2004年中国大学生数学建模竞赛C题 饮酒驾车问题

2004年全国大学生数学建模竞赛C题及建模论文

C题饮酒驾车

据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？

请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：

1.对大李碰到的情况做出解释；

2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：

1）酒是在很短时间内喝的；

2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

4.根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？

5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据

1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2.体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：

0.250.50.751 1.52 2.53 3.54 4.55

时间(小

时)

酒精含量306875828277686858515041时间(小

678910111213141516

时)

酒精含量3835282518151210774

酒后不开车

摘要

近年来，因饮酒、醉酒驾车而造成的交通事故频发，且呈逐年上升趋势。加强司机的安全观念成为重中之重。和大李一样困惑的司机也不在少数，问题1我们便会对大李所遇到的情况加以科学地解释；问题2我们要将情况推广，在喝酒持续时间长短两种情况下讨论酒后驾车的合理时间间隔；在问题2的基础上，进而我们引出问题3来研究酒后人体血液中的酒精含量出现最高的时间点；问题4是帮助那些想每天喝酒的司机来协调他们喝酒和开车的问题。最后，基于以上这些问题的解决，对酒后驾驶的司机以忠告，给要喝酒的司机以建议。

我们基于对以上问题的建立与分析，根据这些特点我们对问题1只借助附件1中提供的数据进行模拟，解释大李的问题。对于问题2、问题3我们分别建立模型一（短时间饮酒）和模型二（较长时间饮酒）来研究这两种情况下血液酒精浓度的变化，其中的基本方法是建立和求解微分方程，再用MATLAB 进行数据拟合的方式验证模型的合理性。

模型结果为：

借助上面的模型结果，我们可以将其应用于问题4，回答“如果天天喝酒是否还能开车”的问题。

最后，采用模型，参考新的国家标准，针对酒后驾驶的问题展开讨论，提出我们的意见和建议。

关键字：酒后血液浓度变化、短时饮酒模型、较长时间饮酒模型、微分方程、MATLAB 、数据拟合

一、问题重述

针对越来越多地出现的酒后驾车造成的交通事故，国家于2004年5月发布

c t m t m t m k t m -+--=??)4900

)()

(500)(50(1

的新标准中规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，他凌晨2点才驾车回家，遭遇检查时却被定为饮酒驾车，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？

建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：

1.对大李碰到的情况做出解释；

2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：

1）酒是在很短时间内喝的；

2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

4.根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？

5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

二、问题分析

问题总体上就是一个研究人体饮酒后血液中酒精浓度随时间变化的问题，并借此对现象解释和预测、建议。

饮酒后血液中酒精浓度的变化大致分为两个阶段，即因肠胃吸收引起的上升和由人体分解排出导致的下降。

人体肠胃吸收酒精的方式为自由扩散，故吸收酒精的速度与血液和消化道中酒精的浓度差有关。酒后人体的排解器官通常都会满荷工作来尽快排出酒精，所以下降阶段排酒的效率一定，单位时间减少的酒精量不变。

三、模型假设

1、假设题目所给的数据真实可靠；

2、假设一瓶啤酒500ml、酒精含量为10%；

3、假设人的体重都为70kg、血液占人的体重的7%；

4、假设吸收酒精的速度与血液和消化道中酒精的浓度差呈一次线性关系，即：单位时间吸收酒精的量=k*（消化道中的酒精浓度-血液中的酒精浓度），其中k 为系数；

5、假设从摄入酒精一开始，体内平衡就被打破，器官立即开始解酒，从此开始直至重新回到平衡这一期间，单位时间减少的酒精量不变，即：t 1-t 0=t 2-t 1时，有t 1时刻酒精量-t 0时刻酒精量=有t 2时刻酒精量-t 1时刻酒精量=C （常数）。

四、定义与符号说明

m(t) 为t 时刻血液中含有的酒精质量 K 为人体吸收酒精的速率与浓度差的关系系数 C 为因器官分解血液中单位时间减少的酒精量

五、模型的建立与求解

1、短时饮酒模型

我们由假设2、3，人体重70000g ，则人体中血液重为4900g 。另一方面一瓶酒500g ，其中含有酒精50g 。

进而，仅考虑酒精吸收，由假设4，人体单位时间吸收酒精的量=k*（消化道中的酒精浓度-血液中的酒精浓度）。设m(t)为t 时刻血液中含有的酒精质量，

k 1为系数。则有关系：

由假设5，血液中单位时间减少的酒精量不变，我们设其为C 。修正m(t)的关系式为

为了验证以上模型的正确性，我们使用MATLAB 软件对其进行数据拟合（程序参见附件2）。利用数据进行20次的多项式拟合后，均差S 为27.2931。其拟合图像为：

c t m t m t m k t m -+--=??)4900

)()(500)(50(1)4900

)()

(500)(50(1+--=??t m t m t m k t m

图1 散点图

图2 拟合曲线图

2、较长时间饮酒模型

我们还是借助前面建立的模型，将饮用的一瓶酒微元化，每个小微元都是一个对应的短时饮酒模型。所以，对每一个小微元都有结论：

并加上初值条件，即每一个微元开始的值都是上一个对微元间隔时间的计算结果。于是就有函数列如下：

其中，t i-1为第i-1个微元到第I 个微元的时间间隔。

六、模型分析与评价

1、关于大李的现象的解释

大李中午喝酒时体内血液酒精含量很低，几乎可以认为是0。而6小时后血液酒精浓度降为19（毫克／百毫升）。此时饮酒则与中午不同，从模型上看就是初值条件

的不同。最后导致了又六小时后检查不合格（血液中的酒精含量大于或等于20毫克／

百毫升） 2、模型分析

模型显示的血液中酒精含量的变化情况大致可以分为三个阶段。开始时酒精吸收大于酒精的排出，血液中酒精含量升高由快到慢；后来酒精吸收弱于酒精的排出，血液中酒精含量慢慢降低；最后待饮入的酒精全部被吸收后，则只有人体器官对酒精的分解排出作用，此时血液中酒精含量快速持续下降。 3、血液中的酒精含量最高的时间点

通过以上分析不难看出，血液中的酒精含量最高时出现在酒精吸收和酒精的排出基本持平的时候。以具体数据来看则是大致出现在饮酒后的1至1.5小时左右的时间。

4、关于司机饮酒的几条建议

12小时内初次饮用一瓶啤酒后6小时方可开车。

如果每天喝一瓶啤酒，则酒后6小时内不能开车，且酒后12小时内最好不

c t m t m t m k t m -+--=??)4900

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(500)(50(1)

()0()4900)()

(500)(50(111--=-+--=??i i i i t m m c t m t m t m k t m

要再次饮酒。若12小时内曾多次饮用一瓶啤酒，则最后一次饮酒过后6小时也不能开车。

若司机想在酒后1小时后开车，则啤酒饮用量不应超过244ml。

若司机想在酒后2小时后开车，则啤酒饮用量不应超过259ml。

若司机想在酒后3小时后开车，则啤酒饮用量不应超过294ml。

若司机想在酒后4小时后开车，则啤酒饮用量不应超过392ml。

（以上数据均为在饮酒前12小时内没有饮酒的前提下）

总之，饮酒会对您驾车出行带来时间上的不便，也对您和他人的生命财产安全造成危害。所以，开车不喝酒，酒后不驾车。

七、附件

附件1：

参考数据

1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2.体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：

时间(小

0.250.50.751 1.52 2.53 3.54 4.55时)

酒精含量306875828277686858515041 678910111213141516

时间(小

时)

酒精含量3835282518151210774

附件2：

MATLAB 数据拟合程序：

t=[0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16]; h=[30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4]; figure(1),plot(t,h,'*')

P=polyfit(t,h,20);

H=polyval(P,t);

S=sum((H-h).^2)

figure(2),plot(t,h,'*',t,H)