几何图形的旋转

；

F

E

D

C

B

A

图形的旋转一

图形的旋转是新课标很重要的一个环节，其实质是构成了全等图形，一般条件中有相等的边，固定的角就应该考虑图形的旋转。特别是等腰三角形、等腰直角、等边三角形、正方形内有一点，最应该思考的就是图形的旋转。

例1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

同类型拷贝题

1.在正方形ABCD中，∠MAN=45°，求证MN=BM+DN。

2.如图E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD—上的点，且△CEF的周长是2．求∠EAF的大小。

例2 如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB上一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF是正方形。求阴影部分的面积？

同类型拷贝题

如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，AE⊥BC，垂足为E，四边形ABCD的面积为16。求AE的长。

你该如何解决呢？说说你的解题思路。

21

F

E

C

B

D

A

A D

N

C

B

M

；

例3 ：D为等腰Rt ABC

?斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）当MDN

∠绕点D转动时，求证DE=DF。

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

提示：过D做AB和BC的垂线

例4正三角形ABC，P为其内任一点，PA2=PB2+PC2，∠BAC=15°。

同类型拷贝题

1.如图，正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，证明∠APB=135°

提示：将△ABP绕点B顺时针旋转90°至△BCP′，连结PP′）

2 如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证明:BD2=AB2＋BC2．

Ｂ

Ｅ

Ｃ

Ａ

D

图3

A

C

B

P

_M

_N

_E

_F

_D

_C

_B

_A

分析:所证结论即是三条线段BD 、AB 、BC 能构成一个直角三角形．因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中．

证:连接AC ．

∵AD =DC ，∠ADC =60°， ∴△ADC 是等边三角形．

故将△DCB 绕点C 顺时针方向旋转60°时可得△ACE ．连接BE ． 于是△DCB ≌△ACE 且CB =CE ，∠BCE =60°． ∴△BCE 是等边三角形，∴BC =BE ，∠CBE =60°． ∵∠ABC =30°， ∴∠ABE =90°．

故AB 2

＋BC 2

=AB 2

＋BE 2

=AE 2

=BD 2

．

例5 .如图，ABC ?是边长为3的等边三角形，BDC ?是等腰三角形，且0

120BDC ∠=，以

D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则AMN ?的周

长为 ；

例6． 如图（6-1），五边形ABCDE 中， ∠ABC=∠AED=900，

AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形ABCDE 的面积等于______________。（2003年宁波市至诚杯竞赛题）

A

B

C D

E

?

A

B

C D

E

C '

例7． 如图（7-1），正三角形ABC 内接于⊙O ，P 是劣弧BC 上任意一点，PA=2，则四边形

ABPC 的面积为______________。

B

C

D

N

M

A

A

B

C P

o

?

A

B

C P

o

P

'

例8（天津）如图8，已知四边形纸片ABCD ，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片。如果限定裁剪线最多有两条，能否做到： （用“能”或“不能”填空）。若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。

如下图：四边形2和4分别旋转180度，四边形3可以看做是平移。所构成的平行四边形的两个邻边分别为原四边形对边中点连线的长度。此题中利用了四边形对边中点连线相互平分。为什么？

例9 、已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==?，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1）

，易证1

2

DEF CEF ABC S S S +=△△△．

当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，

DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

O

F

1

4

3 2

2

3

4

A

E C

F B

D

图1

图3

A

D

F

E

C

B

A

D

B

C

E 图2

F

例10 已知：△ABC 中，AB ＝AC,过点A 的直线MN ∥BC ，点P 是MN 上的任意点 求证：PB ＋PC ≥2AB

证明： 当点P 在MN 上与点A 重合时，

PB ＋PC ＝AB ＋AC ，即PB ＋PC ＝2AB 当P 不与A 重合时 作点C 关于直线MN 的对称点C ， 则PC ，＝PC ，AC ，＝AC ＝AB ∠PAC ，

＝∠PAC ＝∠ACB

∴∠PAC ，＋∠PAC ＋∠BAC ＝180

∴B ，A ，C ，三点在同一直线上

∵PB ＋PC ，＞BC ，，即PB ＋PC ＞2AB ∴PB ＋PC ≥2AB

例11. 如图，在△ABC 中，∠C=90o， ∠A=30o ，BC=2，D 是AB 中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D 上，使三角板绕点D 旋转。

（1）如图1，当三角板两边分别交边AC 、BC 于F 、E 时，线段EF 与AF 、BE 有怎样的关系并加以证明。提示延长FD 相当于中线或旋转

（2）如图1,设AF=x ，四边形CEDF 的面积为y.求y 关于x 的函数关系式，写出自变量x 的取值范围.提示：设BE=m,利用上式结果求出m 与x 的关系.

（3）在旋转过程中，当三角板一边DM 经过点C 时，另一边DN 交CB 延长线于点E,连结AE 与CD 延长线交于H,如图2，求DH 的长。

练习：

1．已知：如图，M 是等边△ABC 内的一个点，且MA=2cm ，MB=23cm ，MC=4cm ，求：△ABC 的边AB 的长度。

C

,A B C N M P

2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，以点C为旋转中心将△ABC旋转α角到△A1B1C 的位置，使B点恰好落在A1B1上．求旋转角α的度数．

3、如图4所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFGH，EF交AD于点H，那么DH的长是。

答：DH的长是3。

4. 如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，

则∠APB的度数是________.

A

B

C

P

3

4

5

?

A

B

C

P

P'

3

4

5

3

3

5．如图：正方形ABCD中,边长AB=3，点E、F分别在BC、CD上,且∠BAE=300, ∠DAF=150。求ΔAEF的面积。(第十一届希望杯邀请赛试题)

H

G

D

C

B

A

F

E

图4

H

G

D

C

B

A

F

E

图5

A B

C

D E F

F '

提示：∠F 'EA =∠FEA=600，=∠FEC=600,

6．如图（4-1），在ΔABC 中，∠ACB =900，BC=AC ，P 为ΔABC 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。

求∠BPC 的度数。

1

2

3

A

B C P

? C A

B P P ’

1

23

2

3

7、如图P 是等边△ABC 内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB=

8、 （海口实验区）在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.（1）、当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，

求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ；

A

B

C

P

C

B

A

E D

图1

N

M

（2）、当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，

求证：DE=AD-BE ；

（3）、当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时， 试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出 这个等量关系，并加以证明.

9、?ABC 是等腰三角形，?=∠90ACB ，MN 为AB 上两点，如果?=∠45MCN ，试说明AM 、MN 、NB 可构成一个直角三角形的三条边.

A

C

B

E

D

N M

图3

A

B

C D

E M N

图2 A

C B

M

N