数列求和专项训练题(学生)

数列求和的常用方法

第一类：公式法求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的.

1、等差数列前n 和公式：()()

11122

n n n a a n n S na d +-=

=+ 2、等比数列前n 和公式：1

11(1)(1)(1)

11n n n na q S a a q

a q q q q =??

=--?=≠?--?

自然数方幂和公式：

3、11(1)2n

n k S k n n ===+∑ 4、211

(1)(21)

6n

n k S k n n n ===++∑

5、32

1

1[(1)]2

n

n k S k n n ===+∑

【例】已知数列{}n a 满足*111,4,n n a a a n N +==+∈，求数列{}n a 的前n 项和

n S .

【练习】已知321

log log 3

x -=

，求23n x x x x +++???++???的前n 项和.

第二类：分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

若数列{}n c 的通项公式为n n n c a b =+，其中数列{}n a ，{}n b 分别是等差数列和等比数列，求和时一般用分组结合法。 【例】数列111111,2,3,4

,,,24816

2n

n

求数列的前n 项和.

【练习】数列{}n a 的通项公式221n n a n =+-

第三类：裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.

常用的通项分解（裂项）如：

（1）()()1n a f n f n =+-

（2）()11111

n a n n n n =

=-++ （()1111n a n n k k n n k ??

==- ?++??）

（3）()()1

111212122121n a n n n n ??

=

=?- ?+--+??

（4

）n a =

=（5）()1log 1log 1log n a a a a n n n ??=+=+- ??

?

【例1】数列11

11,

,,,

,

12123

123n

++++++

+，求该数列的前n 项和.

【例2】已知等差数列{}n a 满足3575,22a a a =+=.

（1）求n a ； （2）令1

1

n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前n 项和n S .

【例3】数列

()

1111

,,,,

,

132435

2n n ???+，求该数列的前n 项和.

小结：要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意究竟是像例1一样剩下首尾两项，还是像例3一样剩下四项.

【例4】数列{}

n a 的通项公式是n a =，若前n 项和为10，则

项数为（ ）

A. 11

B. 99

C. 120

D. 121

【例5】数列{}n a 的通项公式是21log 1n a n ??=+ ??

?

，求该数列的前127项

和.

第三类：错位相减法求和

这种方法主要用于求数列{}n n a b ?的前n 项和（112233n n n S a b a b a b a b =?+?+?++?），其中{}n a ，{}n b 分别是等差数列

和等比数列.

【例1】求数列{}n a 的前n 项和n S .

（1）2

3

4

12,22,32,42,

,2n

n ?????

（2）2

341234

,

,,,,

2222

2n

n

【练习】求数列{}n a 的前n 项和n S . （1）()23412,32,52,72,,212n

n ????-?

（2）234

2468

2,

,,,,

22222n

n

【例2】已知数列的等比数列公比是首项为4

1,41}{1==q a a n ，设

*)(log 324

1N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ?=满足}{.求数列}{n c 的前n 项

和S n ；

第四类：合并求和法

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此在求数列的和时，

可将这些项放在一起求和，然后再求n S .

【例】求2222222212345699100-+-+-+--+的值.

第五类：倒序相加法

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）

，再把它与原数列相加，就可以得到n 个()1n a a +。 【例】若函数()f x 对任意x R ∈，都有()()12f x f x +-=.

（1）()()12101n n a f f f f f n n n -??????=+++++

? ? ???

??

??

，数列{}n a 是等差数列吗是证明你的结论；

（2）数列11n n a a +??

?

???

的前n 项和n S .

【例习】求22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89+++???++的值.

第六类：利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.

【例】求1

1111111111n +++???+???个的和

数列通项与求和的综合题

1．已知各项均为正数的数列{}n a 中，11=a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*∈N n ，有p pa pa S n n n -+=222，()R p ∈．

（1）求常数p 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；

（3）记n n

n n S b 23

4?+=

，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

2．设数列{}n a 的前n 项和为2n S n =,{}n b 为等比数列,且()1112121,a b b a a b +=-=,

(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)设n

n n

a c

b =

,求数列{}n c 的前n 项和n T . 3．（2013

广东文科）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满

足

21441,,n n S a n n N *

+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．

(1)

证明：2a = (2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有

1223

111

11

2

n n a a a a a a ++++

<．

4．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且

2a ，7a ，22a 成等比数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列1n S ???

???

的前n 项和为n T ，求证：13

68n

T <≤．

5.（2010·山东高考理科·Ｔ18）已知等差数列{}n a 满足：37a =，

5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．

（1）求n a 及n S ；（2）令n b =

2

11

n a -(n ∈N *

)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．