数学分析课后习题答案
数学分析课后习题答案
【篇一:数学分析试卷及答案6套】
>一. (8分)用数列极限的??
n定义证明?1.
n二. (8分)设有复合函数f[g(x)], 满足: (1) limg(x)?b;
x?a
(2) ?x?u(a),有g(x)?u(b) (3) limf(u)?a
u?b
00
用???定义证明, limf[g(x)]?a.
x?a
三. (10分)证明数列{xn}:
xn?
cos1cos2cosn
????收敛. 1?22?3n?(n?1)
1
在[a,1](0?a?1)一致连续,在(0,1]不一致连续. x
四. (12分)证明函数f(x)?
五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界.
六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定a,b
使limax?b)?0.
x???
32
八. (14分)求函数f(x)?2x?9x?12x在[?
15
,]的最大值与最小值. 42
九. (14分)设函数f(x)在[a,b]二阶可导, f?(a)?f?(b)?0.证明存在??(a,b),使
f??(?)?
4
f(b)?f(a). 2
(b?a)
数学分析-1样题(二)
一. (10分)设数列{an}满足
: a1?
, an?1?(n?n), 其中a是一给定的正常
数, 证明{an}收敛,并求其极限.
二. (10分)设limf(x)?b?0, 用???定义证明lim
x?x0
x?x0
11
?. f(x)b
三. (10分)设an?0,且lim
an
?l?1, 证明liman?0.
n??n??an?1
四. (10分)证明函数f(x)在开区间(a,b)一致连续?f(x)在(a,b)连续,且 x?a?
limf(x),limf(x)存在有限. ?
x?b
五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.
六. (12分)证明:若函数在连续,且f(a)?0,而函数[f(x)]2在a可导,则函数f(x)在a可导. 七. (12分)求函数f(x)?x???x???1在的最大值,其中0???1.
八. (12分)设f在上是凸函数,且在(a,b)可微,则对任意x1,x2?(a,b), x1?x2,都有
f?(x1)?f?(x2).
?g(x)
,??????x?0?
九. (12分)设f(x)??x 且g(0)?g?(0)?0, g??(0)?3, 求f?(0).
??0???????,??????x?0
数学分析-2样题(一)
一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. 3.
?xarctanx?dx
2.
?edx
4.
?x
?
ln0
?
?
xsinx
1?cosx
二.(10分)设f(x)是上的非负连续函数, 三. (10分)证明
?
b
a
f(x)dx?0.证明f(x)?0 (x?[a,b]).
?
2?
sinx
?0. x
四. (15分)证明函数级数
?(1?x)x
n?0
?
n
在不一致收敛, 在[0,?](其中)一致收敛.
五. (10分)将函数f(x)??
???x,????????x?0
展成傅立叶级数.
???x,??????0?x??
?22
xy??????x?y?0?六. (10分)
设f(x,y)??
?22
???????????0,???????????????????x?y?0
证明: (1) fx?(0,0), fy?(0,0)存在;
(2) fx?(x,y),fy?(x,y)在(0,0)不连续; (3) f(x,y)在(0,0)可微.
七. (10分)用钢板制造容积为v的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板? 八. (15分)设0???1, 证明
11
. ???
?n?1n(n?1)
数学分析-2样题(二)
?
一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:
1.
???(a?0)
2.
?
x?xx?x
100?87
1712
1514
dx
3.
?
arcsinx??dx
4.
?
二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限: 1. lim
n
?22n??
k?1n?k
n
2. lim
xx?01?ex
?
x
etdt
2
三.(10分)设函数在[a,b]连续,对任意[a,b]上的连续函数g(x), g(a)?g(b)?0,有
?
b
a
f(x)g(x)dx?0.证明f(x)?0 (x?[a,b]).
四. (15分)定义[0,1]上的函数列
1?2
2nx,?????????????????????x??2n?
11?
fn(x)??2n??2n2x?????????????x?
2nn?
1? ????????????????????????????x?1?n?
证明{fn(x)}在[0,1]不一致收敛. 五. (10分)求幂级数
?(n?1)x
n?0
?
n
的和函数.
六. (10分)用???定义证明
(x,y)?(2,1)
lim(4x2?3y)?19.
七. (12分)求函数u?(2ax?x2)(2by?y2)??(ab?0)的极值. 八. (13分)设正项级数
数学分析-3样题(一)
一 (10分) 证明方程f(x?zy?1, y?zx?1)?0所确定的隐函数z?z(x, y)满足方程
?a
n?1
?
n
收敛,且an?an?1???(n?n?).证明limnan?0.
n??
x
?z?z
?y?z?xy. ?x?y
二 (10分) 设n个正数x1, x2, ?, xn之和是a
,求函数u?三 (14分) 设无穷积分
.
?
??
a
f(x) dx收敛,函数f(x)在[a, ??)单调,证明
1
x
四 (10分) 求函数f(y)?五 (14分) 计算
?
1
ln(x2?y2) dx的导数(y?0).
sinbx?sinax
dx (p?0, b?a).
0x
六 (10分) 求半径为a的球面的面积s.
i??
??
e?px
七 (10分) 求六个平面
a1b1c1 ?a1x?b1y?c1z??h1 ,
?
?a2x?b2y?c2z??h2 , ?=a2b2c2?0 , ?ax?by?cz??h ,a3b3c3333
?3
所围的平行六面体v的体积i,其中ai, bi, ci, hi都是常数,且hi?0 (i?1, 2, 3). 八 (12分) 求
xdy?ydx??cx2?y2,其中c是光滑的不通过原点的正向闭曲线.
九 (10分) 求
ds2222
?,其中是球面被平面z?h (0?h?a)所截的顶部. x?y?z?a??z?
数学分析-3样题(二)
一 (10分) 求曲面x?u?v, y?u2?v2, z?u3?v3在点(0, 2)对应曲面上
的点的切平面与法线方程.
二 (10分) 求在两个曲面x2?xy?y2?z2?1与x2?y2?1交线上到原
点最近的点. 三(14分) 设函数f(x)在[1, ??)单调减少,且limf(x)?0,证明无穷积分
x???
?
??
1
f(x) dx与级数?f(n)同时收敛或同时发散.
n?1??
100
四 (12分) 证明
?
e?ax?e?bxb
dx?ln(0?a?b). xa
五 (12分) 设函数f(x)在[a, a]连续,证明? x?[a, a],有
1x
lim ?[f(t?h)?f(t)] dt?f(x)?f(a).
ah?0h
六 (10分) 求椭圆区域r: (a1x?b1y?c1)2?(a2x?b2y?c2)2?1
(a1b2?a2b1?0)的面积
a.
七 (10分) 设f(t)?
???
v
f(x2?y2?z2) dx dy dz,其中v: x2?y2?z2? t2 (t?0),
f是连续函数,求f(t).
八 (10分) 应用曲线积分求(2x?siny)dx?(xcosy)dy的原函数. 九(12分) 计算外侧.
??xyz dx dy,其中s是球面x
s
2
?y2?z2?1在x?0, y?0部分并取球面
【篇二:数学分析三试卷及答案】
lass=txt>一. 计算题(共8题,每题9分,共72分)。
11
1.
求函数f(x,y)??在点(0,0)处的二次极限与二重极限.
yx11
解:
f(x,y)???,因此二重极限为0.……(4分)
yx1111
因为
与均不存在,
x?0yxy?0yx
故二次极限均不存在。……(9分)
?z?xf(x?y),?y?y(x),
2. 设? 是由方程组?所确定的隐函数,其中f和f分别
f(x,y,z)?0z?z(x)??
dz
具有连续的导数和偏导数,求.
dx
解:对两方程分别关于x求偏导:
dy?dz
?f(x?y)?xf?(x?y)(?1),??dxdx?……(4分)
dydz?f?f?fz?0。 xy
?dxdx?
dzfy?f(x?y)?xf?(x?y)(fy?fx)?解此方程组并整理得.……(9分) dxfy?xf?(x?y)fz
3. 取?,?为新自变量及w?w(?,v)为新函数,变换方程
?2z?2z?z
???z。 2?x?x?y?xx?yx?y设??,??,w?zey (假设出现的导数皆
连续).
22
解:z看成是x,y的复合函数如下:
wx?yx?y
。……(4分) z?y,w?w(?,?),??,??
e22
代人原方程,并将x,y,z变换为?,?,w。整理得:
?2w?2w
?2w。……(9分) 2?
??????
4. 要做一个容积为1m3的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解:设圆桶底面半径为r,高为h,则原问题即为:求目标函数在约束
条件下的最小值,其中
目标函数: s表?2?rh?2?r2,
约束条件: ?r2h?1。……(3分)构造lagrange函数:
f(r,h,?)?2?rh?2?r2??(?r2h?1)。
?fr?2?h?4?r?2?rh??0,令?……(6分) 2
f?2?r??r??0.?h
h? 由题意知问题的最小值必存在,当底面半
解得h?
2r,故有r?径为r?
y3
高为h?时,制作圆桶用料最省。……(9分) 2
5. 设f(y)??e?xydx,计算f?(y).
y2
解:由含参积分的求导公式
?y3y322
???x2y
f?(y)???2edx???2?x2e?xydx?3y2e?xy
y
?y?y
???2x2e?xydx?3y2e?y?2ye?y
yy3
2
7
5
x?y
3
?2ye?x
2
yx?y2
……(5分)
72?y75?y51y3?x2y ?ye?ye?edx。……(9分)
222y?y2
?x2y2?xy
6. 求曲线?2?2??2所围的面积,其中常数a,b,c?0.
b?c?a
?x?a?cos?,
解:利用坐标变换? 由于xy?0,则图象在第一三象限,从而可 y?b?sin?.?
2
以利用对称性,只需求第一象限内的面积。
???????
?,??0???,0???。……(3分) 2??则
v?2??
?
?(x,y)
d?d??2?2d??0?(?,?)
?
?
1
?ab?2
?sin?cos???c?0
ab?d? ……(6分)
ab2
sin?cos?d?2?0
c
a2b2?2 ……(9分)2c.
7. 计算曲线积分?3zdx?5xd?,z其中l是圆柱面x2?y2?1与平面y2yd
?
22
,从z轴的正向看去,是逆时针方向. z?y?3的交线(为一椭圆)解:取平面z?y?3上由曲线l所围的部分作为stokes公式中的曲面?,定向为上侧,则?的法向量为
?
?
cos?,cos?,cos????0,。……(3分)?
由stokes公式得
cos?cos?cos????
?3zdx?5xdy?2ydz???
?x?y?z?l
3z5x?2y
?ds ……(6分)
?
?x2?y2?1
??
?2? ……(9分)
x2y2z2
8. 计算积分??yzdzdx,s为椭球2?2?2?1的上半部分的下侧.
abcs解:椭球的参数方程为x?asin?cos?,y?bsin?sin?,z?ccos?,其中
,且
2?(z,x) ?acsin2?sin?。……(3分) ?(?,?)
积分方向向下,取负号,因此,
2322
yzdzdx??d?bacsin?cos?sin?d?????
2?
0???2?,0???
?
?
?
……(6分)
??bac2?sin2?d??2sin3?cos?d?
2?
?
??
?
abc
2
……(9分)
二。 . 证明题(共3题,共28分)
?xy322
,x?y?0?24
9.(9分)讨论函数f(x)??x?y在原点(0,0)处的连续性、
?0,x2?y2?0?
可偏导性和可微性.
解:连续性:当x2?y2?0时,
xy2x2?y4yy
f(x)?2?y????0,当?x,y???0,0?, 424
x?yx?y22
从而函数在原点?0,0?处连续。……(3分) 可偏导性:fx?0,0??lim f?0??x,0??f?0,0?
?x
?x?0
?0,
fy?0,0??lim
f?0,0??y??f?0,0?
?y
即函数在原点?0,0?处可偏导。……(5分)
?y?0
?0,
?f?f?x?f?y
3
? 不存在,
从而函数在原点?0,0?处不可微。……(9分)
10.(9分)(9分)设f?x,y?满足:(1)在d?
??x,y?
x?x0?a,y?y0?b上连续,
?
(2)f?x0,y0??0,
(3)当x固定时,函数f?x,y?是y的严格单减函数。试证:存在??0,使得在???x
?
x?x0??上通过f?x,y??0定义了一个
函数y?y(x),且y?y(x)在??上连续。
证明:(i)先证隐函数的存在性。
由条件(3)知,f?x0,y?在?y0?b,y0?b?上是y的严格单减函数,而由条件(2)知f?x0,y0??0,从而由函数f?x0,y?的连续性得
f?x0,y0?b??0, f?x0,y0?b??0。
现考虑一元连续函数f?x,y0?b?。由于f?x0,y0?b??0,则必存在?1?0使得
f?x,y0?b??0, ?x?o(x0,?1)。
同理,则必存在?2?0使得
f?x,y0?b??0, ?x?o(x0,?2)。
取??min(?1,?2),则在邻域o(x0,?)内同时成立
f?x,y0?b??0, f?x,y0?b??0。……(3分) 于是,对邻域o(x0,?)内的任意一点x,都成立
?
固定此x,考虑一元连续函数f?x,y?。由上式和函数f?x,y?关于y 的连续性可知,存在f?x,y?的零点y??y?b,y?b?使得
f?x,y?=0。
而f?x,y?关于y严格单减,从而使f?x,y?=0的y是唯一的。再由x的任意性,
fx,y0?b?0, fx,y0?b?0。
??
?
证明了对??:?o(x0,?)内任意一点,总能从f?x,y??0找到唯一确定的y与x相对应,即存在函数关系f:x?y或y?f(x)。此证明了隐函数的存在性。
……(6分)
(ii)下证隐函数y?f(x)的连续性。
设x*是??:?o(x0,?)内的任意一点,记y*:?f?x*?。
对任意给定的??0,作两平行线
y?y*??, y?y*??。
由上述证明知
f?x*,y*????0, f?x*,y*????0。由f?x,y?的连续性,必存在x*的邻域o(x*,?)使得
f?x,y*????0, f?x,y*????0, ?x?o(x*,?)。
对任意的x?o(x*,?),固定此x并考虑y的函数f?x,y?,它关于y 严格单减且
f?x,y*????0, f?x,y*????0。
于是在?y*??,y*???内存在唯一的一个零点y使
f?x,y??0,
即对任意的x?o(x*,?),它对应的函数值y满足y?y*??。这证明了函数
y?f(x)是连续的。……(9分)
111
11.(10分)判断积分??sindx在0???2上是否一致收敛,并给出证明。
0xx
证明:此积分在0???2上非一致收敛。证明如下:
1
作变量替换x?,则
t
11??11
?0x?sinxdx??1t2??sintdt。……(3分)
?3???
不论正整数n多么大,当t??a?,a????
?2n??,2n???时,恒有
44??
sint?。……(5分)
因此,
?
a??
1t2??
a?
a??1
sintdt?dt……(7分)
2?a?t2??
??
?a??
2??
3???
4?2n???
4??
因此原积分在0???2上非一致收敛。……(10分) 注:不能用dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下:
b1
尽管对任意的b?1积分?sintdt一致有界,且函数2??关于x单调,但是当
1t
1
x???时,2??关于???0,2?并非一致趋于零。事实上,取t?n, 相应
地取
t1111
??2?,则lim2???lim1??1?0,并非趋于零。 1t??n??nt
nnlimnn
n??
?
?0,当??2?时。 4
【篇三:《数学分析》第三版全册课后答案 (1)】
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