旅游线路的优化设计

2011年第八届苏北数学建模联赛

承诺书

我们仔细阅读了第八届苏北数学建模联赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。

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竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：

题目旅游线路的优化设计

摘要

本文主要研究最佳旅游路线的设计问题。在满足相关约束条件的情况下，花最少的钱游览尽可能多的景点是我们追求的目标。基于对此的研究，建立数学模型，设计出最佳的旅游路线。

第一问放松时间约束，要求游客游遍所有的景点，该问题也就成了典型的货郎担（TSP）问题。使用lingo编程得到最佳旅游路线为：徐州—常州—舟山—黄山—庐山—武汉黄鹤楼—龙门石窟—秦兵马俑—祁县乔家大院—八达岭长城—青岛崂山—徐州。

第二问给定时间约束，要求设计合适的旅游路线。我们建立了一个最优规划模型，在给定游览景点个数的情况下以总费用不限，时间最少为目标。再引入0—1变量表示是否游览某个景点，从而推出交通费用和景点花费的函数表达式，给出相应的约束条件，使用lingo编程对模型求解。推荐方案：徐州—恐龙园—舟山—黄山—庐山—黄鹤楼—秦兵马俑—龙门石窟—乔家大院—八达岭长城—青岛崂山—徐州。

第三问放松时间约束，要求游客在总费用低于2000元的约束下游览最多的景点。在第一问的基础上建立模型，并增加总费用低于2000元的约束。使用lingo编程得到最佳旅行路线为：徐州—常州—武汉—洛阳—西安—祁县—北京—青岛—徐州。

第四问给定时间约束，放松对总费用的约束。我们在第二问的基础上建立一个最优化模型，以时间最少为目标。再引入0—1变量表示是否游览某个景点，从而推出交通费用和景点花费的函数表达式，给出相应的约束条件，使用lingo编程对模型求解。推荐方案：徐州-常州-九江-武汉-洛阳-西安-祁县-北京-徐州。

第五问给定时间、总费用小于2000的双重约束。我们在第三问、第四问的基础上建立模型，以在规定时间内，规定总费用内，以游览最多景点为目标。使用lingo编程对模型求解。推荐方案：徐州-常州-舟山-黄山-九江-武汉-洛阳-西安-徐州

关键词：最佳路线TCP问题景点个数最小费用

目录

1 问题重述 (1)

2 问题分析 (1)

2.1 问题背景的理解 (1)

2.2 问题一和问题二的分析 (1)

2.3 问题三和问题四的分析 (2)

2.4 问题五的分析 (2)

3 模型假设 (2)

4 符号说明 (2)

5 模型建立及求解 (2)

5.1 问题一模型的建立及求解 (2)

5.2 问题二模型的建立和求解 (4)

5.3 问题三模型的建立及求解 (5)

5.4 问题四模型的建立及求解 (6)

5.5 问题五模型的建立及求解 (8)

6 模型的评价改进及推广 (9)

6.1．模型的评价 (9)

6.2．模型的改进与推广： (9)

7 参考文献 (9)

8 附录 (9)

8.1 各旅游景点可能的住宿地及到达方式（起点为火车站或住宿地） (9)

8.2 本模型计算时用到的部分lingo代码 (10)

1 问题重述

随着人们的生活不断提高，旅游已成为提高人们生活质量的重要活动。江苏徐州有一位旅游爱好者打算现在的今年的五月一日早上8点之后出发，到全国一些著名景点旅游，最后回到徐州。由于跟团旅游会受到若干限制，他(她)打算自己作为背包客出游。他预选了十个省市旅游景点，如表1所示。

假设：

(A) 城际交通出行可以乘火车(含高铁)、长途汽车或飞机（不允许包车或包机），并且车票或机票可预订到。

(B) 市内交通出行可乘公交车(含专线大巴、小巴)、地铁或出租车。

(C) 旅游费用以网上公布为准，具体包括交通费、住宿费、景点门票(第一门票)。晚上20：00至次日早晨7：00之间，如果在某地停留超过6小时，必须住宿，住宿费用不超过200元/天。吃饭等其它费用60元/天。

(D) 假设景点的开放时间为8:00至18:00。

问题：

根据以上要求，针对如下的几种情况，为该旅游爱好者设计详细的行程表，该行程表应包括具体的交通信息(车次、航班号、起止时间、票价等)、宾馆地点和名称，门票费用，在景点的停留时间等信息。

(1) 如果时间不限，游客将十个景点全游览完，至少需要多少旅游费用？请建立相关数学模型并设计旅游行程表。

(2) 如果旅游费用不限，游客将十个景点全游览完，至少需要多少时间？请建立相关数学模型并设计旅游行程表。

(3) 如果这位游客准备2000元旅游费用，想尽可能多游览景点，请建立相关数学模型并设计旅游行程表。

(4) 如果这位游客只有5天的时间，想尽可能多游览景点，请建立相关数学模型并设计旅游行程表。

(5) 如果这位游客只有5天的时间和2000元的旅游费用，想尽可能多游览景点，请建立相关数学模型并设计旅游行程表。

2 问题分析

2.1 问题背景的理解

根据对题目的理解我们可以知道，旅游的总费用包括交通费用和在景点游览时的费用及可能的住宿费用，在确定了要游览的景点的个数后，所以我们的目标就是在满足所有约束条件的情况下，求出成本的最小值。

2.2 问题一和问题二的分析

问题一要求我们为该旅游爱好者设计合适的旅游路线，使他在无限制的时间内花最少的钱游览所有十个景点，并返回出发地徐州。在这里我们的做法是满足相应的约束条件，计算出在这种情况下的最小花费。

问题二实质上是在问题一的基础上把目标函数由费用函数变为时间函数，计算出在无限制费用时用时最少的游览方案，我们完全可以使用与问题一同样的方法进行求解。

2.3 问题三和问题四的分析

问题三要求我们设计的方案使该旅游爱好者在有限的费用（即2000元）和无限制的时间内尽可能多的游览景点。这里与问题一的解法相似，我们的做法是满足相应的约束条件（即费用约束等）确定出游览的景点数，这样最终会得出几种最佳方案，而该爱好者可以根据自己的实际情况进行选择。

问题四要求我们的方案可以使该旅行者能在有限的时间内（即5天）游览尽可能多的景点，我们的做法是，把游览的景点数作为目标函数、满足题目已给的各种约束条件规划求解确定相应的景点数。同样，我们依然可以得到几种最佳方案，该旅游者可以根据自己的需要选择路线。

2.4 问题五的分析

问题五可以看作是问题三和问题四的综合，在问题三、四的基础上，我们同样的，先把问题五的约束条件、目标函数确定，由此计算出可游览的最大景点数，然后我们可以得到几个最佳方案都满足约束条件，旅游者可以自行选择自己心仪的旅游路线。

3 模型假设

1 城际交通出行可以乘火车(含高铁)、长途汽车或飞机（不允许包车或包机），并且车票或机票可预订到。

2 市内交通出行可乘公交车(含专线大巴、小巴)、地铁或出租车。

3 旅游费用以网上公布为准，具体包括交通费、住宿费、景点门票(第一门票)。晚上20：00至次日早晨7：00之间，如果在某地停留超过6小时，必须住宿，住宿费用不超过200元/天。吃饭等其它费用60元/天。

4 假设景点的开放时间为8:00至18:00。

5 我们所查到的相关数据(旅馆住宿费用，市内交通费用等)都是已确定且最低的的，市内的交通出行线路也是已经确定不变了的。

6从景点到交通站点的时间忽略不计，且从市内到景点的时间忽略不计。

4 符号说明

i ,j ——第i 个或者第j 个景点， i ，j =0，1，2，……9，10；

分别表示徐州、常州恐龙园、青岛崂山、八达岭长城、祁县乔家大院、洛阳市龙门石窟、黄山市黄山、武汉市黄鹤楼、西安市秦始皇兵马俑、九江市庐山、舟山市普陀山。

c ——该旅游爱好者的旅游总花费；

i t ——该旅游者第i 个景点的逗留时间； i

c ——该旅游者在i 个景点的总消费；

ij

t ——从第i 个景点到第j

个景点路途中所需时间； ij

c ——从第i 个景点到第j

个景点所需的交通费用；

1 该旅游者直接从第i 个景点到达第j 个景点

0 其他

={ij r 5 模型建立及求解

5.1 问题一模型的建立及求解 5.1.1目标函数的确立：

该问中要求旅行者完成所有景点的参观和旅行，并且对时间没有任何限制，而目标函数是求最少的

旅行费用。通过分析可得交通费用为：

1010

10

ij ij i j

m r c ===

?∑∑

因此，该问题的目标函数为：

1010

10

m ij ij

i j

Min r c ===

?∑∑

5.1.2 约束条件：

①时间约束

该问对时间没有要求和限制，所以不妨假定限制的时间为一个月（360个小时），同上一问可得：

1010

00

ij ij

i j r t ==?∑∑+()1010

12ij i j i j

r t t ==??+∑∑≤360

②旅游景点数约束

由题目要求可知，因为时间充裕，因此旅行者打算游览完全部10个景点。通过分析知道，

∑∑==10110

1

i j ij

r

表示代表们游览的景点总数，因此该约束为：

∑∑===10110

1

10i j ij

r

(i ，j =1，2， (10)

5.1.3模型建立

综上所述，我们可以得到总的模型为：

10

10

10

m ij ij i j

Min r c ===

?∑∑

约束条件：

∑∑==?10

110

1

i j ij ij t r +()∑∑==+??10110

121i j j i ij t t r ≤360

1010

10ij i j

r ===∑∑ （i ，j =0，1， (10)

5.1.4模型求解与结果分析：

5.2 问题二模型的建立和求解 5.2.1 目标函数的确立

经过对题目分析，我们可以知道本题所要实现的目标是，旅行者在最少的时间内花不加限制的钱游览所有景点。显然，时间最少是该问题的目标。因此，我们的做法是满足相应的约束条件，计算出在这种情况下的最小时间。

游览的时间有两部分组成，分别是每个景点的最短游览时间和景点到景点之间的交通时间（特别注意题目中要求的住宿时间和游览时间的限制）

从而得到目标函数： Min t ＝1t ＋2t （1）交通总时间

因为t ij 表示从第i 个景点到第j 个景点所需的交通费用，而ij r 是判断旅游者是否从第i 个景点直接到第j 个景点的0—1变量，因此我们可以很容易的得到交通总时间为：

10

10

10

t t ij ij i j

r ===

?∑∑

（2）旅游景点的时间

因为所经过景点的数目和名称为已知条件，且题目中已经给出旅游者在每一处景点的最短游览时间，所以旅游景点的时间是一个定值，为43h 。

从而我们可以得到目标函数为：

Min

t ＝1t ＋2t

＝10

10

00

t ij ij

i j r ==?∑∑+43

5.2.2模型建立

综上所述，我们可以得到总的模型为： Min

t ＝1t ＋2t

＝10

10

ij 00

t ij i j r ==?∑∑+43

约束条件：

1010

ij 0

t ij i j

r ==?∑∑+43

1010

10ij i j

r ===∑∑ （i ，j =0，1， (10)

5.2.3 模型求解与结果分析

5.3.1目标函数的确立：

该问中要求旅行者使用2000元以内的费用，在不限制时间的情况下尽可能多的游览景点，所以标函数是求最大的游览景点数。

因此，该问题的目标函数为：

Max 1010

ij

11

n=

r

i i ==∑∑

5.3.2 约束条件：

①时间约束

该问对时间没有要求和限制，所以不妨假定限制的时间为一个月（360个小时），同上一问可得：

1010

00

ij ij

i j r t ==?∑∑+()1010

12ij i j i j

r t t ==??+∑∑≤360

②旅游景点数约束

由题目要求可知，因为时间充裕，因此旅行者打算游览完全部10个景点。通过分析知道，

∑∑==10110

1

i j ij

r

表示代表们游览的景点总数，因此该约束为：

∑∑===10110

1

10i j ij

r

(i ，j =0，1， (11)

5.3.3模型建立

综上所述，我们可以得到总的模型为：

Max 1010

ij

11

n=

r

i i ==∑∑

约束条件：

∑∑==?10

110

1

i j ij ij t r +()∑∑==+??10110

121i j j i ij t t r ≤360 1010

10ij i j

r ===∑∑ （i ，j =0，1， (10)

5.3.4模型求解与结果分析：

5.4 问题四模型的建立及求解 5.4.1 目标函数的确立

经过对题目分析，我们可以知道本题所要实现的目标是，旅行者在有限的五天时间内，费用不加限制，游览所有尽可能多的景点。显然，游览景点数最多是该问题的目标。因此，我们的做法是满足相应的约束条件，计算出在这种情况下最大的游览景点数。

在此，我们引入n 表示游览的景点数，有题目分析可以知道，n 受到时间的影响，而游览的时间有两部分组成，分别是每个景点的最短游览时间和景点到景点之间的交通时间（特别注意题目中要求的住宿时间和游览时间的限制）

（1）交通总时间

因为t ij 表示从第i 个景点到第j 个景点所需的交通费用，而ij r 是判断旅游者是否从第i 个景点直接到第j 个景点的0—1变量，因此我们可以很容易的得到交通总时间为：

10

10

10

t t ij ij i j

r ===

?∑∑

（2）旅游景点的时间

因为在此处游览的景点不确定，数目未知，且恰为目标函数，所以， Min

t ＝1t ＋2t

＝10

10

00

t ij ij i j r ==?∑∑+()∑∑==+??11111

121i j j i ij t t r

（3）0——1变量约束

我们可以把所有的景点连成一个圈，而把每一个景点看做圈上一个点。对于每个点来说，只允许最

多一条边进入，同样只允许最多一条边出来，并且只要有一条边进入就要有一条边出去。因此可得约束：

=

∑i

ij

r

1≤∑j

ij

r

（i ，j =0，1， (11)

当1=i

时，因为成都是出发点，所以11

=∑=i ij r ；

1=j 时，因为旅行者最终要回到徐州，所以11

=∑=j ij r 。

综合以上可知，

=

∑i ij

r

1≤∑j

ij

r

（i ，j =1，2， (11)

11

=∑=i ij

r

11

=∑=j ij r

同样，当i ，2≥j 时，根据题意不可能出现1==ji ij r r ，即不可能出

现游客在两地间往返旅游，因为这样显然不满足游览景点尽量多的原则。因此我们可得约束：

0=?ji ij r r （i ，j =1，2， (11)

5.4.2模型建立

综上所述，我们可以得到总的模型为： Max 1010

ij

11

n=

r

i i ==∑∑

约束条件：

∑∑==?11111

1

i j ij ij t r +()∑∑==+??11111

121i j j i ij t t r ≤120 =

∑i ij

r

1≤∑j

ij

r

（i ，j =0，1， (11)

11

=∑=i ij

r

11

=∑=j ij r

0=?ji ij r r （i ，j =1，2， (11)

5.4.3模型的求解

基于问题三和问题四的模型，我们建立了问题五的模型，模型的目标依旧是游览景点的最大值，但是模型的约束条件是三、四两问的有机节和，所以问题五的模型约束条件需要同时满足三、四两问的约束条件。

6 模型的评价改进及推广

6.1．模型的评价

1.本文思路清晰，模型恰当，得出的方案合理；

2.本文成功的使用了0—1变量，使模型的建立和编程得以顺利进行；

3.在第二问中采用了TCP算法，简化了模型的求解难度；

4.该模型有许多实际因素没有考虑在内，比如旅行者的年龄、健康状况等，若考虑后模型将更加精确完整。

6.2．模型的改进与推广：

1.实际情况中，两景点之间可能通过其他交通方式连接，每一个景点的游览时间、市内交通（公交、计程车和地铁）的到达时间、等待时间、旅行者步行时间和天气因素都未考虑在内，考虑之后模型将更加精确、详细。

2.因数据资料搜集的不完整，准确性也有待商榷，而且没有对最终方案进行更为细致的讨论研究，这些方面有待改进。

7 参考文献

[1]姜启源谢金星叶俊，《数学模型（第三版）》，北京：高等教育出版社，2003。

[2]谢金星薛毅，《优化建模与LINDO/LINGO软件》，北京：清华大学出版社，2005。

8 附录

8.1 各旅游景点可能的住宿地及到达方式（起点为火车站或住宿地）

表一恐龙园、崂山、八达岭长城、乔家大院、龙门石窟

表二黄山、黄鹤楼、兵马俑、庐山、普陀山

表三（1）各景点、城市花费一览

表三（2）各景点、城市花费一览

8.2 本模型计算时用到的部分lingo代码

sets:

jinngdian/1...10/:i,j,c,t;

!其中：1,2,3...,10分别代表徐州、常州恐龙园、青岛崂山、八达岭长城、祁县乔家大院、洛阳市龙门石窟、黄山市黄山、武汉市黄鹤楼、西安市秦始皇兵马俑、九江市庐山、舟山市普陀山；c，t分别表示旅行团在各景点的吃住消费和逗留时间;

links(jingdian,jingdian)：r,cc,tt;

!其中：r为0-1变量（0表示两景点不相连，1表示两景点相通）；cc为两景点之间的交通费用；tt为两景点之间的交通时间;

endsets

data:

n=10;

!其中：n表示计划游玩的景点数目;

enddata

min=@sum(jingdian(j):@sum(jingdian(i):r(i,j)*(cc(i,j)+0.5*(c(i)+c(j)))));

!目标函数：表示计划游玩的景点数目为n时的最小费用;

@for(jingdian(i):r(i,i)=0);

!约束条件：表示各景点到自身没有路线相连的约束条件;

@for(jingdian(i)|i#ge#2:@for(jingdian(j)|j#ge#2:r(i,j)+r(j,i)<1));

!约束条件：表示除起点（徐州）外，若旅客从景点i到景点j去游玩（即r(i,j)=1），则不会再从景点j到景点i去游玩（即r(j,i)=0），也就是说除起点外每个景点只游玩一次; @for(jingdian(i):@sum(jingdian(j):r(i,j))=@sum(jingdian(j):r(j,i)));

@for(jingdian(i)|i#eq#1:@sum(jingdian(j):r(i,j))=1);

@for(jingdian(i)|i#ne#1:@sum(jingdian(j):r(i,j))<1);

!这三个约束条件：表示起点（徐州）有且仅有一条路线出去和一条路线进来，其它景点要么有且仅有一条路线出去和一条路线进来，要么既没有路线出去也没有路线进来; @for(links:@bin(r));

!约束条件:表示0-1变量约束;

@sum(jingdian(j):@sum(jingdian(i):r(i,j)))=n;

!约束条件:表示旅游景点的数目为n的约束;

@for(jingdian(i):@for(jingdian(j)|j#gt#1#and#j#ne#i:l(j)>=l(i)+r(i,j)-(n-2)*(1-r(i,j))+(n-3)*r(j ,i)));

@for(jingdian(i)|i#gt#1:l(i)1+(n-2)*r(i,1));

!这两个约束条件：为了控制不出现两个以上环形回路，保证有且仅有一条环形路线；