平行板电容器的动态分析问题

平行板电容器的动态分析问题

平行板电容器是最常见的一种电容器，其结构可以发生变化，因此电容也跟着随之变化。当我们改变电容器的某个结构时，电容器的电容也随之变化。从而导致电容器中间的电场强度也会发生变化。这就引出一种问题，电容器的动态分析问题。

电容器的动态分析问题总体上来说大概分为两类：电压不变的问题和电荷量不变的问题。一般情况下，题目中的说法是：电压不变（电容器始终接在电源上）电荷量不变（电容器充电完成后，断开电源）

如果根据问题的难度再细分：

层次1：仅仅分析电容和电荷量（电压）的变化

层次2：分析电容和电荷量（电压）的变化，再加上电场强度的变化，而电场强度的变化有两个方法进行比较（U不变的问题中：E=U/d，Q不变的问题中，Q与E成正比(前提是S 不变)）

层次3：E的变化会导致容器中某点电势的变化（或者电荷在某点电势能的变化）

层次4：E的变化会导致容器中液滴所受电场力的变化，进而会产生加速度，根据牛顿第二定律计算加速度；或者容器中国液滴的平衡状态发生变化，从而分析细线角度的变化。【此题问题本质上只重在分析电场强度的变化问题，因为所需要分析的是力的问题】

动态分析问题的处理方法：

1.先分析清楚题目给出的是U不变还是Q不变的类型

2.找出题目中发生变化的参量，然后分析C的变化（注意正反比关系），Q的变化（U的变

化）Q的变化会产生瞬间的充电和放电电流（会判断电流方向）

3.再分析E的变化

4.如果是平衡问题或者动力学问题需要进行受力分析，写平衡方程或者牛顿第二定律。

典型例题剖析

例1：★★【2016 新课标I】一平行板电容器两极板之间充满云母介质，接在恒压直流电源上。若将云母介质移出，则电容器（）

A.极板上的电荷量变大，极板间电场强度变大

B. 极板上的电荷量变小，极板间电场强度变大

C. 极板上的电荷量变大，极板间电场强度不变

D. 极板上的电荷量变小，极板间电场强度不变 答案：D

解析：由4πr S

C kd

ε=

可知，当云母介质抽出时，r ε变小，电容器的电容C 变小； 因为电容器接在恒压直流电源上，故U 不变，根据Q CU =可知，当C 减小时，Q 减小。再

由U

E d =，由于U 与d 都不变，故电场强度E 不变，答案为D

例2：★★【2011 天津】板间距为d 的平行板电容器所带电荷量为Q 时，两极板间电势差为U 1，板间场强为E 1.现将电容器所带电荷量变为2Q ，板间距变为1

2d ，其他条件不变，这

时两极板间电势差为U 2，板间场强为E 2，下列说法正确的是( ) A ．U 2＝U 1，E 2＝E 1 B ．U 2＝2U 1，E 2＝4E 1 C ．U 2＝U 1，E 2＝2E 1 D ．U 2＝2U 1，E 2＝2E 1 答案：C

解析 由公式C ＝εS 4k πd 、C ＝Q U 和E ＝U d 得U ＝4k πdQ εS ，E ＝4k πQ εS ，当Q 变为2Q 、d 变为d

2

时，

电压U 不变，电场强度E 变为原来的2倍．C 正确．

例3：★★两个较大的平行金属板A 、B 相距为d ，分别接在电压为U 的电源正、负极上，这时质量为m 、带电荷量为－q 的油滴恰好静止在两板之间，如图所示．在其他条件不变的情况下，如果将两板非常缓慢地水平错开一些，那么在错开的过程中( )

A ．油滴将向上加速运动，电流计中的电流从b 流向a

B ．油滴将向下加速运动，电流计中的电流从a 流向b

C ．油滴静止不动，电流计中的电流从b 流向a

D ．油滴静止不动，电流计中的电流从a 流向b 答案 D

解析 电容器与电源相连，两极板间电压不变．将两极板非常缓慢地水平错开一些，两极板正对面积减小，而间距不变，由E ＝U

d 可知，电场强度不变，油滴受到的电场力不变，仍与

重力平衡，因此油滴静止不动．由C ＝εr S

4πkd 可知，电容减小，Q ＝CU ，电荷量减小，电容器

放电，因此可判断电流计中的电流从a 流向b ，故D 正确．

例4：★★★【2016 天津】如图所示，平行板电容器带有等量异种电荷，与静电计相连，

静电计金属外壳和电容器下极板都接地，在两极板间有一个固定在P 点的点电荷，以E 表示两板间的电场强度，p E 表示点电荷在P 点的电势能，θ表示静电计指针的偏角。若保持下极板不动，将上极板向下移动一小段距离至图中虚线位置，则 （ ）

A 、θ增大，E 增大

B 、θ增大，p E 不变

C 、θ减小，p E 增大

D 、θ减小，

E 不变

答案：D

解析：上板下移，由S

C d

ε∝可知，C 变大，Q 一定，则Q=CQ ，U 减小，则θ减小；

根据U E d =

，Q=CU, S C d ε∝,Q E S

ε∝,可知Q 一定时，E 不变；根据U 1=Ed 1可知P 点离下板的距离不变，E 不变，则P 点与下板的电势差不变，P 点电势不变，则E P 不变；故ABC 错，D 正确。

例5：★★(多选)如图所示，平行板电容器与直流电源连接，下极板接地，一带电油滴位于电容器中的P 点且处于静止状态，现将上极板竖直向上移动一小段距离，则( )

A ．带电油滴将沿竖直方向向上运动

B ．P 点电势将降低

C ．电容器的电容减小，极板带电荷量减小

D ．带电油滴的电势能保持不变 答案 BC

解析 电容器与电源相连，两极板间电压不变，下极板接地，电势为0.油滴位于P 点处于静止状态，因此有mg ＝qE .当上极板向上移动一小段距离时，板间距离d 增大，由C ＝

εr S

4πkd 可知电容器电容减小，板间场强E ＝U

d 减小，油滴所受的电场力减小，mg >qE ，合力向下，

带电油滴将向下加速运动，A 错；P 点电势等于P 点到下极板间的电势差，由于P 到下极板间距离h 不变，由φP ＝ΔU ＝Eh 可知，场强E 减小时P 点电势降低，B 对；由C ＝Q

U

可知

电容器带电荷量减小，C 对；带电油滴所处P 点电势下降，而由题图可知油滴带负电，所以油滴电势能增大，D 错．

例6：★★【2008,宁夏】(多选)如图所示，C 为中间插有电介质的电容器，a 和b 为其两极 板；a 板接地；P 和Q 为两竖直放置的平行金属板，在两板间用绝缘线悬挂一带电小球；P 板与b 板用导线相连，Q 板接地。开始时悬线静止在竖直方向，在b 板带电后，悬线偏转了 角度a 。在以下方法中，能使悬线的偏角a 变大的是( ) A.缩小a 、b 间的距离 B.加大a 、b 间的距离 C.取出a 、b 两极板间的电介质

D.换一块形状大小相同、介电常数更大的电介质 答案：BC

解析：本题考查电容器的两个公式。a 板与Q 板电势恒定为零，b 板和P 板电势总相同，故两个电容器的电压相等，且两板电荷量q 视为不变。要使悬线的偏角增大，即电压U 增大，即减小电容器的电容C 。对电容器C ，由公式C = q U = εS 4πkd ，可以通过增大板间距d 、减

小介电常数ε、减小板的针对面积S 。

变式训练

★（多选）连接在电池两极上的平行板电容器，当两极板间的距离减小时( ) A ．电容器的电容C 变大 B ．电容器极板的带电荷量Q 变大 C ．电容器两极板间的电势差U 变大 D ．电容器两极板间的电场强度E 变大 答案 ABD

解析 平行板电容器的电容C ＝

εr S

4πkd

.当两极板间距离d 减小时，电容C 变大，选项A 正确．平行板电容器连接在电池两极上，两极板间的电压为定值，选项C 错误．根据电容定义式，C ＝Q

U

，Q ＝CU ，U 不变，C 变大，所以Q 变大，选项B 正确．平行板电容器两极板间的电

场是匀强电场，E ＝U

d

，U 不变，d 减小，所以E 变大，选项D 正确．

★如图所示的实验装置中，极板A 接地，平行板电容器的极板B 与一个灵敏的静电计相接. 将A 极板向左移动，增大电容器两极板间的距离时，电容器所带的电荷量Q 、电容C 、两极间的电压U ，电容器两极板间的场强E 的变化情况是( )

A ．Q 变小，C 不变，U 不变，E 变小

B ．Q 变小，

C 变小，U 不变，E 不变 C ．Q 几乎不变，C 变小，U 变大，E 不变

D ．Q 几乎不变，C 变小，U 变大，

E 变小 答案 C

★★【2012 江苏】一充电后的平行板电容器保持两极板的正对面积、间距和电荷量不变，在两极板间插入一电介质，其电容C 和两极板间的电势差U 的变化情况是( ) A ．C 和U 均增大 B ．C 增大，U 减小 C ．C 减小，U 增大 D ．C 和U 均减小 答案 B

★★【2010 北京】用控制变量法，可以研究影响平行板电容器的因素（如图）。设两极板正对面积为Ｓ，极板间的距离为ｄ，静电计指针偏角为。实验中，极板所带电荷量不变，若( )

A. 保持S 不变，增大d ，则变大

B. 保持S 不变，增大d ，则变小

C. 保持d 不变，减小S ，则变小

D. 保持d 不变，减小S ，则不变 答案：A 解析：由可得：，保持S 不变，增大d ，则

增大，即

θθθθθU Q C kd S C r ==

、πε4S

kdQ

U R επ4=U θ

变大，故A 正确，B 错误；保持d 不变，减小S ，则增大，即变大，故C 、D 错误。 ★★(多选)绝缘金属平行板电容器充电后，静电计的指针偏转一定角度，若减小两极板a 、b 间的距离，同时在两极板间插入电介质，如图所示，则( )

A ．电容器两极板的电势差会减小

B ．电容器两极板的电势差会增大

C ．静电计指针的偏转角度会减小

D ．静电计指针的偏转角度会增大 答案 AC

解析 绝缘金属平行板电容器充电后电荷量Q 不变，若减小两极板a 、b 间的距离，同时在两极板间插入电介质，电容变大，由C ＝Q

U 知U 变小，静电计指针的偏转角度会减小．

★★如图所示是一个由电池、电阻R 与平行板电容器组成的串联电路，在减小电容器两极板间距离的过程中( )

A ．电阻R 中没有电流

B ．电容器的电容变小

C ．电阻R 中有从a 流向b 的电流

D ．电阻R 中有从b 流向a 的电流 答案 D

解析 在减小电容器两极板间距离的过程中，电容器始终与电源相连，则两极板间电压U 不变，由C ＝εr S

4πkd 知d 减小，电容C 增大，由Q ＝UC 知电容器所带电荷量Q 增加，电容器

充电，电路中有充电电流，电流从电容器负极板通过电阻流向正极板，所以电阻R 中的电流方向是从b 流向a ，故D 正确．

★★【2001,北京】一平行板电容器，两板之间的距离d 和两板面积S 都可以调节，电容器 两板与电池相连接．以Q 表示电容器的电量，E 表示两极板间的电场强度，则( ) A ．当d 增大、S 不变时，Q 减小、E 减小 B ．当S 增大、d 不变时，Q 增大、E 增大

U

C ．当d 减小、S 增大时，Q 增大、E 增大

D ．当S 减小、d 减小时，Q 不变、

E 不变 答案：A

(2016·云南名校高三月考)(多选)平行板电容器的两板A 、B 接于电池两极，一个带正电小球用绝缘细线悬挂在电容器内部，闭合开关S ，电容器充电，这时悬线偏离竖直方向的夹角为θ，如图所示，那么( )

A ．保持开关S 闭合，将A 板稍向

B 板靠近，则θ增大 B ．保持开关S 闭合，将A 板稍向上移，则θ减小

C ．开关S 断开，将A 板稍向B 板靠近，则θ不变

D ．开关S 断开，将A 板稍向上移，则θ减小 答案 AC

解析 保持开关S 闭合，电容器两极板间的电势差不变，将A 板稍向B 板靠近，极板间距离减小，根据E ＝U

d ，知电场强度E 增大，小球所受的电场力变大，θ增大，故A 正确；保

持开关S 闭合，将A 板稍向上移，电容器两极板间的电势差不变，板间距离也不变，则板间场强不变，小球所受的电场力不变，θ不变，故B 错误；断开开关S ，电容器所带的电荷量不变，根据E ＝U d 、C ＝Q U 、C ＝εr S 4πkd 联立得E ＝4πkQ

εr S ，知将A 板稍向B 板靠近，E 不变，

电场力不变，θ不变，故C 正确；将A 板稍向上移，则S 减小，由E ＝4πkQ

εr S 知，E 增大，小

球所受的电场力变大，θ增大，D 错误．

★★如图所示，甲图中电容器的两个极板和电源的两极相连，乙图中电容器充电后断开电源．在电容器的两个极板间用相同的悬线分别吊起完全相同的小球，小球静止时悬线和竖直方向的夹角均为θ，将两图中的右极板向右平移时，下列说法正确的是( ) A ．甲图中夹角减小，乙图中夹角增大 B ．甲图中夹角减小，乙图中夹角不变 C ．甲图中夹角不变，乙图中夹角不变 D ．甲图中夹角减小，乙图中夹角减小

答案 B

解析 甲图中的电容器和电源相连，所以电容器两极板间的电压不变，当极板间的距离增大时，根据公式E ＝U

d 可知，板间的电场强度减小，电场力减小，所以悬线和竖直方向的夹角

将减小．乙图中电容器充电后断开电源，电容器两极板所带的电荷量不变，根据平行板电容器的电容公式C ＝

εr S 4πkd ，极板间的电压U ＝Q C ＝4πkdQ εr S ，极板间的电场强度E ＝U d ＝4πkQ

εr S

，场强与两极板间距离无关，故夹角不变，B 正确．

★★★(2016·福建福州高三联考)如图所示，两平行金属板竖直放置且B 板接地，其间有用绝缘细线悬挂的带电小球，当给两金属板充电Q 后，悬线与竖直方向夹角为θ＝π

3，因电

离作用，两金属板的电荷量缓慢减小(小球电荷量假设不变)，以致悬线与竖直方向间的夹角逐渐减小，则在夹角减少到

π

6

的过程中，下列说法正确的是( )

A ．细线拉力逐渐增大

B ．细线拉力大小不变

C ．电容器两极板减小的电荷量为Q

2

D ．电容器两极板减小的电荷量为2Q

3

【答案】D

★★【2015·新课标Ⅱ】如图所示，两平行的带电金属板水平放置．若在两板中间a 点从静

止释放一带电微粒，微粒恰好保持静止状态，现将两板绕过a点的轴(垂直于纸面)逆时针旋转45°，再由a点从静止释放一同样的微粒，该微粒将()

A．保持静止状态B．向左上方做匀加速运动

C．向正下方做匀加速运动D．向左下方做匀加速运动

答案D

解析两平行金属板水平放置时，带电微粒静止有mg＝qE，现将两板绕过a点的轴(垂直于纸面)逆时针旋转45°后，两板间电场强度方向逆时针旋转45°，电场力方向也逆时针旋转45°，但大小不变，此时电场力和重力的合力大小恒定，方向指向左下方，故该微粒将向左下方做匀加速运动，选项D正确．

★★★（云南省玉溪市第一中学2016届高三下学期第七次月考理科综合物理试题）(多选)如图所示为密立根实验示意图，两水平放置的金属板，充电后与电源断开连接，其板间距为d，电势差为U，现用一喷雾器把许多油滴从上板中间的小孔喷入板间，若其中一质量为m 的油滴恰好能悬浮在板间，重力加速度为ｇ，则下列说法正确的是（）

A．该油滴所带电荷量大小为

B．密立根通过该实验测出了电子的电荷量

C．该油滴所带电荷量可能为-2.0×10-18C

D．若把上金属板向下平移一段距离，该油滴将向上运动

【答案】AB

【解析】

★★★【2012 大纲全国】如图,一平行板电容器的两个极板竖直放置,在两极板间有一带电小球,小球用一绝缘轻线悬挂于O 点.现给电容器缓慢充电,使两极板所带电荷量分别为+Q 和-Q,此时悬线与竖直方向的夹角为.再给电容器缓慢充电,直到悬线和竖直方向的夹角增加到,且小球与两极板不接触.求第二次充电使电容器正极板增加的电荷量.

【解析】设电容器的电容为C ，两板间距为d ，第一次充电后两板间电场强度为

Cd

Q

d U E =

=

① 设小球质量为m ，所带电荷量为q ，当悬线与竖直方向的夹角为

θ1=π/6时，小球受重力mg 、拉力和电场力qE 这三个力而处于平衡状态，则有 qE=mgtanθ1 ① 由①①得mgCd

qQ

=

1tan θ ①

所以悬线与竖直方向的夹角为θ与两板带的电荷量Q 有关，设第二次充电过程增加的电荷量①Q ，小球悬线偏角θ2=π/3，小球再次受力平衡，有

mgCd

Q Q q )

(tan 2?+=

θ ①

联立①①得

Q

Q Q

?+=21tan tan θθ 代入数据得①Q=2Q