等差数列单元测试题百度文库

一、等差数列选择题

1．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（） A ．

B ．2

C ．8

D ．13

2．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（） A ．200

B ．100

C ．90

D ．80

3．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（） A ．72

B ．90

C ．36

D ．45

4．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（） A ．

825

两 B ．

845

两 C ．

865

两 D ．

885

两 5．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（） A ．32n -

B ．

n - C ．

3122

n - D ．

n + 6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()

12n n n S +=，则数列11n n a a +??????

的前10项的和为

（） A ．

B ．

910

C ．10

D ．

1112

7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（） A ．11

B ．12

C ．23

D ．24

8．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（） A ．10

B ．9

C ．8

D ．7

9．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大21

，则该数列的项数是（） A ．8

B ．4

C ．12

D ．16

10．已知数列{}n a 的前项和2

21n S n =+，n *∈N ，则5a =（）

A ．20

B ．17

C ．18

D ．19

11．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数

列共有（） A ．132项

B ．133项

C ．134项

D ．135项

12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =.定义数列{}n b 如下：

()*1m m b m m

+∈N 是使不等式()

n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b +++

+=（）

A ．25

B ．50

C ．75

D ．100

13．已知数列{}n a 满足25111,,25

a a a ==且

*121

0,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（） A ．19

B ．20

C ．21

D ．22

14．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（） A ．25

B ．11

C ．10

D ．9

15．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若(

111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（）

A ．0m S <且10m S +>

B ．0m S >且10m S +>

C ．0m S <且10m S +<

D ．0m S >且10m S +<

16．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（） A ．18

B ．19

C ．20

D ．21

17．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（） A ．15

B ．30

C ．3

D ．64

18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1

1213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：

①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

19．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ?∈都有333

122n n n a a a ++=+，则10a 等于

（） A ．10

C ．64

D ．4

20．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（） A ．2

B ．

C ．4

D ．4-

二、多选题

21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组

成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a =

B ．733S =

C ．135********a a a a a +++???+=

D ．

222

122019

20202019

a a a a a ++??????+=22．题目文件丢失！

23．题目文件丢失！

24．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（）

A ．0,2,n n a n ?=??

为奇数为偶数

B ．1(1)1n n a -=-+

C ．2sin

n n a π

= D ．cos(1)1n a n π=-+

25．若数列{}n a 满足112,02

121,1

n n n n n a a a a a +?

≤≤??=??-<

（） A ．

B ．

C ．

D ．

26．已知数列{}n a 满足112a =-，11

1n n

a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（）

A ．2-

B ．

C ．

D ．3

27．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >，则78S S >

D ．若67S S >则56S S >.

28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15

0,20,a a a 则（）

A ．80a <

B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值

C ．49S S =

D ．满足0n S >的n 的最大值为12

29．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（） A ．0d < B ．70a =

C ．95S S >

D ．67n S S S 与均为的最大值

30．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ??

???

是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．B 【分析】

设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】

设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =，所以数列{}n a 的公差为2，故选：B 2．C 【分析】

先求得1a ，然后求得10S . 【详解】

依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=?=. 故选：C 3．B 【分析】

由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2

444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】

由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，

∴2

444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，

∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，

∴99(229)

902

S ?+?=

=，

故选：B 【点睛】

思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2

k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()

n n n a a S +=的应用. 4．C 【分析】

设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子，数列{}n a 是等差数列，

810

100a S =??

=?利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】

设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子，由题意可得设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，

则由题意得8106100a S =??=?，即1176109

101002a d a d +=??

??+=??，解得186585a d ?

=????=-??

. 所以长兄分得86

两银子. 故选：C. 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得

()1,2,,10n a n =???两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和

前n 项和公式. 5．C 【分析】

根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】

因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则公差为313

a a d -=

=，因此通项公式为()331

11222

n a n n =+-=-. 故选：C. 6．C 【分析】

首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设1

1111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】

当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()11122

n n n n n n n a S S n -+-=-=

-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()11111

n n n b a a n n n n +=

==-++，前n 项和为n T ，则10111111101122310111111T ??????=-+-++-=-= ? ? ???????

…. 故选：C 7．C 【分析】

由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】

32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+?=，

故选：C. 8．A 【分析】

利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ．【详解】

在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由

467811a a a =???

+=?444812311

a d a d a d =??=-?+++=?，24210a a d ∴=-=. 故选：A 9．A 【分析】

设项数为2n ，由题意可得()21

212

n d -?=，及6S S nd -==奇偶可求解．【详解】

设等差数列{}n a 的项数为2n ，

末项比首项大

212

， ()212121;2

n a a n d ∴-=-?=① 24S =奇，30S =偶，

30246S S nd ∴-=-==奇偶②．

由①②，可得3

d =，4n =，即项数是8，故选：A. 10．C 【分析】

根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果．【详解】

因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈，所以22554(251)(241)18a S S =-=?+-?+=．故选：C ． 11．D 【分析】

由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】

被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则

()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：2135

n ≤，所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】

关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 12．B 【分析】

先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到2121

k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】

由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =，可得21n a n =-，

因为n a m ≥，即21n m -≥，解得1

m n +≥

，当21m k =-，（*

k N ∈）时，

m m b k m

+=，即()()11212m m m mk m b m m +===++，即2121

k k b --=

，从而()135191

13519502

b b b b ++++=

++++=.

故选：B. 13．B 【分析】

由等差数列的性质可得数列1n a ??

????

为等差数列，再由等差数列的通项公式可得

n a ，进

而可得1

n a n

=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为

*12121

0,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12

211n n n a a a ++=+，所以数列1n a ??

???

为等差数列，设其公差为d ，由25111,25

a a a ==可得25112,115a a a ==?，所以11

1145d a d a a ?+=????+=???，解得1111

a d ?=???=?，

所以

()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n

=，

所以不等式100

n n a a +≥即100

n a n

+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +

≥=，当且仅当10n =时，等号成立，所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 14．D 【分析】

利用等差数列的性质直接求解．【详解】因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，

故选：D ． 15．D 【分析】

由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】

由题意，1110,0m m a a a a ++>+<，所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()

m m m a a S ++++=<. 故选：D. 16．B 【分析】

由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得

10a .

【详解】

()122n n a a n --=≥，且11a =，

∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，

通项公式为()12121n a n n =+-=-，

10210119a ∴=?-=，

故选：B. 17．A 【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，

12111a a d =+，即可求解.

【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

则111681631a d a d a d +++=??+=?，即117831a d a d +=??+=? 解得：174

174d a ?

=????=-??

，

所以12117760

111115444

a a d =+=-+?==，所以12a 的值是15，故选：A

【分析】

由()

1213n n n n S S a n +++=+-+得到()

1132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得

到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】

因为()1

1213n n n n S S a n +++=+-+，

所以()

1132n n n a a n ++=-+-，

所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得：()212133k k a a +-+=，所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，

从而15941a a a a ===???=，

22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，

则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，

()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，

()()20

1411820622

k k =+?=-=

∑1220，

故①②③正确. 故选：D 19．D 【分析】

利用等差中项法可知，数列{}

3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}

n a 的公

差，可求得3

10a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】

对*n N ?∈都有3

122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}

n a 为等差数列，

由于11a =，22a =，则数列{}

3n a 的公差为33

217d a a =-=，

所以，33

101919764a a d =+=+?=，因此，104a .

故选：D. 20．C 【分析】

由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差.

解：

()111116

11111322

a a S a

+?=

==，

612a ∴=，

又

5620a a +=，

58a ∴=，

654d a a ∴=-=.

故选：C ．

二、多选题

21．ABCD 【分析】

由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】

对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；

对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：135********a a a a a +++???+=.故1352019a a a a +++???+是斐波那契数列中的第2020项.

对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2

121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-

2222123201920192020a a a a a a +++??????+=，故D 正确；

故选：ABCD. 【点睛】

本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.

22．无 23．无

24．BD 【分析】

根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可.

解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；

选项B ：0

1(1)12,a =-+=1

2(1)10,a =-+=

23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；

选项C ：，12sin

2,2

a π

==22sin 0,a π==

332sin

a π

==-不符合题设；选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=

3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.

故选：BD. 【点睛】

本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 25．ABC 【分析】

利用数列{}n a 满足的递推关系及13

a =

，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】

数列{}n a 满足112,02

121,1

2n n n n n a a a a a +?

≤≤??=??-<

211215a a =-=

，32225a a ==，43425a a ==，5413

215

a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234

,,,5555

. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 26．BD 【分析】

根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．【详解】

因为数列{}n a 满足112

a =-，11

1n n a a +=-，

212131()

a ∴=

--；

31a a =

=-； 41311

a a a =

=-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-

，2

，3；故选：BD ．【点睛】

本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题． 27．BC 【分析】

根据等差数列的前n 项和性质判断．【详解】

A 错：67895911415000S a a a a a S a S ?+++<>?+

B 对：n S 对称轴为

n =7；

C 对：6770S S a >?<，又10a >，887700a S a d S ??<；

D 错：6770S S a >?<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >．故选：BC ．【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()

n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 28．ACD 【分析】

由题可得16a d =-，0d <，21322

n d d S n n =

-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022

n d d

S n n =->，解出即可判断D. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，

10a >，0d ∴<，且()21113+

222

n n n d d S na d n n -==-，对于A ，

81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；

对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132

n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；

对于C ，4131648261822d d S d d d =

?-?=-=-，9138191822d d S d =?-?=-，故49S S =，故C 正确；

对于D ，令213022

n d d

S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】

方法点睛：由于等差数列()2111+

222n n n d d S na d n a n -?

?==+- ??

?是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 29．ABD 【分析】

由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项. 【详解】

因为5665600S S S S a ?>，677670S S S S a =?-==，

788780S S S S a >?-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；

()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；

由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】

本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型. 30．ABD 【分析】

由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】

A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；

B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么

()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；

1111

11n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ??

????

不是等差数列，故C 不正

确；

D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】

本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.

等差数列单元测试题 百度文库

等差数列单元测试题百度文库