高斯小学奥数含答案三年级(上)第02讲枚举法中的字典排列
枚举法中的字典排列
我明天先吃什么呢？先吃汉堡，不不，还 是
先吃玉米，哎，还是先吃饼干
吧！到底 先吃什么呢？共有多少种不同的吃
法？
基础例题:
在上一讲中我们学习了简单的枚举法一一直接把所有情况一一列举出来.
接枚举很有可能产生重复或者遗漏， 这时就需要有一些特别的方法来帮助我们枚举出所有情况. 本讲就
但如果问题较为复杂，直
如果我把这三个东西都带回去,
天吃1个，还可以再吃3天呢？
主要介绍两种枚举的方法：字典排列法和树形图法.
首字母相同的单词都在一起 同学们可以翻一下英汉字典，不难发现字典中单词排列的规律：整本字典按首字母从 a 到z 排列, 在首字母相同的单词中, 再按照第2个字母从a 到z 的顺序排列, 然后是
个字母，第4个字母所谓“字典排列法”，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出
3各一次可以组成多少个不同的三位数？用字典排列法枚举时，每个位置都勒*
按从小到大排列，枚举的顺序是：123, 132, 213, 231 , 312, 321 .下面我们用字典排列法来解决几个
问题.
例题1 .卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，三人找到
的宝物数量共有多少种不同的可能？（可能有人没有发现宝物）
分析：每个人最少找到几件宝物？最多呢？
练习：
1.老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高和墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请问：老师有
多少种不同的奖励方法？
例题2 ?老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8 ?如果两个同学写出的3 个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法?试问：同学们最多能得出多少种不同的写法？
分析：注意顺序不同算一种写法，也就是三个数分别为（1、2、5）、（2、5、1 ）和（5、1、2）都
算同一种写法.
练习：
2.三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于10，共有多少组这样的三个数?
用字典排序法枚举的时候，判断题目要求到底是“交换顺序后算作两种”还是“交换顺序后仍然是同一种”非常关键?往往题目中要求“交换顺序后仍然是同一种”，那么枚举的每个结果里就没有明确
的顺序关系；反之，那么枚举时要注意每个结果中应该都符合一定的顺序关系.
在求解计数问题时，审题非常关键?往往一字之差就会有天壤之别.
枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举很容易出现重复或者遗
漏.这时就需要预先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚举.
例题3
如下图所示，有7个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7这七个数字?请
问：
（1）从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2, 一共有多少种选法？
ftp f
1ft 0
(2)从中选出2个按键，使它们上面的数字的和大于9, 一共有多少种选法
分析：第二问中的和大于9是什么意思？也就是最小等于10，那最大又是多少？和共有几种可能?
练习3
有一次，著名的探险家大米得到一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下边有一行小字：
密码是和大于11的两个数，而且这两个数不能相同?不用考虑数的先后顺序，你知道密码共有多少种可能吗？
例题4
数一数下图中包含星星的长方形(包括正方形)有多少个?
☆
分析：含星星的长方形会由几个小方格组成呢？我们可以依据长方形的种类进行分类.
练习4
数一数下图中包含星星的正方形有多少个？
☆
在分类时，一定注意类与类之间有没有重复的部分，或者还有没有漏掉的情况. 只有在分类已经做到“不重不漏”的前提下，才能够进行进一步的枚举.
例题5
妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止.如果天数不限.可能的吃法
多少种?
分析：虽然题目对天数没有限制，但要求每天至少吃2个?照此推算，最多能吃几天?
例题6
午餐的时候，食堂为同学们准备了苹果、桃子和桔子三种水果，每种都有很多.东东想要挑3个水果吃.请问东东有多少种不同的选法？
课堂内外
分析：仔细审题，挑的3个水果能不能是同种的水果？若要分类枚举，应该如何分类呢？
字典是如何排序的？
在英语字典中，两个单词的位置是这样决定的：从第一个字母开始比较，
如果相同，那么就看下一个字母；如果不同，那么就按照从a到z的顺序进行
排列.比如说：book和look这两个单词，第一个字母分别是b和I, b排在I
前面，所以book排在look之前.再比如说：book和boat这两个单词，前两个字母都是bo,所以
就看第三个字母，o在a之后，所以字典里book出现在boat 之后.
再来看看中文字典，现在的中文字典主要采用的都是按拼音字母的顺序进
行排序，方法与英语字典相同.其实在使用拼音之前我国古代的字典一般都是按照部首以及笔画来
排序的，比如著名的《康熙字典》就是这样排序的：先按部首排序，每个部首之中再按剩下的笔画
数从少到多进行排序.中文字典除了按拼音、部首等顺序排列之外，还有四角号码、笔顺等多种排
序方法.
1
每种面值的纸币张数都大于 2 那么墨莫完成这些作文共有
3 多少种不同的可能?
4 一共有多少不同的吃法? 请问小高有多少种不同的选
5 择
？ (7^
任取3张，那么能组成的钱数共有多少种? 2个，吃完为止.那么墨莫
3.如果从中
有面值分别为1元、10元和50元的纸币若
爷爷要墨莫多吃水果，于是给了他
8个苹果，要求每天至少吃 4支完全相同的铅笔要分给 3位同学，每位同学至少分1支，共有多少种不同的分法? 体育馆里有很多足球和篮球，体育老师要小高从里面拿 4个
老师要求墨莫写4篇作文，题目不限，但是每天至少写
1篇 作业
详解：按照字典排列法，依次枚举卡莉娅、墨莫和小高三人所找到的宝物数量，由于每人最少找到0件宝物，最多找到5件，所以按（卡莉娅、墨莫、小高）的形式枚举出：（0、0、5）,
（0、1、4），（0、2、3），（0、3、2），（0、4、1），（0、5、0），（1、0、4），（1、1、3），（1、
2、2）,（1、
3、1）,（1、
4、0）, （2、0、3）,（2、1、2）,（2、2、1）,（2、3、0）,（3、0、2），（3、
1、1）,（3、
2、0）,（4、0、1）,（4、1、0）,（5、0、0 ），共有21 种不同的可能.
2. 例题2
答案：10种
详解：由于题目要求三个数顺序不同算作同一种方法，所以在枚举时只需要考虑从小到大排列的情况.用字典排列法不难得到:
8 00 80 1 7 0 2 6 0 3 50 44 1 1 6 1 2 513 4 2 2 4 2 3 3
，共有10
种
:申不同的可能.
3.例题3
答案：(1)5种；（2）6种
详解：(1)7和5, 6和4, 5和3, 4和2, 3和1；
(2)和为10：7和3, 6和4;和为11：7和4,(6和5 ；和为12：7 和5；和为13：7
和6.
4. 例题4
答案：12个
详解：按长方形的大小分类?一格的有1个，两格的有3个，三格的有2个，四格的有3个,
六格的有2个，八格的有1个?共有1 3 2 3 2 1 12个.
5. 例题5
答案：8种
详解：天数最多3天?按天数分类?吃1天的有1种，吃2天的有4种，吃3天的有3种?共有1 4 3 8种.
6. 例题6
答案：10种
详解：3个水果既可以同种，也可以不同种?因此可按所选水果的种类数量进行分类：
（1）只选1种水果：全苹果、全桃子、全桔子，共3种情况；
（2 ）选2种水果：2个苹果1个桃子、2个桃子1个苹果、2个苹果1个桔子、2个桔子1个苹果、2个桔子1个桃子、2个桃子1个桔子，共6种情况；
（3）3种水果都选：每种水果各1个，共1种情况. 综上所述，共有3 6 1 10种情况.
7. 练习1
答案：10种
简答：每人至少1本，人与人不同，所以是“有顺序”的问题，枚举可得共有10种不同的奖
励方法.
8. 练习2
答案：8种
简答：题目要求是3个大于0的数组成一组，也就是“无顺序”，在枚举时要注意前后的大小关系，共8种.
9. 练习3
第二讲枚举法中的字典排列
1. 例题1
答案：21种
简答：按正方形的大小分类?一格的有1个，四格的有4个，九格的有4个，十六格的有1
个.共有14 4 1 10个.
11. 作业1
答案：3种
简答：（2、1、1） ; （1、2、1） ; （1、1、2）;共3 种.
12. 作业2
答案：10种
简答：按取出的钱所含的面值种数分类，可能是1种面值，也可能是2种面值，也可能是3 种面值.3类情形加起来共有10种可能.
13. 作业3
答案：8种
简答：根据天数分类.1天、2天、3天、4天完成分别有：1、3、3、1种情况，共8种可能.
14. 作业4
答案：13种
简答：按吃完的天数分类，分为4类：1天、2天、3天、4天.这四类分别有1、5、6、1种
情况，共13种不同的情况.
15. 作业5
答案：5种
简答：按取出的球的种类数量进行考虑：取出的球可能有1种或2种.分上述2类进行枚举，
共有5种不同选择.
四年级奥数巧数长方形的个数
第4讲巧数长（正）方形的个数 数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复，一般步骤应是：仔细观察，发现规律，应用规律。 长方形是用“点”或者“线”来数的，而正方形是用“块”来数的。 数长方形的公式：长边上的线段和×宽边上的线段和 数正方形的公式：1、一个被划分成m×n的小正方形的长方形中共可以数出的正方形的个数是： m×n＋（m-1）×（n-1）＋（m-2）×（n-2）＋…………………………＋1×【n-（m-1）】（其中m 分析与解答： 我们先来数一数：只含一个正方形的有9个（即3×3=9）；含有4个正方形的有4个（即2×2=4）；含有9个正方形的有1个。 通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为1×1+2×2+3×3=1+4+9=14个，以后我们碰到类似的题目可以用这种方法数出正方形的个数。 4、下图中共有多少个正方形 分析与解答： 这道题显然与上题不一样，虽然都是由基本小正方形组成，但长和宽里的个数不一样，即小正方形拼接成了一个长方形，那么方法也要有所改变。先看长边上小正方形的个数，有5个，再看宽边上小正方形的个数，有3个，我们还用数的方法试试，只含有一个小正方形的有3×5=15个，含4个小正方形的有（3-1）×（5-1）=8个，含9个小正方形的有（3-2）×（5-2）=3个，通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为： 3×5＋（3-1）×（5-1）＋（3-2）×（5-2）=26个 答：图中共有26个正方形。 5 分析与解答： 这道题和前4个题不同，不是横竖规范的分割，这道题意在提醒同学遇到问题不能思维定式，不能按上面所讲的规律求解，我们可以用枚举法找出个数，灵活解决问题，先给图中每个基本图形编上序号。 （1）、6个基本图形中有4个长方形：①、③、④、⑥ （2）、由两个基本图形组成的长方形有3个：②+④、③+⑤、③+④ （3）、由3个基本图形组成的长方形有2个：①+③+⑤、②+④+⑥ （4）、由6个基本图形组成的长方形有1个：①+②+③+④+⑤+⑥ 所以上图中共有长方形：4+3+2+1=10个 答：上图中共有10个长方形。 基础练习： 简单枚举 知识要点：简单枚举是一种重要的数学思考方法。运用这种方法解题，关键是分类要全，枚举要清。分类要全是指不能遗漏任何一种可能的类型；枚举要清是指要将每一个符合条件的对象都列举出来。对于容易划分类型、符合条件的对象也不太多时，简单枚举是一种较简便的方法。 经典例题：用数字1、3、4可以组成多少个不同的三位数？ 解：一个三位数由百位数字、十位数字和个位数字组成。我们可以根据百位上数字的不同将它们分成3类： 1、百位上数字是1，有：134，143 2、百位上数字是3，有：314，341 3、百位上数字是4，有：413，431 共有：2+2+2=6（个）或 2×3=6（种） 答：可以组成6个不同的三位数。 小试牛刀： 用数字3，8，9可以组成多少个不同的三位数？ 举一反三： 1、用数字0，2，5可以组成多少个不同的三位数？ 2、现有一张1元、两张5元和一张10元的人民币，一共可以组成多少种不同的币值？ 3、两个整数相除，其中除数是一位数，商是5，余数是6，求被除数是多少？ 融会贯通： 用0，2，5，9可以组成多少个能被5整除的三位数？ 综合练习： 1从小华家到学校有3条路可以走，从学校到文峰公园有4条路可以走，从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？ 2、新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售，小名想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同的买法？ 3、从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达，从甲地到丙地有多少种不同的走法？ 4、有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次？ 5、6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？ 6、小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两个人都要我一次手，他们一共握了多少次手？ 7、上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？ 8、一条公路上，共有8个站点，那么共有多少种不同的车票？ 9、明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子，最多可搭配成多少种不同的装束？ 第一讲数的整除问题 一、基本概念和知识： 1、整除： 定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b 能整除a）。用符号“b| a”表示。 2、因数和倍数： 如果a能被b整除，即a÷b=c 由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。 练习： 写出下面每个数的所有的因数： 1的因数：__________________； 7的因数：__________________； 2的因数：__________________； 8的因数：__________________； 3的因数：__________________； 9的因数：__________________； 4的因数：__________________； 10的因数：__________________； 5的因数：__________________； 11的因数：__________________； 6的因数：__________________； 12的因数：__________________； 公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________， 3、质数与合数： 在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。 （１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 （３）0和１既不是质数，也不是合数。、 请写出20以内的所有质数：_____________________________________________________ 注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。 4、互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。 这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。“公因数只有1”，不能误说成“没有公因数。” 例如，2与7、13与19、3与10、5与 26等等 枚举法中的字典排列 我明天先吃什么呢？先吃汉堡，不不，还 是 先吃玉米，哎，还是先吃饼干 吧！到底 先吃什么呢？共有多少种不同的吃 法？ 基础例题: 在上一讲中我们学习了简单的枚举法一一直接把所有情况一一列举出来. 接枚举很有可能产生重复或者遗漏， 这时就需要有一些特别的方法来帮助我们枚举出所有情况. 本讲就 但如果问题较为复杂，直 如果我把这三个东西都带回去, 天吃1个，还可以再吃3天呢？ 主要介绍两种枚举的方法：字典排列法和树形图法. 首字母相同的单词都在一起 同学们可以翻一下英汉字典，不难发现字典中单词排列的规律：整本字典按首字母从 a 到z 排列, 在首字母相同的单词中, 再按照第2个字母从a 到z 的顺序排列, 然后是 个字母，第4个字母所谓“字典排列法”，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出 3各一次可以组成多少个不同的三位数？用字典排列法枚举时，每个位置都勒* 按从小到大排列，枚举的顺序是：123, 132, 213, 231 , 312, 321 .下面我们用字典排列法来解决几个 问题. 例题1 .卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，三人找到 的宝物数量共有多少种不同的可能？（可能有人没有发现宝物） 分析：每个人最少找到几件宝物？最多呢？ 练习： 1.老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高和墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请问：老师有 多少种不同的奖励方法？ 例题2 ?老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8 ?如果两个同学写出的3 个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法?试问：同学们最多能得出多少种不同的写法？ 分析：注意顺序不同算一种写法，也就是三个数分别为（1、2、5）、（2、5、1 ）和（5、1、2）都 算同一种写法. 练习： 2.三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于10，共有多少组这样的三个数? 用字典排序法枚举的时候，判断题目要求到底是“交换顺序后算作两种”还是“交换顺序后仍然是同一种”非常关键?往往题目中要求“交换顺序后仍然是同一种”，那么枚举的每个结果里就没有明确 的顺序关系；反之，那么枚举时要注意每个结果中应该都符合一定的顺序关系. 在求解计数问题时，审题非常关键?往往一字之差就会有天壤之别. 枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举很容易出现重复或者遗 漏.这时就需要预先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚举. 例题3 如下图所示，有7个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7这七个数字?请 问： （1）从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2, 一共有多少种选法？ ftp f 1ft 0 小学生查字典口诀 学查字典并不难，偏旁部首看端详。 没有部首查起笔，形声字儿查形旁； 头底两层是部首，要让字头当偏旁； 左右两边是部首，取左去右有保障； 内心外壳是部首，舍去里边查外框； 整个字儿是部首，此字本身是偏旁； 一字头上生“二角”，取其下底把“角”砍； 下底如果不成部，左上角当此字旁； 有些生字较特殊，顶天立地当偏旁； 多查多想抓规律，相同部首不能忘。 查字典常用的三种方法是： 音序查字法、部首查字法和数笔画查字法。 ?如果很容易确定部首，但不确定读音就可以用部首查字法；?如果知道读音，但不会写这个字，就用音序查字法； ?如果是独体字就用数笔画查字法。 字、词典是无声的老师，这位老师随时会帮你解决疑难，扫除 学习中的“拦路虎”。你会只花少量的时间，非常方便地得到 较多、较全面、较准确的知识。熟练查字、词典，首先要学会 检字。下边以《新华字典》为例介绍这几种查字法。 一、音序查字法 音序检字法是按字音查字词的一种方法。很多字典或词典是按汉语拼音字母的顺序编排的。根据一个字的汉语拼音第一个字母，就可以在“汉语拼音音节表”中找到这个字的拼音音节在正文中的页码，再按照这个字的声调到那一页中去找。凡是要查只知道读音而不知道写法或意义的字，都可以用这种方法，但必须熟悉汉语拼音字母顺序和汉语拼音音节。 运用条件： ①字音要读得正确； ②准确无误地了解这个字的声母、韵母； ③掌握字母的写法。 知道了这个字的读音，不知道它的写法，或不知道它的意思， 就必须运用音序查字法查字。 查字步骤： ①确定音部。按要查字的读音确定音节的第一个字母——音部。 ②查音节索引。在《汉语拼音音节索引》中所确定的音部栏里，找出要查字的音节，并看准该音节后面所标的正文页码。 ③翻阅正文。按页码翻阅正文，找出要查的字。 在学习中遇到不理解的字或不会写的字，只要能读准字音，就可以运用音序检字法去查检。 下面的歌诀，可以帮助同们掌握这种检字法： 音序检字须认真，读准字音很要紧。 打头字母定音部，再找音节看《索引》； 按照例字找同音，对照页码翻正文； 根据声调找汉字，字形字义记在心。 部首检字法：部首检字法属于按形查字中的一种方法。它是根据汉字的部首去查检的。凡字典正文中的单字是按部首归类进行排列的，都可以运用部首检字。 部首检字的基本步骤? ⑴确定出部首。先对所要查的字确定出查什么部。 ⑵查《部首目录》。在《部首目录》中查出该部首在《检字表》中的页码。 ⑶查《检字表》。按照页码在《检字表》中这个字的余画（即除去部首还余几画）里查出这个字在字典正文中的页码。 第2次课枚举法中的字典排列 小热身 体会一下，“分给两个人”和“分成两堆”有什么区别呢？ (1)把5个苹果全部分给两个人，共有多少种不同的分法？ (2)把5个苹果分成两堆，共有多少种不同的分法？ 例题1:卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了4件宝物，三人找到的宝物数量共有多少种不同的可能？(可能有人没有发现宝物) 练习1:老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高、墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请问:老师有多少种不同的奖励方法？ 例题2:老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8。如果两个同学写出的3个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法。试问:同学们最多能得出多少种不同的写法？ 练习2:三个大于0的整数之和(数与数可以相同)等于10，共有多少组这样的三个数？ 例题3:如下图所示，有7个按键，上面分别写着1、2、3、4、5、6、7这七个数字。请问: (1)从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2，一共有多少种选法？ (2)从中选出2个按键，使它们上面的数字的和大于9，一共有多少种选法？ 练习3:有一次，著名的探险家大米得到一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下面有一行小字，密码是和大于11的两个数，而且这两个数不能相同，不用考虑数的先后顺序，你知道密码共有多少种可能吗？ 例题4:如图，数一数图中包含星星的长方形(包括正方形)有多少个？ 练习4:如图，数一数图中包含星星的正方形有多少个？ 作业: 1、有4支完全相同的铅笔要分给3位同学，每位同学至少分1支，共有多少种不同的分法？ 2、有面值分别为1元、10元和50元的纸币若干，每种面值的纸币张数都大于 3、如果从中任意取3张，那么能组成的钱数共有多少种？ 3、从1、2、3、 4、 5、6这六个数字中选出2个数字，使它们的数字的差等于2，一共有多少种选法？ 4、数一数，下图包含星星的长方形(包括正方形)有多少个？ 5、在下图中，一共能找出多少个含“☆”的三角形。 【知识要点和基本方法】 大凡地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的便当，把问题分为不重复、不遗漏的无限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的，这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法，我们也可以通俗地称枚举法为举例子。枚举法是一种多见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是简易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其严重。 【例题精选】 例1.用数字1，2，3可以组成多少个例外的数字？分别是哪几个数？ 分析：根据百位上数字的例外，我们可以把它们分为三类： 第1类：百位上的数字为1，有123，132； 第2类：百位上的数字为2，有213，231； 第3类：百位上的数字为3，有312，321。 所以可以组成123，132，213，231，312，321，共6个三位数。 课堂练习题： 用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？ 例2.小明有面值为5角、8角的邮票各两枚。他用这些邮票能付多少种例外的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）分析：我们可根据小明寄信时所用邮票枚数的多少，把它们分成四类——一枚、二枚、三枚、四枚。 一枚:5角 二枚:10角,13角 三枚:18角,21角 四枚:26角 课堂练习题： 10元钱买6角邮票和8角邮票共14张，问两种邮票各多少张？ 例3.用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在一个盘内时，可称出例外的重量有多少种？ 分析：共有三个重量各不相同的砝码，可以取出其中的一个、两个或三个来称例外的重量，一一列举这三种情况。 1个:1克,3克,9克 2个:4克,10克,12克 3个:13克 同学们可以思考一下:如果砝码可以放天平的两边,又能称出多少例外的重量? 例4.课外小组组织30人做游戏，按1－30号排队报数。第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一人。到第几次这些人全部站出来了？最后站出来的人应是第几号？ 分析：根据题目的特点，先用排列法把题中的条件、问题排列出来，再用枚举法完成题目的要求。 例5.用长48厘米的铁丝围成各种长方形（长和宽都是整厘米数，且长和宽部不相等），围成的最大一个长方形面积是多少平方厘米？ 分析：各种长方形的长和宽之和都是48÷2＝24（厘米）。两数的和一定，当两数越接近，它们的乘积越大，当两数相等的时候，乘积最大。 小学四年级奥数-思维训练题-智力竞赛题-练习题-竞赛试卷-测试题 携带要求不开箱。营业员有多少种发货方法？ 教师姓名学科数学上课时间年月日---学生姓名年级三年级 课题名称枚举法 教学目标1、做到不重补漏，把复杂的问题简单化； 2、按照一定的规律，特点去枚举； 3、从思想上认识到枚举的重要性。 教学重点枚举法 教学过程 枚举法 【课题引入】 枚举法是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意一下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 【例题学习】 例1：用数字1、3、4可以组成多少个不同的三位数？ 【即时练习】 1、用0、3、5可以组成多少个不同的三位数? 2、用4、7、8这三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数，它们有哪些？其中最大的数和最小的数各是多少？ 【例题学习】 例2、用0，2，5，9可以组成多少个是5的倍数的三位数？ 【即时练习】 1、从1、 2、 3、 4、 5、6这些数中，任取两个数，使其和不能被3整除，则有_______种取法。 2、从l～9这9个数码中取出3个，使它们的和是3的倍数，则不同取法有_______种。 3、小明的两个口袋中各有6张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，……，6。从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算上面所写两数的乘积，那么，其中能被6整除的不同乘积有_____个。 第一讲图形的计数问题 一、知识点： 几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯． 二、典例剖析： 例（1）数出右图中总共有多少个角 分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角： 4＋3＋2＋1＝10（个） 解：4＋3＋2＋1＝10（个） 答：图中总共有10个角。 方法2：用公式计算：边数×（边数—1）÷2 5×（5-1）÷2=10 练一练： 数一数右图中总共有多少个角？ 例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？ 分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC纵向线段，再看BC、MN、GH 这3条横向线段： （4×3÷2）×5+（5×4÷2）×3=60（条） ②要数有多少个三角形，先看在△ABC中，被GH和MN分成了三层，每一层的 三角形一样多，所以只要算出一层三角形个数就可以了。 (5×4÷2) ×3=30(个) 答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。 练一练： 图中共有多少个三角形？ 例（3）数一数图中长方形的个数 分析：长边线段有：6×5÷2=15 宽边线段有： 4×3÷2=6 共有长方形：15×6 = 90（个） 答：共有长方形90个。 简单枚举（一） 知识导航 数学问题中有些问题的答案具有多样性，直接解答比较困难，我们可以采用一一列举的方法来解决。像这样通过列举各种情况使问题得到顺利解决的数学方法，我们称之为简单枚举 典型例题1 从小辉家到学校有2条路可以走，从学校到人民公园有3条路可以走，从小辉家经过学校到人民公园，有多少种不同的路线？ 举一反三1 1、从小强家到学校有3条路可以走，从学校到文化宫有2条路可以走，从小强家经过学校到文化宫，有多少不同的路线？ 2、从甲地到乙地，有3条直达公路，从乙地到丙地，有4条直达铁路，从甲地经过乙地到达丙地，有多少种不同的路线？ 3、书店有5中不同的电脑书，4种不同的手工书，小希想买一本电脑书和一本手工书，共有多少种不同的组合？ 经典例题2 小雨又4件不同的上衣，2条不同的裤子，如果将上衣和裤子搭配，请问小雨一共有多少种不同的穿法？ 举一反三2 1、小琳有3件不同的体恤，3条不同的裙子，问她一共有多少种不同的穿法？ 2、小鸭、小鸡、小鹅三个动物排成一排，有多少种不同的排法？ 3、用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成几种不同的信号？ 典型例题3 小雨又4件不同的上衣，2条不同的裤子，3双不同的鞋子，最多可以搭配成多少种不同的装束？ 举一反三3 1、晓琳有3件不同的上衣，5条不同的裤子，4双不同的鞋子，最多可搭配成多少种不同的装束？ 2、小玲的芭比娃娃有6件不同的体恤，3条不同的牛仔裤，5双不同的鞋子，小玲最多可为芭比娃娃搭配多少种不同的装束？ 3、小玉有5支钢笔，3个文具盒，4块橡皮，他要每样选一种送给同桌作为生日礼物，他有多少种不同的选法？ 经典例题4 用2、4、6这三个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数？ 举一反三4 1、用1、7、5这三个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数？ 2、用2、 3、9、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 3、用6、 4、 5、8这四个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数？ 第四讲运用枚举法解应用题 【知识要点】根据问题的要求，一一列举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一列举各种情况，最终达到解决整个问题的目的，这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。 一．用数字1、2、3可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？【分析】解：根据百位上数字的不同，我们可将它们分成三类：第一类：百位上的数字为1，有123,132； 第二类：百位上的数字为2，有____________ 第三类：百位上的数字为3，有____________ 答：可以组成______个不同的三位数。 二．小明有面值为5角和8角的邮票各2枚，他用这些邮票能付多少种不同的邮资(寄信时，所需邮票的钱数)？ 解： 答：能付______种不同的邮资。 三．用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个，当砝码只能放在同一个盘内时，可以称出多少种不同的重量？ 【分析】可以用树形图把解题过程表示出来。 1 用其中的一个砝码 3 9 1+3=4 称出重量 1+9=10 3+9=12 用其中的三个砝码 1+3+9=13 答：可以称出7种不同的重量。 四．班级中共有30个人，学号分别为1~30号，现在按学号排队报数，第一次报数后，报到单号的人全部站出来，余下的人继续从1开始报数，报到单号的人全部站出来，以此类推，问到第几次这些人全部都站出来了，最后站出来的人是第几号？ 解： 答：到第______次全部都站出来，最后站出来的是第几号？ 五． 如右图所求，数字1 5处，规定每次只能移动到邻近的一格，且总是向右 移动，例如：1-2-4-5就是一条移动路线，问共有多 少种不同的移动路线？ 【分析】解：移动棋子，从1到5，对1来说，向右移动到邻近一格，有两种方法1-2或1-3，对2来说，向右移动到邻近一格，也有两种方法，2-3或2-4，以此类推，我们用树形图一步一步填写： 4 5 3 2 5 4 5 1 4 5 3 5 数一数图中5的个数就是移动和路线数。 答：共有______种移动路线。 六． 用长48厘米的铁丝围成各种长方形(长和宽都是整厘米数，且长和宽不 相等)，围成的最大的一个长方形的面积是多少平方厘米？ 答：围成最大的一个长方形的面积是______平方厘米。 七． 商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重 的。一顾客要求买9千克的饼干，为了便于携带要求不开箱。问营业员有多少种发货的办法？ 7-1-1.加法原理之分类枚举（一） 教学目标 1.使学生掌握加法原理的基本内容； 2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别； 3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则． 加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致． 知识要点 一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决． 例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？ 分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法． 在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数． 二、加法原理的定义 一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理． 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”． 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则： 1完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； 2分别属于不同两类的两种方法是不同的方法． 只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确． 运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”． 三、加法原理解题三部曲 1、完成一件事分N 类； 2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）； 3、类类相加 枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏． 第19讲：简单枚举 专题简析：枚举法是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般要根据问题的要求，一一列举问题进行解答，运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；而是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 【例题1】从小华家到学校有3条路可以走，从学校到文峰公园有四条路可以走。从小华家到文峰公园有几种不同的走法？ 【习题一】1、从甲地到乙地有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同的走法？ 2、新华书店有3种不同的英语辅导书、4种不同的数学辅导书在销售，小明想买一本英语辅导书和一本数学辅导书，共有多少种不同买法？ 3、明明有2件不同的上衣、3条不同的裤子、4双不同的鞋子，最多可搭成多少种不同的装束？ 【例题2】一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？ 【习题二】1、一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？ 2、把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？ 3、3个自然数的乘积是18，由这样的3个数所组成的数组有多少个？如（1,2,9）就是其中的一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1,2,9）和（2,9，1）是同一数组。 【例题3】4个小朋友在寒假中互相打一次电话，他们一共打了多少次电话？ 【习题3】1、6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少场比赛？ 2、小芳出席由19人参加的联欢会，散会后每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？ 3、A，B，C，D，E这五个人一起回答一个问题，结果只有两人答对了，所有可能的回答情况一共有多少种？ 【例题4】一条铁路共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么这样的车票共有多少种？ 算法分析与设计实验报告 第 2 次实验 这次的实验和上一次的字典序问题有一些相似，主要不同的地方在于要写出下 附录：完整代码 #include for(int i=end;i>=begin;i--) p[i]=temp[end-i]; } int cal_a(int a,int b)//计算阶乘 { int answer=1; if(a==0&&b==0) return 1; for(int i=0;i 最新小学四年级奥数练习题第五讲 枚举法解应用题 【知识要点和基本方法】 一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的，这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法，我们也可以通俗地称枚举法为举例子。枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。 【例题精选】 例1.用数字1，2，3可以组成多少个不同的数字？分别是哪几个数？ 分析：根据百位上数字的不同，我们可以把它们分为三类： 第1类：百位上的数字为1，有123，132； 第2类：百位上的数字为2，有213，231； 第3类：百位上的数字为3，有312，321。 所以可以组成123，132，213，231，312，321，共6个三位数。 课堂练习题： 用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？ 例2.小明有面值为5角、8角的邮票各两枚。他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数） 分析：我们可根据小明寄信时所用邮票枚数的多少，把它们分成四类——一枚、二枚、三枚、四枚。 一枚:5角 二枚:10角,13角 三枚:18角,21角 四枚:26角 课堂练习题： 10元钱买6角邮票和8角邮票共14张，问两种邮票各多少张？ 例3.用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在一个盘内时，可称出不同的重量有多少种？ 分析：共有三个重量各不相同的砝码，可以取出其中的一个、两个或三个来称不同的重量，一一列举这三种情况。1个:1克,3克,9克 2个:4克,10克,12克 3个:13克 同学们可以思考一下:如果砝码可以放天平的两边,又能称出多少不同的重量? 例4.课外小组组织30人做游戏，按1－30号排队报数。第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一人。到第几次这些人全部站出来了？最后站出来的人应是第几号？ 分析：根据题目的特点，先用排列法把题中的条件、问题排列出来，再用枚举法完成题目的要求。 例5.用长48厘米的铁丝围成各种长方形（长和宽都是整厘米数，且长和宽部不相等），围成的最大一个长方形面积是多少平方厘米？ 分析：各种长方形的长和宽之和都是48÷2＝24（厘米）。两数的和一定，当两数越接近，它们的乘积越大，当两数相等的时候，乘积最大。 对于使用递归解决排列和组合的问题，俺看了很多篇参考资料，可惜的是有点难以理解别人的写法，跟MSDN一样，字都是中文，可是合起来就不知道是啥意思了，同样都是代码，每一句都能看明白，可就是不知道，他在这里为啥要写这一句，这一句在整个程序中的地位，还是脑子不好使，中学的时候数学没学好，这么些年又没好好的锻炼脑子，生锈了。 对于全排列来说，咱们还是从最简单的开始吧。 序列中只有一个元素：那么全排列就只有一种，{1}就是这个序列本身。 序列中有两个元素：那么全排列有两种方式，{1，2}，{2，1}。 序列中有三个元素：那么全排列有六种方式，{1，2，3}，{1，3，2}，{2，1，3}，{2，3，1}，{3，1，2}，{3，2，1}。 如果将排列的结果做成一个整数的话，那么对于三个元素的全排列结果应该是：{123}，{132}，{213}，{231}，{312}，{321}，这六个数有没有什么特点？ 当然有。 1.它们都是由1，2，3这几个字符组成的。 2.3>2>1。 3.123<132<213<231<312<321。 这个垃圾结论能替我们解决问题吗？ 当然能。 还记得我们怎么理解二进制的吗？ 还记得我们怎么理解八进制的吗？ 还记得我们怎么理解十六进制的吗？ 二进制中包含两个字符：0，1。 八进制中包含八个字符：0，1，2，3，4，5，6，7。 十六进制中包含十六个字符：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F。 俺的乖乖，数字么呢？字母都来咧，那些个A呀，B呀，C呀，只是一些符号而已，它们在十六进制中代表的是10，11，12，13，14，15而已。 为嘛非得用ABCDEF呢？能不能用其他的字符呢？ 当然可以。甚至于我们把ABCDEF可以改成“啊吧才的饿飞”，只有它依然代表的是10，11，12，13，14，15就行了。 为嘛会用的上ABCDEF呢？ 呵呵，简单了，因为咱们平常用的数字中没有一个单独的符号用来表达10，11，12，13，14，15而已，咱们为这些值找了个代表而已。 好了，扯的够远了，往回扯。 回到八进制中，为嘛八进制中没有ABCDEF呢？ 简单的回答是：咱们平常用的数字可以完全拿来表达八进制中的每个单独的数字，就是说，够用了，用不着折腾了 复杂的回答是：可以有ABCDEF这些字母，反正这些字母仅仅是个代表而已。 改成{1，2，3，4，5，6，7，8}行不？当然行。不就是个符号么。 二进制的改成{1，2}行不，也行；改成{2，3}行不，也行。 无论是{1，2}还是{2，3}仅仅是个符号，咱们要做的工作是保证符号中的大小关系，比如1<2，2<3就行了。 那么再次变态一点：{1，4}行不？当然行，对于二进制来说，只要1<4就行了。那么{3，8}也行喽？当然。 好了，我们已经够变态的了，不妨再变态一点。 既然都已经有了二进制，八进制，十六进制，为嘛不能整个三进制呢？ 第四讲枚举法一 内容概述 掌握枚举的一般方法。学会按照一定顺序，有规律地进行枚举，做到“不重不漏”；应用字典排列法解决整数分拆的问题。学会分辨“计次序”与“不计次序”的情形。 兴趣篇 1.冬冬在一张纸上画了一些图形，如图所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的，请 你数一数，纸上一共有多少条线段？（最外面的大长方形的边框，不算在内） 分析：24条 2.要沿着如图所示的道路西欧那个A点走到B点，并且每段路最多只能经过一次，一共有 多少种不同的走法？ 分析：4种 3.小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游。要走遍这三个景点，他一共有多少 种不同的游览顺序？ 分析：6种 4.小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方种选2个去旅游，小王又多少种不同的 选择方式？如果小王想去其中的3个地方，又有多少种选择方式？ 分析：6种；4种 5.小烧饼每个5角钱，大烧饼每个2元钱。冬冬一共有6元钱，如果把这些钱全部用来买 烧饼，一共有多少种不同的买法？ 分析：4种 6.在一次知识抢答比赛中，小悦和冬冬两个人一共答对了10道题，并且每人都有答对的 题目。如果每道题1分，那么小悦和冬冬分别可能得多少分？请把所有的可能填写到下面的表格里： 分析：10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5=6+4=7+3=8+2=9+1 7.两个海盗分20枚金币，请问： （1）如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有多少种不同的分法？ （2）如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有多少种不同的分法？ 分析：（1）11种；（2）13种 8.有15个玻璃杯，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？这两堆球的个数可能相 差几个？ 分析：7种；可能相差13，11，9，7，5，3，1个 9.张奶奶去超市买了12盒光明牛奶，发现这些牛奶需要装在2个相同的袋子里，并且每 个袋子最多只能装10盒。张奶奶一共有几种不同的装法？ 分析：5种 10.小悦、冬冬、阿奇三个人一共有7本课外书，每个人至少有一本。小悦、冬冬、阿奇分 别有几本课外书？请写出全部可能的情况。 拓展篇 1.如图，小悦画了一个小房子，如果每画一笔都不能拐弯，那么她最少画了几笔？ 分析：31笔 2.小悦把8块绿豆糕摆成如图所示的图形，让冬冬挑两块挨在一起的绿豆糕。请问：冬冬 一共有多少种不同的挑法？ 第 4 讲巧数长（正）方形的个数 数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复，一般步骤应是：仔细观察，发现规 律，应用规律。 长方形是用“点”或者“线”来数的，而正方形是用“块”来数的。 数长方形的公式：长边上的线段和×宽边上的线段和 数正方形的公式：1、一个被划分成m×n 的小正方形的长方形中共可以数出的正方形的 个数是： m×n＋（m-1）×（n-1）＋（m-2）×（n-2 ）＋??????????＋1×【n-（m-1）】（其中m 上图上长有6 条线段，即3＋2＋1=6（个）宽边上有3 条线段，即2＋1=3（个）因此，根据数长方形公式：6×3=18（个）答：上图中共有18 个长方形。 2、下图中共有多少个长方形？ 分析与解答： 这道题比例1 横竖都多了一条线，那么长方形的个数明显增多了，利用公式仍然要数出长边上的线段数和宽边上的线段数即 长边上的线段和：4＋3＋2＋1＝10 个宽边上的线段和：3+2+1=6个 因此根据数长方形公式：10×6=60 个 答：上图中共有60 个长方形。 3、下图中共有多少个正方形？ 分析与解答： 我们先来数一数：只含一个正方形的有9个（即3×3=9）；含有4个正方形的有4个（即 2×2=4）；含有9 个正方形的有1个 通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为1× 1+2× 2+3×3=1+4+9=14 个，以后我们碰到类似的题目可以用这种方法数出正方形的个数。 三年级奥数(简单枚举) 【专题简析】 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 【典型例题】 【例1】从小华家到学校有3条路可以走，从学校到岐江公园有4条路可以走，从小华家到岐江公园，有几种不同的走法？ 【试一试】 1. 从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路可以直达，从甲地到丙地有多少种不同的走法？ 2. 新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售，小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同的买法？ 【例2】把4个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？ 【试一试】 1．把5个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？ 2．把7个同样的苹果放在三个同样的盘子里，不允许有的盘子空着不放，问共 有多少种不同的分法？ 【例3】从1～6这六个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于7，能有多少种取法？ 【试一试】 1．从1～9这九个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于10，能有多少种取法？ 2．从1～19这十九个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于20，能有多少种取法？ 【例4】一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？ 【试一试】 1．一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？ 2．把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？ 【例5】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多 少次电话？ 【试一试】 1．6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？简单枚举三年级奥数
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