高三复习：排列组合问题的解题方法

排列组合问题的解题方法

一、特殊元素（或位置） “优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑.

例1、在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( )个． 解1：（元素优先法）根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类：①

含0不含5，共有1324C A =48(个)；②含5不含0，共有1334C A =72(个)；③含0也含5，共有112224C C A ＝48(个)；④不合0也不含5，共有4

4

A ＝24(个)．所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个).

解2：（位置优先法）根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步：第一步：排

个位，有14C 种方法；第二步；排首位，有14C 种方法；第三步：排中间两位，有2

4A 种方法．所以符合条件的四位数共有14C 14C 24

A =192(个)． 二、相邻问题“捆绑法”：对于元素相邻的排列问题，可先将相邻元素“捆绑”起来看作一个元素（整体），先与其它元素排列，然后相邻元素之间再进行排列.

例2、6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？

解：将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有A 55

种，甲、乙二人的排列有A 22

种，共有A 22·A 5

5=240种. 三、不相邻问题“插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可.

例3、用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个.

解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”，

共有22232

22234576A A A A A 种.

四、有序问题“无序法”：对于元素顺序一定的排列问题，可先考虑没有顺序元素的排列，然后除以有顺序的几个元素的全排列即可.

例4、3男3女排成一排，若3名男生身高不相等，则按从高到低的一种顺序站的站法有多少种？

解：6个人的全排列有A 66

种，3名男生不考虑身高的顺序的站法有A 3

3种，而由高到低又可从左到右，或从右到左（这是两种不同的站法），故共有不同站法2A 66÷A 3

3

=240种. 五、分排问题“直排法”：n 个元素分成m （m ＜n ）排，即为n 个元素的全排列.

例5、将6个人排成前后两排，每排3人，有多少种排法.

解：6个人中选3个人排在前排有A C 33

36种，剩下3人排在后排有A 3

3种，故共有

A C 3336A 33=A 6

6=720种.

六、分组与分配问题的解法

例6、6本不同的书，按以下要求各有多少种分法？⑴平均分成三组；⑵分成1本，2本、3本三组；⑶平均分给甲、乙、丙三人；⑷分给甲、乙、丙三人，一人拿1本，一人拿2本、一人拿3本；⑸甲得一本，乙得二本，丙得三本.

解：⑴此为平均分组问题，共有1532

22

42

6=！

C C C 分法；⑵此为非平均分组问题，共有

603

3

251

6=C

C C 分法；⑶先分组，再排序，共有90332224

2

6=?！！

C

C C 种分法；⑷先分组，再排序，

3603

33

32

51

6=A C C C 分法；⑸共有603

32

51

6=C C C 分法.

【注】此例中的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有裨

益，其中：⑴均匀分组问题；⑵非均匀分组问题；⑶均匀不定向分配问题；⑷非均匀不定向分配问题；⑸非均匀定向分配问题.

七、综合问题的解法：对排列组合的综合问题，由于限制条件较多而使问题较为复杂.解此类问题时，应注意解题的基本策略与方法，抓住问题的本质，采用恰当方法求解.

1、分类分步法：解排列组合的综合问题，应遵循“按元素的性质进行分类，按事情的发展过程进行分步”的原则，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏.

例7、6个人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有多少种？

解：按元素甲分类：①甲在排尾，此时乙无任何限制条件地和其余4个元素排在一起，

有A 55种排法；②甲不在排尾，而甲又不在排头，则甲有A 14种排法，乙不在排尾也有A 1

4种排法，其它4人有A 44

种排法，共有A 55＋A 14A 1

4A

4

4

=504种.

2、排除法：对含有否定词的问题，也可从总体中把不符合条件的排法除去，此时应注

意不能多除，也不能少除.

例如：在例8中，6个人的全排列有A 66种，甲在排头的排法有A 55

种，乙在排尾的排法有A 55

种，甲在排头且乙在排尾的排法有A 44种，故共有A 66－A 55－A 55＋A 4

4=504种. 3、集合思想

例8、用0、1、2、3、4、5、6七个数字组成没有重复数字的五位数，若数字3不在百位，数字5不在个位，共有多少个这样的五位数？

解：设M={从七个数中任取五个数的排法}，A={0在首位的排法}，B={3在百位上的排法}，C={5在个位上的排法}，如图，则满足条件的五位数共有：

card （M ）－card （A ）－card （B ）－card （C ）＋card （A ∩B ）＋card （B ∩C ）

＋card （C ∩A ）－card （A ∩B ∩C ）=1608332

4

354657=-+-A A A A 个. 4、图示（表）法：对于某些综合问题，如暂无思路求解，可考虑回归课本，用树图、框图或图表法求解.

例9、同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人拿一张别人写的贺年卡，则四张贺年卡的不同分配方法有多少种？

解：（树图法）如图，

共有9种不同的选法. 例10、3男3女排成一排，下列情形各有多少种排法.⑴男女相间.⑵甲乙之间恰隔二人.

解：⑴男女相间的站法有两类：男女男女男女，女男女男女男，共有2A 33·A 33

=72种； ⑵甲乙之间恰隔二人有三类：甲××乙××，×甲××乙×，××甲××乙，因甲乙可

交换位置，故共有3×A 22

×44A =144种. 例11、9人组成的蓝球队中，有7人会打卫，3人会打锋，现选5人，按3卫2锋组队出场，有多少种不同的组队方法？

解：9个人中7人会卫3人会锋，故有1人既会卫也会锋，则只会卫的有6人，只会锋的有2人，见下表：

故共有A A 22

36＋A A C 223326＋A C A 2

21236=900种方法. 5、至多、至少问题间接法：对于含有 “至多”、“至少”的组合问题，分类讨论十分麻烦，若用间接法处理，可使问题简化.

例12、①某校要从6个班级中选出10人组成一个篮球队，要求每班至少选1人参加，则这10个名额的不同分配方法有多少种？

②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少含甲型与乙型电视机各一台的不同选法有 种？

解：①（隔板法）因为名额之间无区别，所以可把它们视作排成一排的10相同的球，要把这10个球分开成6段（每段至少有一个球），这样，第一种分隔方法都对应一种名额的分配方法，这10个球之间（不含两端）共有9个空位，现要在这9个空位中放进5块隔板，共有C 59

=126种放法，故共有126种分配方法. ②（排除法）在被取出的3台中，不含甲型或不含乙型的取法分别为34C 与3

5C 种，故符

合题意的取法有39C －34C －3

5C =70种.

6、角色转换法：对元素可重复的排列组合问题，若将元素与位置互换，则可化为相异元素的问题求解.

例13、有2个A ，3个B ，4个C 共9个字母排成一排，有多少种排法？

解：将字母作为元素，则这是九个元素排在九个位置上的“不尽相异元素的全排列”问题.若将九个位置作为元素，则问题转化为“相异元素不许重复的组合问题”，即共有

12604

4

372

9 C

C C 种不同的排法.

7、分组与分配问题的解法

例14、6本不同的书，按以下要求各有多少种分法？⑴平均分成三组；⑵分成1本，2本、3本三组；⑶平均分给甲、乙、丙三人；⑷分给甲、乙、丙三人，一人拿1本，一人拿2本、一人拿3本；⑸甲得一本，乙得二本，丙得三本.

解：⑴此为平均分组问题，共有1532

22

42

6=！

C C C 分法；⑵此为非平均分组问题，共有

603

3

25

1

6

=C

C C 分法；⑶先分组，再排序，共有90332

22426=?！

！

C C C 种分法；⑷先分组，再排

序，36033332516=A

C C C 分法；⑸共有603

32516=C C C 分法. 【注】此例中的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有裨益，其中：⑴均匀分组问题；⑵非均匀分组问题；⑶均匀不定向分配问题；⑷非均匀不定向分配问题；⑸非均匀定向分配问题.

8、方程思想

例15、球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分。欲将此十球中的4球击入袋中，且总分不低于5分，则击球方法有 种？

解：设击入黄球x 个，红球y 个，则有4x y +=，且25x y +≥（x ，y N ∈），解得

14x ≤≤，∴13x y =??=?或22x y =??=?或31x y =??=?或40

x y =??=?，对应每组解的击球方法数分别为13

46C C ，2246C C ，3146C C ，4046C C ，∴不同的击球方法数为1346C C ＋2246C C ＋3146C C ＋40

46C C =195种.

对排列组合的综合问题，常用方法是“先选之，再排之”.在分清分类与分步的标准与

方式的基础上，遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类，二是按事情发生的过程进行分步.在具体应用中，要注意“类”与“类”间的独立性与并列性和“步”与“步”间的连续性.这要求我们要有周密的逻辑思维能力、准确的计数能力和灵活正确运用基础知识的能力.

例16、7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，丙不去C 地，丁不去D 地，共有多少种旅游方案？

解：（排除法）7个人去7个地方共有77A 种可能.①若甲、乙、丙、丁都去各自不能去的地方旅游，其余的人去剩下的地方有336A =种；②若甲、乙、丙、丁中有3人去各自不能

去的地方旅游，有34C 种，4人中剩下的一人有13C 种，其余的人去剩下的地方有3

3A 种，共

有34C 13C 33A =72种；③若甲、乙、丙、丁中有2人去各自不能去的地方旅游，有24C 种，余

下的5人去5个不同的地方有55A 种，但其中又包括了有条件的4人中的两人（不妨设为甲

乙）同时去各自不能去的地方有33A 种和这两人中有一人去各自不能去的地方有13332A A 种，

故共有24C ·

（55A －33A －13332A A ）=468种；④若甲、乙、丙、丁中有1人去各自不能去的地方旅游，有14C 种，而余下的6个人的旅游方案仍与③的想法一致，共有

12163435313

63435333433[()(2)]1704C C C A A A A A A A A ------=种.

故满足条件的不同旅游方案共有77A －（6＋72＋468＋1704）=2790种.

例17、三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，则同校的任何两名学生都不能相邻的排法有 种.

解：由题意可分两类：①先在6个位置上排第一个学校的三名学生，两两不相邻（如图），

3名学生每两名隔一个空位有2种排法，剩下

的三个空位中再选2个排第二个学校的2名同学，最后一名同学自动确定位子，此时有

232

323272C A A =种排法；

②第一个学校的3名同学中有两名中间隔两个位子的有两种排法（如

图），

剩下的3个位子中，挨着的两个不能同时选，所以从另外两个中选，最后一名同学自动确定

位子，此时有132

322248C A A =种排法.故满足题设条件的排法共有120种排法.

试题集粹：

1、从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数组成一元二次方程02=++c bx ax ，其中有实根的方程共有 个.

2、将6名运动员分成4组，由5名教练员分成4组分别辅导，不同的分配方法有 种.

3、身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同排法共有 种.

4、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置，则不同的出场安排有 种.

5、用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答) .

6、某小组12位同学毕业前夕要留影，要求排成前5后7两排，组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排且不相邻，则共有排法种数有 种.

7、5个人有相应的5个指纹档案，每个指纹档案上都记录有相应人的指纹痕迹，并有检测指示灯和检测时的手指按扭.5个人中某人把手指按在键扭上，若是他的档案，则指示灯出现绿色，否则出现红色.现在这5人把手指按在5个指纹档案的按扭上去检测，规定一个人只能在一个档案上去检测，且两个人不能在同一档案上去检测，此时指示灯全部出现红色的情况共有 种.

8、如图，某城市开发旅游资源，现开发出A 、B 、C 、D 、E 、F 六个旅游景点.该城市某

旅行社根据游览景点次序不同而制定团体旅游方案，因为A 景点离火车站最近，根据团体来的时间，决定最先或最后旅游.对于同一交通线路上的B 、C ，可按先远后近或先近后远的方式方式游览，其余不作要求.则可制定不同的旅游方案 种.

参考答案：⑴18；⑵15600；⑶90；⑷252；⑸40；⑹2903040；⑺44；⑻96.