微波技术习题解答

第1章练习题

1.1 无耗传输线的特性阻抗Z 0 = 100 (Ω)。根据给出的已知数据，分别写出传输线上电压、电流的复数和瞬时形式的表达式：(1) R L = 100 (Ω)，I L = e j0? (mA)；(2) R L = 50 (Ω)，V L = 100e j0? (mV)；(3) V L = 200e j0? (mV)，I L = 0 (mA)。

解：本题应用到下列公式：

,20

L L 0L L Z I V B Z I V A -=+=

(1) )

sin(j )cos()()

sin(j )cos()(0

L L 0L L z Z V z I z I z Z I z V z V βββββ+=+= (2)

)

cos()cos(),()

cos()cos(),(0

0z t Z B z t Z A t z I z t B z t A t z V βωβωβωβω--+=-++= (3)

(1) 根据已知条件，可得：

V L = I L R L = 100 (mV)， 0 2

100

1100 10021001100=?-==?+=

B A ，

复数表达式为：

(mA)

e )sin(j )cos()((mV) e 100)sin(100j )cos(100)(j j z z z z z I z z z V ββββββ=+==+=

瞬时表达式为：

(mA)

)cos(),((mV) )cos(100),(z t t z I z t t z V βωβω+=+=

(2) 根据已知条件，可得：

05 2

100

2100 150******** )mA (250e 1000j L L L -=?-==?+====?B A R V I ，，

复数表达式为：

(mA)

)sin(j )cos(2)((mV) )sin(200j )cos(100)(z z z I z z z V ββββ+=+=

瞬时表达式为：

(mA)

)cos(5.0)cos(5.1),((mV) )cos(50)cos(150),(z t z t t z I z t z t t z V βωβωβωβω-++=--+=

(3) 根据已知条件，可得：

010 2

200 10020200=-==+=

B A ，复数表达式为：

()(mA)

)sin(2j (mV) )cos(200)(z z I z z V ββ==

瞬时表达式为：

(mA)

)cos()cos(),((mV) )cos(100)cos(100),(z t z t t z I z t z t t z V βωβωβωβω--+=-++=

1.2 无耗传输线的特性阻抗Z 0 = 100 (Ω)，负载电流I L = j (A)，负载阻抗Z L = -j100 (Ω)。试求：(1) 把传输线上的电压V (z )、电流I (z )写成入射波与反射波之和的形式；(2) 利用欧拉公式改写成纯驻波的形式。

解：根据已知条件，可得：

V L = I L Z L = j ?(- j100) = 100 (V)，

j 0L L 4

j 0L L e 25050j 502

100

j 1002e 25050j 502

100

j 1002π

-π

=-=-=-==+=+=+=Z I V B Z I V A

z z z z z

Z B Z A z I B A z V ββββββββj 4j j 4j j 0j 0j 4j

j 4j

j j e

e 2

2e e 22e e )(e e

250e e

250e

)( -π

-π

--π

-π

--=-=+=+=(1)

?? ?

π+=???

?????-=?

?? ??π+=???

?????+=?

?? ??π+-??? ??π+??? ?

?π+-??? ??π+4sin 2j e e 22)(4cos 2100e e 250)( )2(4j 4j 4j 4j z z I z z V z z z z ββββββ

1.3 无耗传输线的特性阻抗Z 0 = 75 (Ω)，传输线上电压、电流分布表达式分别为

)

45sin(e 2e )( )45cos(e 150e 75)(45j j 45j j ?++=?++=??-z z I z z V z z ββββ

试求：(1) 利用欧拉公式把电压、电流分布表达式改写成入射波与反射波之和的形式；(2) 计算负载电压V L 、

电流I L 和阻抗Z L ；(3) 把(1)的结果改写成瞬时值形式。

解：根据已知条件求负载电压和电流：

221)j 1(2

121)45sin(e

21)0(75

j 1502

1)j 1(2

115075)45cos(e 15075)0(45j L 45j L +=?

+=?+==-=?-?+=?+==?

?-I I V V

电压入射波和反射波的复振幅为

j72

75j)(2j75)150(2150275

j)(2j75)150(20L L 0L L -=?+--=-==?++-=+=

Z I V B Z I V A (1) 入射波与反射波之和形式的电压、电流分布表达式

z z

z z z Z B Z A z I B A z V ββββββββj j j 0

j 0j j j j je e 2e e )(e 75j e 150e e )(----+=-=-=+= (2) 负载电压、电流和阻抗

V L = V (0) = 150 - j75， I L = I (0) = 2 + j )(60j 45j

2j 275j 150L L L Ω-=--?+-==I V Z (3) 瞬时值形式的电压、电流分布表达式

)

(sin )cos(2]e )je e 2Re[(]e )(Re[),()(sin 75)cos(150]e )e 75j e 150Re[(]e )(Re[),(j j j j j j j j z t z t z I t z I z t z t z V t z V t z z t t z z t βωβωβωβωωββωωββω--+=+==-++=-==--

1.4 无耗传输线特性阻抗Z 0 = 50 (Ω)，已知在距离负载z 1 = λp /8处的反射系数为 Γ(z 1) = j0.5。试求(1) 传输线上任意观察点z 处的反射系数 Γ(z )和等效阻抗Z (z )；(2) 利用负载反射系数 ΓL 计算负载阻抗Z L ；(3) 通过等效阻抗Z (z )计算负载阻抗Z L 。

解：(1) 传输线上任意观察点z 处的反射系数和等效阻抗由 Γ(z ) = ΓL e -j2βz 得

()5.0j 82j L 8

4j L p 1p

p ===???

? ??=π-?π-e e z ΓΓλΓΓλλ 因此有 ΓL = -0.5 → Γ(z ) = ΓL e -j2βz = -j0.5e -j2βz

由反射系数求得等效阻抗

)

2cos(45)2sin(j4350)

2180cos(5.025.01)2180sin(5.02j 5.0150e 5.01e 5.0150)(1)(1)(222j 2j 0z z z z z z Z z Z z z

ββββΓΓββ++?

=-??-+-??+-?

=+-?=-+=--

(2) 利用负载反射系数计算负载阻抗

)(3

)5.0(1)5.0(15011 L L 0L 0L 0L L Ω=---+?=Γ-Γ+?=→+-=

ΓZ Z Z Z Z Z

(3) 通过等效阻抗计算负载阻抗

)(3

)0cos(45)0sin(j4350)0(L Ω=++?

==Z Z

1.5 无耗传输线的特性阻抗Z 0 = 50 (Ω)，已知传输线上的行波比223-=k ，在距离负载z 1 = λp /6处是电压波腹点。试求：(1) 传输线上任意观察点z 处反射系数 Γ(z )的表达式；(2) 负载阻抗Z L 和电压波腹点z 1点处的等效阻抗Z 1(z 1)。

解：(1) 传输线上任意观察点处反射系数的表达式

由电压波腹点处的反射系数为正实数可知

22)223(1)223(11111)(6)(L p 1=-+--=+-=+-===???

??=k k z z ρρΓΓλΓΓ 而由 ()()L 2j L p

11L e 6

ΓΓλΓΓβ?==???

??=-z z 又可知 3

222p

1L π=

?==λλβ?z 于是可得 ()()

?-π-==z z z ββ?ΓΓ232j 2j L e 2

(2) 负载阻抗和电压波腹点处的等效阻抗由前面计算可知负载反射系数为

2j L e 2

2)0(π

==ΓΓ

因此有 )(2

36j 1e 22e

22e 22e 2250113

2j 3

32j 3

L L 0L Ω++=--?-+?=-+=π

-π-ππ

ΓΓZ Z 在电压波腹点处

)()223(502

2350)( )()223(502

122

150)

(1)

(1)(0011101Ω+=-==

=Ω+=-

=-+=k Z Z z Z z z Z z Z ρΓΓ或 1.6 特性阻抗为Z 0的无耗传输线上电压波腹点的位置是z 1'，电压波节点的位置是z 1"，试证明可用下面两个公式来计算负载阻抗Z L ：

)

tan(j 1)tan(j )tan(j 1)tan(j 10L 10

L z k z k Z Z z z Z Z ''-''-='-'-=βββρβρ和

[提示：从)

tan(j )

tan(j )(L 00L 0

z Z Z z Z Z Z z Z ββ++=中解出Z L ，然后再分别代入Z (z 1') = Z 0ρ 或Z (z 1") = Z 0k 化简即得证。]

证明：由等效阻抗表达式 )

tan(j )

tan(j )(L 00L 0

z Z Z z Z Z Z z Z ββ++= 可解出：

)

tan()(j )

tan(j (z)000

L z z Z Z z Z Z Z Z ββ--=

当z = z 1'时，Z (z 1') = Z 0ρ ，所以得：

)tan(j 1)tan(j )tan(j )tan(j 11

1001000L z z Z z Z Z z Z Z Z Z '-'-='-'-=βρβρβρβρ 当z = z 1"时，Z (z 1") = Z 0k ，所以得：

)tan(j 1)tan(j )tan(j )tan(j 1

1001000

L z k z k Z z k Z Z z Z k Z Z Z ''-''-=''-''-=ββββ 1.7 有一无耗传输线，终端接负载阻抗Z L = 40 + j30 (Ω)。试求：(1) 要使线上的驻波比最小，传输线的特性阻抗Z 0应为多少？(2) 该最小驻波比和相应的电压反射系数之值；(3) 距负载最近的电压波节点位置和该处的输入阻抗(等效阻抗)。

解：(1) 要使线上的驻波比最小，传输线的特性阻抗

如果传输线上的反射系数最小，它上面的驻波比就最小。设传输线的特性阻抗为Z 0，根据已知条件，负载反射系数为

20L 2

L 20L L

0L L

0L 0L L 0L L 0L 0L L )()(j )(j )(j j X Z R X Z R X Z R X Z R Z X R Z X R Z Z Z Z +++-=

+++-=++-+=+-=

2500

802500804023040402304022)()(02002

202202

0220

L 2L 202L 0L 2L 202L 2

20L 2

L 20L 2

+++-=

+?++++?-++=

+++-++=

+++-=

Z Z Z Z Z Z Z Z Z R X Z R Z R X Z R X Z R X Z R Γ

令

0)250080()250080)(802()250080)(802(2500802500802020020002000200200

=+++-+-++-=???

? ??+++-??

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

可得到满足传输线上驻波比最小的特性阻抗，即

Z 0 = 50 (Ω)

(2) 该最小驻波比和相应的电压反射系数之值

)

290(j )2(j L 90j 0L 0L L e 3

e ||)(23

11311e 3

131j j j j 33j 1315030j 405030j 40L z z z Z Z Z Z ββ?ΓΓρΓ-?-?

===-+

===?+-?-=++-+=+-= (3) 距负载最近的电压波节点位置和该处的输入阻抗(等效阻抗) 在电压波节电处，反射系数为负实数，即

)

(2525083)(83

720270 1802903

1e 31e ||)(00p 1p p 11)290(j )2(j L 11L Ω====??

??=''=??=''→?-=''-?-

==='

'-?''-ρλλλβΓΓββ?Z k Z Z z Z z z z z z

1.8 无耗传输线特性阻抗Z 0 = 105 (Ω)，负载阻抗)(330j 45L Ω+=Z ，利用1/4波长阻抗变换线实现匹配，试求：(1) 变换线与负载之间连线上的驻波比 ρ，(2) 在电压波腹点处进行匹配时连线的长度l (以线上波长 λp 计)；(3) 变换线的特性阻抗Z 01；(4) 变换线上的驻波比 ρ'。

解：(1) 变换线与负载之间连线上的驻波比

.015.01||1||1e 5.0e ||)(e

1 105330j 45105330j 45L L )

2120j()2(j L 120j 0L 0L L L =-+=-+====++-+=+-=-?-?

ΓΓρΓΓΓββ?z z z Z Z Z Z

(2) 在电压波腹点处进行匹配时连线的长度

在电压波腹点处有120? - 2β z = 0的关系，因此有

6720120p p p 1

λλλ==??

='l z 即 (3) 变换线的特性阻抗

)Ω(3105 )Ω(31531050L

0010L =='=→=?=='ρρZ Z Z Z Z Z (4) 变换线上的驻波比

3=='ρρ

1.9 无耗传输线特性阻抗Z 0 = 100 (Ω)，通过1/4波长阻抗变换线实现了匹配，已知变换线上的驻波比 ρ' = 2，变换线与负载之间连线的长度为l = λp /12，变换线与负载连线连接处是电压波腹点。试计算：(1) 负载连线上的驻波比 ρ；(2) 变换线的特性阻抗Z 01；(3) 负载阻抗Z L 。

解：(1) 负载连线上的驻波比

由 ρρ=' 得 ρ = (ρ')2 = 22 = 4 (2) 变换线的特性阻抗

)(200001Ω==ρZ Z

(3) 负载阻抗由已知条件可得

00L 0L 00L 0p p L 0p p 0L 0p 4j 3j 330tan j 30tan j 122tan j 122tan j 12Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z =++=?+?+=???

? ???

π+????

???

π+=???? ??λλλλλ 从上式中可解出

)(19315j 16100334j 133j 410030tan j 30tan j 122tan 12j 122tan j 1200000p p p 0p p 0p 0L Ω+?=?--?

=?-?-=???

? ???π???? ??-???? ???π-????

??=ρρλλλλλλZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 亦可直接利用1.6题的结果，即

)(19

315j 1610030tan 4j 130tan j 4100)tan(j 1)tan(j 110

L Ω+?=?-?-?='-'-=z z Z Z βρβρ 1.10 传输线的特性阻抗Z 0 = 300 (Ω)，负载阻抗Z L = 450 - j150 (Ω)，工作频率f = 1 (GHz)，如利用 λ/4阻抗变换器来实现匹配，试求：(1) 变换线的接入位置l L 和特性阻抗Z 01；(2) 如将变换线直接接在负载与主传输线之间，则需在负载处并联一短路分支，求短路分支的长度s 和变换线的特性阻抗Z 01'。

Z L

题1-8图

解：(1) 变换线的接入位置和特性阻抗

)

cm (3010103e

1)(e

1300150j 450300150j 4509

p )

231.326j(31.326j 0L 0L L =?===

=+---=+-=-??

f c z Z Z Z Z z λΓΓβ

负载离电压波节点近，因此在波节点接入，由326.31? - 2βz 1" = 180? 得

)

(65.225768

.11

300768.111311313

1113

111(cm)

09.6203.072018031.326001p p 01

Ω≈===-+=-+=

-+=

==?

-?=''k Z Z z ΓΓ

ρλλ

(2) 短路分支的长度和变换线的特性阻抗Z 01'

1500

,1500500115045011j jB j j Z Y L L L =∴+=-==

又因为终端短路分支提供的电纳为：

)cot(0s jY jB β-=，所以为抵消掉负载的电纳部分，需

)(56.622.0/360arctan(5)s )

tan(1300115001 ,00

cm s jB jB p p

L ===∴?

==+λλβ

此时， )

(3.387500300500Z ,5001

01'L '

Ω=?=∴=∴=

Z Y L

1.11 利用 λ/4阻抗变换器把Z L = 100 (Ω)的负载与特性阻抗Z 0 = 50 (Ω)的无耗传输线相匹配，当工作频率为f = 10 (GHz)时，求：(1) λ/4变换器的特性阻抗Z 01和长度l ；(2) 能保持 ρ ≤ 1.25的工作频率范围。

解：(1) 变换器的特性阻抗Z 01和长度 (cm)

0.754

4(cm)

31010103)

(25050100910L 001====??==Ω=?==λλl f c Z Z Z (2) 能保持 ρ ≤ 1.25的工作频率范围

125.1125.111=+-=+-=

ρρΓ

题1-10图

题1-11图

)tan(200j 21502

5050)

tan(100j 250)tan(250j 10025050)tan(100j 250)tan(250j 1002

50)tan(j )tan(j )tan(j )

tan(j )(0L 001L 01

0L 0101L 010L

l l l l l Z l Z Z l Z Z Z Z l Z Z l Z Z Z Z Z Z Z l βββββββββΓ+=

+++-++=+++-++=

+'-'=

)

(tan 16182

)

(tan 20021502

50)(2222<+=

+?=

=l l l ββΓΓ 化简可得：

tan 2(β l ) > 9 → |tan(β l )| > 3

即 tan(β l ) > 3 [(β l ) < 90?] 和 tan(π - β l ) > 3 [(β l ) > 90?] 因此有 (β l ) > arctan3 = 1.249 和 (β l ) < π - arctan3 = 1.893 由上面关系以及c

f π=

22ββ

即得 )

GHz (05.121005.12893.10075

.02103)3arctan (2)

GHz (95.71095.7249.10075.021033arctan 298

=?=??π?=-ππ<=?=??π?=π>l c f l c f

即 7.95 (GHz) < f < 12.05 (GHz) 可保持驻波系数 ρ ≤ 1.25的频率范围为7.95 ~ 12.05 GHz 。

1.12 无耗传输线特性阻抗Z 0 = 75 (Ω)，通过并联单短路短截线法实现匹配，如图1.5-4所示。已知，负载支路长度为l = λp /8，短路短截线支路长度为s = λp /8。试求负载阻抗Z L 。

解：在本题中?=π

=π==454

82p p λλββs l 。由题图可知，有：

Y A = Y A ' + Y 2(s )

00L

0L 00L 000002A A

j j )tan(j )tan(j j )cot(j )(Y Y Y Y Y l Y Y l Y Y Y Y Y s Y Y s Y Y Y ++=++=+=+=-='βββ

从上式中可解出

L -=

Y Y → Z L = Z 0(2 - j) = 150 - j75 (Ω) 1.13 无耗传输线特性阻抗Z 0 = 50 (Ω)，负载阻抗Z L = 20 - j90 (Ω)，通过并联单短路短截线匹配法实现匹配，如图1.5-4所示。试计算负载支路的长度l 和短路短截线支路的长度s 。

解：先计算负载反射系数

-?==-=

+---=+-=31.56j 69.303j 0L 0L L e

117e 13117 13

9j 65090j 205090j 20Z Z Z Z Γ

? = -56.31? ?===69.3313

117

arccos

arccos L 1Γψ ()p

p 1p 1p

1p 10512.069.33tan 21arctan 360tan 21arctan 360125.069.3331.56180720)180(720λλψλλλψ?λ=??

??????? ????=????????? ???==?-?-?=

-+??

s l

题1-12图

题1-13图

验证如下：

)

(3j 0512.0360tan 1

j )cot(j )()()3j 1(45tan 850

9j 2j 5015045tan j

8509j 2)

tan(j )tan(j )(850

9j 290j 201

110p p 002100L 00L 0A 1L L ---Ω-=???

? ????-=-=Ω+=?++?

++=++='Ω+=-==

Y Y s Y s Y Y Y l Y Y l Y Y Y Y Z Y λλβββ

Y A = Y A ' + Y 2(s ) = Y 0

1.14 无耗传输线的特性阻抗Z 0 = 50 (Ω)，负载阻抗Z L = 200 + j100 (Ω)，利用串联单短路短截线进行匹配，如图1.1-5所示。试求：(1) 分支线的接入位置与负载之间的距离l 和短路短截线的长度s ；(2) 如果负载支路和短路短截线支路的特性阻抗改为Z 0 = 75 (Ω)，重求l 和s 。

题1-14(1)图题1-14(2)图

解：(1) 各段传输线特性阻抗相同时，分支线的接入位置和短路短截线的长度

=+=++-+=+-=

889.11j 0L 0L L e

13294j 1950100j 20050100j 200Z Z Z Z Γ ? = 11.889? ?===969.4729

arccos

arccos L 1Γψ 第1组解

p p 1p p 1p

13306.0969.47tan 2arctan 3602tan 2arctan 36024499.0)969.47889.11360(720)(720λλλψλλλλψ?λ=??? ????-=???

? ???-==?-?+??

s l

第2组解

1p 2p

21694.0969.47tan 2arctan 360tan 2arctan 3600831.0)969.47889.11(720)(720λλψλλλψ?λ=??? ????=???? ?

??==?+??

p s l

第2组解负载支路和短路短截线支路都比较短，因此取第2组解。验证如下：

)

( 803.1j 1694.0360tan j )tan(j )()

( )803.1j 1( 0831.0360tan )100j 200j(500831.0360tan 50j 100j 200 )tan(j )tan(j 0p p 020220p p p p 02020L 0A Ω=???

????==Ω-≈??

????++??

????++=++='Z Z s Z s Z Z Z l Z Z l Z Z Z Z L λλβλλλλββ Z A = Z A ' + Z 2(s 2) = Z 0

(2) 将负载支路和短截线支路特性阻抗改为Z 01 = 75 (Ω),而主传输线特性阻抗仍为Z 0 = 50 (Ω)，如图所示：

)

2cos(21)2sin(2j 1)(1)(1)(e

137

4113724j 7175100j 20075100j 200L 2

L 2L 01

01A 677.18j 01L 01L L l l Z l l Z l Z Z Z Z Z Z β?ΓΓ

β?ΓΓΓΓΓ--+-+-=-+=='=+=++-+=+-=

由题意可知：

???

?-=--+-=--+-)tan(j )2cos(21)2sin(2j )2cos(21101L 2

L L 010

L 2

L 2L

01s Z l l Z Z l Z ββ?ΓΓβ?Γβ?ΓΓΓ 由以上方程可解得：

(

)

L 0

13273.0)667.18889.76(720)22683.0(arccos 72022683

.0211)2cos()2cos(λλ?λΓΓΓ?ββ?=?+?=

=--

+=-=-l Z Z l l

()()

p 2

01L 2L 001L 1261.00138.1arctan 3600138

.11)

2sin(21)2sin(2)tan(λλΓ?βΓΓβ?Γβ=?

==--=---=s Z Z l Z Z l s 1.15 如图 1.5-6所示，传输线特性阻抗Z 0 = 100 (Ω)，负载阻抗Z L = 80 + j60 (Ω)，通过并联双短路短截线匹配法实现匹配，试计算两个短路短截线支路的长度s 1和s 2。

解：先求两个短路短截线的相对电纳 110060

25.015.015

.0180

100

10L 2

202010L 020-=-+-=-+=-=--=--=Z X B Z B Z B Z R Z B Z

两个短路短截线的长度分别为

0p 10p 1p

20p

2125.01arctan 3601arctan 360176.02arctan 3601arctan 360λλλλλλ==????

??-?==?=???? ?

?-?=

B Z s B Z s

1.16 无耗传输线特性阻抗Z 0 = 100 (Ω)，负载阻抗Z L = 50 + j50 (Ω)，通过并联双短路短截线匹配法实现匹配，如图1.5-6所示。试计算两个短路短截线支路的长度s 1和s 2，并验证匹配结果。

解：先求两个短路短截线的相对电纳

110050

11111150

100

10L 2

2202010L 020-=-+-=-+=-=--=--

=Z X B Z B Z B Z R Z B Z

两个短路短截线的长度分别为

10p 1p

p 20p

2125.01arctan 3601arctan 360125.01arctan 3601arctan 360λλλλλλ=?=???? ??-?==?=???? ??-?=

B Z s B Z s 验证如下：

)(45cot j )j 1()cot(j )

()j 1(j

12)(2

j 145cot j 2j 1)cot(j )(2

j 1)(100

j 150j 501

100020B

B 00A 20B 00010A A 0L 20L 20A

L L 1-1-1

-1

-1-Ω=?-+=-'=Ω+=-=='Ω-=?-+=-'=Ω+==='Ω-=+==Y Y Y s Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y s Y Y Y Y Z Y Y Y Y Z Y ββ

1.17 无耗传输线特性阻抗Z 0 = 60 (Ω)，负载阻抗)(360j 180L Ω-=Z 。先判断能否用并联双短路短截线匹配法实现匹配，如若不能，请试用图1.5-7给出的并联三短路短截线匹配法实现匹配。分别计算出三个短路短截线的长度s 1、s 2和s 3，并验证匹配结果。

解：由于负载阻抗的实部R L = 180 > Z 0 = 60，因此不能用并联双短路短截线匹配，调整第1个短路短截线的长度，使s 1 = 0.25λp ，因此它不起作用。这个分支点处的等效阻抗为

)(35j 153

60180)360j 180(60360j 180602222

L 20L

Ω+=?++=-=='Z Z Z 把这个分支点处往负载方向看的等效阻抗看成是负载，就可以用双短路短截线的匹配方法实现匹配，所需要的两个分支的相对电纳分别为

60353131311560

10L 2

3203

020L 030-=-+-='-+=-=--=-'-

=Z X B Z B Z B Z R Z B Z

两个分支的长度分别为

p 20p 2p

p 30p

361

3arctan 3601arctan 36012133arctan 3601arctan 360λλλλλλ=?=???? ?

?-?==?=???? ??-?=

B Z s B Z s

验证(电路图参见教材第34页图1.5-7)：

)(30cot j )3j 1()cot(j )()3j 1(3j 14)

3j 133

j 123j 3)cot(j )(123j 3360j 180********T

T 100M 20T 100020M M 10L p M ----Ω=?-+=-'=Ω+=-=='Ω-=-+=-'=Ω+=-==???

? ??='Y Y Y s Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y s Y Y Y Y Y Y Y ββλ 1.18 如图1.5-8所示，无耗传输线特性阻抗Z 0 = 75 (Ω)，电源内阻抗Z S = 150 - j75 (Ω)，通过单短路短截线实现匹配，电源与分支节点的距离为l S = λp /8，短路短截线的长度为s = λp /8；负载阻抗Z L = 45 - j60 (Ω)，通过1/4波长阻抗变换线实现匹配，变换线与负载连线的长度l L = λp /8，变换线特性阻抗为)(32502Ω=Z ，试证明负载端和电源端实现共轭匹配，主传输线实现行波匹配；计算各段传输线上的驻波系数。

解：先考察各观察点往负载方向看的等效阻抗。负载反射系数与负载附近的驻波比分别为

.015.01||1||1 e 2121j j)j(j 22j 1217560j 457560j 45L L 0j270L 0L L =-+=-+==-=--+-=+---=+-=

?ΓΓρΓ和Z Z Z Z

|ΓL | = 0.5 ? = 270?

B 点与负载A 点的距离?=?

?=-=

1808

72027028

L p

L λλβ?λl l ，，因此B 点是电压波节点，等效阻抗为

Z B = Z 0k = 75 ÷ 3 = 25 (Ω)

B 点等效阻抗直接用教科书中第15页(1.3-16)式计算亦可得到上面的结果。

BC 段是1/4波长阻抗变换线，故C 点处的等效阻抗为

B 202

C )(7525

325Z Z Z Z =Ω===

）

（故TC 段主传输线实现行波匹配，从T 点往负载方向看的等效阻抗为

Z T ' = 75 (Ω) = Z 0

短路短截线支路的等效阻抗为

0p p 0j )(5j782tan 75j )tan(j )(Z s Z s Z =Ω=???

??π==λλβ T 点处总的等效阻抗为

)j 1(2

)(j37.55.37j 1j

1j 175755j7755j7)()(0T T T +=Ω+=++?-=+?='+'=

Z Z s Z Z s Z Z 电源与T 点分支点的距离为l S = λp /8故从P 点往负载方向看的等效阻抗为

000000p

T 0p 0T 0

P )(75j 150j

1j 1j 1j31)j 1(j0.5j )j 1(5.0)

8tan(j )8

tan(j Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z =Ω+=--?++=++++=++=λβ

λβ 与电源内阻抗成共轭匹配关系。

再考察各观察点往电源方向看的等效阻抗。T 点处不包括短路短截线的等效电源阻抗为

)(5.7j35.37)j 1(2

j 1j 1j 11

)j 2(j j )j 2()

tan(j )8

tan(j 0000000

S 0p 0S 0TS

Ω+=-=--?+=-++-=++='Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z λβ

λβ

T 点处包括短路短截线在内的等效电源阻抗为

)(75j 1j 11

)(11100

0TS TS Ω==++=+'=Z Z Z s Z Z Z

电源匹配电路对主传输线实现行波匹配。故主传输线末端C 点处的等效电源阻抗为

Z CS = 75 (Ω)

B 点与

C 点距离BC = λp /4，因此B 点的等效电源阻抗为

)(2575

)325(2

CS 202BS Ω===Z Z Z

负载A 点与B 点的距离为l L = λp /8，因此A 点的等效电源阻抗为

BS 0p 0BS 0

AS )(60j 4525

j 75j752575)

8tan(j )8

tan(j Z Z Z Z Z Z Z =Ω+=++?=++=λβ

λβ 证毕。

1.19 图 1.5-8中无耗传输线特性阻抗Z 0 = 100 (Ω)，把图中的P 点改为负载，负载阻抗Z L = 100 + j200 (Ω)，单短路短截线分支点T 与负载P 的距离不变只是改用l L = 0.25λp 表示；A 点改为电源，电源内阻抗为Z S = 80 + j60 (Ω)，A 、B 之间的长度也不变只是改用l S = 0.125λp 表示，短路短截线的长度为

p p 0738.021arctan 360λλ=?=s 。验证主传输线CT 段实现行波匹配，电源端和负载端实现共轭匹配；计算各段传输线的驻波系数。

解：先负载附近传输线的反射系数和驻波系数

246.8121

2||1||1 e 21)j 1(21j 1j 1j 1j 100200j 100100200j 100L

L j450L 0L L =-+=-+==+=--?+=++-+=+-=

?ΓΓρΓ和Z Z Z Z

考察各观察点往负载方向看的的等效阻抗。T 点处不包括短路短截线的等效阻抗为

)(40j 20200

j 1001002L 2

0T Ω-=+=='Z Z Z

短路短截线支路的等效阻抗为

)(50j 2

100j )tan(j )(0Ω=?

==s Z s Z β T 点处包括短路短截线在内的等效阻抗为

)(100)40j 20(50j )

40j 20(50j )()(T T T Ω=-+-?='+'=Z s Z Z s Z Z

匹配电路对主传输线实现行波匹配。故主传输线末端C 点处的等效阻抗为

Z C = 100 (Ω)

变换线上B 点与C 点距离BC = λp /4，因此B 点的等效阻抗为

)(200100

)2100(2

C 201B Ω===Z Z Z

电源A 点与B 点的距离为l L = λp /8，因此A 点的等效阻抗为

B 0p 0B 0

A )(60j 80200

j 100100j 200100)

tan(j )8

tan(j Z Z Z Z Z Z Z =Ω-=++?=++=λβ

λβ B 点往电源A 点方向看的电源等效阻抗为

)(20060

80j 100100

j 60j 80100)

8tan(j )8

tan(j p

S 0p 0S 0

BS Ω=-+++?=++=λβ

λβZ Z Z Z Z Z

由上式可知，B 点时电压波腹点。

BC 段是1/4波长阻抗变换线，故C 点处的电源等效阻抗为

02BS 201CS )(100200

2100Z Z Z Z =Ω===）（

故TC 段主传输线实现行波匹配，从T 点往电源方向看的等效阻抗为

Z 'TS = 100 (Ω) = Z 0

短路短截线支路的等效阻抗为

）（Ω=?

==50j 2

100j )tan(j )(0s Z s Z β T 点处总的电源等效阻抗为

)(40j 20100

50j 10050j )()(T T TS Ω+=+?='+'=

Z s Z Z s Z Z 负载与T 点分支点的距离为l L = 0.25λp 故从P 点往电源方向看的等效阻抗为

2TS 2

0PS

200j 10040

j 20100Z Z Z Z =Ω-=+==）（与负载阻抗成共轭匹配关系。证毕。

各段传输线的驻波系数(略)。

第2章练习题

2-1 空气同轴线内、外导体的直径分别为d = 32 mm ，D = 75 mm ，求：(1) 该同轴线的特性阻抗Z 0；(2) 当其内导体采用 εr = 2.25的介质环支撑(如图示)时，如D 不变，则d ' 应为多少才能保证匹配？(3) 该同轴线中不产生高次模的最高工作频率f max 。

解：(1) 该同轴线的特性阻抗

)(513275ln 60ln 60r

0Ω≈==d D Z ε

(2) 介质环支撑该同轴线的特性阻抗

(mm) 21 6.375

.13275ln 5.175ln )(513275ln 6075ln 25.26028.10≈'→≈='

≈='→Ω=='

=d e d d d Z

(3) 该同轴线中不产生高次模的最高工作频率

(GHz) 8.1168103 (mm) 16823275211min

max

min ≈?==→≈π+=π???

??+=λλc f d D 2-2 空气同轴线内、外导体直径分别为d = 3 cm ，D = 7 cm ，当其终端接阻抗为Z 0 = 200 Ω 的负载时，负载吸收的功率为P = 1 W ，求：(1) 保证同轴线中只传输TEM 模的最高工作频率？(2) 线上的驻波比、入射功率及反射功率；(3) 若采用四分之一波长阻抗变换器进行匹配，且D 保持不变，则四分之一波长阻抗变换器的内径d 应为多少？

解：(1) 保证同轴线中只传输TEM 模的最高工作频率

(GHz) 9.15103 (cm)5273210min max min

≈π?==→ π=π+=

π??

? ??+=λλc f d D (2) 线上的驻波比、入射功率及反射功率

.016

.01116.05020050200)( 503

ln 60ln

L 0L 0L L r

0=-+=

-+=

≈+-=+-=

Ω≈==

ΓΓρΓεZ Z Z Z d D Z

{}

[][]

[]()

i )2j(L )2j(L 0i i i i 1)(12)( e 1e 1)()(Re 21 )](1)][(1)[()(Re 2

)]()(Re[21)(ΓΓΓΓΓΓβ?β?-=-=

???????-+=-+==

---****z P Z z V Z z V z V z z z I z V z I z V z P z z

因入射波是行波，其振幅处处相等，所以有|V i (z)| = |V i (0)|，P i (z) = P i (0)，由此可得：

()())()(1)0(12)0( )0()(r

i L z P z P P Z V P P z P -=-=-=

==ΓΓ

在上式中代入P (z ) = 1 W ，ΓL = 0.6，得

[

](W) 1625

)0( (W) 1)0(64.0)6.01)(0(1)0( )0()(i

i L =→==-=-===P P P P P P z P Γ

反射波功率为

(W) 5625.016

6.01625)0()0()(22

i r r ==?=

==ΓP P z P (3) 由阻抗变换线的特性阻抗可求得其内径

(cm)

32.1e 7 3

7ln 7ln 60100)

( 1005020035

L 001==→=→=Ω=?==-d d d Z Z Z

2-3 某矩形波导横截面尺寸a = 22.86 mm ，b = 10.16 mm ，波导内填充相对介电常数 εr = 2.1的介质，信号频率f = 10 GHz ，求TE 10模的波导波长 λg10和相速v p10。

解：与频率f = 10 GHz 对应的工作波长和介质中的波长分别为

(cm) 2.070(mm) 70.201

.230

(cm) 3(mm) 301010103r 09

110======??==ελλλ和f c 由矩形波导TE 10模的截止波长 λc = 2a = 45.72 mm ，可求得波导波长和相速分别为

(m/s)

10322.2(mm/s) 1022.23

(mm) 22.2372.4570.20170

.2021810g10p102

2g10?=?===??

? ??-=??? ??-=f v a λλλλ 2-4 已知某矩形波导横截面尺寸a = 22.86 mm ，b = 10.16 mm ，空气的击穿电场强度为E 击穿 = 3 ? 106 V/m ，工作频率为9.375 GHz ，求波导中TE 10模不引起击穿的最大传输功率是多少？

解：矩形波导的工作波长为

(cm) 3.2(mm) 3210375.91039

0==??==f c λ

不引起击穿的最大传输功率为

(W)

10 990.07142.010386.186.222321480)103(1016.1086.2221480662

2662

02b b ?=??=??? ???-π????=???

? ??-π=-a abE P λ 2-5 已知空气圆波导的直径为5 cm ，求：(1) TE 11、TE 01、TM 01模的截止波长；(2) 当工作波长分别为7 cm ，6 cm 和3 cm 时，波导中可能存在的模式；(3) 当工作波长为7 cm 时，主模的波导波长 λg 。

解：几种较低模式的截止波长列表如下

圆形波导各波型模式的截止波长

(2) 工作波长为7 cm 时，圆形波导内只能传输TE 11模；工作波长为6 cm 时，能传输TE 11模和TM 01模；工作波长为3 cm 时，能传输TE 11模、TM 01模、TE 21模、TE 01模、TM 11模、TE 31模和TM 21模。

(3) 当工作波长为7 cm 时，主模的波导波长

(cm) 26.12525.871712

)

c(TE )g(TE 1111

≈??

? ??-=

????

?-=

○○λλλ

2-6 已知微带线的参数为h = 1 mm ，W = 0.34 mm ，t → 0，εr = 9，求微带线的特性阻抗Z 0和有效介电常数 εe 。

解：根据

34.0=h

和 εr = 9.0，由教科书第63页表2.8-1可查得： Z 0 = 79.29 (Ω)，和

393.2e =ε

2-7 若要求在厚度h = 0.8 mm ，相对介电常数 εr = 9的介质基片上制作特性阻抗分别为50 Ω 和100 Ω 的微带线，则它们的导体带条宽度W 应为多少？

解：由教科书第63页表2.8-1可查得导体带条宽度分别为：

Z 0 = 50 (Ω)，εr = 9.0时， 0.1=h

， W = 1.0h = 1.0 ? 0.8 = 0.8 (cm) Z 0 = 100 (Ω)，εr = 9.0时，

16.0=h

，W = 0.16h = 0.16 ? 0.8 = 0.128 (cm) 2-8 一耦合微带线的参数为 εr = 9，h = 0.8 mm ，W = 0.8 mm ，s = 0.4 mm ，求耦合微带线的奇模特性阻抗Z 0o 和偶模特性阻抗Z 0e 。

解：由教科书第66页表2.9-3(a) 可查得， εr = 9，h = 0.8 mm ，W = 0.8 mm ，s = 0.4 mm 时平行耦合微带

线横截面相对尺寸为5.0 0.1==h s h W 和。在横坐标 0.1=h W 的位置上，虚线上面参数5.0 =h

s 的曲线对应的

纵坐标为Z 0e = 62 (Ω)；虚线下面参数5.0 =h

的曲线对应的纵坐标为Z 0o = 39 (Ω)。

2-9 已知耦合微带线的Z 0o = 35.7 Ω，Z 0e = 70 Ω，介质基片的h = 1 mm ，εr = 10，求W 和s 。

解：由教科书第66页表2.9-3(b) 可查得，当介质基片的h = 1 mm ，εr = 10，奇偶模阻抗分别为Z 0o = 35.7 Ω和Z 0e = 70 Ω 时，平行耦合微带线横截面相对尺寸应为

28.0 8.0==h

s h W 和

第3章练习题

3-1 微波传输线中不均匀性的作用和影响是什么？答案详见教科书第74页§3.1概论。

3-2 已知波导的宽边尺寸为a = 23 mm 、窄边尺寸为b = 10 mm ，工作波长为 λ = 32 mm ，在距离波导口l = 20 mm 处放置了三销钉，销钉直径为r = 1 mm ，其后接匹配负载。问三销钉处的反射系数是多少？波导口处的反射系数是多少？

解：由已知条件波导横截面尺寸a = 23 mm 、b = 10 mm 可知，波导波长为

(cm) 5.444632132

212

2g ≈??? ??-=??? ??-=a λλλ

由教科书中第77页式(2.2-7)，销钉直径为r = 1 mm 时等效电路中的并联相对电纳为

52.11321000234.405.066.2423ln 235

.44410004.4066.24ln 42222g 0-=????

??????+??? ????-=???

?????+??? ??-=λλa r a a Y B 在销钉所在的横截面AA ' 处总的并联电纳为

Y AA ' = Y 0 + j B

而该处总的相对并联电纳为

52.11j 1j

-=+='Y B

Y Y A A

横截面AA ' 处的反射系数为

''=-=+

=+-=

2.170j 0

A A 0A A 0A A 0A A A A e 985.052.11j 252

.11j 11Y Y Y Y Z Z Z Z Γ

在距离横截面AA ' 处l = 20 mm 的波导输入端处反射系数为

()?-?-??

-'====?4.153j 6.3232.170j 205

.44720j 2.170j 2j A A in e 985.0e 985.0e

985.0e

βΓΓ

3-3 某矩形波导的尺寸为a ? b = 2.3 ? 1.0 (cm 2)，其中装有一谐振窗，信号频率为f = 10 GHz 。试求：(1) 若窗口没有填充介质，且b ' = 0.8 cm 时，a ' = ?；(2) 若窗口填充 μr = 1，εr = 2的介质，且b ' = 0.8 cm 时，a ' = ?。

解：由已知条件可知，矩形波导的工作波长为

(cm) 31010310

0=?==

f c λ 由题意可知，谐振腔的短波导与主波导的特性阻抗应该相等，即e e

Z Z ='，因此有 2

r 0

2121

???

?'-''=

???

? ??-ε

ηεληa a b a a

整理上式可得

4)()(4

220

λλεb

b b a b a '-

' (1) 窗口没有介质时，相对介电常数为 εr = 1.0，因此谐振窗口的宽度为

(cm) 05.2431

8.013.28.0432

222222=-?+=

'a (2) 窗口有介质时，相对介电常数为 εr = 2.0，因此谐振窗口的宽度为

(cm) 45.1431

8.013.28.0432

222222≈-?+=

'a 3-4 试画出图中所示微带电路的等效电路。解：图中所示微带电路的等效电路如下图所示。

第4章练习题

4-1 有一矩形谐振腔(b = a /2)，已知当f = 3 GHz 时它谐振于□101H 模；当f = 6 GHz 时它谐振于□

103H 模，

求此谐振腔的尺寸。

解：由于波导中传输非色散波，由教科书第85页式(4.2-5)可知，非色散播的谐振波长为

c r

021

??? ??+?

??? ??=

l p c

f λε 对于矩形波导，传输□

□或mnp mnp E H 模的截止波长为

2c 2

??+??? ??=

b n a m λ

因此，矩形波导的谐振频率可按下式计算

02??

? ??+???

??+??? ??=

l p b n a m c f ε 已知当f = 3 GHz 时它谐振于□101H 模，即

2109

111

2103103??

??+??? ???=

?l a 当f = 6 GHz 时它谐振于□103H 模，即

311

21031062

2109

? ??+??? ???=

?l a 由上面两式可得

???????=??? ??+??

? ??=??? ??+??? ??10016311004

112

222l a l a 于是可解得

λ = 8.16 (cm)， a = 6.32 (cm)， b = 0.5a = 3.16 (cm)

4-2 一空气填充的矩形谐振腔尺寸为3 ? 1.5 ? 4 cm 3。求：(1) 当它工作于□101H 模时的谐振频率；(2) 若在腔中全填充某种介质后，在同一工作频率上它谐振于□102H 模，则该介质的相对介质电常数为多少?

解：(1) 当它由空气填充 εr = 1、工作于□101H 模时的谐振频率为

(GHz) 25.641311

21031122

2102

)H (0101=??

??+??? ???=???

??+??? ??=

l a c f ε (2) 当它由介电常数为 εr 的介质填充、工作于□102H 模时的谐振频率不变，即

(GHz) 25.6423121032122

102

)H (0102=??

??+??? ???=???

??+??? ??=

εεl a c f 从上式中可解出介质的相对介电常数为

08.242311025.641032122218

220

2222

022r =???

??????? ??+??? ?????=??????????? ??+??? ??=

l a f c ε

4-3 有一半径为R = 3 cm ，长度分别为l 1 = 6 cm 和l 2 = 8 cm 的两个圆柱腔，求它们的最低振荡模的谐振频率。

解：(1) l = l 1 = 6 cm 时，l < 2.1R ，最低振荡模式为○010E 模，其谐振波长为

(cm) 86.7362.262.2)(E 0010

=?==R ○λ

相应的谐振频率为

(GHz) 8.33

62.210310

0≈??=

λc

(2) l = l 2 = 8 cm 时，l > 2.1R ，最低振荡模式为○111H 模，其谐振波长为

(cm) 62.8821341.311

2141.311

)H (0111

≈??

? ???+??? ???=??

??+??? ??=

l R ○λ

相应的谐振频率为

(GHz) 48.33

62.810310

0≈??=

λc

4-4 已知圆柱腔的半径为R = 1.5 cm ，对同一频率谐振于○012E 模时比○

011E 模时的腔体的长度多 2.32 cm ，

求此谐振频率f 0。

解：由已知条件可知，○012E 模时比○011E 模的谐振波长相等，腔体的长度关系为l ' = l + 2.32，因此有

)E (02

222)E (001201132.222262.211

2162.211○○λλ=??

???++??? ??=??? ??+??? ??=l R l R

从上式中可以看出，2l = l + 2.32，于是可知○011E 模的腔体长度为

l = 2.32 (cm)

○012E 模时比○011E 模的谐振波长为

(cm) 0.332.2215.162.211

)E (0)E (0011

011

≈??

???+??? ???=

=○○λλ

由上式可求得谐振频率为

(GHz) 100

.310310

00=?==λc

4-5 一个半径R = 5 cm ，长l = 10 cm 的圆柱形谐振腔，试求其振荡于最低振荡模时的谐振频率；若腔体用电导率 σ = 1.5 ? 107 s/m 的黄铜制作，试求出其Q 0值。(已知μ

σωδ02

)

解：由已知条件可知，腔体长度l < 2.1R ，因此最低模式为○010E 模，其谐振波长和谐振频率分别为

(GHz)

29.25

62.2103(cm)

1.1356

2.262.210

)

(E 0)(E 0010010

≈??=

=?==λλc

f R ○

○ 由已知条件可知，黄铜的电导率和磁导率分别为

σ = 1.5 ? 107 (S/m) 和 μ0 = 4π ? 10-7 (H/m)

趋腹深度(穿透深度)为

(cm) 1072.21041029.22105.12

0--?=?π???π??=

μσωδ

于是，可求得谐振腔的品质因数为

01023.110

515

1072.2111

?≈+??=+=

-l R R Q δ 4-6 如图所示一尺寸为2.3 ? 1.0 cm 2的矩形波导传输□10H 波，

与一半径为R = 2.28 cm 的圆柱形波长计耦合，今测得调谐活塞在相距d = 2.5 cm 的位置Ⅰ、Ⅱ上分别对○011H 和○

012H 模谐振。求：(1) 腔的谐振波长 λ0

以及波导的工作波长 λ 和它相应的波导波长 λg 各为多少？(2) 如波导传输的信号波长变为 λ = 2.08 cm ，问活塞在I 处是否还能谐振？若能，是什么模式?

解：(1) 腔的谐振波长 λ0以及波导的工作波长 λ 和它相应的波导波长 λg

调谐活塞在位置Ⅰ、Ⅱ处，即腔长分别为l 和l ' = l + d 两种情况下，源送来的信号频率f 是不变的，所以谐振波长也是一定的，故有：

)H (02

)H (0012

011

22264.111

2164.111

○○λλ=??

??++??? ??=

??+??? ??=

d l R l R

由上式可知2l = l + d ，因此有

l = d = 2.5 (cm)

于是可求得○011H 模的谐振波长为

(cm) 35.22128.264.111

2164.111

)H (00011

≈??

???+??? ???=

??+??? ??=

=l R ○λλ

波导和谐振腔由空气填充时，波导的工作波长与谐振腔的谐振波长相等，即