广东省实验中学高二(上)期中数学试卷(文科) (2)
2016-2017学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．下列叙述中不正确的是（）
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B．每一条直线都对应唯一一个倾斜角
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°
D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα
2．已知直线a∥平面α，直线b?α，则a与b的位置关系是（）
A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面
3．下面四个命题：
①分别在两个平面内的直线平行
②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面
③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
④如果一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
其中正确的命题是（）
A．①②B．②④C．①③D．②③
4．在等差数列{a n}中，S10=120，那么a1+a10的值是（）
A．12 B．24 C．36 D．48
5．已知，则cos（π+2α）的值为（）
A．B．C．D．
6．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）
A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面
7．以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是（）
A．3x﹣y﹣8=0 B．3x+y+4=0 C．3x﹣y+6=0 D．3x+y+2=0
8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）
A．90°B．30°C．45°D．60°
9．点P（﹣3，4）关于直线x+y﹣2=0的对称点Q的坐标是（）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，5）C．（2，﹣5）D．（4，﹣3）
10．将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：（1）向左平移个单位长度；（2）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．所得到的曲线C/对应的函数解析式是（）A． B． C．D．
=（n∈N且n≥1），a2=1，则S21为（）
11．{a n}满足a n+a n
+1
A．B．C．6 D．5
12．点P（﹣1，3）到直线l：y=k（x﹣2）的距离的最大值等于（）
A．2 B．3 C．3D．2
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相平行，那么a的值等于．
=2a n+3（n≥1），则该数列的通项a n=．
14．在数列{a n}中，若a1=1，a n
+1
15．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的体积为．
16．在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠ABC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为．
三、解答题题（六小题共70分）
17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA
（1）确定角C的大小；
（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．
18．如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE；
（2）求证：AE⊥BE．
19．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+y﹣6=0上，顶点A的坐标是（1，﹣1），
（1）求边AC所在的直线方程及边AC的长．
（2）求B点的坐标及边AB所在的直线方程．
20．已知f（x）=4x﹣2x+1﹣a（a∈R）
（1）当a=3时，求函数f（x）的零点；
（2）若f（x）有零点，且t=，求t的取值范围．
=2S n+1（n≥1）．
21．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n
+1
（1）求{a n}的通项公式；
（2）等差数列{b n}的各项为正，前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求数列{}的前n项和+++…+．
22．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CD的中点．
（1）求证：A1C∥平面AD1E；
（2）在对角线A1C上是否存在点P，使得DP⊥平面AD1E？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．
（3）求三棱锥B1﹣AD1E体积．
2016-2017学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．下列叙述中不正确的是（）
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B．每一条直线都对应唯一一个倾斜角
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°
D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα
【考点】直线的斜率．
【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．
【解答】解：A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应，正确；
B．每一条直线都对应唯一一个倾斜角，正确．
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°，正确；
D．若直线的倾斜角为α，时，则直线的斜率不存在，因此不正确．
故选：D．
2．已知直线a∥平面α，直线b?α，则a与b的位置关系是（）
A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】利用线面平行的性质定理即可判断出．
【解答】解：∵直线a∥平面α，直线b?α，
∴a与b的位置关系是平行或异面．
故选：D．
3．下面四个命题：
①分别在两个平面内的直线平行
②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面
③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
④如果一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
其中正确的命题是（）
A．①②B．②④C．①③D．②③
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据空间直线与直线平行，平面与平面平行，直线与平面平行的判定方法和几何特征，逐一分析四个结论的真假，可得答案．
【解答】解：对于①，分别在两个平面内的直线可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；
对于②，若两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的任何一条直线与另一个平面也无公共点，必平行于另一个平面，故正确；
对于③，如果一个平面内的两条平行直线平行于另一个平面，则这两个平面不一定平行，故错误；
对于④，如果一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面，存在两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行，故正确；
故正确的命题是：②④，
故选：B
4．在等差数列{a n}中，S10=120，那么a1+a10的值是（）
A．12 B．24 C．36 D．48
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】根据等差数列的性质可知，项数之和为11的两项之和都相等，即可求出a1+a10的值．
【解答】解：S10=a1+a2+…+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a1+a10）=120
所以a1+a10=24
故选B
5．已知，则cos（π+2α）的值为（）
A．B．C．D．
【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．
【分析】利用诱导公式求出，同时化简cos（π+2α）为cosα的形式，然后代入求解即可．
【解答】解：由得，
，
故选B．
6．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）
A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面
【考点】异面直线的判定．
【分析】观察正方体的图形，连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，推出EF∥A1C1；分析可得答案．
【解答】解：连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角
形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，
所以EF与BB1垂直；又AC⊥BD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面．
由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C1
故选D．
7．以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是（）
A．3x﹣y﹣8=0 B．3x+y+4=0 C．3x﹣y+6=0 D．3x+y+2=0
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】求出AB的中点坐标，求出AB的中垂线的斜率，然后求出中垂线方程．
【解答】解：因为A（1，3），B（﹣5，1），
所以AB的中点坐标（﹣2，2），直线AB的斜率为：=，
所以AB的中垂线的斜率为：﹣3，
所以以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是y﹣2=﹣3（x+2），即3x+y+4=0．故选B．
8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）
A．90°B．30°C．45°D．60°
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】连接A1C1交B1D1于O，连接OB，说明∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，然后求解即可．
【解答】解：连接A1C1交B1D1于O，连接OB，
因为B1D1⊥A1C1，A1C1⊥BB1，所以A1C1⊥平面BB1D1D，
所以∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，
设正方体棱长为1，所以A1O=，A1B=，
sin∠A1BO=，
∠A1BO=30°．
故选B．
9．点P（﹣3，4）关于直线x+y﹣2=0的对称点Q的坐标是（）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，5）C．（2，﹣5）D．（4，﹣3）
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【分析】PQ与直线l垂直，斜率之积等于﹣1，PQ中点在直线l上，PQ中点的坐标满足直线l的方程．
【解答】解：设点P（﹣3，4）关于直线l：x+y﹣2=0对称的点Q的坐标（x，y）
则PQ中点的坐标为（），
利用对称的性质得：K PQ==1，且，
解得：x=﹣2，y=5，
∴点Q的坐标（﹣2，5），
故选B．
10．将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：（1）向左平移个单位长度；（2）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．所得到的曲线C/对应的函数解析式是（）A． B． C．D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用三角函数的平移原则，向左平移x+φ，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到x+，然后得到函数解析式．
【解答】解：将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：向左平移个单位长度；
得到函数y=sin（x+），横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数y=sin（x+）的图象，
所得到的曲线C/对应的函数解析式是y=sin（x+）．
故选D．
=（n∈N且n≥1），a2=1，则S21为（）
11．{a n}满足a n+a n
+1
A．B．C．6 D．5
【考点】数列递推式；数列的求和．
=（n∈N且n≥1），a2=1，令n=1，可得a1+1=，解得a1．则【分析】数列{a n}满足a n+a n
+1
S21=a1+（a2+a3）×10．
=（n∈N且n≥1），a2=1，
【解答】解：∵数列{a n}满足a n+a n
+1
∴a1+1=，解得a1=﹣．
则S21=a1+（a2+a3）×10=﹣+=．
故选：A．
12．点P（﹣1，3）到直线l：y=k（x﹣2）的距离的最大值等于（）
A．2 B．3 C．3D．2
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】把直线l化为一般式方程后，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，利用|a|=以及完全平方公式化简后，由基本不等式即可求出距离d的最大值．
【解答】解：直线l：y=k（x﹣2）的方程化为kx﹣y﹣2k=0，
所以点P（﹣1，3）到该直线的距离为
d===3=3，
由于≤1，所以d≤3，即距离的最大值等于3，
故选C．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相平行，那么a的值等于2．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】根据它们的斜率相等，可得=﹣1，解方程求a的值．
【解答】解：∵直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相平行，
∴它们的斜率相等，
∴=﹣1
∴a=2
故答案为：2．
=2a n+3（n≥1），则该数列的通项a n=2n+1﹣3．14．在数列{a n}中，若a1=1，a n
+1
【考点】数列递推式．
+3=2（a n+3）（n≥1），由此可知该数列的通项a n=2n+1﹣3．
【分析】由题意知a n
+1
=2a n+3（n≥1），
【解答】解：在数列{a n}中，若a1=1，a n
+1
∴a n
+3=2（a n+3）（n≥1），
+1
即{a n+3}是以a1+3=4为首项，
为公比的等比数列，a n+3=4?2n﹣1=2n+1，
所以该数列的通项a n=2n+1﹣3．
15．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的体积为．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】三视图复原的几何体是三棱柱，根据三视图的数据，求出它的体积．
【解答】解：三视图复原的几何体是三棱柱，底面是正三角形，其底边上的高为，则边长为6；
由三视图可得棱柱高为4，
它的体积：V=Sh=（×6×3）×4=36；
故答案为36．
16．在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠ABC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为2．
【考点】点、线、面间的距离计算．
【分析】要使PM的最小，只需CM最小即可，作CH⊥AB于H，连PH，根据线面垂直的性质可知PH⊥AB，PH为PM的最小值，在直角三角形PCH中求出PH即可．
【解答】解：如图，作CH⊥AB于H，连PH，
∵PC⊥面ABC，
∴PH⊥AB，PH为PM的最小值，
而CH=2，PC=4，
∴PH=2．
故答案为：2
三、解答题题（六小题共70分）
17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA
（1）确定角C的大小；
（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．
【考点】解三角形．
【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA
∴正弦定理得，
∵A锐角，
∴sinA＞0，
∴，
又∵C锐角，
∴
（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC
即7=a2+b2﹣ab，
又由△ABC的面积得．
即ab=6，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25
由于a+b为正，所以a+b=5．
18．如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE；
（2）求证：AE⊥BE．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】（1）先取DE的中点P，利用N，P为中点，可以推出PN∥DC，且PN=DC，再利用四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，可以推出
AM∥DC，且AM=DC，故有PN∥AM，且PN=AM，?四边形AMNP是平行四边形，
?MN∥AP即可证：MN∥平面DAE；
（2）先利用BC⊥平面ABE?AE⊥BC，再利用BF⊥平面ACE?AE⊥BF，可以证得AE
⊥平面BCE，进而可证AE⊥BE．
【解答】证明：（1）取DE的中点P，连接PA，PN，
因为点N为线段CE的中点，
所以PN∥DC，且PN=DC，
又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，
所以AM∥DC，且AM=DC，
所以PN∥AM，且PN=AM，
故四边形AMNP是平行四边形，
所以MN∥AP．
而AP?平面DAE，MN?平面DAE，
所以MN∥平面DAE．
（2）因为BC⊥平面ABE，AE?平面ABE，
所以AE⊥BC，
又BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，
所以AE⊥BF，
又BF∩BC=B，
所以AE⊥平面BCE．
又BE?平面BCE，
所以AE⊥BE．
19．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+y﹣6=0上，顶点A的坐标是（1，﹣1），
（1）求边AC所在的直线方程及边AC的长．
（2）求B点的坐标及边AB所在的直线方程．
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】（1）直线AC的方程为x﹣2y+c=0，将A坐标代入求c即可；
（2）求出AB长度，利用方程组求出B的坐标，从而利用两点式求直线方程．
【解答】解：（1）由条件知直线AC垂直于直线2x+y﹣6=0，设直线AC的方程为x﹣2y+c=0，把A（1，﹣1）代入得c=﹣3，故直线AC的方程为x﹣2y﹣3=0，…
因为AC⊥BC，所以A到直线BC的距离为AC=，…
（2）由AC=得到AB=…
设B（x，y），则，…
解得B（2，2）或者B（4，﹣2），…
所以直线AB的方程为3x﹣y﹣4=0或x+3y+2=0…
20．已知f（x）=4x﹣2x+1﹣a（a∈R）
（1）当a=3时，求函数f（x）的零点；
（2）若f（x）有零点，且t=，求t的取值范围．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】（1）令f （x ）=0，求出函数的零点即可； （2）求出a +3的范围，从而求出t 的范围． 【解答】解：（1）a=3时，f （x ）=4x ﹣2x +1﹣3， 令4x ﹣2x +1﹣3=0，得：（2x ﹣3）（2x +1）=0， ∵2x +1≠0，∴2x ﹣3=0，
故函数f （x ）的零点是log 23； （2）若f （x ）有零点， 则a=（2x ﹣1）2﹣1， ∵2x ＞0，
∴a=（2x ﹣1）2﹣1∈2，+∞）， ∴
∈（0，3﹣2，1）．
21．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1=1，a n +1=2S n +1（n ≥1）． （1）求{a n }的通项公式；
（2）等差数列{b n }的各项为正，前n 项和为T n ，且T 3=15，又a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3成等比数列，求数列{
}的前n 项和
+
+
+…+
．
【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（2）设{b n }的公差为d 由T 3=15可得b 1+b 2+b 3=15，可得b 2=5．故可设b 15﹣d ，b 3=5+d ． 由题意可得：（5﹣d +1）（5+d +9）=（5+3）2，解得d=2，（d ＞0），再利用等差数列的求和公式与“裂项求和”方法即可得出． 【解答】解：（1）由a n +1=2S n +1（n ≥1）．可得a n =2S n ﹣1+1（n ≥2）， 两式相减得a n +1﹣a n =2a n ，∴a n +1=3a n ， 又a 2=2S 1+1=3，∴a 2=3a 1．
故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列， ∴a n =3n ﹣1．
（2）设{b n }的公差为d 由T 3=15可得b 1+b 2+b 3=15，可得b 2=5． 故可设b 15﹣d ，b 3=5+d ． 又a 1=1，a 2=3，a 3=9． 由题意可得：（5﹣d +1）（5+d +9）=（5+3）2，解得d=2，或﹣10． ∵等差数列{b n }的各项为正，∴d ＞0，因此d=2，b 1=3， ∴T n =3n +
=n 2+2n ．
=．
∴数列{
}的前n 项和+
+
+…+=
+
+
+…+
+
==﹣．
22．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CD的中点．
（1）求证：A1C∥平面AD1E；
（2）在对角线A1C上是否存在点P，使得DP⊥平面AD1E？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．
（3）求三棱锥B1﹣AD1E体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连结A1D，交AD1于点F，连结EF，推导出EF∥A1C，A1C∥平面AD1E．（2）推导出AD1⊥A1D，CD⊥AD1，从而AD1⊥平面A1CD，进而平面AD1E⊥平面A1CD，
作DP⊥A1C于P，得到DP⊥EF，从而DP⊥平面AD1E，由Rt△A1CD∽Rt△DCP，得CP=，由此求出当CP=时，DP⊥平面AD1E．
（3）连结B1C，矩形A1B1CD中，过B1作DP的平行线交EF于Q，B1到平面AD1E的距离为B1Q，由此能求出三棱锥B1﹣AD1E体积．
【解答】（本小题满分14分）
证明：（1）连结A1D，交AD1于点F，连结EF．…
因为四边形ADD1A1是正方形，所以F是A1D的中点，又E是CD的中点，
所以EF∥A1C．…
因为EF?平面AD1E，A1C?平面AD1E，
所以A1C∥平面AD1E．…
解：（2）在对角线A1C上存在点P，且CP=，使得DP⊥平面AD1E．
证明如下：因为四边形ADD1A1是正方形，所以AD1⊥A1D．
因为CD⊥平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．
因为A1D∩CD=D，所以AD1⊥平面A1CD．…
因为AD1?平面AD1E，所以平面AD1E⊥平面A1CD．…
作DP⊥A1C于P，因为EF∥A1C，所以DP⊥EF．
因为DP?平面A1CD，平面A1CD∩平面AD1E=EF，
所以DP⊥平面AD1E．…
由Rt△A1CD∽Rt△DCP，得CP===．
所以当CP=时，DP⊥平面AD1E．…
（3）连结B1C，矩形A1B1CD中，过B1作DP的平行线交EF于Q，由（2）知DP⊥平面AD1E，由题意知B1Q⊥平面AD1E，
故B1到平面AD1E的距离为B1Q=，…
===，…
∴===．…
2016年11月28日