高二数学5月月考试题 理(必修一到选修4) 新人教A版

2011年山西大学附中高二年级五月月考数学试题（理科）

考试时间：120分钟 满分：150分

一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的，将正确答案的序号填入答题纸的表格中） 1.已知复数(1)z a a ai =-+，若z 是纯虚数，则实数a 等于

A ．2

B ．1

C ．10或

D ．1- 2.若直线?m 平面α，则条件甲：直线α//l 是条件乙：m l //的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3．设}11|{<<-=x x A ，}0|{>-=a x x B ，若B A ?，则a 的取值范围是 A ．]1(--∞， B ．)1(--∞， C ．),1[+∞ D ．)1(∞+，

4. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，

容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）

5.方程2

2

1cos 2010sin 2010x y -=??所表示的曲线为

A ．焦点在x 轴上的椭圆

B ．焦点在y 轴上的椭圆

C ．焦点在x 轴上的双曲线

D ．焦点在y 轴上的双曲线

6．定积分

1

)x dx ?

等于

A ．

2

4π- B ．

12π- C ．

14π- D ．1

2

π- 7．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线

01=++ny mx 上，其中n m ,均大于0，则12

m n

+的最小值为

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

8.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数，现从1，2，3，4，5，6这六个数中任取3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 A ．120个 B ．80个 C ．40个 D ．20个

9. 如图3所示的程序框图，其输出结果是

正视图侧视图

A. 341

B. 1364

C. 1365

D. 1366

10. 已知函数?????<-≥+=0

,40,4)(2

2x x x x x x x f ，若2

(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是

A. (2,1)-

B. ),2()1,(+∞--∞

C. (1,2)-

D. ),1()2,(+∞--∞

11. 已知双曲线22

122:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别

为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，它的准线与双曲线1C 的

左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足

212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为

A ． 2

B ． 3

C ．233

D ．2 2

12．已知函数2

()2f x x x =-，()2g x ax =+(0>a )，若1[1,2]x ?∈-，2[1,2]x ?∈-，使得)()(21x g x f =，则实数a 的取值范围是

A. 1

(0,]2 B. 1[,3]2

C. (0,3] D . [3,)+∞

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸的相应位置．） 13.函数x

e x x

f )3()(-=的单调递增区间是

14.直线l 过点（—4，0）且与圆2

2

(1)(2)25x y ++-=交于B A ,两点，如果8||=AB ，

那么直线l 的方程为

15．在ABC Rt ?中，若a BC b AC C ===∠,,900，则ABC ?外接圆半径

2

2

2b a r +=．运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为

c b a ,,，则其外接球的半径R = ．

16.已知点(1,1)A -，O 是坐标原点，点(,)M x y 的坐标满足2202600x y x y y --≥??

+-≤??>?，则

OA OM OM

?的取值范围是________.

2011年山西大学附中高二五月月考

数学答题纸（理科）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

13． 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.设函数()214f x x x =+--．

（I ）解不等式()2f x >； （II ）求函数()y f x =的最小值．

18.已知向量2(3sin

,1),(cos ,cos )444

x x x

m n ==，()f x m n =?． （I ）若()1f x =,求x 的值；

（II ）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围．

19.已知等比数列{}n a 的公比1q >， 是1a 和4a 的一个等比中项，2a 和3a 的等差

中项为6，若数列{}n b 满足2log n n b a =（n ∈*

N ）．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．

20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且12AB AC A B ===．

（Ⅰ）证明：平面1A AC ⊥平面1AB B ； （Ⅱ）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；

（Ⅲ）若点P 为11B C 的中点，并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值．

C

B

A 1

C 1

B 1

A

21.已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>过点(0,1)，且离心率为2.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）,A B 为椭圆C 的左右顶点，点P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP BP 分别

交直线:l x =,E F 两点.证明：以线段EF 为直径的圆恒过x 轴上的定点.

22.设函数()ln (0)f x ax x a =?>．

（Ⅰ）当2a =时，判断函数()()4(1)g x f x x =--的零点的个数，并且说明理由； （Ⅱ）若对所有1x ≥，都有2

()1f x x ≤-，求正数a 的取值范围．

2011年山西大学附中高二年级五月月考

数学试题（理科）

一． 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

二．填空题（每小题4分，共20分）

13. ),2[+∞ 14. 020125=++y x 或04=+x 15.2

2

22c b a ++ 16.

]0,1(-

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（Ⅰ）令214y x x =+--，则

1521334254x x y x x x x ?

---??

?

=--<

?+??

， ，， ，， ．≤≥

作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，

和5

23

?? ???

，

． 所以2142x x +-->的解集为5(7)3x x ??

--+ ???

，

，． （Ⅱ）由函数214y x x =+--的图像可知，当1

2

x =-时，214y x x =+--取得最小值92

-

． 18.解：（I ）()f x m n =?=

2cos cos 444x x x

+

=11sin cos 22222x x ++ =1sin()262x π++

∵()1f x = ∴1sin()262x π+=∴2cos()12sin ()326x x ππ+=-+=1

2

（II ）∵(2)cos cos a c B b C -=，

由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -= ∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=

∴2sin cos sin()A B B C =+- ∵A B C π++=∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠

∴1cos ,2B =∵0B <<π∴3B π=

∴203A π

<<

∴1,sin()16262226A A ππππ<+<<+<

∴131sin()2622A π<++< ∴()f A =1

sin()262A π++3(1,)2∈

19.解：（Ⅰ）因为是1a 和4a 的一个等比中项， 所以21432a a ?==．由题意可得232332,

12.

a a a a ?=??

+=?因为1q >，所以32a a >．解得

23

4,

8.a a =??=? 所以3

2

2a q a =

=．故数列{}n a 的通项公式2n n a =． （Ⅱ）由于2log n n b a =（n ∈*

N ），所以2n n n a b n =?．

231122232(1)22n n n S n n -=?+?+?+

+-?+?． ①

23121222(1)22n n n S n n +=?+?+

+-?+?． ②

①-②得 2

3

1

122222

n n n S n +-=?+++

+-?12(12)212

n n n +-=-?-．

所以 11

222n n n S n ++=-+?．

20. 证明：（Ⅰ）∵1A B ⊥面ABC ∴1A B AC ⊥,

又AB AC ⊥，1AB

A B B =

∴AC ⊥面1AB B ， ∵AC ?面1A AC ， ∴平面1A AC ⊥平面1AB B ；

（Ⅱ）以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则()()()()11200020022042C B A B ，，

，，，，，，，，，，

1(2,2,2)C

()1022AA =，，，()

11220BC B C ==-，，

C 1

z

1111cos 28AA BC AA BC AA BC

???=

=

=-?，，

故1AA 与棱BC 所成的角是π3

．

（Ⅲ）因为P 为棱11B C 的中点，故易求得()132P ，，

． 设平面PAB 的法向量为1n (),,x y z =，

则1100

n AP n AB ?=??=??,由(1,3,2)

(0,2,0)AP AB ?=??=?? 得32020x y z y ++=??=?

令1z =，则1n ()201=-，

，

而平面1ABA 的法向量2n =(1,0,0)，则121212

cos ,55

n n n n n n =

=-

=

-

由图可知二面角1P AB A --为锐角，故二面角1P AB A --

21.解：（1）由题意可知， 1b =， 而

c a = 且222a b c =+. 解得2a =， 所以，椭圆的方程为2

214

x y +=.

（2）由题可得(2,0),(2,0)A B -.设00(

,)P x y ， 直线AP

的方程为0

0(2)2

y y x x =

++，

令x

=0

02)2y y x =+，即002)2y E x ??

? ?+??

； 直线BP

的方程为0

0(2)2

y y x x =

--，

令x

=0

02)2y y x =-，即002)2y F x ??

? ?

-??

； 证法一：设点

(,0)M m 在以线段EF 为直径的圆上，则0ME MF ?=，

即2

2

2

02)(04

y m x -+=-， 2

2

2

4(4y m x ∴-=-， 而22

0014

x y +=，即220044y x =-，

2 (1

m

∴-=

，1

m

∴=

或1

m=-.

所以以线段EF为直径的圆必过x

轴上的定点1,0)

或1,0).

证法二：以线段EF为直径的圆为

200

00

2)2)

(0

22

y y

x y y

x x

????

-+-?-=

????

++

????

令0

y=

，得

2

20

2

2)

(0

4

y

x

x

-+=

-

，

∴

2

20

2

4

(

4

y

x

x

-=

-

，而

2

2

1

4

x

y

+=，即22

00

44

y x

=-，

∴2

(1

x-=

，1

x

∴=

或1

x=. 所以以线段EF为直径的圆必过x

轴上的定点1,0)

或1,0). 解法3：令(0,1)

P，则:1

21

AP

x y

l+=

-

，令x=

E+

同理，E. ∴以EF

为直径的圆为22

((1)2

x y

-+-=

当0

y=

时，1

x=+

或1

x=-

∴圆过1,0),1,0)

A B

令

00

(,)

P x y，直线AP的方程为0

(2)

2

y

y x

x

=+

+

，

令x=

2)

2

y

y

x

=

+

，即0

2)

2

y

E

x

??

?

?

+

??

；

直线BP的方程为0

(2)

2

y

y x

x

=-

-

，

令x=

2)

2

y

y

x

=

-

，即0

2)

2

y

F

x

??

?

?

-

??

；

∵

2

2

4

1

4

AE AF

y

k k

x

?

?==-

-

∴A在以EF为直径的圆上.

同理，可知B也在EF为直径的圆上.

∴定点为1,0),1,0)

A B

22．（Ⅰ）当2

a=时，()()4(1)2ln44

g x f x x x x x

=--=-+的定义域是(0,)

+∞求导，得

0,0

()2(ln1)0,

0,

x e

g x x x e

x e

<<<

?

?

'=-==

?

?>>

?

所以，()g x 在(0,)e 上为减函数，在()e +，∞上为增函数，

min ()()2(2)0g x g e e ==-<.

又(1)0,g =根据()g x 在(0,)e 上为减函数，则()g x 在(0,)e 上恰有一个零点；

又2()40g e =>，则2

()()0g e g e <，所以()g x 在2

(,)e e 上恰有一个零点，

再根据()g x 在()e +，∞上为增函数，()g x 在()e +，∞上恰有一个零点.

综上所述，函数()()4(1)g x f x x =--的零点的个数为2. （Ⅱ）令2

2

()()(1)ln 1(0,1)F x f x x ax x x a x =--=-+>≥，

求导，再令 ()()(ln 1)2G x F x a x x '==+-，则()2a

G x x

'=- （ⅰ）若02a <≤，当1x ≥时，()20a

G x x

'=

-≤，故()G x 在)+[1，

∞上为减函数， 所以当1x ≥时，()(1)20G x G a ≤=-≤，即()0F x '≤，则()F x 在)+[1，

∞上为减函数，

所以当1x ≥时，()(1)0F x F ≤=,即2

()1f x x ≤-成立；

（ⅱ）若2a >， 方程()0G x '=的解为12

a

x =>， 则当12a x ≤≤时，()20a G x x '=-≥，故()G x 在[1,]2

a

上为增函数， 所以12a x ≤≤时，()(1)20G x G a ≥=->，即()0F x '>，则()F x 在[1,]2a

上为增函数， 所以当12

a x <<

时，()(1)0F x F >=, 即2

()1f x x >-成立，此时不合题意. 综上，满足条件的正数a 的取值范围是(0,2]．