四川省成都市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学(理)试题 Word版含答案

成都2019级高二上期期末适应性考试

数学试卷（理科）

一．选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．在空间直角坐标系O xyz -中，点()1,1,1P 关于平面xOz 对称的点Q 的坐标是（ ） A ．()1,1,1-

B ．()1,1,1--

C ．()1,1,1-

D ．()1,1,1-

2．双曲线()22

10,043

y x a b -=>>的渐近线方程为（ ）

A ．y x =

B ．34

y x =±

C ．43

y x =±

D ．y x = 3．某组数据的茎叶图如图所示，其众数为a ，中位数为b ，平均数为c ，则（ ） A ．a b c >>

B ．a c b >>

C ．b a c >>

D ．c a b >>

4．为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取500名客户的评分，评分均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示．规定评分在60分以下表示对该公司的服务质量不满意，则这500名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为（ ） A ．15

B ．16

C ．17

D ．18

5．在区间11,22??

-

????

上任取一个数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）

A ．

12 B ．

4

C ．

3

D ．

2

6．如图是一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（ ）

A ．20i ≥

B ．21i ≥

C ．21i >

D ．20i <

7．“烟霏霏，雪霏霏，雪向梅花枝上堆．”1月7日成都迎来了2021年首场雪，天气预报说，在今后的三天中每一天下雪的概率均为40%．我们用1，2，3，4表示下雪，用5，6，7，8，9，0表示不下雪，通过计算机得到以下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989，用随机模拟的方法计算这三天中恰有两天下雪的概率是（ ） A ．40%

B ．30%

C ．25%

D ．20%

8．已知斜率为2的直线l 与双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>交于A ，B 两点，若点()3,1P 是AB 的中

点，则双曲线C 的离心率等于（ ）

A B C ．2

D ．

3

9．已知点)

Q

，P 为抛物线24x y =上的动点，若点P 到抛物线准线的距离为d ，则d PQ +的最

小值是（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10．下列四个命题中正确命题的个数是（ ）

①命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”； ②“2x >”是“2320x x -+>”的必要不充分条件； ③命题“若0xy =则0x =或0y =”的否命题； ④“0x ?>，1x e >”的否定是“0x ?≤，1x e ≤” ． A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

11．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，直到今天这种算法仍是多项式求值比较先进的算法．如图所示的程序框图是使用秦九韶算法计算多项式值的一个实例，把k 进制的数转化为10进制的数其实就是求一个多项式的值的运算．我们使用该程序时输入4n =，8x =，2v =，运

行中依次输入了33a =，27a =，16a =，02a =，则该程序运行是最后输出的v 是（ ）转化的10进制数． A ．()826732

B ．()823762

C ．()486732

D ．()426738

12．已知1F ，2F 分别为双曲线22

:

1916

x y C -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的右支于A ，B 两点（其中点A 在第一象限），设点H ，G 分别为12AF F △、12BF F △的内心，则HG 的取值范围是（ ） A ．(]3,4 B ．[)3,4 C ．(]4,5 D ．[

)4,5 二．填空题

13．8251与6105的最大公约数为______．

14．设1F ，2F 是椭圆

22

1259

x y +=的焦点，P 是椭圆上的一点，且满足120PF PF ?=，则12PF F △的内切圆面积为______．

15．已知圆221:60C x y x ++=和圆22

2:450C x y y ++-=相交于A ，B 两点．若圆C 的圆心在直线

20x y -+=上，且圆C 过A ，B 两点，则圆C 的方程为______．

16．已知抛物线2

4y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，

5,03P ??- ???

，若PB AB ⊥，则AF =______．

三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知a R ∈，命题[]:1,2p x ?∈，2

0x a -≥，命题q ：已知方程

22

112

x y a a +=+-表示双曲线． （1）若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围

（2）若命题p q ∨为真命题，命题p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围

18．第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系，促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况．某校高二一班共有学生50名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生（走读生及半走读生）按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为4：1，住校生中男生24人，现从住校生中采用分层抽样的方法取5名同学担任集体户户主进行人口普查登记． （1）应从住校的男生、女生中分别抽取多少人？

（2）若从抽出的5人中随机抽取2人进行普查登记培训，求这2人中既有男生又有女生的概率． 19．已知圆2

2

:2410C x y x y ++-+=． （1）求过点（1，3）与圆C 相切的直线的方程

（2）点O 为坐标原点，动点P 在圆外，直线PM 与圆C 相切于点M ．若PM PO =，求点P 的轨迹方程．

20．过点()4,0P -的动直线l 与抛物线()2

:20C x py p =>相交于D 、E 两点，当l 的斜率为

1

2

时，4PE PD =．

（1）求抛物线C 的方程

（2）设线段DE 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围

21．近年来，随着互联网的发展，诸如“滴滴打车”、“神州专车”等网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在S 省的发展情况，S 省某调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A 、B 两项指标数i x ，()1,2,3,4,5i y i =，数据如下表所示：

==，2s ==

（1）试求y 与x 间的相关系数r ，并利用r 说明y 与x 是否具有较强的线性相关关系（若0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；

（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测当A 指标数为7时，B 指标数的估计值

（3）若城市的网约车A 指标数x 落在区间()

3,3x s x s -+之外，则认为该城市网约车数量过多，会对城市交通管理带来较大的影响，交通管理部门将介入进行治理，直至A 指标数x 回落到区间()

3,3x s x s -+之内．现已知2020年11月该城市网约车的A 指标数为13，问：该城市的交通管理部门是否要介入进行治理？试说明理由．

附：相关公式：()()

n

i

i

x x y y r --=

∑()()

1

n

i

i

i

n

x x y y b

=--=

∑∑，y bx a =+

0.55≈0.95≈．

22．已知ABM △的两个顶点坐标为()2,0A -，()2,0B ，且AM 与BM 所在直线的斜率之积为3

4

-． （1）求顶点M 的轨迹E 的方程．

（2）若点P 为直线4x =上的动点，直线PA 与曲线E 的另一交点为C ，直线PB 与曲线E 的另一交点为D ，过坐标原点O 作CD 的垂线，垂足为N ，证明：存在定点Q ，使得NQ 为定值． 高2019级高二上期期末适应性考试

数学试卷答案（理科） 一．选择题：

1．D ； 2．D ； 3．A ； 4．A ； 5．D ； 6．B ； 7．C ； 8．D ； 9．B ； 10．C ； 11．B ； 12．D ． 二．填空题：

13．37； 14．π； 15．2

2

244

1055

x y x y ++

+-=； 16．4． 三．解答题：

17．解：（1）若q 为真命题时：()()120a a ++<，∴12a -<<，∴()1,2a ∈-； （2）若p 为真命题时：()

[]2

min

1,2a x

x ≤∈，∴1a ≤，

p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 、q 一真一假，即 121a a -<

>?

或21

1a a a ≥≤-??≤?或， 解得12a <<或1a ≤-，∴a 的范围为()(]

1,2,1?-∞-．

18．解：（1）由已知有学生50名，住校生与非住校生人数的比为4：1，所以住校生人数为40人， 又住校生中男生24人，则住校生中女生16人；24:163:2=， 采用分层抽样的方法从中抽取5人，男生抽取的人数为3

535

?=人， 女生抽取的人数为2

525

?

=人 （2）设抽出的5人中男生为a 、b 、c ，女生为A 、B ，

从这5人中随机抽取2人的情况有ab 、ac 、aA 、aB 、bc 、bA 、bB 、cA 、cB 、AB ，共10种， 其中这2人中既有男生又有女生的有aA 、aB 、bA 、bB 、cA 、cB ，共6种 则这2人中既有男生又有女生的概率为63105

P =

= 19．解：（1）把圆C 的方程化为标准方程为()()2

2

124x y ++-=， 则圆心为()1,2C -，半径2r =．

当切线的斜率不存在时，此时切线方程为1x =，C 到l 的距离2d r ==，满足条件． 当切线的斜率存在时，设斜率为k ，得切线方程为()31y k x -=-，

即30kx y k -+-=

2=，解得3

4

k =-．

故切线方程为()3

314

y x -=-

-，即34150x y +-=． 综上，满足条件的切线方程为1x =或34150x y +-=． （2）设(),P x y ， 则()()2

2222

124PM

PC MC x y =-=++--，

2

22PO x y =+．

∵PM PO =，

∴()()2

2

2

2

124x y x y ++--=+，

整理，得2410x y -+=，

∴点P 的轨迹方程为2410x y -+=． 20．解：（1）由题意可知，直线l 的方程为()1

42

y x =

+， 与抛物线方程()2

:20C x py p =>方程联立可得，

()22880y p y -++=，

设()11,D x y ，()22,E x y ，由韦达定理可得，

1282

p

y y ++=

，124y y =， 因为4PE PD =，()224,PE x y =+，()114,PD x y =+， 所以214y y =，解得11y =，24y =，2p =， 所以抛物线C 的方程为2

4x y =；

（2）设():4l y k x =+，DE 的中点为()00,x y ，

由()

244x y y k x ?=??=+??，消去y 可得24160x kx k --=， 所以判别式216640k k ?=+>，解得4k <-或0k >， 由韦达定理可得，022

D E

x x x k +=

=，()200424y k x k k =+=+，

所以DE 的中垂线方程为()2

1

242y k k x k k

--=-

-， 令0x =则()2

2

24221b y k k k ==++=+， 因为4k <-或0k >，所以2b >即为所求． 21．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++=

=，34445

45

y ++++==．

所以相关系数

5

1

1

0.95i i

x x y y r =--=

=

=≈．

因为0.75r >，所以y 与x 具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．

（2）由（1）可知()()()

51

2

51

63

2010

i i

i

i i

x x y y b x x ==--=

==-∑∑， 3545102

a y bx =-=-

?=， 所以y 与x 之间线性回归方程为35

102

y x =+ 当7x =时，35

7 4.6102

y =

?+=． （3）()

()3,31,11x s x s -+=-，而1311>，故2020年11月该城市的网约车已对城市交通带来较大的影响，交通管理部门将介入进行治理．

22．解：（1）设点(),M x y ，由直线AM 、BM 的斜率之积为

()3

2224

y y x x x ?=-≠±+-， 整理得2

2

3412x y +=，即()22

1243

x y x +=≠±， 因此，点M 的轨迹方程为()221243

x y x +=≠±． （2）易知直线CD 的斜率不为0，设直线:CD l x my n =+．()11,C x y ，()22,D x y

由22

,34120.

x my n x y =+??+-=?得()222

3463120m y mny n +++-=， 则:0?>时，122634

mn

y y m -+=+，212231234n y y m -=+

又直线AC 的方程为()1122y y x x =

+-，令4x =，得1162

P y

y x =+， 所以1164,

2y P x ??

?+??

． 同理直线BD 的方程为()2

222y y x x =--，则2224,2y P x ?? ?-??

所以

12126222y y x x =+-，又3

4DA DB k k ?=-，所以22223224y y x x ?=-+-， 则有

212133

224

y y x x ?=-++，化简得()1212124240y y x x x x ++++=， 其中()2

2

121212x x m y y mn y y n =+++；()12122x x m y y n =++， 即()

()()22121242440m y y mn m y y n n +++++++=，

()()22

222

3126424403434

n mn m mn m n n m m --+?++?+++=++， 整理得220n n +-=， 则1n =或2n =-，

当2n =-，直线CD 过A 点，与题设矛盾；

当1n =，:1CD l x my =+，直线CD 恒过定点()1,0F ， 当点Q 为OF 中点时，由ON CD ⊥，可得1122

NQ OE ==． 综上，存在定点1,02Q ??

???

，使得NQ 恒为定值．