ?= ?
???
．
1． 已知齐次线性方程组Ax θ=的基础解系中有两个线性无关的解向量．试确定这时参数λ的值，并求
这时Ax θ=的一个基础解系．
2． 若在非齐次线性方程组Ax b =的解集中，存在两个线性无关的解向量，但不存在更多的线性无关的
解向量，试确定这时参数λ及a 的值，并求Ax b =的通解．
五、 （10%）已知直线l 过点(1,1,1)P ，与平面:1x y z π+-=平行，且与直线
1
121
x
y z λ- =
=
： 相交。求直线l 的方向向量，并写出直线l 的方程．
六、 （10%）假设二次曲面1π的方程为：22
42x y z +=；平面2π的方程为：1x z =-． 1. 1π与2π的交线向xy 平面作投影所得的投影曲线l 的方程为 ； 2. 该投影曲线绕x 轴旋转所得的旋转曲面π的方程为 ； 3. 在坐标系中画出投影曲线l 的草图（请给坐标轴标上名称）；
4. 在坐标系中画出1π与2π所围成的立体的草图（请给坐标轴标上名称）． 七、 （14%）设二次型
222
12312313(,,)22f x x x x x x kx x =-+-+
1． 试就参数k 不同的取值范围，讨论二次曲面123(,,)1f x x x =的类型；
2． 假设0k >．若经正交变换X QY =，123(,,)f x x x 可以化成标准形222
123224y y y +-，求参数k 及一
个合适的正交矩阵Q ． 八、 （10%）证明题
1． 假设n 维向量112a b βαα=+，212c d βαα=+。若12,ββ线性无关，证明：12,αα线性无关，并且，
行列式
0a b c
d
≠。
2． 假设,A B 都是n 阶实对称矩阵，并且，A 的特征值均大于a ，B 的特征值均大于b ，证明：A B +的特征值均大于a b +。
05-06学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一. (24%)填空题
1. 直角坐标系中向量(1,1,2)α=与(1,0,1)β=的向量积为 ；
2. 过点(1,0,1)P 且与直线1211
x y z -==垂直的平面的方程为 ； 3. 设0110P ??=
???，1011Q ??= ???，a b A c d ??= ???，则1010P AQ =?
?
??
?
；
4. 若33?矩阵A 的秩为2, 123,,ααα是线性方程组Ax b =的解向量 ,并且
()12,3,4T α=,()
232,4,6T
αα+= , 则线性方程组Ax b =的通解是 ；
5. 设α是(1)n n >维列向量，则n 阶方阵T
A αα=的行列式A 的值为 ； 6. 设A 是33?矩阵，若矩阵,2,23I A I A I A +--均不可逆，则行列式A = ； 7. 若3是n n ?矩阵A 的特征值,2A =,*A 是A 的伴随矩阵，则矩阵*A 的一特征值为 ； 8. 若2
2
2
221x y z kxz +++=表示一单叶双曲面，则k 满足条件 。
二（12%）设1234A ??= ???，101021001B ?? ?= ? ?-??，132011C ?? ?= ? ?
--??
，求11,A B --以及矩阵X ，使A O C X O B O ????= ? ?????。式中的O 均指相应的零矩阵。
三（10%）设向量组 123,,ααα线性无关 , 问: 参数,l m 满足什么条件时, 向量组 12l αα+，23m αα+ ，
13αα+也线性无关？
四（14%）已知空间直角坐标系中三平面的方程分别为：
1:21x y z π++=,
2:2x y z πλ++=,
3:1x y z πλλ++=+
1. 问：当λ取何值时这三个平面交于一点？交于一直线？没有公共交点？
2. 当它们交于一直线时，求直线的方程。
五（12%）已知33?矩阵10
023302A a
a a a -?? ?
=-+ ? ?--+??
有一个二重特征值。
1. 试求参数a 的值，并讨论矩阵A 是否相似于对角阵。
2. 如果A 相似于对角阵，求可逆矩阵P ，使得1P AP -=Λ是对角阵。 六（10%）假设,A B 是实对称矩阵。证明：分块矩阵A O M O B ??
=
???
是正定矩阵的充分必要条件是,A B 都是正定矩阵。
七（8%）由与平面1z =-及点(0,0,1)M 等距离运动的动点(,,)P x y z 所生成的曲面记为1π，将yOz 平面
上曲线250
y z x ?+=?=?以z 轴为旋转轴所生成的旋转曲面记为2π。则：
1.1π的方程是： ；2π的方程是： ；
2. 1π与2π的交线在xOy 平面上的投影曲线方程是： ；
3. 在坐标系中画出由这两个曲面所围成的有限立体的简图． 八（10%）证明题：
1. 若22?实矩阵A 的行列式0A <，证明：A 必定相似于对角阵．
2. 假设n n ?实对称矩阵A 的特征值为12,,,n λλλL ，α是A 的属于特征值1λ单位特征向量，矩阵
1
T
B A λαα=-．证明：B 的特征值为20,,,n λλL ．
06-07第二学期
几何代数期终考试试卷
一． (30%)填空题（I 表示单位矩阵）
1.
向量(1,0,1),(1,1,0),(1,1,)k αβγ=-=-=共面时参数k 的值为 ，此时，与这三个向量
都正交的一个单位向量是 ； 2. 向量组
123410110111
,,,21131102αααα???????? ? ? ? ?- ? ? ? ?==== ? ? ? ?- ? ? ? ?--????????
的秩等于 ，这个向量组的一极大线性无关组是 ；
3. 假设矩阵1(2,)2A t ??
= ???
，若1是A 的特征值，则参数t 的值为 ；
4. 二次型2
2
(,,)22f x y z x z xy =++的正、负惯性指数分别为 ，下列图形中，能表示二次曲面
(,,)1f x y z =的图形的标号为 ：
（A ），（B ） ，
（C ） ， （D ） ；
5. 由曲线2
z x y ?=?=?绕z -轴旋转所产生的旋转曲面方程为 ；
6. 若向量组1211,1a αα????== ? ?????与向量组1211,2b ββ????== ? ?????
等价，则参数,a b 必定满足条件 ；
7. 若2130100A b a ?? ?= ? ???与00010001c B ?? ?
= ? ???
相似，则(),,a b c = 。
二． （10%）已知向量组1234,,,αααα线性无关，问：当参数p 取何值时，向量组
1232122,2,βααβαα=+=+3344142,p βααβαα=+=+
也线性无关？
三． （15%）假设,p q 是参数，空间直角坐标系中平面123,,πππ的方程分别如下：
1:21x y z π-+=，
2:22x py z π++=， 3:352x y z q π++=
（1） 问：当,p q 取何值时, 这三个平面的公共点构成一直线？
（2） 当它们的公共点构成一直线时，求直线的方向向量，并给出该直线的对称方程。
四． （15%）设212010001P ?? ?= ? ???，100010001?? ?
Λ=- ? ???
，并且AP P =Λ，求A 及99A 。
五． （15%）已知二次型
222
12312312(,,)4f x x x x x x x x =+--。
（1） 写出二次型f 的矩阵；
（2） 求一个正交变换x Qy =，把f 化为标准形, 并给出该标准形； （3） 假设0a >，求222
123123max (,,)x x x a
t f x x x ++==的值．
六． （15%）证明题：
1. 已知矩阵a b A I c d ??
=≠
???
，其中，2,1a d ad bc +=-=。证明：A 不与任何对角阵相似．
2. 假设s n ?矩阵A 的秩等于r ，并且非齐次线性方程组Ax b =（b θ≠）有解。证明： Ax b =有
并且只有1n r -+个线性无关的解向量． 3. 若A B 、都是可逆的实对称矩阵，且A B A B -、、都是正定矩阵，证明：1
1
B A ---也是正定矩
阵．
初中数学代数几何解题技巧
如何用好题目中的条件暗示 有一类题目，我们在解前面几小题时，其解题思路和方法往往对解后面问题起着很好的暗示作用，现以一次函数中出现的两道题目为例予以说明，供同学们在学习过程中参考。 【例1】直线与x轴、y轴分别交于B、A两点，如图1。 图1 （1）求B、A两点的坐标； （2）把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD。求D点的坐标。 解析：（1）容易求得，A（0，1）。 （2）如图2， 图2 ∵，A（0，1）， ∴OB=，OA=1。 ∴在Rt△AOB中，容易求得∠OBA=30° ∵把△AOB以直线AB为轴翻折， ∴∠OBC=2∠OBA=60°，BO=BC。 ∴△OBC是等边三角形 以BC为一边作等边△BCD，则D的落点有两种情形，可分别求得D的坐标为（0，0），。 反思：在求得第（1）小题中B、A两点的坐标分别为B（，0），A（0，1），实质上暗示着Rt△AOB中，OA=1，OB=，即暗示着∠OBA=30°，为解第（2）小题做了很好的铺垫。
【例2】直线与x轴、y轴分别交于A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a）为坐标系中的一个动点，如图3。 图3 （1）求三解形ABC的面积。 （2）证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数； （3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值。 解析：（1）容易求得：A（，0），B（0，1）， ∴。 （2）如图4，连接OP、BP，过点P作PD垂直于y轴，垂足为D，则三角形BOP的面积为，故不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数。 图4 （3）如图4，①当点P在第四象限时由第（2）小题中的结果：，和第（3）小题的条件可得： ∴， ∵，
中考数学复习检测第2部分专题突破专题十解答题突破—代数几何综合题(涉及二次函数)
2019-2020年中考数学复习检测第2部分专题突破专题十解答题突破—代数几何综合题(涉及二次函数) 类型一以几何图形为背景的综合题 【例1】(xx·苏州一模)如图1①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD ＝6 cm，DC＝8 cm，BC＝12 cm.动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2 cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1 cm.两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)． (1)求线段AB的长． (2)当t为何值时，MN∥CD? (3)设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (4)如图1②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由． 图1
【例2】(xx·吉林)如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8 2 cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以 2 cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°(点M，C位于PQ异侧)．设点P的运动时间为x(s)，△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2) 图2 备用图 (1)当点M落在AB上时，x＝____________； (2)当点M落在AD上时，x＝____________； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
1．(xx·宁夏)如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒 (0＜x≤3)，解答下列问题： (1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值； 图3 (2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由． 2．(xx·梅州)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M 从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN. 图4 (1)若BM＝BN，求t的值； (2)若△MBN与△ABC相似，求t的值； (3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
代数几何综合题含答案
代数几何综合题 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。 例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作P C P B ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 解：（1） P C P B B O P O ⊥⊥, ∴∠+∠=?∠+∠ ∴∠=∠C P A O P B P B O O P B C P A P B O 90, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=? B O P P A C 90 ∴??B O PP A C ~ ∴ =P O A C B O P A ，∴=+||||||x y x 2 2 ， x y x y x <<∴= -002 2，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 , 当x =-1时，y =- 32，∴=CA 3 2
B O a B O Q C A Q O Q A Q B O C A //~,，∴∴=?? 设Q 点坐标为()m ，0，则A Q m =-2 ∴-=∴=m m m 2232 8 7 ， ∴Q 点坐标为()8 7 0， 说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。 练习 1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ；（3分） (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。（4分） B
哈尔滨工业大学《代数与几何》期末试题和答案
哈尔滨工业大学《代数与几何》期末试题 （此卷满分50分） 注：本试卷中()R A 、'A 、* A 分别表示A 的秩，A 的转置矩阵、A 的伴随矩阵；E 表示单位矩阵. 一、填空题（每小题2分，共10分） 1．若4阶方阵A 的特征值为0,1,2,3，且A 与B 相似,则行列式2||+=B E . 2．过点(1,2,3)-，垂直于直线 456 x y z ==且平行于平面789100x y z +++=的直线方程为 . 3．设123,,ααα是3维欧氏空间的标准正交基，则模12322-+=ααα . 4．若A 为4阶方阵，且R （A ）=3，则方程组0*=A X 的基础解系含 个线性无 关的解向量. 5．yOz 坐标面上的抛物线20z y x ?=?=? 绕y 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为 . 二、选择题（每小题2分，共10分） 1．设A 是n m ?矩阵，则线性方程组AX =b 有解的充分条件是 【 】 （A ）()R m =A ； （B ）A 的行向量组线性相关； （C ）()R n =A ； （D ）A 的列向量组线性相关. 2．二次型222 123123121323,,)f x x x tx tx tx x x x x x x =+++++（正定的充要条件为 【 】 （A ）1t >； （B ）0t >； （C ）1t >-； （D ）1 2 t > . 3．设462414, 26,41.848?????? ? ? ?=== ? ? ??????? A B C 则A 与B 【 】 （A ）A 与C 相似且合同； （B ）A 与B 相似且合同； （C ）B 与C 相似且合同； （D ）B 与C 相似但不合同. 4．设,αβ是4维非零列向量,T A E =+αβ，则在A 的特征值中,至少有 【 】 （A ）1个1； （ B ）2个1； （ C ）3个1； （ D ）4个1. 5．设1234,,,αααα是3维向量，则下列命题正确的为 【 】 （A ）如果12,αα线性相关,34,αα线性相关，则1324,αααα++线性相关；
初中数学用几何图示法解代数问题 学法指导
初中数学用几何图示法解代数问题 很多代数问题用纯代数知识来解答很繁琐，也很难解决。因此，许多代数问题用几何图示法来解决非常容易，下面列举几例进行探讨。 一. 线段图示法 例1. 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，相遇时，甲车在已过中点15千米处，相遇后甲车再行8 9时到达B 地，乙车又行了2时到达A 地，求甲、乙两车每时各行多少千米？ 分析：行程问题有三个基本量：路程、速度、时间，且有基本关系：路程=速度×时间。本题设甲车的速度为x 千米/小时，乙车的速度为y 千米/小时，由于同时出发到相遇时，甲车在已过（如图1）所示的线段AB 中点M 的15千米处C 点，继续前进后，甲车行的距离为x 89CB = 千米，乙车行的距离为CA=2y 千米。因此，甲车开始行驶的距离AC 的时间为x y 2时与乙车开始行驶的距离BC 的时间为y x 89时所用时间相同，而M 是AB 的中点， 即AM=BM ，MC=15千米， 则15x 8 9BM ,15y 2AM +=-=，由图所示易知： ???????=+=-y x 89x y 215x 8915y 2 解这个方程组，得??? ????=-=???==760y 780x ,60y 80x 2211 经检验，???????=-=???==760y 780x ,60y 80x 2211都是原方程组的解，但??? ????=-=760y 780x 22，不合题意，舍去。 所以，甲车的速度为80千米/小时，乙车的速度为60千米/小时。 图1 二. 三角形图示法 例2. 已知正数，x ，y 满足条件x+y=4，求1y 1x 22++的最小值。
一次函数的与几何图形综合的题目(含答案)
一次函数与几何图形综合专题讲座 思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 知识规律小结 ： （1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点； 当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－ k b =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－k b ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限；
当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0) 当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 12 1b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2） ； ③???≠=21 21,b b k k ?y 1与y 2平行； ④?? ?==2 121, b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB (1) 求AC (2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系， 并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM x y
几何与代数历年真题版
01-02学年第二学期 几何与代数期终考试试卷 一（30%）填空题： 1． 设(1,2)α=，(1,1)β=-，则T αβ= ；T αβ== ； 100 () T αβ= ； 2． 设矩阵120031130A ?? ?= ? ???，234056007B ?? ? = ? ??? ，则行列式1AB -= ； 3． 若向量组123,,ααα线性无关，则当参数k 时，122331,,k αααααα---也线性无关； 4． 矩阵11110 11100110001A ?? ? ? = ? ???的伴随矩阵*A =? ? ? ? ? ?? ? ； 5． 设矩阵A 及A E +均可逆，则1 ()G E A E -=-+，且1 G -= ； 6． 与向量(1,0,1)α=，(1,1,1)β=均正交的单位向量为 ； 7． 四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为 ； 8． 设实二次型222 12312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++，则当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是椭 球面；当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是柱面。 二（8%）记1π为由曲线23 z y x ?=-?=?绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的 交线为准线，母线平行于z -轴的柱面。试给出曲面12ππ及的方程，并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点） 。 三（8%）求经过直线22 21x y z x y z +-=??-+-=? 且与x y -平面垂直的平面方程. 四（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解，其中， 311101010,321003A B ?? -?? ? == ? ?-?? ? ?? . 五（12%）设线性方程组
方程解问题的代数解法与几何解法(含练习题)
方程解问题的代数解法与几何解法 一般地，讨论方程的解可以有两种解法，一是利用代数方法，最终把比较复杂的 方程化为比较简单的一元一次方程或一元二次方程或其他基本方程（如简单的三角方程），二是转化为函数或方程的曲线，利用图形进行分析，即几何解法.要根据具体问题灵活选用这两种解法，而且两种解法要相互补充，灵活运用.下面举例说明这两种解法的具体应用. 例题1：设方程340x x +-=的根为1x ，方程3log 40x x +-=的根为2x ， 求12x x +. 代数解法：因为13140+-=，所以1x =方程340x x +-=的一个根， ()34x f x x =+-在R 上为增函数，所以()34x f x x =+-在R 上最多只有一个零 点，所以1 1.x =因为3log 3340+-=，所以3x =方程3log 40x x +-=的一个根，3 ()log 4 f x x x =+-在(0,)+ 上为增函数，所以3()lo g 4f x x x =+-在(0,)+ 上最多只有一个零点，所以2 3.x = 所以12 4.x x += 显然上面提供的代数解法仅仅局限于能够用观察法求出方程根的情况，对于含有指数式、对数式及整式的方程，一般无法用初等方法求出方程的根，因此可以考虑从整体上求出12x x +. 此题的特殊性决定了题目的确具有更有一般性的代数方法，但是要用到指数与对数的互化，很难想到，下面提供给同学们仅供参考： 11340x x +-= ① 322log 40x x +-= ② ①式可以变形为1 13 4x x =-+，即为 311log (4)x x -+=，若设14x t -+=， 则14x t =-，于是3log 4t t =-， ②式变为322log 4x x =-，t 与2x 都是方程3log 4x x =-的根，而这个方程即3log 40 x x -+=，又函数3()log 4f x x x =+-在(0,)+ 上为增函数，最多只有一个实数根，因此必有214x x =-+，所以12 4.x x += 几何解法：将方程340x x +-=变形为34x x =-+，将方程
初三数学代数几何综合题
代数几何综合题 【题型特征】代数、几何知识相结合的综合题是以几何知识为主体,以代数知识为工具(背景),来确定图形的形状、位置、大小(坐标)的问题.解答时往往需要从代数几何的结合点或在几何图形中寻找各元素之间的数量关系或在代数条件中探讨各个量的几何模型,进行数与形之间的互相转化,使问题得到解决. 为了讲解方便,我们将代数几何综合题按题目叙述的背景分为:坐标系、函数为背景的代数几何综合题和以几何图形为背景的代数几何综合题. 【解题策略】几何图形为背景的代数几何综合题,建立函数表达式的常见思路是:利用图形的面积公式建立函数表达式;或利用勾股定理或解直角三角形知识建立函数表达式;或利用相似三角形的线段成比例建立函数表达式. 类型一坐标系、函数为背景 典例1(2015·湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y. (1)求y与x之间的函数表达式; (2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式; (3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. (1)
(2) 【全解】 (1)∵AB=OB,∠ABO=90°, ∴△ABO是等腰直角三角形. ∴∠AOB=45°. ∵∠yOC=45°, ∴∠AOC=(90°-45°)+45°=90°. ∴AO⊥CO. ∵C'O'是CO平移得到, ∴AO⊥C'O'. ∴△OO'G是等腰直角三角形. ∵射线OC的速度是每秒2个单位长度, ∴OO'=2x. ∴其以OO'为底边的高为x. ∴点G的坐标为(3,3). 设抛物线表达式为y=ax2+bx,
代数几何综合题(含答案)
代数几何综合题 x<0，连 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）() ⊥交过点A的直线a于点C（2，y） 结BP，过P点作PC PB （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。 2．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，⊙O的直径BD为6，连结CD、AO. (1)求证：CD∥AO； (2)设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若AO＋CD＝11，求AB的长. B
3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2 +2x+m-3=O 的两根，且x 1<0 1、已知抛物线)0(22 >--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。 （1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 2、如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于 A （－1，0）、 B （3，0）、 C （0，3）三点，其顶点为 D ． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积； （3）试判断△BCD 与△COA 是否相似若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由． A B D C o x y 中考数学代数几何综合题2 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式显现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝1 2 BC·CE； ⑶假如AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图) ∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝1 2 BC ， ∵∠CAE＝900，∴AC 2 ＝CH·CE＝12 BC·CE ⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2 ＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2 ＝17 ∵EC 2 ＝AC 2 ＋AE 2 ，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC ＝AE AC ＝13 2 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的专门突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就专门关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○ 。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。 代数几何综合题 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0） ()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 2．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ； (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长. 3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2x+m -3=O 的两根，且x 1<0 2019届中考数学总复习：代数几何综合问题 【中考展望】 代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键． 题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题. 题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口. 【方法点拨】 方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明． 函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等． 函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型． 几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力． 1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现． 2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等． 3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力． 4．解几何综合题应注意以下几点： （1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系； （2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化； （3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法； （4）注意灵活地运用数学的思想和方法． 【典型例题】 类型一、方程与几何综合的问题 1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________. 1 中考第一轮复习 代数与几何综合初步 本讲包括两个方面：数形结合思想、方程函数与几何的综合. 数形结合思想从解题方法上主要分为两类：一是用“形”来解决“数”的问题，体现在数列计算、公式证明等方面；二是用“数”来解决“形”的问题，体现在用方程、函数最值等来解决图形中的计算或最值问题. 方程函数与几何的综合这部分主要侧重在题型上，将代数式、方程、各种函数及各种几何图形综合在一起，不仅将第一轮复习的内容很好的综合，也能锻炼同学们灵活运用各种知识点、方法解决问题的能力. 一、数形结合思想 【例1】 （1）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂 分家万事非”，如图，在边长为1 的正方形纸板上，依次贴上面积为 2 1 ， 41，81 ，…，n 2 1的长方形彩色纸片（n 为大于1的整数），请你用“数 形结合”的思想，依数形变化的规律，计算+++81 4121…+n 2 1=___________. （2）利用图形可以计算正整数的乘法，请根据以下四个算图所示规律在右图中画出232312? 的算图（标出相应的数字和曲线） . （2009海淀初三期中） （3）数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数 问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题．通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果．教科书中利用几何图形证明乘法公式 () 2 222a b a ab b +=++的做法，就是一个非常典型的例子： 如图，a 、b 分别表示一条线段的长度，则a+b 可以表示两条线段之和，那么()2 a b + 就可以表示正方形的面积．同样， a b b a b C D B A B C E A F D 第 18 讲 用代数法解几何题 【知识提要】 有的几何图形是由两个或两个以上的图形错综复杂地组合在一起,甚至已知条件是隐蔽的。我们可以根据图形的特征以及已知条件选择适当的未知量用x 来表示,然后找出相等关系列出方程(或代数式)求解。 【例题解析】 例1.把一个正方形的一边延长6cm,相邻的另一边缩短2cm,就变成一个长方形,这样面积比原来增加56cm 2,求原来正方形的面积。 思路点拨：设原正方形的边长为xcm,则列方程6(x －2)－2x ＝56求解。 例2.一块直角三角形的铁皮,两条直角边分别长40cm 和60cm 。要在里面剪一块最大的正方形,剪成的正方形边长是多少厘米？ 思路点拨：设剪出最大正方形边长为xcm,则列方程40x ÷2＋60x ÷2＝40×60÷2求解。 例3.如图,梯形ABCD 是直角梯形,面积是54cm 2,下底是上底的2倍。求阴影部分的面积。 思路点拨：设梯形上底为xdm,则下底为2xdm,高也为xdm 。根据梯形面积公式列方程求解。 例4.如图长方形ABCD 中,长30cm,宽15cm,E 是AB 的中点,求图中阴影部分的面积。 思路点拨：设△CDF 的CD 边上的高为xcm 。根据“S △CDF ＋S △ADE －S △AEF ＝S △ACD ”列方程求解。 D B A E F E B A 例5.如图,大、小两个正方形的边长为10cm和6cm,求阴影部分的面积。 思路点拨：设DO＝xcm。则根据“S 梯形DOFE ＋S △CDO ＝S △CEF ”求出DO的长,进而 求出阴影部分的面积。 【分层训练】 ★ 1.将一个长方形的宽增加5cm,长减少3cm,正好得到一个正方形,且正方形的面积比原来长方形的面积大45cm2,求原来长方形的面积。 2.如图梯形ABCD中,对角线AC与BD相交于E,且CE＝2AE,若梯形ABCD的面积为540cm2,求△ADE的面积。 3.如图,已知梯形上、下底长度之比为5：8,面积为39cm2,求阴影部分的面积。 4.一个正方形,一边减少20%,另一边增加2cm,得到一个与正方形面积相等的长方形,求正方形的面积。 5.如图,△ABC中,D为BC的中点,E为CA的三等分点,AD与BE相交于F,若△ABC 的面积为60cm2,求△BDF的面积。 代数儿何综合题一、基础题 （大兴，2010期末，18） 18.已知：如图，在山8C中，ZC = 90°,P为43上一点，且 点p不与点刀重合，过点户作PE1AB交刀C边于点点厅不与点。 重合，若力3 = 10,4。= 8,设，户的长为x,四边形PEC3周长为*. （1）求证：/^APE s MCB ； （2）写出y与x的函数关系式，并在直角坐标系中画出图象 （丰台，2010期末，21） 22.（本小题满分6分） 已知：如图，渔船原本应该从A点向正南方向行驶回到港口P,但由于受到海风的影响，渔船向西南方向驶去，行驶了240千米后到达B点，此时发现港口P在渔船的南 偏东60°的方向上，问渔船现在距港口P多远？（结果精确到0.1千米）（参考数据: V2M.41, V3M.73,际"24, ^6^2.45) （丰台，2010期末，25） 25.（本小题满分7分） RtAABC在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示，ZC=90°, AB=6, AC=3,点A在x轴上由原点。开始向右滑动，同时点B在y轴上也随之向点O滑动，如图2所示；当点B滑动至与点。重合时，运动结束.在上述运动过程中，OG始终是一个以 AB为直径的圆. （1）试判断在运动过程中，原点。与OG的位置关系，并说明理由； （2）设点C坐标为（x,y）,试求出y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据对问题（1）、（2）的探究，请你求出整个过程中点C运动的路径的长. 二、提高题 （吕平，2010期末，25） 25. （7分）已知，抛物线y^ax1轴的两个交点分别 为A（1,0）, B（4, 0）,与y轴的交点为C. （1）求出抛物线的解析式及点C的坐标； （2）点P是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P作PM lx轴，垂足为M,是否存在P点，使得以A, P,M为顶点的三角形与AOCB相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. （朝阳，2010期末，24） 24.（本小题7 分）如图，在z^ABC 中,ZA=90°, AB=8, 过M点作MN〃BC交AC于点N.以MN为 直径作。0,并在。0中作内接矩形AMPN.令 AM=x. （1）用含x的代数式表示AIVINP的面积S； （2）当x为何值时，。。与直线BC相切？ （3）在点M的运动过程中，设△MNP与梯形BCNM重合的 面积为V，求y关于x的函数关系式，并求x为何值时，y 的值最大，最大值是多少？/ P \ B ------------------ C （第24题） （朝阳，2010期末，25） 25.（本小题8分） 已知：在/XABC中，ZACB=90°, CD_LAB于点D,点E在AC上，BE交CD于点G, EF1BE交AB于点F. 中考数学代数几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是?BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且??BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝12 BC·CE； ⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵??BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图) ∵A 是?BDC 中点，∴HC＝HB ＝12 BC ， ∵∠CA E ＝900，∴AC 2＝CH·CE＝12 BC·CE ⑶∵A 是?BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17 ∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠A EC ＝AE AC ＝132 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。 C D B A B C E A F D 第 18 讲用代数法解几何题 【知识提要】 有的几何图形是由两个或两个以上的图形错综复杂地组合在一起,甚至已知条件是隐蔽的。我们可以根据图形的特征以及已知条件选择适当的未知量用x 来表示,然后找出相等关系列出方程(或代数式)求解。 【例题解析】 例1.把一个正方形的一边延长6cm,相邻的另一边缩短2cm,就变成一个长方形,这样面积比原来增加56cm 2,求原来正方形的面积。 思路点拨：设原正方形的边长为xcm,则列方程6(x －2)－2x ＝56求解。 例2.一块直角三角形的铁皮,两条直角边分别长40cm 和60cm 。要在里面剪一块最大的正方形,剪成的正方形边长是多少厘米？ 思路点拨：设剪出最大正方形边长为xcm,则列方程40x ÷2＋60x ÷2＝40×60÷2求解。 例3.如图,梯形ABCD 是直角梯形,面积是54cm 2 ,下底是上底的2倍。求阴影部分的面积。 思路点拨：设梯形上底为xdm,则下底为2xdm,高也为xdm 。根据梯形面积公式列方程求解。 例4.如图长方形ABCD 中,长30cm,宽15cm,E 是AB 的中点,求图中阴影部分的面积。 思路点拨：设△CDF 的CD 边上的高为xcm 。根据“S △CDF ＋S △ADE －S △AEF ＝S △ACD ”列方程求解。 D C B A E F C E D B A 例5.如图,大、小两个正方形的边长为10cm 和6cm,求阴影部分的面积。思路点拨：设DO ＝xcm 。则根据“S 梯形DOFE ＋S △CDO ＝S △CEF ”求出DO 的长,进而求出阴影部分的面积。 【分层训练】 ★ 1.将一个长方形的宽增加5cm,长减少3cm,正好得到一个正方形,且正方形的面积比原来长方形的面积大45cm 2,求原来长方形的面积。 2.如图梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于E,且CE ＝2AE,若梯形ABCD 的面 积为540cm 2,求△ADE 的面积。 3.如图,已知梯形上、下底长度之比为5：8,面积为39cm 2,求阴影部分的面积。 4.一个正方形,一边减少20%,另一边增加2cm,得到一个与正方形面积相等的长方形,求正方形的面积。 5.如图,△ABC 中,D 为BC 的中点,E 为CA 的三等分点,AD 与BE 相交于F,若△ABC 的面积为60cm 2,求△BDF 的面积。 中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（提高） 【巩固练习】 一、选择题 1. 如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A出发，沿图中所示方向按滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（） A. 2 B. 4－ C． D． 2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的 影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函 数关系的图象大致为（） 二、填空题 3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC 是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________． 4.如图，(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2 的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S2=______________；S n=__________________ (用含的式子表示）． 三、解答题 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）． （1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由； （2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？ （3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形． 北京大学数学考研题目 1983年 基础数学、应用数学、计算数学、概率统计专业 2 2 2 202220 0Ax By C z D yz Ezx Fxy A B C +++++=++=一、（分）证明：在直角坐标系中，顶点在原点的二次锥面有三条互相垂直的直母线的充要条件是. 1223112220...1,...2, (1) n n n n n x x x x x x x x x n ++++++=?? +++=????+++=+?二、（分）用导出组的基础解系表出线性方程组的一般解。 121220,,...,()()...()1n n a a a x a x a x a ----三、（分）设是相异整数。证明：多项式在有理数域上不可约。 20000120231001011A ???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? 四、（分）用V 表示数域P 上全部4阶矩阵所成的线性空间，A 是V 中的一个矩阵，已知－10，，及10分别是的属于特征值， ， ，－1的特征向量。（1）求A; (2)求V 中与A 可交换的矩阵全体所成的子空间的维数及一组基。 20,A B 五、（分）设是两个n 级正定矩阵。证明：AB 是正定矩阵的充要条件是A 与B 可交换。 1984年 数学各专业 132110: :231003 6 3 x y l z x y z π--==- ++-=一、（分）求直线与平面的交点。 10,,,,a b c a b b c c a ???二、（分）设向量不共面。试证：向量不共面。 15K K K K K K 三、（分）设和为平面上同心的单位（半径＝1）开圆域和闭圆域。（1）取定适当的坐标系，写出和的解析表示式；（2）试在和的点之间建立一个一一对应关系。 {}{}{}{}23231 231 251,,.2,,V R V T V V T T T T T T T T T T εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε--→==+=++111212312311113四、（分）设是实数域上的三维向量空间，，，是的一组基。（）设在线性变换：下，试求在，，中的变换公式；（）求的逆变换在，，中的公式； （3）求在中的公式。 2 220.20 24(2)2 177,.42 20A B A B A B A B =-?? ?=--= ? ?-? ? 五、（分）(1)证明：实矩阵是正定的充要条件为：可找到一个可逆的实对称矩阵,使给定求实对称矩阵，使20(1)((2),n m n m A n m B m n E AB E BA E n E m A B AB BA ??-=-六、（分）设为矩阵，为矩阵。求证：为阶单位矩阵，为阶单位矩阵). 证明：如果为同阶方阵，则与总有相同的特征值（不考虑重数）.中考数学代数几何综合题2
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