概率论与数理统计-朱开永--同济大学出版社习题一答案

习 题 一

1．下列随机试验各包含几个基本事件？

（1）将有记号b a ,的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个

一个地放入盒中；a 球可放入的任一个，其放法有 313=C 种，b 球也可放入三个盒子的

任一个，其放法有313=C 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为11339C C ?=种。

（2）观察三粒不同种子的发芽情况。

解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子发芽共有81

21212=??C C C 种不同情况。

（3）从五人中任选两名参加某项活动。

解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序，

所以此试验的基本事件个数 1025==C n 。 （4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。

解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，101=∴n 。

（5）将c b a ,,三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。

解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一

个一个放入盒子内（按要求）。a 球可放入三个盒子中的任一个有313=C 种方法。b 球因

为试验要求每只盒子只装一个球，所以a 球放入的盒子不能再放入b 球，b 球只能放入其余（无a 球 的盒子）两个中任一个，其放法有21

2=C 个。c 只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为 611213=??C C 种。 2． 事件A 表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B 表示“五件产品都是合格品”，则,A B AB U 各表示什么事件？B A 、之间有什么关系？

解： 设k A =“五件中有k 件是不合格品” =B “五件都是合格品”。此随机试验E 的样

本空间可以写成：{}12345,,,,,S A A A A A B = 而

12345A A A A A A =U U U U ,A B S ∴=U φ=AB ，A 与B 是互为对立事件。

3. 随机抽验三件产品，设A 表示“三件中至少有一件是废品”，设B 表示“三件中至少有两件是废品”，C 表示“三件都是正品”，问 ,,,,A B C A B AC U 各表示什么事件？

解： =A “三件都是正品”，=B “三件中至多有一件废品”，

=C “三件中至少有一件废品”， ,A B A AC φ==U .

4. 对飞机进行两次射击，每次射一弹，设1A 表示“第一次射击击中飞机”，2A 表示“第二次射击击中飞机”，试用21,A A 及它们的对立事件表示下列各事件:

=B “两弹都击中飞机”； =C “两弹都没击中飞机” =D “恰有一弹击中飞机”； =E “至少有一弹击中飞机”。并指出E D C B ,,,中哪些是互不相容，哪些是对立的。 解： 1212121212,,,B A A C A A D A A A A E A A ====U U ，B 与C , B 与D , D 与C , C 与E 是互不相容的，C 与E 是相互对立的.

5． 在某班任选一名学生。记A =“选出的是男生”;B =“选出的是运动员”; C =“选出的是北方人”。问：（1） C B A C B A ,各表示什么事件？

（2）C B A B C ??, 各表示什么意义。（3）在什么条件下，A ABC =.

解： （1）C B A =“选出的是南方的不是运动员的男生”。

（2） B C ?表示该班选出北方的学生一定是运动员。

C B A ? 表示选出的不是运动员的男生是南方的。（3） 当 BC A ? 时 A ABC =.

6、设 4321,,,A A A A 是四个随机事件，试用这几个事件表示下列事件：

（1） 这四个事件都发生； （2） 这四个事件都不发生；

（3） 这四个事件至少有一个发生； （4）21,A A 都发生，而43,A A 都不发生；

（5） 这四个事件至多一个发生。 （6） 这四个事件恰有一个发生。

解：（1）4321A A A A ; （2）4321A A A A ; （3）1234A A A A U U U ;

（4）4321A A A A ; （5）234A A A U 134A A A U 124A A A U 123A A A ; (6) 1234A A A A U 1234A A A A U 1234A A A A U 4321A A A A

. 7． 从一副扑克牌（52张，不计大小王）中任取4张，求取得4张花色都不相同的概率。 解： 从52张牌中任取4张共有情况4

52C 种，每一种情况看作每一种基本事件，所以此试验

的样本空间中基本事件的个数452C n =。设事件 =A “任取的4张花色都不相同”，

A 中包含的基本事件个数K 可以用乘法原理求， 事件A 完成要从四种花色中各取一张，

故 4

13k =, 4

45213()0.1055k P A n C ==≈. 8． 某房间里有4个人，设每个人出生于1月至12月中每一个月是等可能的。求至少有1人生日在10月的概率。

解：设事件=A “至少有1人生日在10月” =A “4个人生日都不在10月”

3.07.0112111)(1)(4=-≈??

? ??-=-=A P A P . 9． 袋中有10只形状相同的球，其中4只红球，6只白球，现从袋中一个接一个地任意取球抛掷出去，求第3次抛掷的是红球的概率。

解：此随机试验E 为：从袋中每次任取一球，不放回地连取三次，相当于从10只球中任取3只排列在三个不同的位置上，其不同的排列数为310P ,即其基本事件共有310P n =个, 设事件 “第三次抛掷的是红球”所包含的基本事件个数k 求法如下：首先事件A 表示第三次抛掷的是红球，即第三个位置应放红球，可从4个红球中任取一个放入，共有1

4C 种放法；前两个位置任从剩下的9个球中取两个放在不同的位置，其放法有29P 种。由乘法原理可知

2914P C k = 52)(3102914===∴P P C n k A P . 10． 将一枚硬币连续抛掷10次，求至少有一次出现正面的概率。

解：设事件 =A “至少出现一次正面” ， =A “全不出现正面”

若一枚硬币连续——10次，每次有正、反两种情况，所以随机试验E 的基本事件个数 102=n ，A 所包含的基本事件个数 1=k . 则999.02

111)(1)(10≈-=-=-=n k A P A P . 11． 盒中有10个乒乓球，其中6只新球，4只旧球。今从盒中任取5只，求正好取得3只新球2只旧球的概率。

解：从盒中10只球任取5只的取法共有5

10C 种，即为此随机试验的基本事件的个数，

510C n =∴. 设事件=A “正好取得3只新球2只旧球” 事件A 所包含的基本事件的个数k 的考虑方法：先从6只新球中任取3只，其取法有3

6C 种；

再从4只旧球中任取2只，其取法有24C 种。由乘法原理得 2436C C k =, 476.02110)(510

2436====∴C C C n k A P . 12.10件产品中有6件正品，4件次品。甲从10件中任取1件（不放回）后，乙再从中任取1件。记=A “甲取得正品”；B =“乙取得正品”。求)./(),/(),(A B P A B P A P 解：求()P A 的问题是甲从10个球中任取1球，其方法有10种，事件A 是甲取得1件是正品，只能从6件正品中任取1件，所以取法是6种。5

3106)(==∴A P 求 )/(A B P 问题是在甲取得一件正品的条件下不放回，求乙再任取一件是正品的概率， 样本空间1Ω是：甲从10件产品中取出一件正品后，再从剩下的9件产品中任取1件的问

题。此时基本事件个数 919==C m ,在此1Ω中正品是5件，事件B 包含的基本事件个数

.51=k 9

5)/(=

∴A B P ，求)/(A B P 的问题可用上面两种方法，所不同的是 =A “甲取得一件是次品”， 62(/)93P B A ==. 13． 甲、乙两城市位于长江下游，据气象资料知道：甲、乙两城市一年中雨天的比例分别是20％和18％，两地同时下雨的比例为12％：

（1）已知乙市为雨天，求甲市也是雨天的概率；（2）已知甲市为雨天，求乙市也是雨天的概率；（3）求甲、乙两市至少有一城市为雨天的概率。

解：设事件 =A “甲市为雨天”; 事件 =B “乙市为雨天”。则

12.0)(18.0)(20.0)(===AB P B P A P 所求的问题：

（1）67.03218.012.0)()()/(====B P AB P B A P ;（2） 6.05

320.012.0)()()/(====A P AB P A B P ; （3）26.012.018.02.0)()()()(=-+=-+=+AB P B P A P B A P .

14． 甲袋中有3个白球，7个红球，15个黑球；乙袋中有10个白球，6个红球，9个黑球。今从两袋中各任取一球，求下列事件的概率。

（1） 事件=A “取得2个红球”; （2） 事件 =B “取得的两球颜色相同”

解： (1) 随机试验为从甲袋25个球中任取1球，从乙袋25个球任取1个，其基本事件

总数 625125125==C C n . 由乘法原理知道事件A 包含的基本事件个数

42671617=?==C C k .625

42)(==∴n k A p . 用 321,,A A A 分别表示从甲袋取得白球、红球、黑球；用 321,,B B B 分别表示从乙袋取得

白球、红球、黑球。则 22A A B =。

2A Θ与 2B 相互独立。625

42256257)()()(22=?==∴B P A P A P （2） 332211B A B A B A B ++=Θ k A 与 )3,2,1(=k B k 相互独立, 且

332211,

,B A B A B A 三种情况互不相容， 则 112233()()()()P B P A B P A B P A B =++)()()()()()(332211B P A P B P A P B P A P ++= 625

20725925152562572510253=?+?+?=. 15. 制造某种零件可以采用两种不同的工艺：第一种工艺要经过三道工序，经过各道工序时出现不合格品的概率分别为 3.0,2.0,1.0；第二种工艺只要经过两，道工序，但经过各道工序时出现不合格品的概率均为3.0。如果采用第一种工艺，则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.9, 而采用第二种工艺，则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.8。试问采用何种工艺获得一级品的概率较大。（注：各道关系出现不合格品时相互独立的） 解：设事件A =“采用第一种工艺获得一级品”;事件B =“采用第二种工艺获得一级品”; 第一种工艺经过三道工艺，第k 道工序出合格品事件记为(1,2,3),k

A k = 由题设知道：.9.01.01)(1)(11=-=-=A P A P .8.02.01)(1)(22=-=-=A P A P .7.03.01)(1)(33=-=-=A P A P

第二种工艺二道工序，第k 道工序出合格品的事件记为 (1,2)k

B k =.

由题设知道： ).(7.03.01)(1)(211B P B P B P ==-=-= 9.0)()()(9.0)()(321321?=?=A P A P A P A A A P A P 45.09.07.08.09.0≈???= 39.08.07.07.08.0)()(8.0)()(2121≈??=?=?=B P B P B B P B P

所以采用第一种工艺获得一级品的概率较大。

16．一箱产品共100件，其中有5件有缺陷，但外观难区别，今从中任取5件进行检验。按规定，若未发现有缺陷产品，则全箱判为一级品；若发现一件产品有缺陷，则全箱判为二级品；若发现两件以上有缺陷，则全箱视为次品。试分别求该箱产品被判为一级品（记为A ），二级品（记为B ）,次品（记为C ）的概率。

解：随机试验E 是100件产品任取5件，其基本事件的个数 5100C n =。

事件A 包含的基本事件个数A n 求法是：从95件没缺陷的产品取5件的个数595A n C =

5955100

()0.76A C n P A n C ∴==≈ 事件B 包含的基本事件个数B n 求法：从5件有缺陷的产品中任取一件，个数为15C ,再从95

件无缺陷的产品中任取4件，个数为 14595B n C C =，由乘法原理知()0.22B n P B n

=≈ C A B =Q U ()()()()P C P A B P A P B ==+U (因为,A B 互不相容)

()1()1()1()()P C P C P A B P A P B =-=-=--U 02.022.076.01=--=.

17．车间内有10台同型号的机床独立运转，已知在1小时内每台机床出故障的概率为 0.01，其在1小时内正好有3台机床出故障的概率。

解： 此问题是独立重复试验问题。 设事件A = “10台机床中任3台出故障”，

0001.0)99.0()01.0()(73310≈=C A P .

18． 据医院经验，有一种中草药对某种疾病的治疗效果为0.8。现在10人同时服用这种中草药治疗该疾病，求至少对6人有疗效的概率。

解：设事件A = “至少对6人有疗效”,967.02.08.0)(1010610==-=∑k k k k C

A P .

19．加工某产品需经过两道工序，如果经过每道工序合格的概率为0.95，求至少有一道工序不合格的概率。

解： 设事件A =“至少有一道工序不合格”; =A “两道工序后都合格”.

2()1()10.950.0975P A P A =-=-=.

20． 已知 15.0)(,45.0)(,

2.0)(===AB P B P A P 求： （1） );()(),

(B A P B A P B A P (2) (),(),();P A B P A B P A B U U U (3) )./(),

/(),/(B A P A B P B A P 解： (1) 05.0)()()()(=-=-=AB P A P AB A P B A P ;

3.0)()()()(=-=-=AB P B P AB B P B A P ; ()1()10.50.5P AB P A B =-=-=U .

(2) ()()()()0.20.450.150.5P A B P A P B P AB =+-=+-=U

()()()0.80.150.95P A B P A P AB =+=+=U

()()1()0.85P A B P AB P AB ==-=U . (3) 3

145.015.0)()()/(===B P AB P B A P ; 432.015.0)()()/(===A P AB P A B P ; 11155.005.0)

()()/(===B P B A P B A P . 21、某气象台根据历年资料，得到某地某月刮大风的概率为

3011，在刮风的条件下下雨的概率为8

7。求即刮风又下雨的概率。 解：设事件A =“某地某月刮大风”; =B “某地某月下雨”. 240

77873011)/()()(===A B P A P AB P . 22.某学校学生四级英语考试的通过率为90% , 其中60% 的学生通过六级英语考试 , 试求从该校随机的选出一名学生通过六级考试的概率.

解：设 A = “ 通过四级英语考试 ”, B = “ 通过六级英语考试 ”,

由题意, 可知()P A =0.9, (|)0.6,P B A = ()()P B P AB ==()(/)P A P B A =0.54

23.设两两独立的三个事件,,A B C 满足条件：,ABC φ=1()()(),2

P A P B P C ==<且已知 9(),16

P A B C =U U 求().P A 解：()P A B C =U U ()()()()()()()P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++---+

3()()()()()()()P A P A P B P B P C P A P C =---

23()3()P A P A =-916=，即216()16()30,P A P A -+=则13(),(),44

P A P A ==或 所以1().4

P A = 24．从1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,2,,X L 中任取一个数，记为Y ，求(2).P Y = 解：11111113(2).42434448

P Y ==?+?+?= 25．有外观相同的三极管6只，按流量放大系数分类，4只属于甲类，两只属于乙类，不放回的抽取三极管两次，每次只抽一只。求在第一次抽到的是甲类三极管的条件下，第二次又抽到甲类三极管的概率。

解：设事件A = “第一次抽到的是甲类三极管”， 42(),63

P A ∴== 事件B = “第二次抽到的是甲类三极管”， 432(),655

P AB ∴=?=

()3(/).()5

P AB P B A P A ∴== 26． 10个零件中有7个正品，3个次品。每次无放回地随机抽取一个来检验，求：

（1）第三次才取到正品的概率；（2）抽三次至少有一个正品的概率。

解：设事件A = “第三次才取到正品”,因为第三次才取到正品，前两次取得的是次品，

120

78792103)(=??=∴A P =B “抽三次至少有一个正品”， =B “抽三次全是次品”

120

11981921031)(1)(=??-=-=B P B P 27．一个工人看管三台机床，在1h 内机床不需要工人照管的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7。求在1h 内（1）三台机床都不需要工人照管的概率；（2）三台机床中最多有一台需要工人照管的概率。

解：设事件 k A =“第k 台机床不用照管” (3,2,1=k )

（1）504.07.08.09.0)(321=??=A A A P

(2) 设事件 =B “三台中最多有一台需要照管”每台机床都是相互独立的。

=)(B P )()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P +++

902.03.08.09.07.02.09.07.08.01.0504.0=??+??+??+=

28．有两个电路如图1-24所示，每个开关闭合的概率都是p ，诸开关闭合与否彼此独立，分别求两电路由a 至b 导通的概率。

（1） 1k 2k

a 3k b

1k 3k 5k

（2）a b

2k 4k 6k

解：记 =k A ｛第k 个开关闭合｝ 6,5,4,3,2,1=k

（1）（a 至b 导通）123A A A =U ， 两事件21A A 与3A 3 是相容的。

P （a 至b 导通）)()()(321321A A A P A P A A P -+=

32321321)()()()()()(P P P A P A P A P A P A P A P -+=-+=

（a 至b 导通）123456()()()A A A A A A =U U U i A 与j A 是相容的，

123456()()()A A A A A A U U U 、、是相互独立的，且概率相同。

P （a 至b 导通）{}123456()()()P A A A A A A =U U U 312[()]P A A =U

32121)]()()([A A P A P A P -+=32121)]()()()([A P A P A P A P -+=

2323()(2)p p p p p =+-=-

29．大豆种子5

2保存于甲仓库，其余保存于乙仓库，已知它们的发芽率分别为0.92和0.89，现将两个仓库的种子全部混合，任取一粒，求其发芽率。

解：设事件 1A =“大豆种子保存于甲仓库”; 2A =“大豆种子保存于乙仓库”; B=“取到的一粒种子发芽” 由题意可得 52)(1=

A P ， 5

3)(2=A P ， 由全概公式得： 902.089.05392.052)/()()/()()(2211=?+?=+=A B P A P A B P A P B P 30．有三个盒子，在甲盒中装有2支红芯圆珠笔，4支蓝芯圆珠笔；乙盒中装有4支红的，2支蓝的；丙盒中装有3支红的，3支蓝的。今从中任取一支（设到三个盒子中取物的机会相同），问取到红芯圆珠笔的概率是多少？

解：设事件1A = “笔取于甲盒”;2A = “笔取于乙盒”; 3A =“笔取于丙盒”;

=B “取到的是红圆珠笔” ,由题意可得31)(1=A P ， 31)(2=A P ， 3

1)(3=A P 由全概公式得：

)/()()/()()/()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=2

1)213231(31=++= 31．射击队里有编号为1,2,3,4,5的五名射手，其射击命中率分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9。今从该队任选一名射手对靶射击一次。（1）求命中目标的概率；（2）已见命中目标，求选取的是1号射手的概率。

解： 记=K A “选取第k 号射手” 5,4,3,2,1=k .B = “命中目标”,

B 的发生可能是第一号射手击中目标，可能是第二号射手击中目标，…，可能是第五号射

手击中目标，即5

1()()(/)k k

k P B P A P B A ==∑。 求)(B P 用全概公式。 7.09.05

18.0517.0516.0515.051)/()()(1=?+?+?+?+?=

=∑=n k k k A B P A P B P 问题是求已知目标被击中恰好是一号射手击中目标的概率即)/(1B A P .由贝叶斯公式：

111()(/)(/)()P A P B A P A B P B =143.07

.01.0≈= 32．转炉炼高级钢，每炉钢的合格率为0.7，假定各次冶炼互不影响，若要求以99%的把握至少能炼出一炉合格钢，问至少需要炼几炉？

解 设至少炼了n 炉才能以99％的把握炼出合格的钢。

事件 =i A “炼出的一炉是合格的” =i A “炼出的一炉是不合格的”n i Λ,2,1=。 事件B = “炼出合格的钢” ， 3.0)(,7.0)(==i i A P A P

1212()()1()n n P B P A A A P A A A ==-U UL U L

99.03.01)())(121>-=-=n n A P A P A P Λ

99.03.01>-n ， 0.30.01n < ， ln 0.01 3.82,ln 0.3

n >≈ 取4,n =所以必须至少炼4炉。 33.飞机在雨天晚点的概率为0.8，在晴天晚点的概率为0.2，天气预报称明天有雨的概率为0.4，试求（1）明天飞机晚点的概率；（2）若第二天飞机晚点，天气是雨天的概率有多大？

解：设 A ={明天飞机晚点}，1B ={天气预报称明天有雨},2B = {天气预报称明天晴天}， 12()0.4,()0.6,P B P B ==12(|)0.8,(|)0.2,P A B P A B ==

（1）1122()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.40.80.60.20.44.=?+?=

（2）111()(|)0.40.88(|).()0.4411

P B P A B P B A P A ??=== 34．8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶概率为0.3。现从8支枪中任取一支用于

射击，结果中靶。求：所用的枪是校准过的概率。

解:设 A ={射击时中靶}，1B ={枪校准过},2B = {枪未校准}，

则1B ,2B 是Ω一个划分，由贝叶斯公式，得

1111122(|)()(|)(|)()(|)()P A B P B P B A P A B P B P A B P B =

+ 0.8(5/8)400.8(5/8)0.3(3/8)49

?==?+? 35．一批产品共100件, 其中有4件次品. 每次抽取一件检验, 有放回, 连续抽取检验3 次. 如发现次品,则认为这批产品不合格. 但检验时,一正品被误判为次品的概率为0.05， 而一次品被误判为正品的概率为0.01，求这批产品被认为是合格品的概率。

解：设A = “任取一件被认为是合格品”;

B = “任取一件是次品”;

C = “这批产品被认为合格品”.

由题意()0.04P B =，()0.96P B =， ()()(/)()(/)0.9124,P A P B P A B P B P A B =+=

3()0.91240.7595.P C ∴==

36．甲盒中有两只白球，一只黑球，乙盒中有一只白球，五只黑球。求从甲盒中任取一球投入乙盒后，随即地从乙盒取出一球而恰为白球的概率。

解：设事件1A = “从甲盒中取出的是白球”； 2A = “从甲盒中取出的是黑球”； B =“从乙盒中取出的是白球” 由题意可得

32)(1=A P ， 31)(2=A P ， 7

1)/(72)/(21==A B P A B P 21

571317232)/()()/()()(2211=?+?=+=A B P A P A B P A P B P 37. 数字通信过程中，信源发射0,1两种状态信号，其中发射0的概率为0.6，发射1的概率为0.4。由于信道中存在干扰，在发射0的时候，接收端分别以0.7、0.1和0.2的概率接收为1、0和“不清”；在发射1的时候，接收端分别以0.9、0和0.1的概率接收为1、0和“不清”。现接收端收到的信号为“不清”，问发射端发的是0和1的概率分别是多少？ 解 由逆概公式得 10.60.230.750.60.20.40.14

p ?===?+?; 20.40.110.250.60.20.40.14

p ?===?+? 38.有两箱同类零件，第一箱有50个，其中10个一等品，第二箱有30个，其中18个一等品，现任取一箱，从中任取零件两次，每次取一个，取后不放回。求

（1）第二次取到的零件是一等品的概率，（2）在第一次取到一等品的条件下，第二次取到一等品的条件概率，（3）两次取到的都不是一等品的概率。

解：设事件1A = “取自第一箱”； 2A = “取自第二箱”， 1()P A =122()P A = B = “第二次取到一等品”，C = “第一次取到一等品”，

110940101(|)504950495P B A =?+?=，2181712183(|)302930295

P B A =?+?=，

1101182()0.42502305P C =?+?==， 110911817()0.1942,2504923029

P BC =??+??= （1）()P B =1122()(|)()(|)P A P B A P A P B A +11132.25255

=?+?= （2）()0.1942(|)0.4856,()0.4

P BC P B C P C ===

（3）1403911211()0.39422504923029

P BC =??+??=. 39．一猎人用猎枪向一只野兔射击，第一枪距离野兔200m 远，如果未击中，他追到距野兔150m 远处再进行第二次射击，如果仍未击中，他追到距野兔100m 远处再进行第三次射击，此时击中的概率为12

。如果这个猎人射击的击中率与他到野兔的距离平方成反比，求猎人击中野兔的概率。

解 设 123,,p p p 分别表示3次击中的概率，且312p =，由已知得2i k p r

=，1,2,3.i = 2222111001502002k p p =?==，解得 1212,89

p p ==。 设事件k A = “第k 枪击中”； (1,2,3),k = B =“击中”.

112123()()P B P A A A A A A ==U U 112123()()()P A P A A P A A A ++

1211213121()(/)()(/)(/)8

P A P A A P A P A A P A A A =++172771950.6597889892144

=+?+???=≈ 或 12317795()1()1289144P B P A A A =-=-=