数学分析课本(华师大三版)-习题集与答案解析第十二章
第十二章 数项级数
证明题
1 . 证明下列级数的收敛性 ,并求其和 :
(4) ( n 2 2 n 1 n); 2n
2. 证明:若级数
u n 发散,则 Cu n 也发散(c ≠0).
3. 证明 :若数列 {a n }收敛于 a,则级数
(a n a n 1) a 1-a .
(1)
1 1 1 (3)
1
n(n 1)(n 2)
2n 1
(5)
(5n 4)(5n 1)
1.6 6.11 11.16
(2)
4 .证明: 若数列{b n}有lim b n ,则
n
(1)级数(b n 1 b n)发散;
1 1 1
(2)当b n≠0 时,级数
n b n 1 b1
5. 证明级数u n 收敛的充要条件是:任给正数ε ,有某自然数N, 对一切n>N 总有
|u N+u n+1+?+u n|< ε
6. 设u n、v n 为正项级数,且存在正数N0,对一切n>N 0,有
u
n 1 v
n 1
u n v n
7. 设正项级数a n 收敛,证明级数a2n 也收敛;试问反之是否成立?
8. 设a n≥0,且数列{na n}有界,证明级数a2n收敛.
9. 设正项级数 u n 收敛,证明级数 u n u n 1 也收敛 .
(2) 若 n>N 0 时有
C n ≤0, 且 lim
1 b k
,则级数
a n
n1
10. 证明下列极限
11. 设 {a n }为递减正项数列 ,证明 :级数 a n 与
2m a 2m 同时
n1 m 0
收敛或同时发散
a
12. 设 a n >0, b n >0, C n =b n n b n+1,证明: a n 1
N 0及常数 K,当 n>N 0 时,有 C n ≥k>0,
则级数 a n 收敛 ;
n1
n
(1)
l n im (n n !)
0;
(2) lim (2n!)
n! n a
n!
0(a 1).
(1) 若存在某自然数
16. (1)
(2)
(3)
( n 1) 1x
x n ,(x 0);
n 1 x
sinnx
α ,x (0,2π0(α, 0); n
2
n
cos n ( 1)n
n
设 a n >0,a n >a n+1 (n=1,2, ?)且 lim a n =0, 证明级数
n
( 1)n 1
a 1 a 2
a n
是收敛的
发散 .
a
13. 设级数
a n 2 收敛 ,证明级数
n
(a n 0) 也收敛 . n
14. 设a n >0,证明数列 {(1+a 1)(1+a 2)?(1+a n )}与级数
a n 同时
收敛或同时发散
15. 应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛
性:
17. 设p n|u n | u n,g n|u n | u n,证明:若u n条件收敛,则级数p n与q n 都是发散的.
二、计算题
1. 试讨论几何级数(也称为等比级数)
a+r+ar 2+?+ar n+ ?(a ≠0)
的敛散性.
2. 设级数u n 与v n 都发散,试问(u n v n) 一定发散
吗?又若u n 与v n(n=1,2, ?)都是非负数,则能得出什么结论?
3. 求下列级数的和:
(1)
1
(a n 1)(a n)
(2) ( 1)
2n 1 n(n 1)