《二次函数热点压轴题》
第一部分：以“增减性”为主导的综合问题
【典型例题1】
在平面直角坐标系xOy 中.已知抛物线22y ax bx a =++-的对称轴是直线x =1.
（1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标；
（2）已知点()0,4A -，()2,3B -，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，
求a 的取值范围；
（3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是
m ≤y ≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值
.
二次函数热点压轴题
【变式与拓展】
1.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222++-=a ax x y 2的顶点C ，过点B （0，t ）作与y 轴垂直的直线l ，分别交抛物线于E ，F 两点，设点E （x 1，y 1），点F （x 2，y 2）（x 1＜x 2）．
（1）求抛物线顶点C 的坐标；
（2）当点C 到直线l 的距离为2时，求线段EF 的长；
（3）若存在实数m ，使得x 1≥m -1且x 2≤m +5成立，直接写出t 的取值范围．
2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线223
y x bx
=-+-的对称轴为直线x=2．
（1）求b的值；
（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），
其中
12
x x<．
①当
213
x x-=时，结合函数图象，求出m的值；
②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，44
y
-≤≤，求m的取值范围．
【小试身手】
已知二次函数)0(222≠--=a ax ax y ．（1）该二次函数图象的对称轴是直线；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当-1≤x ≤5时，函数图象的最高点为M ，最低点为N ，点M 的纵坐标为2
11，求点M 和点N 的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设t ≤x 1≤t +1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，
请结合图象，直接写出t 的取值范围．
【方法与策略】总结：
第二部分
以“对称性”为主导的综合问题
【典型例题】1.抛物线M ：241y ax ax a =-+-(a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .
（1）抛物线M 的对称轴是直线____________；
（2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为3x （30x >），若当2-≤n ≤1-时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线243
=-+．
y ax ax a
（1）求抛物线的对称轴；
（2）过点T（0，t）（其中1
-≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点，若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
【拓展与变式】
1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,1)A -，(1,1)B -，(,)C m n ，其中1n >，以点,,A B C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为123,,D D D ，如图所示.
（1）若1,3m n =-=，则点123,,D D D 的坐标分别是（），（），（）；
（2）是否存在点C ，使得点123,,,,A B D D D 在同一条抛物线上？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由.
2.有一个二次函数满足以下条件：
①函数图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)A ，22(,)B x y (点B 在点A 的右侧)；②对称轴是3x =；
③该函数有最小值是-2.
（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；
（2）将该函数图象2x x ＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”，平行于x 轴的直线与
图象“G ”相交于点33(,)C x y 、44(,)D x y 、55(,)E x y （345x x x <<），结合画出的函数图象求345x x x ++的取值范围.
【小试身手】
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点（2，3），对称轴为直线x =1.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），其中01
BC -AC 的值。
【方法与策略】总结：
第三部分以“顶点”为主导的综合问题
【典型例题】
在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y=mx2+2．线段AB的两个端点分别为A（-3，m），B（1，m）．（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）若该抛物线经过点A（-3，m），求m的值；
（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．
一、“特征”二、“界点”三、“区间”
抛物线y=mx2+2把A（-3,m）代入抛物线，得m=
1.开口:向上或向下把B（1,m）代入抛物线，得m=
2.对称轴：x=
3.顶点：（，）
4.与y轴交点：（0,）
5.与x轴交点：————
6.过定点：