静电场(一)

第八章 静电场和稳恒电场

静电场（一）

一、教学学时数： 8学时

二、教学要求：（重点、 难点）

1、掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场强度叠加原理。

掌握电势与电场强度的积分关系。能计算一些简单问题中的电场强度

和电势。

2、理解静电场的规律：高斯定理和环路定理。理解用高斯定理计

算电场强度的条件和方法。

三、教学参考书

1、F. S. Crawford, Berkeley Physics Course, Vol 2.

2 、University Physics , part 2.

3、《大学物理学》张三慧，清华大学出版社，电磁学部分。

4、《大学物理学》扬仲耆，高教出版社，电磁学部分。

本章从静电场的三条基本实验规律——电荷守恒定律、库仑定律、场强叠加原理出发，推导出反映静电场性质的两条基本定理——Gauss定理、场强的环路

定理。

前言：直到十八世纪前半期，人们才开始明确有、且只有两种电荷——正电荷、负电荷。且同号相斥，异号相吸。表示一个物体所带电荷多寡程度的物理量称电量。电荷是怎样产生的呢？这就需要了解物质的电结构理论。

（1）物质的电结构理论：实物（固、液、气）都是由分子或原子组成的。最早的原子结构模型是汤姆孙提出的。散射实验推翻了汤姆孙原子结构的假说，在散射实验的基础上，卢瑟福提出了原子的核型结构，即原子是由原子核和核外电子组成，且。把能量子假说及后来被发展的光子假说运用到原子系统，在卢瑟福原子模型的基础上，又提出三条基本假设：1）定态假设；2）频率假设；3）轨道角动量量子化假设，就形成了现今被广泛承认的原子模型的主要内容。

（2）电荷守恒定律：借助于摩擦、感应均可起电。在任何起电过程中，等量的正、负电荷总是同时产生。如玻璃棒与丝绸摩擦并不产生电荷，只不过把原来聚在一起的正、负电荷分开，使一种电荷从一个物体转移到另一个物体而已；又如静电感应过程中，也是等量的正、负电荷同时产生。因此“一个孤立系统的总电量决不改变。”在第五节讲静电场中的导体时要用它来求解导体表面的电荷密度分布。

（3）电荷的量子化：当一种物理量只能以分立的、不连续的数量存在，而不是以连续的、可取任意数量的形式存在时，我们就说这种物理量是量子化的。1890年斯通尼（stoney）引入电子这一名称，来表示带有负的基元电荷的粒子。到目前为止，所有实验都表明，电子是自然界具有最小电量的粒子。密立根在其著名的油滴实验中直接测得电子电荷的数值。后来发现，正电子的电荷与质子的电荷以及其他带电的基本粒子的电荷的数值都是。在自然界中存在的任何电荷

不论其来源如何，数值都等于。是任意正整数，可取正或负值。这种电量只能取分立的、不连续的数值的性质，叫电荷的量子化。近代物理从理论上预言，最小带电量的基本粒子是由若干种夸克或反夸克组成，每一夸克或反夸克可能带有的电量，但至今单独存在的夸克尚未在实验中发现。即使发现了，也不过是把基本电量的大小缩小到目前的三分之一，电荷的量子性依然不变。

（4）电荷的不变性：在不同参照系中观察，同一电荷的运动状态不同，但观察其电量不变。即电量不因坐标系的变换而改变。

本章共讲八个问题：

一、库仑定律

库仑定律给出了两点电荷之间相互作用的规律。所谓点电荷是指这样的带电体，它本身的几何线度比起它到其他带电体的距离小得多。

1、真空中的情况：在真空中，和两个点电荷间的相互作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号相斥，异号相吸。作用力大小与电量的乘积成正比，而与这两个点电荷之间的距离的平方成反比。

（）

K中引入因子的作法，称为单位制有理化，是为了使以后常用到的电磁学规律的表达式不再出现而变得简单。，称为真空中的介电系数，亦称电容率。

库仑定律是研究静电性质的基础，应用时应注意：

1）、是矢量，其方向为矢径的方向。（方向为施力电荷指向受力电荷）即：当两电荷同号时，为正，其方向与方向相同；当两电荷异号时，为负，意为其方向与方向相反。

2）、库仑定律是两个相对静止的点电荷相互作用力的规律。只有当两个带电体可以看作点电荷时，它们之间的距离才有确定的意义，且只有在这种情况下，

它们之间的相互作用才不依它们的形状为转移。例：教材45页8.4题：真空中有A、B两板，相距为，面积为S，分别带有电量，两板间的作用力大小不等于。这

是因为不能把两带电板看作是点电荷，若两板相距很远是可用库仑定律的。

2、介质中的情况：当两点电荷被引到电介质时，情况是相当复杂的，若两点电荷是在无限大均匀电介质（特点是各向同性）中，可证明，其相互作用力比在

真空中小倍。（称为电介质的相对介电系数，真空中=1，其它各种电介质。）

即：

（，称为电介质的绝对介电系数）

可对上述现象作定性地解释：电介质极化后，在电荷周围出现的束缚电荷总

是与点电荷异号，这就相当于减小了点电荷的电量。因而在电介质中点电荷之间

的相互作用力就小一些。

二、静电场

关于电荷和带电体之间的相互作用是怎么进行的呢？在科学发展史上，曾有

过两种不同的观点。一种认为，电力可以超越距离立即作用于其他带电体，这种

作用既不需要中间物质进行传递，也不需要时间，可用：电荷1电荷2表示。到了19世纪，英国科学家法拉第提出新的观点，认为在带电体周围存在着场，其它带

电体所受到的电力（电场力）是由电场给予的。即：电力需要靠中间的其他媒质

来传递，这种作用可表示为：电荷1电荷2。近代物理学证明，后一种看法是正确的。

为什么电荷之间的相互作用是借助于场来进行的这一观点竟很长时间才得以

证实呢？这是因为电场作为一种物质，一种看不见、摸不着的物质，人们很难想

象它的存在。

近代物理证实，场也是物质存在的一种形态，它与由分子、原子等组成的实

物一样，也有能量、动量和质量（物质的属性），所不同的是，几个电场可以同

时占有同一空间且场没有静止质量。

相对于观察者为静止的带电体周围所存在的场称为静电场。由于电场是一种

特殊物质，因此给我们研究它带来困难，但静电场只要存在，它就会有所表现，

因此，我们可以从静电场对外的表现入手，来研究它的性质。静电场对外的主

表现有：

1）、静电场的力的性质——引入电场中的任何带电体都将受到电场所作用的力。静电场的这一性质是由场强来描述的。

2）、静电场的能的性质——电场具有能量，当带电体在电场中移动时，电场力将对带电体做功。电场既然对电荷作功，表明电场具有能量。静电场的这一性质是由电势U来描述的

3）、电场能使引入电场中的导体或电介质分别产生静电感应或极化现象。

如何描述静电场的这些性质呢？这就是本章我们要着重讨论的内容。

三、电场强度矢量

引入电场强度矢量的目的是用它来描述静电场的力的性质。

1、定义：

把实验电荷（实验电荷是一个足够小的点电荷，所带电量很小，以至于把

入其他带电体的电场后，在实验精确度范围内不会对原有电场有任何显著影响。）放在的电场中不同点时，在一般情况下所受的力的大小和方向是逐点不同的，这表明电场是空间坐标的函数。在一给定点处，所受力大小和方向是完全一定的。若在该点改变的量值，发现受力的方向不变，大小改变了，但却具有确定的量值。故比值及的方向只与所在点的电场性质有关，而与的量值无关。所以我们把比值及方向作为描述静电场中该给定点性质的一个物理量，称为该点处的场强：

（1）

在SI单位中，场强E的单位为：。

讨论：

1）、场强的直观意义——E在量值上等于单位正电荷所受的电场力，方向与正电荷受力方向相同。

2）、是一个矢量点函数，随空间位置的不同不同。即。静电场（或稳恒电场）中与无关。

3）、（1）式中的是电荷的场，与无关。但的受力f不仅与场强E有关，且与电荷的带电量有关。如某电荷在电场中某点受到的电场力很大，该点的电场强度不一定很大，还与电荷的带电量有关。

2、电力线

由于静电场是一个矢量点函数，静电场中各点场强的大小和方向都不同，场又是一个看不见、摸不着的特殊物质，因此给我们描绘它带来一定的困难。在此我们引入电力线，用它来具体地描绘电场。描绘电力线的目的在于能形象地反映电场中场强的情况，并非电场中真有这些实在的线。

若用电力线来表示场，则以电力线的疏密程度表示的大小；电力线各点的切

线方向为该点的场强方向。并规定的量值等于通过垂直于的单位面积的电力线的根数。

静电场电力线的特点：

1）、不形成闭合曲线，也不中断，而是起自正电荷，止于负电荷。这说明

电场是一个有源场。源头正电荷，尾闾负电荷。

2）、任两条电力线不会相交。（静电场中每一点场强只有一个方向）

点电荷在场中不一定沿电力线运动，电力线上各点的切线方向表示各点电场的方向，即：电荷在各点的受力方向。在电力线为直线的电场中，点电荷可沿电力线方向运动。教材14页有几种常见电场的电力线图。

3、的计算

（1）点电荷的场：电量为的点电荷，在距离它为处的一点产生的场：

（2）

式中为矢径的单位矢，的方向为由场源电荷指向场点。

注：1）、当所考察的点和点电荷的距离时，按（2）式，这是没有物理意义的（教材45页8.3题）。原因是：当带电体的线度远远小于带电体与考察点的距离时，带电体才抽象为点电荷，考察点的场强才能应用点电荷的场强公式，当

带电体本身的线度不能忽略，(2)式就失去了物理意义。

2）、题目如没有强调电荷在介质中，（2）式中的介电系数一律用，如给出点电荷所在处介质的相对介电系数，（2）式中应变为。

（2）点电荷系的场强：电场是若干个点电荷激发的，这几个点电荷产生的场可以同时占据同一空间，空间任一点P处的场强应是这几个点电荷单独存在时在P 点产生的场强的矢量和，利用场强叠加原理：

（3）、电荷是连续分布的带电体的场强：将全部电荷分成许多电荷元，使用点电荷的场强公式，在适当的坐标系中写出某一电荷元的元场强，再根据场强叠加原理，将元场强进行矢量叠加：

例1、用细的不导电的塑料棒弯成半径为的圆弧，两端间空隙为，电量为

电荷均匀分布在棒上，求圆心出场强的大小和方向。

解：由对称性知，若无空隙，。因为空隙远远小于圆半径R，与空隙对称的长度为d的棒可视为点电荷，其带电量。（），所以：

，方向指向空隙处。

有关电偶极子的例题均属于点电荷系的例题。电偶极子是一个重要的物理模型。两个等量的异号电荷当两者之间的距离较讨论中所涉及的距离小得多时，这个电荷系统就称为电偶极子。而电偶极子的电矩是表征电偶极子性质的重要物理

量。

（的方向就是轴径的方向）（3）

在以后研究电介质极化、电磁波发射与吸收等问题时，都要用到电偶极子的概念。

教材第6页例8.1：两个等值异号的点电荷和组成的点电荷系，当它们之间的

距离比起所讨论问题中涉及的距离小得多时，这一对点电荷系称为电偶极子。由负电荷指向正电荷的矢径称为电偶极子的轴。为电偶极矩，简称电矩，用表示。，试计算电偶极子轴线延长线上的一点A和轴的中垂面上一点B的场强。

解：选取如图所示的坐标:

，。类似计算可得：，（），。

以下是属于电荷连续分布的带电体的例子。下面的例题是典型例题，由此可推广出一些常用的带电体的场，其结论应记住。

例2、求带电线密度为的均匀带电直线在距离直线为处P点的场强。

解：将均匀带电直线看作是许多电荷元组成，其中任一个电荷元在P点处产

生的场强方向如图，大小为：

考虑到各电荷元在P点处产生的场强方向不同，

为电荷元矢径与X轴正向之间

的夹角。

将，代入，有：

（4—1）

同理得：（4—2）

距离直线为处P点的场强：

推广1、无限长均匀带电直线外一点场强：

此时，代入（4—1）、（4—2）式，有：

。

场强方向垂直导线向外且场强大小沿方向逐渐递减。

（5）

对分别带正负的无限长均匀带电直线，场强方向垂直于直线向外（或向内）成辐射状：

推广2、无限长均匀带电直线端点处的场：左端点：，代入（4—1）、（4—2）式，有：；同理右端点场强为

上节课重点介绍了描述静电场力的性质的物理量—电场强度矢量。复习（2）、（4）、（5）式，强调各式中物理量的含义。

例3、均匀带电圆环在垂直于环面轴线上任一点的场强。

已知：圆环带电，半径为R，轴线上场点一定，场点到环心距离为一定

值。

将环分割成许多电荷元，其中任一电荷元带电量。（）相应的元场强：，方向如图。由对称性分析知，

所以（6）方向为X正向。

圆环若带负电，方向为X反向。

对（6）式的讨论：

1）、由（6）式知：圆环轴线上每点E的大小是逐点不同的。

2）、在处，

3）、当时，。（点电荷的场）

对（6）式的推广：均匀带电圆盘在垂直于盘面轴线上任一点的场。（已知：面密度，圆盘半径R，场点到盘心的距离）

将盘分割成许多圆环，其中半径为的圆环在点产生的场为：

，其中，方向沿X轴正向。

（7）

对（7）式的推广：无限大均匀带电平面的场强：（7）式中当时，有：（8）

由此可看出，忽略边缘效应，无限大均匀带电平面周围的场是匀强场，方向垂直于板面向外（向里）。

+

对（7）式的讨论：

1）当时，（7）式

（又过渡到点电荷场强公式）

二项式展开：

2）当时得不到均匀带电圆盘在圆心处的场强为0，其原

，在推导（7）式时已假定，否则被积函数

通过例题分析，我们看到，在电荷连续分布的情况下，求场强的基本步骤是：1）将带电体分割成许多电荷元，使用点电荷的场强公式，在适当的坐标系

中写出某一电荷元的元场强。2）根据场强叠加原理，将元场强进行矢量叠加。

在这一过程中，关于对称性的分析很重要，它可使计算大为简化。因此解此类题

的关键之一是如何灵活运用场的叠加原理。

例4、：一半径为R的均匀带电圆形平面，其电荷面密度为，

在圆平面的中心挖去小孔，其半径为，求通过圆孔中心的轴线上

上与圆心0相距为处的场强。

解法1：

解法2：

静电场（四）第6题

例5、用场强叠加原理球有限长、半径为R、电量为Q的均匀带电圆柱面在轴线中点处的场强。

将圆柱分成许多小圆环，它们在轴线上一点产生的场强，方向沿X 轴。因为0为轴线的中点，由对称性知，

例6、两无限大平行平板均匀带电，求1、2、3个区域的场强分布。分别就两板均为和一板为，一板为两种情况讨论。

大学物理练习题册静电场（二）第7题：设电量Q均匀分布在半径为R的半圆周上，求圆心0处的电场强度。

因为，任取一电荷元，有，方向如图

图，作对称性分析知，，。为电荷元与圆心连线与轴的夹角。

例8、一玻璃棒被弯成半径为R的半圆型，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿下半部分均匀分布有电荷-Q，求半圆中心处的场强。

作对称性分析知，，

讲静电场（一）习题。