高三联考数学试题(理)

届高三联考数学试题(理)（-8-29）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。 1．设集合A={x ln(1)y x =-}，集合B={y

2y x =}，则A B =( )．

A ．[0,1]

B ．[0,1)

C ．(,1]-∞

D ．(,1)-∞

2．复平面内，复数2

)31(i +对应的点位于( )

A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3．若平面向量)2,1(-=a 与b 的夹角是180°，且53||=b ，则b 等于( )

A ．)6,3(- B.)6,3(- C.)3,6(- D.)3,6(-

4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )

A ．1

B ．2

C ．3

1 D ．61

5．设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时，

)(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解集是( )

A ．()2,0)0,2(?- B.)2,0( C.

[)()2,02,5?-- D. ()()2,02,5?--

6．动点在圆12

2=+y x 上移动时，它与定点)0,3(B 连线的中点的轨迹方程是( )

A ．4)3(2

=++y x B ．1)3(2

2=+-y x C ．14)32(2

=+-y x

D ．2

1)23(22=

++y x

7．函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，|φ|＜2

）的图象如图所

示，则y 的表达式为（） A.y ＝2sin(

611x 10π+) B.y ＝2sin(6

11x 10π

-) 第4题图

正视图侧视图

俯视图

y 2 x

6π3

2π

C.y ＝2sin(2x ＋

6π) D.y ＝2sin(2x －6

π) 8．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列}{n a ：1，3，3，4，6，5，10，…，则a 21的值为（）

A ．66

B ．220

C ．78

D ．286

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

9．Rt ABC ?中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成

的几何体的体积为____________

10．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则2

x y +的最小值是________________.

11.设f (x )= 12

32,2,

log (1),2,

x e x x x -?2的解集为________________.

12．已知x 、y 满足约束条件20

10220x y x y -≤??

-≤??+-≥?

，则z x y =-的取值范围为___________

13．已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63

(),(),52

a f

b f ==

(),2

c f =请比较,,的大小a b c _______________.

14．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成,我们称这样的图案为L 形（每次旋转900仍为L 形图案）,那么在由45?个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案的个数是__________

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15、（本题满分12分）已知函数12)6

(,8)0(,cos 2cos sin 2)(2==+=πf f x b x x a x f 且

（１）求实数,a b 的值；

（２）求函数)(x f 的最小正周期及其单调增区间.

16、(本小题满分12分)已知a 为实数，函数2()(1)()f x x x a =++． (1) 若(1)0f '-=，求函数y =()f x 在[－

，1]上的最大值和最小值； (2)若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围．

17、（本题满分14分）箱中装有15张大小、重量一样的卡片,每张卡片正面分别标有1到

15中的一个号码,正面号码为n 的卡片反面标的数字是.40122+-n n (卡片正反面用颜色区分)

(1)如果任意取出一张卡,试求正面数字大于反面数字的概率;

(2)如果同时取出两张卡片,试求他们反面数字相同的概率.

18、(本小题满分14分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F ．

(I) 证明 ∥PA 平面EDB ；

(II) 证明⊥PB 平面EFD ；

(III)求二面角D -PB -C 的大小．

19、(本小题满分14分)已知函数()f x 对任意的实数,x y 都有

()()()2()1f x y f x f y y x y +=++++，且(1)1f =

（1）若+∈x N ，试求()f x 的解析式

（2）若+∈x N ，且2x ≥时，不等式()(7)(10)f x a x a ≥+-+恒成立，求实数a 的取值范围.

20、(本小题满分14分) 设A ，B

分别是直线y x =

和y =上的两个动点，并且

||20AB =P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ．

(I) 求轨迹C 的方程；

(II)若点D 的坐标为(0，16)，M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．

2008届高三级联考数学试题答题卡(理)

一、选择题（每题5分，10题共50分）

二、填空题（每题5分，4题共20分） 9、_____________________________ 10、_______________________________

11、_____________________________ 12、_______________________________

装

订线

外座号______________考试编号_________________________

13、_____________________________ 14、_______________________________

三、解答题（共80分）

装订线外不得

答

装订线

外不得答 ____________姓名______________座号______________考试编号_________________________

一、选择题：

1.解；A={

2.解：()

i i

322312

+-=+，选B

3.解：设),(y x =,2180y x -=

y x 2)1(535-=-??∴ （1）

又

5322=+y x （2）

由（1）（2）可解得x=-3,y=6 4.解：V=

1112131=??? 5. [)

5,2(0,2)-- 奇函数关于原点对称，补足左边的图象

6.解：设动点),(y x P 在圆上，设中点坐标为),(,

y x

∴?????=-=,

,232y

y x x 代入圆的方程可得C

7.解：A=2, 由五点法可得???????=+?=+?233

6π??ππ??π

解得?????==62π??

8.解：213=-a a

335=-a a

457=-a a

……

111921=-a a

累加得662

)

111(11113211132121=+=

++++=++++= a a 二．填空题：

9. 16π 旋转一周所成的几何体是以BC 为半径，以AB 为高的圆锥，

2211431633

V r h πππ==??=

10.8 22

x y +

可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：d =

=11. 解：当2-x e ，21,1,1

<<∴>∴>∴-x x e e

当2≥x 时，10,91,2log 2)

1(3

>∴>-∴>-x x x

或10-∴x

12. 解：作出可行区域可得，当1,0==y x 时，z 取得最小值-1

当0,2==y x 时，z 取得最大值2.所以取值范围为[]1,2-

13. 解：)54()54()542()56(f f f f a -=-=-===54

-， )21()21()212()23(f f f f b -=-=-===21

lg -

)21()212()25(f f f c =+===21

∴ 02

lg ,21lg 54lg 0,21lg 54lg 0<-<-<∴>>，b a c <<∴

14. 48个

三．解答题：

15、解： (0)8,()12,6

f f π

==（1）由可得 ………………………2分

(0)28,()12,62

π===+=f b f b ………………4分

………………6分

………9分

222

πω

=,所以,最小正周期为π ………………10分单调增区间为,3

6│π

ππ??

-≤≤+

∈???

k x k k Z ………12分

16、解 (1)∵(1)0f '-=，∴3210a -+=，即2a =． …………2分

∴2

1()3413()(1)3

f x x x x x '=++=++．

由()0f x '>，得1x <-或1

x >-； ………………4分

4,所以==b

a (2)()24cos 248sin(2)4,

=++=+

+f x x x x

由()0f x '<，得113x -<<-．因此，函数()f x 的单调增区间为3[1]2--，，1

[1]3-，；单调减

区间为1

[1]3--，． ………………6分

()f x 在1x =-取得极大值为(1)2f -=；()f x 在13x =-取得极小值为150

()327f -=

．由∵313()28f -=，(1)6f = 且5027>

∴()f x 在[－

，1]上的的最大值为(1)6f =，最小值为313

()28f -=． ……8分

(2) ∵32()f x x ax x a =+++，∴2()321f x x ax '=++．

∵函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，∴()0f x '=有实数解． ……10分 ∴

244310a =-??≥，∴23a ≥，即

a a ≤≥

或．

因此，所求实数a

的取值范围是([3)-∞-+∞，

，． …12分 17、解：(1)由不等式2

1240,得5-+n n n ………………2分由题意得, 6,7=n . ………………4分即共有2张卡片正面数字大于反面数字，故所求的概率为2

……6分答: 所求的概率为

………………7分 (2)设取出的是第m 号卡片和n 号卡片(≠m n ),则有

2212401240-+=-+m m n n ………………8分

即2

12(),12由得-=-≠+=n m n m m n m n ………………10分符合条件的取法为1,11;2,10;3,9;4,8;5,7; ………12分故所求的概率为

155121

=C 答所求的概率为

2155121

=C ………………14分

18、解:方法一：(1) 证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO ． ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点，

在PAC ?中，EO 是中位线，∴PA // EO ，

而?EO 平面EDB 且?PA 平面EDB ，所以，PA //平面EDB ．…5分

(2) 证明：∵PD ⊥底面ABCD 且?DC 底面ABCD ， ∴DC PD ⊥，

∵PD=DC ，可知PDC ?是等腰直角三角形，而DE 是斜边 PC 的中线，∴PC DE ⊥． ① 同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC ．

∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC ．而?DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥． ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC ．而?PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥

又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以

PB ⊥平面

EFD ． ………………10分

(3) 解：由(2)知，DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角．由(2)知，DB PD EF DE ⊥⊥,．

设正方形ABCD 的边长为a ，则a BD a DC PD 2,===，

a BD PD PB 322=+=， a DC PD PC 222=+=，a PC DE 2

1==．

在PDB Rt ?中，a a

a a PB BD PD DF 36

32=?=?=

．在EFD Rt ?中，233

sin ===a a DF DE EFD ，∴3π

=∠EFD ．

所以，二面角C —PB —D 的大小为3π． ………………14分

方法二(理科选择)：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设a DC =．

(1)证明：连结AC ，AC 交BD 于G ，连结EG ．依题意得)2

,2,

0(),,0,0(),0,0,(a a E a P a A ． ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，

故点G 的坐标为)0,2

，且(,0,),(,0,)22

a a

PA a a EG =-=-．

∴2=，这表明PA//EG ．

而?EG 平面EDB 且?PA 平面EDB ，∴PA//平面EDB ． (2)证明：依题意得)0,,(a a B ，),,(a a a -=．

又(0,,)22

a a

DE =，故022022=-+=?a a ． ∴DE PB ⊥．

由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，所以⊥PB 平面EFD ． (3)解：设点F 的坐标为),,(000z y x ，λ=，则

),,(),,(000a a a a z y x -=-λ．

从而a z a y a x )1(,,000λλλ-===．所以

00011

,)(,(),())2222

a a FE x y z a a a λλλ=---=---．由条件PB EF ⊥知，0=?PB FE ，即

0)21()21(222=---+-a a a λλλ，解得3

=λ

∴点F 的坐标为)32,3,3(a a a ，且(,,)366a a a FE =--，2(,,)333

a a a

FD =---

∴03

=+--=?a a a ，

即FD PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角．

∵6

91892

222a a a a FD FE =

+-=?，且 a a a a 6636369||222=++=，a

a a a 3

69499||222=++=，

∴2

6666cos 2=

?==a a a EFD ． ∴3π=∠EFD ．

所以，二面角C —PB —D 的大小为3

π．(或用法向量求)

19、解：（1）令1y =则(1)()(1)2(1)1f x f x f x +=++++， ………2分所以(1)()24f x f x x +-=+， ………………4分

于是当x N +

∈时，有

(2)(1)214f f -=?+，(3)(2)224f f -=?+，

(4)(3)234f f -=?+，……，()(1)2(1)4f x f x x --=-+ ………6分

将上面各式相加得：2

()33f x x x =+-（x N +

∈） ………7分

（2）因为当x N +∈，且2x ≥时，2

()33f x x x =+-， ………8分所以不等式()(7)(10)f x a x a ≥+-+恒成立，即当x N +∈，且2x ≥时，不等式

233(7)(10)x x a x a +-≥+-+，等价于247(1)x x a x -+≥-恒成立，

又2x ≥，所以

247

1x x a x -+≥- ………12分因为2474(1)2211x x x x x -+=-+-≥--（当且仅当4

131

x x x -==-即时取等号）

，所以247

x x x -+-的最小值是2，故当2a ≤时满足条件. ………14分

20、解：(I) 设P (x ，y )，因为A 、B

分别为直线5y x =

和5

y x =-上的点，

故可设11()A x x

，22(,)B x ． ∵OP OA OB =+，

∴1212,)x x x y x x =+???=-??

．

∴1212,x x x x x y +=??

?-=??．………………………4分

又20AB =

， ∴2212124

()()205

x x x x -++=．…………………5分

∴22542045

y x +=．即曲线C 的方程为22

12516x y +=．…………………6分

(II) 设N (s ，t )，M (x ，y )，则由DM DN λ=，可得(x ，y - 16) = λ (s ，t - 16)．故x = λs ，y = 16 + λ (t - 16)．……………………………………8分

∵M 、N 在曲线C 上，

∴22

222

1,2516(1616) 1.25

16s t s t λλλ?+=???-+?+=??……………………………………10分消去s 得 222(16)

(1616)11616

t t λλλ--++=．

由题意知0≠λ，且1≠λ，解得1715

2t λλ

-=．……………………………12分

又 4t ≤， ∴

171542λλ-≤．解得 35

λ≤≤(1≠λ)．

故实数λ的取值范围是35

λ≤≤(1≠λ)．………………………………14分