数学建模论文

问题重述

一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给与鼓励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，让我们根据钓上的鱼的长度来估计它的体重。现假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且测得到8条鱼的如下数据：

问题分析

我们都知道鲈鱼的体重主要由鱼的身长、胸围决定。一般来说，鲈鱼的胸围越大，鱼的体重会越重，身长越长，体重也越重。但影响鲈鱼体重的因素并不唯一，我们要考虑单一变量对鱼体重的影响，即身体长度与体重的关系和胸围与体重的关系，我们要根据已知数据，利用相关软件进行模拟，来确定鲈鱼体重与身长、胸围之间的数量规律。

模型假设

1．假设池塘里只有一种鲈鱼，不存在其他鱼种。

2．假设池塘里鲈鱼数量众多，分布均匀，密度相同。

3．假设鲈鱼全都正常生长，没有人为因素影响鲈鱼的发育与成长。

4．假设鲈鱼的体态用与胸围等周长，鲈鱼的躯干近似呈圆柱形。

5．假设鲈鱼的身长和胸围与体重成正相关关系。

符号说明

模型一：建立鲈鱼的身长与鲈鱼的体重的模型

为了研究鲈鱼身长与体重的关系，我们利用已测量的数据，取出身长及体重的数据，利用MATLAB 软件画出散点图，如下：

30

32

34

36

3840

42

44

46

身长

体重

身长与体重散点图

方法一：我们把图形可以近似看成一条抛物线，身长与体重近似成二次函数关系

通过多次拟合可得：

W=1.6247*L^2-59.3124*L+709.7392

(1)

根据拟合的函数，我们画出拟合图：

30

32343638404244464850

身长与体重拟合图

从拟合图上看，大部分原始数据在拟合函数附近，说明用二次函数拟合的效果较好.

方法二： 根据散点图决定利用三次多项式拟合得到的各项系数如下：

1 -80 3008 -37262

从而得到了拟合函数：

37262

3008802

3

-+-=L L L W

30

32

34

36

3840

42

4446

4005006007008009001000

110012001300

1400根据拟合数据得到的图形

L(cm)

W (g )

模型二：鲈鱼体重与胸围的模型确立

仅仅考虑鲈鱼胸围对体重的影响，我们采用与模型一相同的方法，先画出鲈鱼体重与胸围的散点图：

20

22

24

2628

30

32

4005006007008009001000110012001300

1400胸围

体重

胸围与体重散点图

从图形上看，鲈鱼体重与胸围可能成线性关系，利用多项式拟合的方法，我们得到鲈鱼体重与胸围的函数表达式： W=92*C-1497.5

根据拟合函数，画出胸围与体重关系的拟合图：

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

200400600800100012001400160018002000

2200胸围与体重拟合图

从图形上看，大部分点分布在直线左右，我们可以近似看成二者成线性关系。

模型三：

同时考虑身长、胸围对体重的影响：

此模型要用到基本假设4及即：鲈鱼的体态用与胸围等周长，与身长等高的圆柱形来近似。因为圆柱体的体积等于底面积乘高，底面积可以用周长表示：

π

42

C

.

因此可以分析得出2LC W ∝.又物体质量等于密度与体积的乘积，因此只需根据数据求出密度即可。于是身长、胸围与体重的关系可以表示为：2LC W α=，问题转化为对系数α的求解。利用MATLAB 软件和已知的八组数据可以求出对应的α值：

0.0303 0.0305 0.0322 0.0334 0.0326 0.0346 0.0338 0.0341

为了得到精确地模型对数据进行处理

α≈0.0327

因此 20327.0LC W =

模型检验

模型一

平均相对误差为：

从表中的数据，我们可以得出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差较小，说明用二次函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。

方法二：得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表：

平均相对误差为： 3.44%

从表中的数据，我们可以看出方法二的相对误差小于方法一的相对误差，所以方法二的结果更贴近实际。

模型二

平均相对误差为：

从表中的数据，我们可以看出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不太大。模型三

平均相对误差为： 4.0375%

根据表三的数据，可以知道模型三的拟合程度也较好，相对于模型一、二，此模型充分考虑到了身长、胸围对体重的相互影响，用此模型估计鲈鱼的体重可能会更符合实际，更合适推广。

模型优点：模型简单，易于理解

数据处理简明，计算思路清晰。

通过对比，结果更有说服力。

模型缺点：模型是根据个人经验建立，可能存在误差。

鲈鱼呈梭形，看成圆柱较牵强。

画两散点图的程序：

x=[36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1];

y=[24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6];

z=[765 482 1162 737 482 1389 652 454 ;

plot(x,z,'*')

xlabel('身长');

ylabel('体重');

title('身长与体重散点图');

plot(y,z,'*')

xlabel('胸围');

ylabel('体重');

title('胸围与体重散点图');

画身长与体重拟合图程序：

x=[36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1];

z=[765 482 1162 737 482 1389 652 454];

x1=[30:0.1:50];

z1=1.6247.*x1.^2-59.312.*x1+709.7392

plot(x,z,'*',x1,z1)

xlabel('身长');

ylabel('体重');

title('身长与体重拟合图');

画胸围与体重拟合图程序：

y=[24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6];

z=[765 482 1162 737 482 1389 652 454];

y1=[20:0.1:40]；

z1=92.*y1-1497.5;

plot(y,z,'*',y1,z1)

xlabel('胸围');

ylabel('体重');

title('胸围与体重拟合图');

得到式（1）、（2）表达式的程序：

x=[36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1];

y=[24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6];

z=[765 482 1162 737 482 1389 652 454];

v1=polyfit(x,z,2);

v2=polyfit(y,z,1);

得到模型三的程序：

y=[24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6];

c=y.^2;

x=[36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1];

z=c.*x;

w=[765 482 1162 737 482 1389 652 454];

a=w./z;

sum(a)/8

建模中利用到MATLAB的程序如下

>>L=[31.8 32.1 32.1 35.9 36.8 36.8 43.8 45.1]; >>W=[482 482 454 652 737 765 1162 1389];

>>plot(L,W,'*')

xlabel('L'),ylabel('W');

>>p=polyfit(L,W,3)

p =

1.0e+004 *

0.0001 -0.0080 0.3008 -3.7262

>>L=[31.8 32.1 32.1 35.9 36.8 36.8 43.8 45.1];

>> C=[ 21.3 21.6 21.6 22.9 24.8 24.8 27.9 31.8];

>> W=[482 482 454 652 737 765 1162 1389];

>>a=W./L./C.^2

a =

0.0334 0.0322 0.0303 0.0346 0.0326 0.0338 0.0341 0.0305

鲈鱼体重问题

实验102

范吉轩

唐超

黄逸宁