高三一轮数学复习专题材料 推理与证明

专题11 推理与证明

江苏省太仓高级中学钱华

【课标要求】

1．课程目标

通过推理与证明的教学，使学生通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及两者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯．

2．复习要求

（1）教学中应通过实例引导学生运用合情推理去探索、猜想一些数学结论，并用演绎推理证明所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想.教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述．

（2）本节的数学证明是对学生学过的基本证明方法的总结．在教学中，应通过实例引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性，对证明的技巧性不宜作过高的要求．

（3）对数学归纳法的要求不宜过高．

3．复习建议

（1）归纳推理和类比推理应贯彻在平时的教学过程中，使学生自觉养成探索的习惯，而不是做足针对的训练，所以这部分内容只供相关参考．

（2）合情推理的证明不作要求，但平时练习最好养成证明的习惯，很多推理是在证明过程中发现的，况且方法上的类比本身也是一种较难的推理．

（3）直接证明与间接证明也应注重平时教学中的贯彻与提炼，不可以追求方法本身，而是要注重数学思想方法的渗透．

（4）本专题内容具有综合性，包罗高中数学的各方面知识，对思维要求较高，对能力不强的同学具有一定难度，在高考中不一定单独命题，但会渗透在具体的题目中．【典型例题】

例1．填空题

（1）观察下式：1=1，1-4=-(1+2)，1-4+9=1+2+3，1-4+9-16=-(1+2+3+4)，…，推测第n个式子为____________________．

解析：1-22+32+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1(1+2+3+…+n) (n∈N*)．

（2）观察下列式子：1+122<32，1+122+132<53，1+122+132+142<7

4，…，根据上述不等式，归

纳出一个一般的结论是_______________________． 解析：1+122+132+…+1(n +1)2<2n +1

n +1 (n ∈N *)． （3）已知函数f (x )= x

1+x

，若f 1(x )=f (x )，f n +1(x )=f [f n (x )]，则f n (x )=________ ． 解析：易得：f 2(x )=

x 1+2x ，f 3(x )= x 1+3x ，f 4(x )= x 1+4x ，归纳得f (x )= x 1+nx

(n ∈N *)． （4）平面内n 个圆两两相交，且任意三圆不过同一点，则这n 个圆将平面分成_______个区域．

解析：列举得：n =1时，2个区域；n =2时，4个区域；n =3时，8个区域；n =4时，14个区域；…；归纳一般情况有n 2-n +2 (n ∈N *)．

（5）面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i=1,2,3,4)此四边形内任一点

P 到第条i 边的距离记为h i (i=1,2,3,4)，若a 11

=

a 22 =

a 33 =

a 44 =k ，则∑4i=1

(ih i )=2S

k ，类比以上性

质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i=1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i

个面的距离记为H i (i=1,2,3,4)，若S 11 = S 22 =

S 33 = S 4

4 =k ，则∑4i=1

(iH i )=___________．

解析：

3V

k

，面积法→体积法． （6）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB 2+AC 2=BC 2.若三棱锥A -BC D 的三个侧面ABC 、AC D 、A D B 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足关系______________________．

解析：S 2△BC D = S 2△ABC + S 2△AC D+ S 2△A D B ；注意形式上的类比与思想方法上的类比． （7）已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m =a ，a n =b (m ≠n ,m,n ∈N *)，则a m+n =

bn -am

n -m

．现已知数列{b n }(b n >0,n ∈N *)为等比数列，且b m =a ,b n =b (m ≠n ,m,n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m+n =_____． 解析：设{a n }公差为d ，则d =

a n -a m n -m =

b -a n -m ，∴a m+n =a m +nd =a +n ·b -a n -m = bn -am

n -m

． 类比此推导方法易知：设{b n }公比为q ，由m n m n q b b -=知，m n aq b -=，∴m

n a

b

q -=，

∴m n m n

m n n

m n

m a b a a b b b --+?=??

?

???=．故应填m n m n a b -．

（8）在等差数列{a n }中，若a 10=0，则有等式a 1+a 2+…+a n =a 1+a 2+…+a 19-n (n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地在等比数列{b n }中，若b 9=1，则有等式_______________成立．

解析：b 1b 2…b n =b 1b 2…b 17-n ，用一般到特殊的思考方法。a 1+a 2+…+a n =a 1+a 2+…+a 19-n

不好理解,不妨假定,n =18，这时上面的等式变为:a 2+a 3+…+a 17+a 18=0，a 2+a 18=a 3+a 17=…=a 9+a 11=2a 10=0，可以看出题目条件中给出的等式是等差中项的变形,这是问题的实质．若给出a 9=0,可以引出a 1+a 17=a 2+a 16=a 3+a 15=…

=a 8+a 10=2a 9=0那么应有下面的等式:a 1+a 2+…+a n =a 1+a 2+…+a 17-n 类比等比数列:b 9=1,b 1·b 17=b 2·b 16=…

=b 8·b 10=b 92=1．∴b 1·b 2…b n =b 1·b 2…b 17-n (n <17,n ∈N *)．

（9）过双曲线x 2a 2

-

y 2

b

2

=1 (a >0,b >0)的右焦点F (c ,0)的直线交双曲线于M 、N 两点,交y

轴于P 点，设PM →=λMF →,PN →=μNF →

,则有λ+μ为定值2a 2b 2；类比双曲线这一结论，在椭圆

x 2a 2

+ y 2b

2 =1 (a >b >0)中，设PM →=λMF →，PN →=μNF →

，则有λ+μ为定值_____________． 解析：-

2a 2

b

2；可以用特殊值法，取x 轴，得到定值，再证明即可．

（10）函数y =si nx (0

f (x 1)+f (x 2)

2

≤f (

x 1+x 2

2

)；类比此性质，设角A ,B ,C 是△ABC 的三个内角，则sin A +sin B +sin C 的最大值为___________．

解析：本组题主要是数学中“升降维”的思想.从二元推广为三元，得

f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)

3

≤f (

x 1+x 2+x 33)， 所以sin A +sin B +sin C ≤3sin A +B +C 3

=

33

2

． 例2．设已知x ,y ∈(0,+∞)，且x +y >2， 求证：1+y x 和1+x

y

中至少有一个小于2．

证明：假设1+y x 和1+x y 都不小于2，即1+y x ≥2，1+x

y

≥2，

则1+y ≥2x ，1+x ≥2y ， ∴(1+y )+(1+x )≥2x +2y ． ∴x +y ≤2．

这与已知x +y >2矛盾，故假设不成立． 因此，原命题成立．

例3．已知a ,b ,c ,d ∈(0,1)，试比较abcd 与a +b +c +d -3的大小． 解：先考虑一个简单问题，比较ab 与a +b -1的大小．

事实上，因为ab -(a +b -1)=ab -a -b +1=(a -1)(b -1)>0， ∴ab >a +b -1．

∴abc >(ab )c >ab +c -1>(a +b -1)+c -1=a +b +c -2．

更进一步，则有abcd >(abc )d >abc +d -1>(a +b +c -2)+d -1=a +b +c +d -3.， 故有abc d> a +b +c +d -3．

例4．是否存在实数m ，使得不等式x 2x +y

+

y x +2y ≤m ≤x x +2y

+

y

2x +y

对一切正数x 、y

恒成立？试证明你的结论．

解：先取x =y =1，得

2

3≤m ≤

2

3，∴m =

2

3

．

下面证明对任意x ,y ∈R +, x 2x +y + y x +2y ≤

2

3≤x x +2y +

y

2x +y

恒成立． 法一（综合法）：

∵x 2x +y + y x +2y = x 2+y 2+4xy 2x 2+2y 2+5xy = 12(1+3xy 2x 2+2y 2

+5xy )≤12(1+3xy 4xy +5xy )=

2

3

， ∵x x +2y + y 2x +y = 2x 2+2y 2+2xy 2x 2+2y 2+5xy = 1- 3xy 2x 2+2y 2+5xy ≥1- 3xy 4xy +5xy =

2

3

． ∴对任意x ,y ∈R +, x 2x +y + y x +2y ≤

2

3≤x x +2y +

y

2x +y

恒成立． 法二（分析法）

要证：x 2x +y +

y x +2y ≤

2

3

，∵x >0,y >0，

∴只要证3x (x +2y )+3y (2x +y )≤2(2x +y )(x +2y ), 即x 2+y 2≥2xy ，这显然成立，∴x 2x +y +

y x +2y ≤

2

3

．

再证：x x +2y +

y 2x +y ≥

2

3

，

只需证：3x (2x +y )+3y (x +2y )≥2(2x +y )(x +2y ), 即2xy ≤x 2+y 2，这显然成立， ∴

x x +2y +

y 2x +y ≥

2

3

． 综上所述,存在实数m =

2

3，使得对任意正数x ,y 都有x 2x +y + y x +2y ≤

2

3≤x x +2y +

y

2x +y

恒成立．

例5．在数列{a n }中，已知a 1=2，a n +1=

2a n

a n +1

， （1）证明数列{1

a n

-1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；

（2）求证：∑n

i=1a i (a i -1)<3．

证明：（1）由a n +1= 2a n a n +1两边取倒数，得1a n +1

=

12a n +1

2

， 即

1

a n +1

-1 =

12(1a n

-1)，∵a 1=2，1a 1

-1= -

1

2

， ∴数列{1a n

-1}是首项为-12，公比为1

2的等比数列．

∴1a n

-1= -12·(12)n -1= -(12)n ，∴a n = 2n

2n -1

． （2）∵a n = 2n 2n -1，∴a i (a i -1)= 2i

(2i -1)

2 (i=1,2,3,…,n ) ．

当i ≥2时，a i (a i -1)=

2i (2i -1)2<

2i (2i -1)(2i -2)

=

2i -1(2i -1)(2i -1-2)

=

12i -1-1

-

1

2i -1

．

∴∑n

i=1

a i (a i -1)= a 1(a 1-1)+ a 2(a 2-1)+…+ a n (a n -1)< 21(21-1)2+(121-1

-

122-1)+(1

22-1

-

123-1)+…+(12n -1-1

-

12n -1

)=2+1-

1

2n -1<3． 另解：当i ≥2时，a i (a i -1)=

2i (2i -1)2<

2i (2i -1-1)(2i +1-1)

=

23(12i -1-1

-

1

2i+1-1

)． ∴∑n

i=1

a i (a i -1)= a 1(a 1-1)+ a 2(a 2-1)+…+ a n (a n -1)< 21(21-1)2+23(121-1

-

123-1)+23(122-1

-

124-1

)+…+23(12n -1-1

-

12n +1-1)=2+23(1+13-

12n -1

-

12n +1-1)<2+8

9<3．

例6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2-a n x -a n =0有一根为S n -1，(n ∈N *)． （1）求a 1、a 2；

（2）求{a n }的通项公式．

解：(1)当n =1时，方程x 2-a 1x -a 1=0有一根为S 1-1，∴(a 1-1)2-a 1(a 1-1)-a 1=0，解得a 1=

1

2；当n =2时，方程x 2-a 2x -a 2=0有一根为S 2-1=a 1+a 2-1=a 2-

1

2

，∴(a 2-

1

2)2-a 2(a 2-

1

2)-a 2=0，解得a 2=

1

6

．

(2) 由题设知,方程x 2-a n x -a n =0有一根为S n -1,∴(S n -1)2-a n (S n -1)-a n =0，即S n 2-2S n +1-a n S n =0，当n ≥2时，a n =S n -S n -1代入上式得：S n S n -1-2S n +1=0，∴S n = 1

2-S n -1

． 由(1)知，S 1=a 1=

1

2，S 2=a 1+a 2=

2

3，S 3=

12-S 2

=

34

，

∴猜想：S n =

n n +1

． 下面用数学归纳法证明这个结论． ①当n =1时，已证成立； ②假设n =k 时，结论成立，即S k = k k+1

， 那么当n =k+1时，S k+1=

1

2-S k-1

=

12-k k+1

=

k+1

(k+1)+1，∴n =k+1时，结论成立． 根据①②可知，对一切n ∈N *，S n =

n

n +1

成立． ∴当n ≥2时，a n =S n -S n -1=

1n (n +1)，又当n =1时，a 1=

1

2

也满足上式， ∴数列{a n }的通项公式为a n =

1

n (n +1)

． 【新题备选】

1．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1=2，公和为5．那么a 18的值为______，这个数列前n 项和S n 的计算公式为______．

解析：∵{a n }是等和数列，a 1=2，公和是5，

∴a 2=3，则a 3=2，a 4=3，…,知a 2n =3，a 2n -1=2（n ∈N *）．

∴a 18

=3，数列{a n

}形如：2，3，2，3，2，3，……．∴ S n

=???5n

2

(n 为偶数)5n -1

2 (n 为奇数)

2．依次写出数列：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，其中a 1=1，从第二项起a n 由如下法则确定：如果a n -2为自然数且未出现过，则用递推公式a n +1=a n -2，否则用递推公式a n +1=a n +1，则a 2008= ．

解析：易得数列为1，2，0，1，2，3，4，…，∴归纳得a 2008=2005．

3．已知正项等差数列{a n }，若b n =a 1+2a 2+3a 3+…+na n

1+2+3+…+n ，则数列{b n }也为等差数列，

类比上述结论，写出正项等比数列{c n }，若d n = ，则数列{d n }也为等比数列．

解：在证明等差数列的性质的过程中，可以得到结构与运算的类比，∴

(c 1c 22c 33…c n n )1

1+2+3+...+ n

4．对a ?、R b ∈，运算“⊕”、“?”定义为：a b ⊕＝???≥<)b a (,b )b a (,a ，a b ?＝?

?

?<≥)b a (,b )

b a (,a ，则下列各式:⑴a b a b a b =+?+⊕；⑵a b a b a b =-?-⊕；⑶[][]a b a b a b =???⊕； ⑷[][]a b a b a b =÷?÷⊕，其中恒成立的是________．

答案：（1）（3）．

5. 若点O 在?ABC 内，则有结论 0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ????+?+?=，把命题类比推广到空间，若点O 在四面体ABCD 内，则有结论：_________________.

答案：0O BCD O ACD O ABD O ABC V OA V OB V OC V OD ----?+?+?+?=. 6．用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个

排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记

in n

i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，,3可

得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，

2412312212621-=?-?+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，

5形成的数阵中，12021b b b +++ =_________.

答案：-1080.

1

23123123123123

1

2

3

6．在△ABC 中（如图1），若CE 是∠ACB 的平分线，则AC BC

=

AE

BE

，其证明过程为：

作EG ⊥AC 于点G ，EH ⊥BC 于点H ，CF ⊥AB 于点F ，因为CE 是∠ACB 的平分线，所以EG=EH ；又因为AC BC

=

AC·EG BC·EH

=

S △AEC

S △BEC

，；

所以AC BC

=

AE

BE

．

（Ⅰ）把上面的结论推广到空间中：在四面体A -BCD 中（如图2），

平面CDE 是二面角A -CD -B 的角平分面，类比三角形的结论，你得到相应空间的结论是：________；

（Ⅱ）证明你得到的结论．

（Ⅰ）解：S △AC D S △BC D

=

AE BE

或

S △ACD S △BCD

=

S △AEC S △BEC

或

S △ACD S △BCD

=

S △AED S △BED

．

（Ⅱ）证明：设点E 到平面ACD 、平面BCD 的距离分别是h 1,h 2，则由平面CDE 平分二面角A -CD -B ，知h 1=h 2． 又因为S △ACD S △BCD

=

h 1·S △ACD h 2·S △BCD

=

V A-CDE V B-CDE ，S △ACD S △BCD

=

AE BE

=

V A-CDE V B-CDE

，

所以S △ACD S △BCD

=

AE BE ．同理，S △ACD S △BCD

=

S △AEC S △BEC ，S △ACD S △BCD

=

S △AED

S △BED

，问题得证．

【专项训练】 一、填空题

1．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中，第100项为______________． 2．从1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中得出的一般性结论是__________．

3．若数列{a n }中，a 1=1,a 2=3+5,a 3=7+9+11,a 4=13+15+17+19,…，则a 10=__________． 4．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4) = ；当n >4时，f (n )= _______(用含n 的数学表达式表示）．

5．已知整数对序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是___________．

6．平面几何的很多性质可以推广到空间，如“两条对角线相等的平行四边形是矩形” 推广到空间是“对角线相等的平行六面体是长方体”，请你把性质“平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和” 推广到空间的命题是 ___________．

7．命题：“边长为a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值3

2

a ”，把这个命题类比推广到空间，可得命题：__________________．

8．椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，点P 为椭圆上任意一点，∠F 1PF 2=θ，

则S △F 1P F 2=b 2

·t an

θ2，类比椭圆的这个性质，双曲线x 2a 2 - y 2

b

2

=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为

F 1,F 2，点P 为双曲线上任意一点，且∠F 1PF 2=θ，则S △F 1P F 2=___________．

9．有对称中心的曲线叫做有心曲线，显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线，过有心曲线的中心的弦叫做有心曲线的直径。过圆x 2+y 2=r 2(r>0)上异于直径两端点的任意一点与直径两端点的连线的斜率的积为定值-1。类比上述圆的性质，对于椭圆x 2a 2+y 2

b 2

=1(a >b >0)进行推广，可以得到命题：____________；对于有心圆锥曲线Ax 2+By 2=1(AB

≠0)进行进一步推广，可以得到命题：_______________________．

10．在技术工程中，常用到双曲正弦函数sh x =e x -e -x 2和双曲余弦函数c h x =e x +e -x

2，其

实双曲正弦函数和双曲余弦函数与学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有cos(x +y )=cos x cos y -si nx si ny 成立.而关于双曲正、余弦函数满足ch(x +y )=ch x ch y +sh x sh y ，请你类比此关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式 ．

11．我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍.你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的曲线分别是x 2a 2+y 2

b 2

=1(a >b >0)与x 2+y 2=a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为 ．

12．如图函数

f (x )=x 2(x >0)图像上任意两点

A (a ,a 2),

B (b ,b 2),线

段AB 必在弧AB 上方，设点C 分AB →

的比为λ(λ>0),则由图中C 在

l

①

②

(将l 向右平移)

C 1上方得不等式：a 2+λb 21+λ>(a +λb 1+λ)2

，请分析函数f (x )=ln x (x >0)的图像，类比上述不等式可

以得到__________________． 二、解答题

13．证明：任何三个实数都不可能同时满足下列三个不等式：|x |<|y -z |，|y |<|z -x |，|z |<|x -y |． 14．设{a n }是集合{2

t +2s | 0≤s ≤t ,且s ,t ∈Z }中所有的数从小到大排列

的数列，且a 1=3，a 2=5，a 3=6，a 4=9，a 5=10，a 6=12，…．将数列{a n }各项按照上小下大、左小右大的原则写成如右所示的三角形数表： （1）写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数； （2）求出a 100．

15．已知函数f (x )=ln(2+3x )-

3

2

x 2

（1）求f (x )在[0,1]上的极值；

（2）若对任意x ∈[

1 6,

1

3

]，表达式|a

-ln x |+ln[f /(x )+3x ]>0成立，求实数a 的取值范围；

（3）若关于x 的方程f (x )= -2x +b 在[0,1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范

围. 16．已知函数f (x )=x

+

t

x

(x >0)和点P (1,0)，过点P 作曲线y =f (x )的两条切线PM 、PN ，切

点分别为M 、N ．

（1）设|MN |=g (t )，试求函数g (t )的表达式；

（2）在（1）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间[2,n +

64

n

]内总存在m +1个实数a 1,a 2,a 3,…,a m ,a m +1,

使得不等式g (a 1)+g (a 2)+…+g (a m )

【专题训练答案】

1．14； 2．n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)2 (n ∈N *) 3．1000； 4．5；1

2

(n +1)(n -2) 5．（5，7）

6．平行六面体的两个体对角面的面积的平方和等于四个侧面面积的平方和； 7．棱长为a 的正四面体内任意一点到各面的距离之和为定值32

a 8．

b 2·

c ot

θ

2

；

9．（1）过椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)上异于一直径两端点的任意一点与该直径两端点连线，则

两条连线所在的直线的斜率之积为定值-

b 2

a

2；（2）过有心圆锥曲线Ax 2+By 2=1(AB ≠0)上

异于一直径两端点的任意一点与该直径两端点连线，则两条连线所在的直线的斜率之积为定值-

A

B

．

10．ch 2x -sh 2x =1,sh2x =2sh x ch x ,c h2x =ch 2x +sh 2x ,sh(x +y )=sh x ch y +ch x sh y 等；

11．πab ；用平行于y 轴的直线x =t 截图形，截得的椭圆弦长为2b a a 2-t 2

，截得圆的弦长

为2a 2-t 2，它们的比为b

a ，∵圆的面积为πa 2，∴椭圆的面积为πa

b 。把这个结论推广

到空间，就是祖縆原理了．

12．函数图像上任意两点A (a ,l na ),B (b ,l nb ),设点C 分AB →

的比为λ(λ>0),则有不等式l n (a +λb 1+λ)

成立． 13．分析：本题要证明所有的对象都具有同一性质，无法从正面考虑，宜用反证法． 证明：假设存在某三个实数x ,y ,z 同时满足题设的三个不等式．将它们的两端都同时平方，然后分别移项、分解因式得(x -y +z )(x +y -z )<0，① (y -z +x )(y +z -x )<0， ② (z +x -y )(z -x +y )<0． ③ ①×②×③得 (x -y +z )2(x +y -z )2(y +z -x )2<0，这显然是不可能的．因此，原命题成立．

14．分析：对于（1），只需按照集合中元素特征写出三角形数表中前三行各数的指数表示，并观察指数规律，据此归纳、抽象出第4、第5两行数的指数规律，即可写出第4行、第5行各数．对于（2），关键是判断出a 100是这个三角形数表中第几行第几个数，进而便可用（1）所得的指数规律求出a 100．

解：（1）将前三行各数写成2t +2s 的形式：第1行：3=21+20；第2行：5=22+20，6=22+21；第3行：9=23+20，10=23+21，12=23+22；由此归纳猜想：第4行：24+20=17，24+21=18，24+22=20，24+23=24；第5行：25+20=33，25+21=34，25+22=36，25+23=40，25+24=48． 即第4行各数依次是：17，18，20，24；第5行各数依次为：33，34，36，40，48． （2）由每行上数的个数与行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…，由

n (n +1)

2

≤100（n ∈N *）得n ≤13．由前13行共有1+2+3+…+13=91个数． 因此，a 100应当是第14行中第9个数． 所以a 100=214+28=16640．

点评：这里我们运用归纳推理的思维方式解决了问题．特例试验，归纳猜想是理性思维的重要体现，是获得发现的源泉．学习中要善于运用归纳推理，大胆猜想和发现． 15．解：（1）23)13)(1(33323

)(+-+-=

-+=

'x x x x x x f ，令13

10)(-==='x x x f 或得（舍去） )(,0)(,3

1

0x f x f x >'<≤∴时当单调递增；当11,()0,()3x f x f x '<≤<单调递减.

]1,0[)(6

1

3ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值，没有极小值．

（2）由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得x

x a x x a 323

ln ln 323ln

ln ++<+->或……① 设332ln 323ln ln )(2x x x x x h +=+-=，x

x

x x x g 323ln

323ln ln )(+=++=， 依题意知]3

1

,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立，

0)32(2

)

32(33)32(3332)(2

>+=+?-+?+=

'x x x x x x x x g ， 03262)62(31323)(2

2>++=+?+=

'x

x x

x x x x h ， ]31

,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立，

当且仅当.5

1

ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或

（3）由.022

3

)32ln(2)(2=-+-+?+-=b x x x b x x f

令2

23379()ln(23)2,()3222323x x x x x b x x x x

φφ-'=+-+-=-+=++，

当)37

,0[)(,0)(,)37,0[在时x x x ?>?'∈上递增；

当]1,3

7()(,0)(,]1,37(

在时x x x ?>，

]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ?恰有两个不同实根等价于

??

??

?

?

???

≤-+=>-+

-+=≤-=0215ln )1(067267)72ln()3

7(02ln )0(b b b ??? ∴.3

7

267)72ln(215ln +-+<≤+b

16．解：（1）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，

2

1)(x t

x f -

='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(1211

1x x x t x t x y --=+-， 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(0121

11x x t

x t x --=+-，

即02121=-+t tx x ，………① 同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，

得0222

2=-+t tx x ．………②，由①、②，可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，

??

?-=?-=+∴.

,

22121t x x t x x ( * ）

22211221)()(x t x x t x x x MN --+

+-=])1(1[)(22

1221x x t x x -+-= ])1(1][4)[(2

2

121221x x t x x x x -

+-+=，把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=, 因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． （2）解法1：易知)(t g 在区间]64

,2[n

n +

上为增函数， ∴)64

()()2(n

n g a g g i +

≤≤)1,,2,1(+=m i ， 则)64

()()()()2(21n

n g m a g a g a g g m m +?≤+++≤? ． 依题意，不等式)64

()2(n n g g m +

(20)n 6420(n 22022022n

n m +++

即)]64

()n 64[(n 612n

n m +++<对一切的正整数n 恒成立，．

1664≥+

n

n ， 3136

]1616[61)]64()n 64[(n 6122=+≥

+++∴n n ， 3

136

<

∴m ．由于m 为正整数，6≤∴m ． 又当6=m 时，存在221====m a a a ，161=+m a ，对所有的n 满足条件。 因此，m 的最大值为6．

解法2：依题意，当区间]64

,2[n

n +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值．

1664≥+n

n ，∴长度最小的区间为]16,2[，

当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i 时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m

解得3

136