浅谈新课标全国卷导数命题背景

浅谈新课标全国卷导数命题背景.

近几年高考题的导数压轴经常以微积分里的重要定理作为背景，但纵观命题人给的答案，很多是所谓结合高中知识巧妙构造等等，颇有把考生玩弄于股掌之间的味道.结合高等数学部分容，我们来研究下近几年高考真题的本质： 例1.（2014卷）已知函数()cos sin ,[0,]2

f x x x x x π

=-∈，

（1）求证：()0f x ≤ （2）若sin x

a b x

<

<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值

第（1）问很简单，求导后容易得到结论 第（2）问我们令()sin π02x g x x x ??

=,∈, ???

，

则()2

cos sin x x x

g x x ?-'=，由⑴知，()0g x '≤， 故()g x 在π02??, ???

上单调递减，从而()g x 的最小值为π2

2πg ??= ???，

故2

π

a ≤，a 的最大值为2π.

接下来b 最大值肯定在x 等于0处取到，代入x ＝0，我们发现出现了0

0的情况，只用初等数学我们无法求解，其实本题就用到了微积分里两个重要极限之一0sin x

lim 1x

x →＝，接下来我

们来证明一下这个结论 令

()f x ＝sinx ，由导数定义得()f x '＝0sin lim x x x x x x

→+Δ（+Δ）

（Δ）-＝cosx ，

那么

()0f '＝0sin lim

0-0

x x x →+Δ（0+Δ）（Δ）＝0sin x

lim x x →＝0lim x →cosx ＝1，那么显然第（2）小问里b 的最小值就是1

评注：本题结合了极限0sin x

lim

1x

x →＝进行命制，并且它的证明过程就是高中数学课本里对导

数的定义，很多老师为了方便讲解直接跳过该定义讲解导数几何意义，笔者认为这是一个很

大的失误，所以在复习时以前没有着重讲解的定义需要额外关心，考场上遇到所谓冷门知识时才能应付自如，游刃有余.

高等数学里还有个重要极限就是lim

e 1x

x x

→∞

＝（1+）

，稍后我们进行讨论.

上面两个极限是导数与微分的容，在上完导数与微分后，我们将会接触到3个微分中值定理：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理

罗尔中值定理：，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧，如果弧的两端点纵坐标相等，那么弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的

拉格朗日中值定理：如果函数 f(x) 满足： 1)在闭区间 [a,b]上连续； 2)在开区间(a,b)可导。

那么：在(a,b)至少有一点ξ(a<ξ

使等式()()()f b f a f b a

ξ-='-成立

柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间 [a,b]上连续； (2)在 开区间(a,b)可导； (3)对任一x ∈(a,b)，F'(x)≠0 那么在(a,b) 至少有一点ξ， 使等式()()()()()

()

''f b f a f F b F a F ξξ-=-成立

其中，在柯西中值定理里当b →a 时，我们会得到求取

不定式极限的洛必达法则： (1)当x →a 时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0，那么有

例2.（2011新课标全国卷）已知函数()1f x x x

=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>

+-，求k 的取值围。