新高考高三上学期期中考试数学试题(附参考答案及评分标准)

高三数学试题第4页（共5页） 高三数学试题第5页（共5页）

1 C

高三上学期期中考试

（三角函数、平面向量、数列）

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，将第Ⅰ卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束, 将答题卡交回. 考试时间120分钟，满分150分.

注意事项：

1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 答案不能答在试题卷上.

3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带. 不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷 （选择题 共52分）

一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 已知向量(1,3),(,1)a b m =-=，若向量,a b 夹角为

3

π

，则m = A ．

3

B C ．0

D ． 2. 如图所示，在正方形ABCD 中，

E 为AB 的中点，

F 为CE 的中点，则BF =

A ．

31

44AB AD +

B ．2141

AB AD -+

C ．1

2AB AD +

D ．31

42

AB AD +

3. 在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点34(,)55

P ，则sin 2α= A.

2425 B ．65 C. 3

5

-

D 4. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长六尺，斩本一尺，重五斤，斩末一尺，重二斤，箠重几何？” 意思是：“现有一根金杖，长6尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下1尺，重5斤；在最细的一端截下1尺，重2斤；问金杖重多少斤？” (设该金杖由粗到细是均匀变化的)

A ．21

B ．18

C ．15

D ．12 5. 已知4sin cos ,(,)342

ππ

θθθ+=

∈，则sin cos

θθ-= A

B ．

C ．13

D ．13-

6. 在ABC △中，60A =?∠，1AB =，2AC =．若3BD DC =，,AE AC AB R λλ=-∈，且1AD AE ?=，则λ的值为 A ．

213 B ．1 C ．311 D ．8

13

7. 对于任意向量,a b ，下列关系中恒成立的是

A ．||||||a b a b ?

B ．||||||||a b a b -≤-

C ．22()()||||a b a b a b -+=-

D ．22()(||||)a b a b +=+

8. 在矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若

AE AF AP +=，且点P 在直线AC 上，则EF AP ?=

A ．

32 B ．94- C ．5

2

- D ．3- 9. 2

2cos ()sin ()44

x x ππ

+

+-=

A ．1

B ．1sin 2x -

C ．1cos2x -

D ．1-

10. 已知,αβ

为锐角，4tan 3α=

，cos()5

αβ+=-，则tan β=

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2 A ．2

B

C ．23

D ．7

9

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。 11.

函数22()2(cos sin )f x x x x =

--的图象为C ，如下结论正确的是

A ．()f x 的最小正周期为π

B ．对任意的x R ∈，都有(+)+()01212

f x f x ππ

-=

C ．()f x 在,123ππ??

???

上是增函数 D ．由2sin 2y x =的图象向右平移

6

π

个单位长度可以得到图象C 12. 已知平面向量a b c ，，满足1a b c ===，若1

2

a b ?=，则()()

2

a b b c -?-的值可能为

A ．2-

B ．3

C ．0

D ．

13.

《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边,,a b c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．” 若把以上这段文字写成公式，即

S

=.

现有ABC 满足sin :sin :sin 2:A

B C =，且ABC 的面积ABC

S

=, 请运用上述公式判断下列命题正确的是

A ．ABC ?周长为10+

B ．AB

C ?三个内角,,A C B 成等差数列 C ．ABC ?

D ．ABC ?中线CD 的长为

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3 第Ⅱ卷（非选择题 共98分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

14. 已知向量(cos ,1)a x =-，1(3sin ,)2

b x =-，若//a b ，则||=a _________________;

15. 已知函数2

1()sin ,(0)2f x x ωω=-

>的周期为2

π

，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位0a >，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为______________;

16. 已知,a b 为单位向量，且1

2

a b ?=，若2c a b =-，则cos ,a c

=___________;

17. 已知函数()2cos 21,(0,)f x x x x R ωωω=-->∈，若()f x 在区间(,)ωω-内单

调递增，且函数()y f x =的图象关于(,1)ω-对称，则函数()y f x =的最大值为________,

ω=_________________.

四、解答题：本大题共6小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本小题满分12分)

已知数列{}n a 为等比数列，且1

11=()2

n n n a a ++--．

（1）求公比q 和3a 的值；

（2）若{}n a 的前n 项和为n S ，求证：121,1,n n a S a --+成等比数列．

19.（本小题满分14分）

在ABC ?中，a , b , c 分别是角A ，B ，C 的对边，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，

ABD ?的面积与ADC ?面积比为3

5

.

（1）求sin sin C

B

；

（2）若三边,,c b a 成等差数列，求角A .

20.（本小题满分14分）

在锐角三角形ABC ?中， a , b , c 分别是角,,A B C 的对边，且

2sin sin sin C B

B

-=

cos cos a B

b A

.

（1）求A ； （2）求

b

c

的取值范围

. 21.（本小题满分14分）

设2())sin (sin cos )12

f x x x x x π

=+++-.

（1）求()f x 的周期及()y f x =图象的对称轴方程；

（2）讨论()f x 在5,66ππ??

????

上的单调性及最值.

22.（本小题满分14分）

已知{}n a 是各项为正数的等差数列，公差为d ，对任意的*n N ∈，n b 是n a 和1n a +的等比中项.

（1）设22

1n n n c b b +=-，*n N ∈，求证：{}n c 是等差数列；

（2）若11

,12

a d =

=,2

11n n d c =-(*n N ∈), （Ⅰ）求数列{}2

(1)n n b -的前2n 项和2n S ；

（Ⅱ）求数列{}n d 的前n 项和n T .

23.（本小题满分14分）

平面内的“向量列”{}

n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”; 平面内的“向量列” {}

n b ，如果10b ≠且对于任意的正整数n ，均有1,0n n b q b q +=?≠，则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”. （1）若“向量列”{}

n b 是“等比向量列”，用1b 和“公比”q 表示12n b b b ++???+；

（2）若{}

n a 是“等差向量列”，“公差向量”()1,0d =，110,2a ?

?= ??

?

，(),n n n a x y =；{}

n b 是

“等比向量列”， “公比”2q =，11(,1)2

b =，(,)n n n b m k =. 求1122n n a b a b a b ?+?+???+?．

高三数学试题参考答案

二、填空题

14.

13

15. 8

π

16. 217. 1；6

三、解答题

18. 解: （1）1

1

1

=()

2

n

n n

a a+

+

--

1

1

=()

2

n

n n

a a

-

∴--

两式相除得：

1

2

q=··························3分

11

111

1111

=(()())()()

2222

n n n n

n n

a a a a

-+

+

??

--=?-=-

??

??

1

1

2

a=

3

1

8

a=···············································6分

（2）

1

1()

2

n

n

S=-

1

1()

2

n

n

S

∴-+=，

21

21

1

()

2

n

n

a-

-

=，

1

1

2

a=

2221

111

(1)()()

222

n n

n

S-

∴-+==?

121

,1,

n n

a S a

-

∴-+成等比数列·····················12分

19. 解：（1）由三角形面积

111

sin sin sin

222

ABC

S ab C ac B bc A

?

===得：

1

||sin3

22

15

||sin

22

ABD

ADC

A

c AD

S c

A

S b

b AD

?

?

?

===

?

由正弦定理得

sin3

sin5

C c

B b

==·····································7分

（2）,,

c b a成等差数列

::3:5:7

c b a=，不妨设3,5,7,(0)

c x b x a x x

===>

由余弦定理得：

222

925491

cos

2352

x x x

A

x x

+-

==-

??

2

3

A

π

∴=·············································14分

20.

解：（1）由正弦定理得：

2sin sin sin cos

sin sin cos

C B A B

B B A

-

=

化简得：2sin cos sin cos sin cos

C A B A A B

-=

2sin cos sin

C A C

=

1

cos

2

A=

3

A

π

=··········

·············································6分

（2）由正弦定理得：

sin sin(120)11

sin sin2tan2

b B C

c C C C

-

===?+······························10分

因为ABC

?为锐角三角形,

所以3090

C

<<

tan

3

C

∴>

,

1

tan C

<<·······························

······12分

111

2

22tan2

C

<+<

1

,2

2

b

c

??

∴∈ ?

??······

······

···················

···················14分

21. 解：（1）2

())sin(sin cos)1

2

f x x x x x

π

=+++-

2(1sin2)1

x x

=-++-

cos2)1sin21

x x

=-++-

2sin2)

x x

=+

2sin(2)

3

x

π

=+······························4分

令2

32

x k

ππ

π

+=+，解得

212

k

x

ππ

=+

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4

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5 ∴周期为π，对称轴方程为212

k x ππ

=

+，k Z ∈·

···········7分 （2）

5,66x ππ??∈????

22,233x πππ??+∈????

令3232x ππ+=，解得712x π

=

()f x ∴在5,66ππ??????上的减区间为7,612ππ??????

，增区间为75,126π

π??

????

最小值为7(

)212f π=-()06

f π

=···················14分 22. 解: （1）n b 是n a 和1n a +的等比中项

2

1n n n b a a +∴=?

2

21

121n n n

n n n n c b

b a a a a ++++=-=?-?

12()n n n a a a ++=?-

12n d a +=?

122n n c da ++=

21212()2n n n n c c d a a d +++-=-=,*n N ∈

{}n c 是等差数列········································4分

（2）（Ⅰ）22222221234212n n n S b b b b b b -=-+-++???-+

222222

2143221()()()n n b b b b b b -=-+-+???+-

1321n c c c -=++???+

由（1）知21n c n =+

21321n n S c c c -=++???+

2(341)

22

n n n n +-=?=+·

··········································9分 （Ⅱ）由（1）知21n c n =+

221111111

()(21)1444(1)41n d n n n n n n n ∴===?=-+-+++

11111111(1)4223341n T n n =-+-+-+???+-+

11(1)41

n =-+ 4(1)

n

n =

+·················································14分

23. 解: （1）11

1211,1(1+)1,11n n n nb q b b b b q q q q b q q -?=?++???+=++???+=?-?≠?-?

··········6分

(2)

1(1)n a a n d =+-?

11,2n n x n y ∴=-=, 即()1

,(1,)2

n n n a x y n ==-·

··························8分 11n n b q b -=?

1122n n m -=?,12n n k -=,即111

(,)(2,2)2n n n n n b m k --==?·

····················10分 1112

112222222

n n n n n n n n a b n -----?=?+?=?=?

令101211221222322n n n n S a b a b a b n --=?+?+???+?=?+?+?+???+?

012121222322n n S n -=?+?+?+???+?

两式相减得:

1012122222n n n S n ----=+++???+-?

1

1

(12)2212

n n n --=-?- 11

(1)22n n -=-?-

11(1)22

n n S n -∴=-?+··········································14分