线性规划习题附答案模板
习题
2-1 判断下列说法是否正确:
（1）任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题;
（2）对偶问题的对偶问题一定是原问题;
（3）根据对偶问题的性质, 当原问题为无界解时, 其对偶问题无可行解, 反之, 当对偶问题无可行解时, 其原问题具有无界解;
（4）若线性规划的原问题有无穷多最优解, 则其对偶问题也一定具有无穷多最优解;
（5）若线性规划问题中的b i, c j值同时发生变化, 反映到最终单纯形表中, 不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况;
（6）应用对偶单纯形法计算时, 若单纯形表中某一基变量x i<0, 又x i所在行的元素全部大于或等于零, 则能够判断其对偶问题具有无界解。
（7）若某种资源的影子价格等于k, 在其它条件不变的情况下, 当该种资源增加5个单位时, 相应的目标函数值将增大5k;
（8）
已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解, 若y i >0, 说明在最优生产计划中第i 种资源已经完全耗尽; 若y i =0, 说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。
2-2将下述线性规划问题化成标准形式。
?????
?
?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束
43
214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z ()???
??≥≤≤-+-=++-+-=无约束
321
3213213
21,0,06
24
.322min 2x x x x x x x x x st x x x z 解: (1)令'''444x x x =-, 增加松弛变量5x , 剩余变量6x , 则该问题的标准形式如下所示:
'''
12344'''
12344'''
123445'''
123446'''1234456max 342554222214..232
,,,,,,0
z x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x =-+-+-?-+-+-=?+-+-+=??-++-+-=??≥? (2)令'z z =-, '11x x =-, '''333x x x =-, 增加松弛变量4x , 则该问题的标准形式如下所示:
'''''
1233''''
1233''''
12334''''12334
max 22334
..26,,,,0z x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =+-+?++-=?+-++=??≥? 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题, 并对照
指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
()???
??≥≤+≤++=0,825943.510max 12
1212121x x x x x x st x x z ()???
??≥≤+≤++=0,242615
53.2max 22
121212
1x x x x x x st x x z 解: (1)图解法
最优点为B 点, 最优解为x1=1,x2=3/2, 最优值为35/2。 单纯形表计算过程:
初始单纯形表( 对应O 点)
z ’ x 1 x 2 x 3 x 4 RHS z ’ 1 -10 -5 0 0 0 x 3 0 3 4 1 0 9 9/3 x 4
[5]
2
1
8
8/5
第一次迭代( 对应A 点)
z ’ x 1 x 2 x 3 x 4 RHS z ’ 1 0
-1
0 2
16
x 3
0 [14/5]
1
-3/5 21/5 /14/5
5x 1+2x 2=8
x 2
x 1
O(0,0)
A(8/5,0)
B(1,3/2)
3x 1+4x 2=9
x 1 10 1 2/5 0 1/5 8/5
8/5/4/5
第二次迭代( 对应B 点, 即最优解)
z ’ x 1 x 2 x 3
x 4
RHS
z ’ 1 0 0 5/14 25/14 35/2 x 2 5 0 1 5/14 -3/14 3/2 x 1
10
1
-1/7
2/7
1
(2)图解法
最优点为B 点, 最优解为x1=15/4,x2=3/4, 最优值为33/4。 单纯形表计算过程:
初始单纯形表( 对应O 点)
z ’ x 1 x 2 x 3 x 4 RHS z ’ 1 -2 -1 0 0 0 x 3 0 3 5 1 0 15 15/3 x 4
[6]
2
1
24
24/6
第一次迭代( 对应A 点)
z ’ x 1 x 2 x 3 x 4 RHS z ’ 1 0 -1/3 0 1/3 8 x 3 0 0 [4] 1 -1/2 3 3/4 x 1
2
1
1/3
1/6
4
4/1/3
6x 1+2x 2=24
x 2
x 1
O(0,0)
A (4,0)
B(15/4,3/4)
3x 1+5x 2=15
??
?
??≥≤++++≤++++0572********..5432154321j x x x x x x x x x x x t s ???????
??≥≥+≥+≥+++≥++0226332..31434321421j x x x x x x x x x x x x t s 第二次迭代( 对应B 点, 即最优解)
z ’ x 1 x 2 x 3
x 4
RHS
z ’ 1 0 0 1/12 7/24 33/4 x 2 1 0 1 1/4
-1/8 3/4 x 1
2
1
-1/12 5/24 15/4
2-4已知线性规划问题, 写出其对偶问题:
( 1)
(2)
解: (1)原问题的对偶问题为:
12121
21
2121212min 1957210
424
2320..3220525,0
y y y y y y y y s t y y y y y y ω=++≥??+≥??+≥??+≥??+≥?≥?? 5
4
3
2
1
2520202410max x x x x x z ++++=)5,4,3,2,1(=j 4
3216368min x x x x z +++=)
4,3,2,1(=j