2014年上海高考理科数学试题及答案
2014年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（共14题，满分56分）
1．（4分）（2014?上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是_________．
2．（4分）（2014?上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=_________．
3．（4分）（2014?上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
_________．
4．（4分）（2014?上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_________．5．（4分）（2014?上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_________．
6．（4分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_________（结果用反三角函数值表示）．
7．（4分）（2014?上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是
_________．
8．（4分）（2014?上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=_________．9．（4分）（2014?上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是_________．
10．（4分）（2014?上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_________（结果用最简分数表示）．
11．（4分）（2014?上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=_________．
12．（4分）（2014?上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= _________．
13．（4分）（2014?上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为_________．
14．（4分）（2014?上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上
的Q使得+=，则m的取值范围为_________．
二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分
15．（5分）（2014?上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）
A ． 充分非必要条件
B ． 必要非充分条
件
C ． 充要条件
D ． 既非充分又非
必要条件
16．（5分）（2014?上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P i （i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则?（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
17．（5分）（2014?上海）已知P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组的解的情况是（ ） A ． 无论k ，P 1，P 2如何，总是无解 B ． 无
论k ，P 1，P 2如何，总有唯一
解
C ． 存在k ，P 1，P 2，
使之恰有两解 D ． 存在k ，P 1，P 2，使之有无穷多
解
18．（5分）（2014?上海）设f （x ）=，若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围为（ ） A ． [﹣1，2] B ． [﹣1，0] C ． [1，2] D ． [0，2]
三、解答题（共5题，满分72分）
19．（12分）（2014?上海）底面边长为2的正三棱锥P ﹣ABC ，其表面展开图是三角形P 1P 2P 3，如图，求△P 1P 2P 3的各边长及此三棱锥的体积V ．
20．（14分）（2014?上海）设常数a ≥0，函数f （x ）=
． （1）若a=4，求函数y=f （x ）的反函数y=f ﹣1（x ）；
（2）根据a 的不同取值，讨论函数y=f （x ）的奇偶性，并说明理由．
21．（14分）（2014?上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC
长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．
22．（16分）（2014?上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．
（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
23．（16分）（2014?上海）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．
（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．
（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k 的公差．
2014年上海市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（共14题，满分56分）
1．（4分）（2014?上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．
2．（4分）（2014?上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=6．
3．（4分）（2014?上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．
4．（4分）（2014?上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]．5．（4分）（2014?上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．
6．（4分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．
7．（4分）（2014?上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．
8．（4分）（2014?上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=．
9．（4分）（2014?上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）．
10．（4分）（2014?上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选
择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．
11．（4分）（2014?上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=﹣1．
12．（4分）（2014?上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=
．
13．（4分）（2014?上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为0.2．
14．（4分）（2014?上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上
的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3]．
二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分
15．（5分）（2014?上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非
必要条件
解答：解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，
若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，
故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，
故选：B．
16．（5分）（2014?上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则?（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）
解答：解：如图建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，0，1），P1（1，0，1），P2（0，0，1），P3（2，1，1），P4（1，1，1），
P5（0，1，1），P6（2，2，1），P7（1，2，1），
P8（0，2，1），
，=（﹣1，0，1），=（﹣2，0，1），=（0，1，1），=（﹣1，1，1），=（﹣2，1，1），=（0，2，1），
=（﹣1，2，1），=（﹣2，2，1），
易得?=1（i=1，2，…，8），
∴?（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，
故选A．
17．（5分）（2014?上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x
和y的方程组的解的情况是（）
解答：解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，
∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1
，
①×b2﹣②×b1得：（a2b1﹣a1b2）x=b2﹣b1，
即（a2﹣a1）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．
故选：B．
18．（5分）（2014?上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）
解答：解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，
当a≥0时，f（0）=a2，
由题意得：a2≤x++a≤2+a，
解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，
∴0≤a≤2，