广州10年二模理科数学试卷和答案

试卷类型：A

2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科）

2010．4 参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ?=?.

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率

()n

P k =C ()1n k

k k n p p --()0,1,2,,k n = .

两数立方差公式: ()()

3322

a b a b a ab b -=-++.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的． 1. 已知i 为虚数单位，若复数()()11a a -++i 为实数，则实数a 的值为 A ．1- B ．0 C ．1 D ．不确定

2. 已知全集U =A B 中有m 个元素，()()U U A B 痧中有n 个元素．若A B I 非空，则A B I 的元素个数为

A ．

mn B ．m n +

C ．m n -

D ． n m - 3. 已知向量a ()sin ,cos x x =,向量b (=,则+a b 的最大值为 A. 134. 若,m n 是互不相同的空间直线,

α是平面, A. 若//,m n n α?,则//m α B. 若//,//m n n α, C. 若//,m n n α⊥,则m α⊥ D. 若,m n n α⊥⊥,5. 在如图1所示的算法流程图, 若()()3

2,x

f x

g x x ==,

则()2h 的值为

(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←” 或“：=”)

A. 9

B. 8

C. 6

D. 4

6. 已知点(),P x y 的坐标满足10,30,2.x y x y x -+≥??

+-≥??≤?

O 为坐标原点, 则PO 的最小值为

7. 已知函数()sin f x x x =, 若12,,22x x ππ??

∈-

???

?且()()12f x f x <, 则下列不等式中正确的是 A. 12x x > B. 12x x < C. 120x x +< D. 2212x x <

8. 一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车, 当他离汽车25米时交通灯由红变绿, 汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同), 汽车在时刻t 的速度为()v t t =米/秒, 那么, 此人

A. 可在7秒内追上汽车

B. 可在9秒内追上汽车

C. 不能追上汽车, 但其间最近距离为14米

D. 不能追上汽车, 但其间最近距离为7米

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题） 9．若函数()()()cos cos 02f x x x π??

=ω-ωω>

???

的最小正周期为π,则ω的值为 . 10. 已知椭圆C 的离心率e =且它的焦点与双曲线22

24x y -=的焦点重合, 则椭圆C 的方程为 .

11．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：

12.图2是一个有n 层()2n ≥

图3

算作第一层, 第2层每边有2个点,第3层每边有3个点 ,…, 第n 层每边有n 个点, 则这个点阵的点数共有个

13. 已知2n

x ???的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56︰3,

则该展开式中2

x 的系数为 . 图2

（二）选做题（14~ 15题，考生只能从中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的参数方程为1,

42.x t y t =+??

=-?

(参数t ∈R ),

圆C 的参数方程为2cos 2,

2sin .

x y θθ=+??

=?(参数[]0,2θπ∈),

则直线l 被圆C 所截得的弦长为 .

15.(几何证明选讲选做题)如图3, 半径为5的圆O 的两条弦 AD 和BC 相交于点P , ,OD BC P ⊥为AD 的中点, 6BC =, 则弦AD 的长度为 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 16. （本小题满分12分）已知1tan 2,tan 42παβ??

+==

???

(1) 求tan α的值; (2) 求()()

sin 2sin cos 2sin sin cos αβαβαβαβ+-++的值.

17. （本小题满分12分）

如图4, 在直角梯形ABCD 中, 90,30,1,ABC DAB CAB BC AD CD ??

∠=∠=∠===, 把△DAC 沿对角线AC 折起后如图5所示(点D 记为点P ), 点P 在平面ABC 上的正投影

D B C

A E 落在线段A

B 上, 连接PB .

(1) 求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小;

(2) 求二面角P AC B --的大小的余弦值. 图4 图5

18.（本小题满分14分）

一射击运动员进行飞碟射击训练, 每一次射击命中飞碟的概率p 与运动员离飞碟的距离s (米)成反比, 每一个飞碟飞出后离运动员的距离s (米)与飞行时间t (秒)满足()()15104s t t =+≤≤, 每个飞碟允许该运动员射击两次(若第一次射击命中,则不再进行第二次射击).该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击, 命中的概率为

, 当第一次射击没有命中飞碟, 则在第一次射击后 0.5秒进行第二次射击,子弹的飞行时间忽略不计.

(1) 在第一个飞碟的射击训练时, 若该运动员第一次射击没有命中, 求他第二次射击命中飞碟的概率;

(2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率;

(3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练(每个飞碟是否被命中互不影响), 求他至少命中两个

飞碟的概率.

19. （本小题满分14分）已知抛物线C :22x py

=()0p >的焦点为F ,A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的

不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ，且12l l ⊥，1l 与2l 相交于点D . (1) 求点D 的纵坐标；

(2) 证明：A 、B 、F 三点共线；

(3) 假设点D 的坐标为3,12??- ???

，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.

20. （本小题满分14分）

已知函数()32

f x x x ax b =-++(a,b ∈R )的一个极值点为1x =.方程2

0ax x b ++=的两个

实根为,αβ

()αβ<, 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的.

(1) 求a 的值和b 的取值范围;

(2) 若[]12,,x x αβ∈, 证明:()()121f x f x -≤.

21. （本小题满分14分）

已知数列{}n a 和{}n b 满足11a b =,且对任意n ∈N *

都有1n n a b +=,

121n n n n

a b

a a +=-. (1) 求数列{}n a 和{}n

b 的通项公式; (2) 证明:()31324122341123ln 1n n n n

a a a

a a a a a n

b b b b b b b b ++++++<+<++++ .

2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法

供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变

该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共

7小题，考生作答6小题，每小题

5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．

9．1 10. 22

182

x y += 11. 乙 12. 2331n n -+ 13. 180 14 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分）

(本小题主要考查两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)

（1）解法1：∵tan 24πα??

???

， ∴

tan

tan 4

21tan

tan 4+=-π

α. …2分

∴

1tan 21tan α

+=-. 解得1

tan 3

α=. …4分

解法2：∵tan 24πα??

???

，

∴tan tan 4

4ππαα??

??=+-

???????

tan tan

441tan tan

44ππαππα??

+- ???=??

++ ???

…2分

121-=

=. …4分

（2）解:

()()

sin 2sin cos 2sin sin cos αβαβαβαβ+-++sin cos cos sin 2sin cos 2sin sin cos cos sin sin αβαβαβ

αβαβαβ+-=

+- …6分

cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβ

αβαβ

()

sin cos βαβα-=- …8分

()tan βα=- tan tan 1tan tan -=

+βα

βα

…10分

112311123-

=+?

=. …12分

17. （本小题满分12分）

(本小题主要考查空间线面关系、空间角等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 方法一:

(1) 解:在图4中,

∵90,30,1,ABC DAB CAB BC ?

∠=∠=∠==

图 5

∴tan 30BC AB ?=

==, 121sin302BC AC ?

===, 60DAC ?

∠=. ∵AD CD =,

∴△DAC 为等边三角形. ∴2AD CD AC ===. …2分在图5中,

∵点E 为点P 在平面ABC 上的正投影,

∴PE ⊥平面ABC . ∵BC ?平面ABC , ∴PE ⊥BC .

∵90CBA ?

∠=, 图4 ∴BC AB ⊥.

∵,PE AB E PE =? 平面PAB , AB ?平面PAB , ∴BC ⊥平面PAB .（数学驿站 https://www.360docs.net/doc/0110727075.html, ）

∴CPB ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角. …4分在Rt △CBP 中, 1,2BC PC DC ===, ∴1

sin 2

BC CPB PC ∠=

=. ∵090CPB ?

<∠<, ∴30CPB ?

∠=.

∴直线PC 与平面PAB 所成的角为30?

. …6分 (2) 解:取AC 的中点F , 连接PF ,EF .

∵ =PA PC , ∴ ⊥PF AC .

∵PE ⊥平面ABC ,AC ?平面ABC , ∴PE AC ⊥.

∵,=? PF PE P PF 平面PEF , PE ?平面PEF ,

∴AC ⊥平面PEF . ∵?EF 平面PEF , ∴⊥EF AC .

∴PFE ∠为二面角P AC B --的平面角. …8分在R t △EFA 中,1

1302

=∠=AF AC ,FAE , ∴=EF AF tan30?

?3=

==AE . 在R t △PFA 中

=PF 在R t △PEF

中，1

cos 3

∠===EF PFE PF .

∴二面角P AC B --的大小的余弦值为1

. …12分方法二: 解:在图4中,

∵90,30,1,ABC DAB CAB BC ??∠=∠=∠==

∴tan 30BC AB ?=

==, 1

2sin302BC AC ?

===, 60DAC ?∠=. ∵AD CD =,

∴△DAC 为等边三角形. ∴2AD CD AC ===. …2分在图5中, （数学驿站 https://www.360docs.net/doc/0110727075.html, ） ∵点E 为点P 在平面ABC 上的射影,

∴PE ⊥平面ABC . ∵BC ?平面ABC , ∴PE ⊥BC .

∵90CBA ?

∠=, 图4 ∴BC AB ⊥.

图5

∵,PE AB E PE =? 平面PAB , AB ?平面PAB ,

∴BC ⊥平面PAB . …4连接EC ,

在R t △PEA 和R t △PEC 中,2,PA PC PE PE ===, ∴R t △PEA ?R t △PEC . ∴EA EC =.

∴30ECA EAC ?

∠=∠=.

∴60CEB ?

∠=.

在R t △CBE

中，tan 60BC EB ?===

∴AE AB EB =-=

在R t △PEA

中，PE =

. …6分以点E 为原点,EB 所在直线为x 轴,与BC 平行的直线为y 轴,EP 所在直线为z 轴,建立空

间直角坐标系E xyz -,则()0,0,0E

,A ?? ? ???

,B ?????

,C ?

????

, 0,0,3P ? ?

?. ∴()0,1,0BC =

,0,0,3EP ?= ??

AC =

,33PC ?=- ??

(1)∵cos ,BC PC

BC PC BC PC

12,

∴,30BC PC ?

= .

∴ 直线PC 与平面PAB 所成的角为30?

. …9分 (2) 设平面PAC 的法向量为n (),,x y z =,

由0,0.

?=?

?=?? n AC n PC

得0,0y x y z +=+-=. 令1x =,

得y =

=z . ∴

n 1,?= ??

为平面PAC 的一个法向量.

∵EP ?= ??

为平面ABC 的一个法向量, ∴cos ,= n EP

n EP

13=-.

∵二面角P AC B --的平面角为锐角, ∴二面角P AC B --的平面角的余弦值为1

. …12分 18. （本小题满分14分）

(本小题主要考查古典概型、二项分布等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理

能力、运算求解能力和应用意识) (1)解:依题意设(k

p k s

为常数),由于()()15104s t t =+≤≤, ∴ ()

()04151k

p t t =

≤≤+. …2分

当0.5t =时, 145p =

, 则()

45150.51k =?+,解得18k =. ∴()()

()1860415151p t t t =

=≤≤++. …4分

当1t =时, 263525

p =

=?. ∴该运动员第二次射击命中飞碟的概率为

. …6分 (2) 解:设“该运动员第一次射击命中飞碟”为事件A ，“该运动员第二次射击命中飞碟”为事件B ，则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件：A AB +. …7分 ∵()()43,55

P A P B =

=，

∴()()()

()P A AB P A P A P B +=+

44323

155525

??=

+-?=

???. ∴第一个飞碟被该运动员命中的概率为

. …10分 (3) 解:设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为ξ, 则23325B ,

ξ?? ???

. ∴至少命中两个飞碟的概率为()()23P P P ξξ==+= …12分

=C ()22

31p p -+ C 33

232233252525??

??=??+ ?

?????

=15341

15625

. …14分

19. （本小题满分14分）

(本小题主要考查直线、圆、抛物线、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:设点A 、B 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ， ∵ 1l 、2l 分别是抛物线C 在点A 、B 处的切线， ∴直线1l 的斜率1'

11x x x k y p ===，直线2l 的斜率2'

2x x x k y p

===. ∵ 12l l ⊥,（数学驿站 https://www.360docs.net/doc/0110727075.html, ）

∴ 121k k =-, 得212x x p =-. ① …2分 ∵A 、B 是抛物线C 上的点,

∴ 22

12,.22x x y y p p

∴ 直线1l 的方程为()21112x x y x x p p -=-,直线2l 的方程为()2

2222x x

y x x p p

-=-.

由()()21112

222,2,2x x y x x p p x x y x x p p ?-=-????-=-??

解得12,2

2x x x p y +?

=????=-?? ∴点D 的纵坐标为2

. …4分 (2) 证法1：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0,

2p F ?? ???

. ∴ 直线AF 的斜率为2

12211111

22202AF

x p p y x p p k x x px --

-===

-，直线BF 的斜率为2

222

22202BF

x p p y x p p k x x px ---===-. ∵ 222

1212

22AF BF

x p x p k k px px ---=-

…6分 ()()

2222211212

2x x p x x p px x ---=

()()

2121212122x x x x p x x px x -+-=

()()

22121212

2p x x p x x px x --+-=

0=. ∴AF BF k k =.

∴A 、B 、F 三点共线. …8分证法2：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0,

2p F ?? ???

. ∴2221111,,222x p x p AF x x p p ????-=--=- ? ?????

，

2222

222,,

222x p x p BF x x p p ????

-=--=- ? ??

???

∵ 22

12221121122222

2212222p x p x x x x x p

p x p x x x x p

----===----, …6分 ∴ //AF BF .

∴A 、B 、F 三点共线. 证法3：设线段AB 的中点为E , 则E 抛物线C 的准线为:2

l y =-

. 作11,AA l BB l ⊥⊥, 垂足分别为11,A B . ∵ 由(1)知点D 的坐标为12

2x x p +??- ???∴DE l ⊥.

∴DE 是直角梯形11AA B B 的中位线. ∴()111

DE AA BB =

+. …6分根据抛物线的定义得:11,AA AF BB BF ==, ∴()()1111

DE AA BB AF BF =

+=+. ∵AD DB ⊥,E 为线段AB 的中点,

∴1

2DE AB =

. ∴()11

AB AF BF =+,即AB AF BF =+. ∴A 、B 、F 三点共线. …8分 (3)解: 不存在. 证明如下：

假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M ，依题意得,MA AD MB BD ⊥⊥，且MA MB =，由12l l ⊥，得AD BD ⊥. ∴ 四边形MADB 是正方形.

∴ AD BD =. …10分

∵点D 的坐标为3,12??- ???

， ∴12

=-p

,得2p =. 把点D 3,12??- ???的坐标代入直线1l , 得211131422x x x ??

--=?- ???

解得14x =或11x =-,

∴点A 的坐标为()4,4或11,4?

?- ???

同理可求得点B 的坐标为()4,4或11,4??- ???

由于A 、B 是抛物线C 上的不同两点，不妨令11,4A ??- ???

,()4,4B .

∴AD == BD ==. …13分

∴AD BD ≠, 这与AD BD =矛盾.

∴经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆不存在. …14分 20. （本小题满分14分）

(本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识, 考查函数与方程、化归与转化的数学

思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:∵()3

f x x x ax b =-++,

∴()'

232f

x x x a =-+.

∵()3

f x x x ax b =-++的一个极值点为1x =, ∴()'

131210f a =?-?+=.

∴ 1a =-. …2分 ∴()()()'

2321311f

x x x x x =--=+-,

当13x <-时, ()'0f x >;当1

x -

<<时, ()'0f x <;当1x >时, ()'0f x >; ∴函数()f x 在1,3??-∞- ??

?上单调递增, 在1,13

??-????

上单调递减,在[)1,+∞上单调递增.

∵方程2

0ax x b ++=的两个实根为,αβ, 即2

0x x b --=的两根为,αβ

()αβ<,

∴αβ=

. ∴1,b αβαβ+==-

,αβ-=…4分 ∵ 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的,

∴区间[],αβ只能是区间1,3??-∞- ???,1,13??-????,[)1,+∞之一的子区间.

由于1,αβ+=αβ<,故[]1,,13αβ???-????

. 若0α<,则1αβ+<,与1αβ+=矛盾. ∴[][],0,1αβ?.

∴方程2

0x x b --=的两根,αβ都在区间[]0,1上. …6分

令()2

g x x x b =--, ()g x 的对称轴为[]1

0,12

x =

∈, 则()()00,

10,140.

g b g b b =-≥??

=-≥???=+>?

解得104b -<≤.

∴实数b 的取值范围为1,04??

???

. …8分说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法.

∵1111,2222

αβ+=

≤=≥且函数()f x 在区间[],αβ上是单调的,

∴

[]1,,13αβ??

????

由1,

31,140.

b αβ?≥-??≤???=+>?

即11

,231,140.b ?-≥-?≤?+>??

…6分解得1

b -

<≤. ∴实数b 的取值范围为1,04??

???

. …8分 (2)证明:由(1)可知函数()f x 在区间[],αβ上单调递减, ∴函数()f x 在区间[],αβ上的最大值为()f α, 最小值为()f β.

∵[]12,,x x αβ∈,

∴()()()()12f x f x f f αβ-≤-

()(

)

3232

b b αααβββ=--+---+ (

)()

()3322

αβαβαβ=-----

()()()2

1αβαβαβαβ??=-+--+-??

()1b =-

()1b =-. …10分

令t =则()2114b t =-

()1b -()3154

t t =-. 设()()3154h t t t =-, 则()()'2

1534h t t =-.

∵1

b -<≤,

∴01t <≤.

∴()()'

534h t t =

-0>. ∴函数()()3

154

h t t t =-在(]0,1上单调递增. …12分

∴()()11h t h ≤=.

∴ ()()121f x f x -≤. …14分 21. （本小题满分14分）

(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:∵对任意n ∈N *

都有1n n a b +=,

121n n n n

a b

a a +=-, ∴

122

11111n n n n n n n

a b a a a a a +-===--+. ∴

111

1n n

a a +=+,即1111n n a a +-=. …2分

∴数列1n a ???

是首项为11a ,公差为1的等差数列. ∵11a b =, 且111a b +=, ∴11a b =1

=. ∴

()1

211n

n n a =+-=+. …4分 ∴ 11n a n =

+, 11n n n b a n =-=+. …6分 (2)证明: ∵11n a n =

+, 1n n b n =+, ∴1

n n a b n

=. ∴所证不等式

()31324122341123ln 1n n n n

a a a

a a a a a n

b b b b b b b b ++++++<+<++++ , 即

()1111111

ln 11234123n n n

++++<+<+++++ . ① 先证右边不等式: ()111

ln 1123n n +<++++ .

令()()ln 1f x x x =+-, 则()'

1111x f x x x

=-=-++. 当0x >时, ()'

x <,

所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递减.

∴当0x >时,()()00f x f <=, 即()ln 1x x +<. …8分

分别取1111,

,,,23x n

= . 得()111111ln 11ln 1ln 1ln 112323n n ??????

+++

+++++<++++ ? ? ?

??????

. 即()111111ln 1111112323n n ??

??????++

++<++++ ? ? ???

????????

. 也即341111

ln 212323n n n

???<++++ ?

?? . 即()111

ln 1123n n +<++++ . …10分 ② 再证左边不等式: ()1111

ln 12341

n n ++++

<++ . 令()()ln 11x f x x x =+-

+, 则()()()

'22

11111x

f x x x x =-=+++. 当0x >时, ()'

x >,

所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增.

∴当0x >时,()()00f x f >=, 即()ln 11x

x x

+>+. …12分分别取1111,

,,,23x n

= . 得()11111

1ln 11ln 1ln 1ln 12323

1n n ??????+++

+++++>+++ ? ? ?

+?????? . 即()111ln 1111123n ????????++

++ ? ? ???????????

1231n >++++ . 也即341111

ln 223231n n n

???>+++ ?+?? . 即()111ln 1231n n +>++++ . ∴()31324122341123ln 1n n n n

a a a

a a a a a n

b b b b b b b b ++++++<+<++++ . …14分