新初一规律探索题参考答案
前言：
七年级上册数学期中考试，主要考察书本前2章，想要考试取得好的成绩，首先应一般能力：①基本知识、基本技能；②计算能力；其次要想获得高分必须具备高分能力：①观察、猜想、推理、验证的能力；②数形结合思想的建立；③分类讨论思想的建立；④方程思想的建立；对于重点中学学生，尤为重要。高分能力是今后学习领先的有力保障，需要大量练习、总结、体会，七年
级涉及的仅仅是一部分。
一、规律探索类题型
规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形等条件，要求学生通过：①读题②观察③分析④猜想⑤验证，来探索对象的规律。它体现了“特殊到一般”、“数形结
合”等数学思想方法，考察学生的分析、解决问题能力。题型可涉及填空、选择或解答。
【题型分类】
【1、数字问题】
最好具备数列的有关知识（小学奥数有涉及），实际考察的是：
经历探索事物间的数量关系，用字母表示数和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维，进一步使学生体会到
代数式是刻画现实世界的有效数学模型。如：
1、正整数规律
1、2、3、4、5、、、、可以表示为n （其中n 为正整数）
2、奇数规律
1、3、5、7、9、、、、可以表示为21n -（其中n 为正整数）
3、偶数规律
2、4、6、8、10、、、、可以表示为2n （其中n 为正整数）
4、正、负交替规律变化
一组数，不看他们的绝对值，只看其性质，为正负交替
（1）、-、+、-、+、-、+、-、+可以表示为(1)n -
（2）、+、-、+、-、+、-、+、-可以表示为1(1)n +-
5、平方数规律
1、4、9、16、、、、可以表示为2n （其中n 为正整数），能看得出：上面的规律数+1、+
2、-1、-2
6、等差数列常识
按一定次序排列的一列数就叫数列。例如：
（1）1，2，3，4，5，6，…（2）1，2，4，8，16，32；
A 、一个数列中从左至右的第n 个数，称为这个数列的第n 项。如，数列（1）的第3项是3，数列（2）的第3项是4。一般地，我们将数列的第n 项记作a n 。
B 、数列中的数可以是有限多个，如数列（2）（4），也可以是无限多个，如数列（1）（3）（带省略号）。
概念：干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项（记作：1a ），最后一项称为末项（记
作：n a ）。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差（记作：d ）。其中：
1(1)n a a n d =+-，11n a a n d
-=+，数列的和1()2n n a a n S +?=（记得住就记，记不住就推理） 方法说明：
掌握3个原则：①数据表面上看来排列无序，且形式不一致，那么要进行数据变形，使之形式一致；②一组数中的每个数进行数据分解，有时可快速得出规律；③对数据做一些简单的运算看出规律，如：加一加、减一减，乘一乘、除一除
例1观察一列数：1，－,3611,259,167,95,43--……根据规律，请你写出第10个数是 。
例2古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，根据它的规律，则第100个与第98个的差为________
练习：
（1）观察一列数：
21，52-，103，174-，265，37
6-……根据规律，请你写出第10个数是？ （2）按一定规律排列的一列数依次为11113102635---11，，，，，，，215按此规律排列下去，这列数中第七个数是 （3）某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，
按此规律，5小时后细胞存活数是____，n 小时后细胞存活数是____
【2、图形规律】
根据一组相关图形的变化规律，从中总结图形变化所反映的规律。解决图形规律问题的方法有两种：一种是数形结合，将图形转化成数字规律，用数字规律的解决问题；一种是通过图形的直观性，观察图形的变化，主要从各图形的形状、方向、数量、大小
及各组成部分的相对位置入手，从中找出变化规律。
例3观察图给出的四个点阵，s 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n 个点阵中的点的个数s 为（ ）
A 、32n -
B 、31n -
C 、41n +
D 、43n -
例4若按下图方式摆放餐桌和椅子，请探索规律并填表：
餐桌张数
1 2 3 4 ….. 10 n 可坐人数
练习： （1）观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（）
A 、22n +
B 、44n +
C 、44n -
D 、4n
（2）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……
第8个图案由_____个基础图形组成，第n (n 是正整数)个图案中由___个基础图形组成。
（3）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为．
【3、循环排列规律】
循环排列规律是运动着的规律，我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个就会循环出现，看看最后所求的与循
环的第几个一致即可，关键是找出“循环节数”。其次，就是利用“余数”。
例5如图所示，数轴被折成90?，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3。
先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴
的正方向滚动，那么数轴上的数2009将与圆周上的数字重合。 例6手的示意图，在各个手指间标记字母A 、B 、C 、D ．请你按图中箭头
所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C…的方式）从A 开始数连续的
正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是____
；当字母C 第 201次出现时，恰好数到的数是____；当字母C 第2n+1次出现时
（n 为正整数），恰好数到的数是_______（用含n 的代数式表示）．
练习：
（1）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0,1,2,3。先让圆周上数字0所
对应的点与数轴上的数1-所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数
2006-将与圆周上的数字重合。 （2）观察下图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（）
A 、第502个正方形的左下角
B 、第502个正方形的右下角
C 、第503个正方形的左上角
D 、第503个正方形的右下角
（3）观察下列图形排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），□○△□□○△□○△□□○△□┅┅，若第一个图形是正方
形，则第2008个图形是（填图形名称）
（1） （2）
（3） ……
…… ……
第1个
第2个 第3个 (1) (2) (3)
(987)
654310233210
-5-4-3-2
-10
【4、算式规律】
应对的一般原则：①找出等式中的各个部分；②找出等式中的各个部分中不变的部分；③找出等式中的各个部分中变化的部分、并
寻找他们的变化规律。
例71+2+3+...+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是(1)123.. (2)
n n n +++++=，其中ｎ是正整数。现在我们来研究一个类似的问题：1223......(n 1)n ?+?+++=？观察下面三个特殊的等式：
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝
2054331=??? 读完这段材料，请你思考后回答：
例8观察下列三行数：
（1）第①行数按什么规律排列？ （2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第n 个数，这三个数的和能否等于－1278，如果能，指出是每行的第几个数，并求出这三个数；如果不能，请
说明理由。
练习：
（1）观察下列算式：23451=+?，24462=+?，25473=+?，24846?+=，请你在
观察规律之后并用你得到的规律填空：2____________________50?+=,
第n 个式子呢？________________________
（2）观察下列各式，你会发现什么规律？
3×5＝15，而15＝24
1- 5×7＝35，而35＝26
1- ……
11×13＝143，而143＝2121-
将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来：___________________________。
（3）下列图是由同型号黑白两种颜色的三角形瓷砖按一定规律铺设的图形。
仔细观察图形可知：
图①有1块黑色的瓷砖，可表示为2
1)11(1?+=
； 图②有3块黑色的瓷砖，可表示为2
2)21(21?+=+； 图③有3块黑色的瓷砖，可表示为23)31(321?+=++ －1，2，－4，8，－16，32，…；①
－2，4，－8，16，－32，64，…；② 0，6，－6，18，－30，66，…；③
实践探索：
（1）请在图④的虚线框内画出第4个图形（只须画出草图）
（2）第10个图形有 ________ 块黑色的瓷砖（直接填写结果）
（3）第n 个图形有多少块黑色的瓷砖？（用含n 的代数式表示）
【5、数表规律】
兼具数字规律和图形规律的特点，难度加大。
例9将111111,,,,,,23456---按一定规律排列如下：
第1行1 第2行12-13
第3行14-1516
- 第4行1718-19110
- 第5行111112-113114-115
…
请你写出第20行从左至右第10个数是。
例10（1）在2008年10月的月历中（见图1），任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的整式表示
这三个数（从小到大排列）分别是____。
图1 （2）现将连续自然数1至2008按图中的方式排成一个长方形的数阵，用
一个正方形框出9个
数（见图2）①图
中框出的这9个数的和是；②在图中，能否使一个正方形框出
的9个数之和等于2007？若不可能，请说明理由；若有可能，
请求出该正方形框出的9个数中的最小数和最大数。（写出详
细的解题过程）
练习：
（1）已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成如下所示的形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左
边数第5个数等于． 日 一 二 三
四 五 六 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 … … … … … … … 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
第1行1
第2行－2 3
第3行－4 5 －6
第4行7 －8 9 －10
第5行11－12 13 －14 15
………………
（2）将正偶数排成5列，如下表：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行
2 4 6 8 第2行
16 14 12 10 第3行
18 20 22
24 … … … 28 26
根据上面排列规律，则2000应在()
A 、第25行，第1列
B 、第125行，第2列
C 、第250行，第1列
D 、第250行，第2列
（3）观察一列数表：
1234…第一行
2345…第二行
3456…第三行
4567…第四行
┆┆┆┆
根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为多少？第n 行与第n 列交叉点上的数应为多少？（用n 表示）
【5、其它规律】
等比数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ）。等比数列的通项公式为： 分数拆项主要有以下几种形式：
（1）分母为两个相邻自然数时：＝－
（2）分母为不相邻自然数时（差为a ）：＝（－）×
（3）分母为三个相邻自然数时：=×（－）
第三第一第二第四
例11我国着名数学家华罗庚曾说过：数形结合百般好，隔裂分家万事非。如图，在一个边长为1的正方形纸版上，依次贴上面积为21，41，81，…，n 21的矩形彩色纸片（n 为大于1的整数）。请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算
n 2
1814121++++ =。 例12计算：2002
2001200016541543143213211??++??+??+??+?? 练习：
（1）有一列数：第一个数为11x =，第二个数为23x =，第三个数开始依次记为34,,......n x x x ；从第二个数开始，每个数是它相邻
两个数和的一半。（如：x 2=23
1x x +）
①求第三、第四、第五个数，并写出计算过程；
②根据（1）的结果，推测x 8=；
③探索这一列数的规律，猜想第k 个数x k =_____。（k 是大于2的整数）
（2）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）.继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对
折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到_条折痕。如果对折n 次，可以得到条折痕。
【1、数字问题】
例1观察一列数：1，－,3611,259,167,95,43--……根据规律，请你写出第10个数是 。
解：正负控制：1(1)n +-形式一致：1357,,, (14916)
，分子规律：21n -分母规律：2n 则该数列的规律为：1
2
(21)(1)n n n +--，令n=10，第10个数为：19100- 例2古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，根据它的规律，则第100个与第98个的差为________
解：第1个数：1
第2个数：1+2=3
第3个数：1+2+3=6
第4个数：1+2+3+4=10
依次类推。。。。。。
第98个数：1+2+3+….+98
第100个数：1+2+3+…+100
则第100个与第98个的差为：100+99=199
练习：
（1）观察一列数：21，52-，103，174-，265，37
6-……根据规律，请你写出第10个数是？ 解：正负控制：1(1)n +-分子规律：n
分母规律2211=+，2521=+，21031=+，以此类推……… 则该数列的规律为：1
2(1)1
n n n +?-+，令n=10，第10个数为：10101- （2）按一定规律排列的一列数依次为11113102635
---11，，，，，，，215按此规律排列下去，这列数中第七个数是 解：正负控制：(1)n -分子规律：1分母：2,3,10,15…….
分母规律：2222211,321,1031,1541=+=-=+=-，以此类推：2(1)n n -- 则该数列的规律为：2(1)(1)n n n ---，令n=7，第7个数为：150
- （3）某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，
按此规律，5小时后细胞存活数是____，n 小时后细胞存活数是____
解：读题该数列为：3，5，9，17……..（一般一个数列知道前3个可推出规律，再知道第4个进行验证）
不难发现：12332
1,52
1,92 1......
=+=+=+，故该数列规律：21n +
令n=5，第5个数为：52132133+=+=
【2、图形规律】
例3观察图给出的四个点阵，s 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n 个点阵中的点的个数s
为（ ）
A 、32n -
B 、31n -
C 、41n +
D 、43n -
解：第1个图：1=1+4×0
第2个图：1+4=1+4×1
第3个图：1+4+4=1+4×2
以此类推第n 个图：1+4×（n －1）=4n －3
例4若按下图方式摆放餐桌和椅子，请探索规律并填表：
餐桌张数
1 2 3 4 ….. 10 n 可坐人数 6+4×0 6+4×1=10 6+4×2=14 18
(42)
练习：
（1）观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（） A 、22n + B 、44n + C 、44n - D 、4n
解：第1个图：4个第2个图：8个第3个图：12个规律：4n
……
第1个
第2个 第3个
（2）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……
第8个图案由_____个基础图形组成，第n (n 是正整数)个图案中由___个基础图形组成。
解：第1个图：4=4+3×0
第2个图：4+3=4+3×1
第3个图：4+3+3=4+3×2
以此类推，第n 个图：4+3×（n －1）=3n+1，令n=8，第8个图：3×8+1=25
（3）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为．
解：第1个图：5=5+3×0
第2个图：5+3=5+3×1
第3个图：5+3+3=5+3×2
以此类推，第n 个图：5+3×（n －1）=3n+2
【3、循环排列规律】
例5如图所示，数轴被折成90 ，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3。
先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴
的正方向滚动，那么数轴上的数2009将与圆周上的数字重合。
解：2与3重合，1与4重合，0与5重合，3月6重合，接着
2与7重合，1与8重合，0与9重合，3与10重合，以此类推…… 发现：数轴上的数只能与2、1、0、3这4个数中的一个数重合， 这4个数（2,1,0,3,2,1,0,3……..）反复的在数轴上循环出现，
而3到2009间有：2009－3+1=2007个数，2007÷4=501余数3
也就是说2、1、0、3这4个数循环了501次，还要多走3个。当余数为0，说明正好循环，对应数与3重合。余数为1则与2
重合，余数为2则与1重合，余数为3则与0重合。本题与数字0重合。
例6手的示意图，在各个手指间标记字母A 、B 、C 、D ．请你按图中箭头
所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C…的方式）从A 开始数连续的
正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是____；当字母C 第
201次出现时，恰好数到的数是____；当字母C 第2n+1次出现时
（n 为正整数），恰好数到的数是_______（用含n 的代数式表示）．
解：由题知：A →B →C →D →C →B →……
（1） （2）
（3） ……
...... (1) (2) (3) (987)
65431023
对应数：123456……
也就是说字母循环节数为“6”，每数6个数后，字母将循环出现
12÷6=2余数0说明正好循环完毕，对应字母B ，即：当数到12时，对应的字母是B
字母C 第1次出现对应数为：3，第2次出现对应数为：：5，一个循环内出现了2次
字母C 第201次出现时，说明：循环节循环了100次+3，即，数到的数是：100×6+3=603
循环节循环n 次，字母C 将出现2n 次，字母C 第2n+1次出现，说明继续走了3
对应数字是：6n+3
练习：
（1）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0,1,2,3。先让圆周上数字0所 对应的点与数轴上的数－1所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数
－2006将与圆周上的数字________重合。 解：按照0,2,3,1的顺序循环，4个数一个“循环节” 数－1到－2006之间有：（－1）－（－2006）+1=2006个数
2006÷4=501余数2，余数1与0对应，余数2与2对应，余数3与3对应，余数0与1对应
故－2006与圆周上的数字2重合。
（2）观察下图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（）
A 、第502个正方形的左下角
B 、第502个正方形的右下角
C 、第503个正方形的左上角
D 、第503个正方形的右下角
解：2011÷3=502余数3那么2011必须在第503个正方形中的左上角出现，答案C
（3）观察下列图形排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），□○△□□○△□○△□□○△□┅┅，若第一个图形是正方
形，则第2008个图形是（填图形名称）
解：看昏了吧，O(∩_∩)O 哈！△是三角形记作1，□是正方形记作2，○是圆记作3
“2312231”这7个数为一个“循环节”
2008÷7=286余数6，余数6对应循环节中的第6个数：3，3对应的是○，也就是圆
【4、算式规律】
例71+2+3+...+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是(1)123.. (2)
n n n +++++=，其中ｎ是正整数。现在我们来研究一个类似的问题：1223......(n 1)n ?+?+++=？观察下面三个特殊的等式：
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝
2054331=??? 读完这段材料，请你思考后回答：
解：()1121230123
?=??-?? 3
210-5-4-3-2-10
以此类推199100(991001019899100)3
?=??-?? 这些式子加起来，左边=1223100101?+?++?
右边=11001011023???=343400（原理：裂项相消）
如果此题改为：求123234345......9899100??+??+??++??的值？ 提示：1123(12340123)4
??=???-??? 例8观察下列三行数：（武珞路期中考试压轴题，来自某年某月某日的中考题，超纲了）
（1）第①行数按什么规律排列？ 解：有个常识01(0)a a =≠，(0)m n m n a a a a +?=≠，1(0)n n
a a a -=≠ 七年级学生还没学，先记着吧，名校喜欢这么搞超前
不看符号：1，2，4，8，…..的规律就是12n -第1项n=1时，021=
符号控制：(1)n -，因此该数列规律：1(1)2n n --?
（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？
解：第②行数是第①行数的2倍，第②行数规律是：1(1)22n n --??=11(1)2(1)2n n n n -+-?=-?
第③行数比第②行数，每个数大2，所以第③行数是第①行数的2倍加2
第③行数规律是：(1)22n n -?+
（3）取每行数的第n 个数，这三个数的和能否等于－1278，如果能，指出是每行的第几个数，并求出这三个数；如果不能，请
说明理由。
解：每行的第n 个数符号都是一样的（同为正或负），要使得这3个数的和为负数，则3个数都必须为负数，即n 应该是奇数，
所以：(1)1n -=-，取每行数的第n 个数，这三个数的和可表示为：
1(2)(2)(22)n n n --+-+-+，由题知：122221278n n n ----+=-（移项） 整理：12221280n n n -++=，122221280n n -?+?=，122212802
n n ?+?= 5212802
n ?=，即2512n =，解得n=9，即每行的第9个数之和为－1278 则3个数为：256-，512-，510-
练习：
（1）观察下列算式：23451=+?，24462=+?，25473=+?，24846?+=，请你在
观察规律之后并用你得到的规律填空：24852450?+=,
－1，2，－4，8，－16，32，…；①
－2，4，－8，16，－32，64，…；② 0，6，－6，18，－30，66，…；③
第n 个式子呢？________________________
解：第n 个式子：2(4)4(2)n n n ++=+
（2）观察下列各式，你会发现什么规律？
3×5＝15，而15＝24
1- 5×7＝35，而35＝26
1- …… 11×13＝143，而143＝2121-
将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来：___________________________。
解：2(1)(1)1n n n -+=-
（3）下列图是由同型号黑白两种颜色的三角形瓷砖按一定规律铺设的图形。（武珞路期中考，也是中考题）
仔细观察图形可知：
图①有1块黑色的瓷砖，可表示为2
1)11(1?+=
； 图②有3块黑色的瓷砖，可表示为22)21(21?+=+； 图③有3块黑色的瓷砖，可表示为23)31(321?+=++ 实践探索：
（1）请在图④的虚线框内画出第4个图形（只须画出草图）自己画吧
（2）第10个图形有 ________ 块黑色的瓷砖（直接填写结果）
（3）第n 个图形有多少块黑色的瓷砖？（用含n 的代数式表示）
解：第n 个图形中有1+2+3+4+……..+n 个黑色的瓷砖（其实就是“高斯求和”）
这是等差数列1+2+3+4+……..+n =(1)2
n n + 当n=10时，第10个图形有：55块黑色的瓷砖
【5、数表规律】
兼具数字规律和图形规律的特点，难度加大。
例9将111111,,,,,,23456---按一定规律排列如下：
第1行1
第2行12-13
第3行14-1516
-
第4行1718-19110
- 第5行111112-113114-115
…
请你写出第20行从左至右第10个数是。 解：首先找出111111,,,,,,23456---这个数列的规律：11(1)n n
+-? 第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，以此类推，
那第20行从左至右第10个数，是数列111111,,,,,,23456
-
--中的第多少个数？ 应该是：（1+2+3+…..+19）+10=(119)19102002+?+=，那么数列111111,,,,,,23456---中的第200个数：1200-，就是我们要找的
例10（1）在2008年10月的月历中（见图1），任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的整式表示
这三个数（从小到大排列）分别是____。
图1 解：图2 7,,7a a a -+（2）现将连续自然数1至2008按图中的方式排成一个长
方形的数阵，用一个正方形框出9个数
（见图2）①图中框出的这9个数的和是；②在图中，能否使一个正方形框出的9个数之和等于2007？若不可能，请说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的9个数中的最小数
和最大数。（写出详细的解题过程）
解：对于框中的9个数之和，你当然可以直接加加算出来，
但不建议这么干，要为后面的问题找到一个通用的方法。
设正中间的数为a ，如图，这9个数之和可表示为： =9a
当a=19，图中框出的这9个数的和是：19×9=171
当9a=2007时，a=223，此时该正方形框出的9个数中
最小数：a －8=223－8=215最大数：a+8=223+8=231
练习： 日 一 二 三
四 五 六 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 … … … … … … … 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
2003 2004 2005 2006 2007 2008 11 12 13 18 19 20 25 26 27 a －8 a －7 a －6 a －1 a a ＋1 a ＋6 a ＋7 a ＋8
（1）已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成如下所示的形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左
边数第5个数等于．
第1行1
第2行－2 3
第3行－4 5 －6
第4行7 －8 9 －10
第5行11－12 13 －14 15
……………… 解：首先找出1，―2，3，―4，5，―6，7，… 这个数列的规律：1(1)n n +-?
第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，以此类推，
那第10行从左边数第5个数，是数列1，―2，3，―4，5，―6，7，… 中的第多少个数？
应该是：（1+2+3+…..+9）+5=(19)95502
+?+=，那么数列1，―2，3，―4，5，―6，7，… 中的第50个数：50-，就是我们要找的
（2）将正偶数排成5列，如下表：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行
2 4 6 8 第2行
16 14 12 10 第3行
18 20 22 24 … 32 30 28 26
根据上面排列规律，则2000应在（）
A 、第25行，第1列
B 、第125行，第2列
C 、第250行，第1列
D 、第250行，第2列
解：每行有4个数，奇数行第1列空缺，数由小到大排列；偶数行第5列空缺，数由大到小排列
2、4、6、8……2000是一个等差数列，公差为2，按照前面所讲
项数=（末项－首项）÷公差＋1，所以2到2000之间有：1000项
那么2000位于：1000÷4=250余数0即2000位于第250行末尾处，偶数行末尾列是第1列
（3）观察一列数表：
第1列 第2列 第3列 第4列 (1)
1 2 3 4 (2)
2 3 4 5 ...... 第3行 3 4 5 6 ......
第4行 4 5 6 7 ......
根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为多少？第n 行与第n 列交叉点上的数应为多少？（用n 表示）
解：第1行第1列是数字1，第2行第2列是数字3，第3行第3列是数字5，第4行第4列是数字7
以此类推，发现第n 行第n 列的数字组成数列：1、3、5、7、…….、2n －1
易知，第6行与第6列的交叉点上的数应为：2×6－1=11
【5、其它规律】
例11我国着名数学家华罗庚曾说过：数形结合百般好，隔裂分家万事非。如图，在一个边长为1的正方形纸版上，依次贴上面积为21，41，81，…，n 21的矩形彩色纸片（n 为大于1的整数）。请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算
n 21814121++++ =。
解：方法N 多，是个很好的训练思维的题目
思路1：找规律
1131117111115,, (24424882481616)
+=++=+++=，不难发现它们和的规律：212n n -=112n - 思路2：添项法，假设要求
1111......24864++++ 变形为：1111......24864+++++116464-，111111,, (646432323216)
+=+= 原式=1－164=6364
思路3：错位相消
可令S=1111......24864++++①，那么2S=1111 (2432)
+++② ②－①得：S=16316464
-= 以此类推
S=n 21814121++++ ①，那么2S=11111 (242)
n -+++② ②－①得：S=112n
-
思路4：公式推导 设123,,......n a a a a 是等比数列，公比为q ，显然221321,a a q a a q a q =?=?=?，11n n a a q -=?
S=211231......(1.....)n n a a a a a q q q -++++=++++①，
那么231(......)n qs a q q q q =++++②
②－①得：111(1)(1)n n
q S a q a a q -=-=-，整理得：1(1)1n a q S q -=-
对于数列：n 2
1814121++++ ，它的111,22a q ==，所以S=11()2n -=112n - 思路5：面积法，如图正方形面积为1，没有贴的面积为
12n ，很直观 例12计算：2002
2001200016541543143213211??++??+??+??+?? 解：之前做过111 (122334)
++???这样的题目，办法是裂项相消，也就是： 本题的规律是：
1111[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-+++++用的较少的可以记住 还是裂项相消，过程略 练习： （1）有一列数：第一个数为11x =，第二个数为23x =，第三个数开始依次记为34,,......n x x x ；从第二个数开始，每个数是它相邻
两个数和的一半。（如：x 2=23
1x x +）
①求第三、第四、第五个数，并写出计算过程；
②根据（1）的结果，推测x 8=15；
③探索这一列数的规律，猜想第k 个数x k =_____。（k 是大于2的整数）
解：133213,22
x x x x ++===则35x =，同理：47x =，59x = 对于数列：1、3、5、7、9、…….，规律：21k -
（2）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）.继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对
折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到_条折痕。如果对折n 次，可以得到条折痕。
解：规律21n -
（3）11112222333181819(...)(...)(...)...()23420345204520192020
++++++++++++++++ 解：略