大学物理(第四版)课后习题与答案量子物理

第十七 章量子物理

题17.1：天狼星的温度大约是11000℃。试由维思位移定律计算其辐射峰值的波长。 题17.1解：由维思位移定律可得天狼星单色辐出度的峰值所对应的波长该波长

nm 257m 1057.27m =?==

-T

b

λ 属紫外区域，所以天狼星呈紫色

题17.2：已知地球跟金星的大小差不多，金星的平均温度约为773 K ，地球的平均温度约为

293 K 。若把它们看作是理想黑体，这两个星体向空间辐射的能量之比为多少？

题17.2解：由斯特藩一玻耳兹曼定律4)(T T M σ=可知，这两个星体辐射能量之比为

4.484

=???

?

??=地

金地

金T T M M 题17.3：太阳可看作是半径为7.0 ? 108 m 的球形黑体，试计算太阳的温度。设太阳射到地

球表面上的辐射能量为1.4 ? 103

W ?m －2

，地球与太阳间的距离为1.5 ? 1011

m 。

题17.3解：以太阳为中心，地球与太阳之间的距离d 为半径作一球面，地球处在该球面的

某一位置上。太阳在单位时间对外辐射的总能量将均匀地通过该球面，因此有 2

244)(R E

d T M ππ=

（1）

4)(T T M σ= （2）

由式（1）、（2）可得

K 58004

122=?

??

?

??=σR E d T

题17.4：钨的逸出功是4.52 eV ，钡的选出功是2.50 eV ，分别计算钨和钡的截止频率。哪

一种金属可以用作可见光围的光电管阴极材料？

题17.4解：钨的截止频率 Hz 1009.1151

01?==

h

W ν 钡的截止频率

Hz 1063.0152

02?==

h

W ν 对照可见光的频率围可知，钡的截止频率02ν正好处于该围，而钨的截止频率01ν大于可

见光的最大频率，因而钡可以用于可见光围的光电管材料。

题17.5：钾的截止频率为4.62 ? 1014 Hz ，今以波长为435.8 nm 的光照射，求钾放出的光电

子的初速度。

题17.5解：根据光电效应的爱因斯坦方程

W mv h +=

22

1

ν 其中

λνν/0c h W ==，

可得电子的初速度

152

10s m 1074.52-??=???

?????? ??-=νλ

c m h v

由于选出金属的电子的速度v << c ，故式中m 取电子的静止质量。

题17.6：在康普顿效应中，入射光子的波长为 3.0 ? 10－3

nm ，反冲电子的速度为光速的60％，

求散射光子的波长及散射角。

题17.6解：根据能量守恒，相对论质速关系以及散射公式有

2200mc c

h c m c h +=+λ

λ

（1） 2/1220)/1(--=c v m m

（2）

)cos 1(c 0θλλλ-=-

（3）

由式（1）和式（2）可得散射光子的波长

nm 1035.4443000

-?=-=c m h h λλλ

将入值代入式（3），得散射角

??

?

??

?

--

=c 01arccos λλλθ 题17.7：一具有l.0 ? 104eV 能量的光子，与一静止的自由电子相碰撞，碰撞后，光子的散

射角为60?。试问：（1）光子的波长、频率和能量各改变多少？（2）碰撞后，电子的动能、动量和运动方向又如何？

题17.7解：（1）入射光子的频率和波长分别为

nm 124.0Hz 1041.20

0180==?==νλνc

h E ，

散射前后光子波长、频率和能量的改变量分别为

nm 1022.1)cos 1(3c -?=-=?θλλ

式中负号表示散射光子的频率要减小，与此同时，光子也将失去部分能量。 （2）由能量守恒可知，反冲电子获得的动能，就是散射光子失去的能量

eV 3.950ke =?=-=E h h E νν

由相对论中粒子的能量动量关系式以及动量守恒定律在 Oy 轴上的分量式（图17-7）可得 22e 0e 22

e c p E E +=

（1） ke e 0e E E E +=

（2）

0sin sin e =-?θν

p c

h （3）

由式（1）和式（2）可得电子动量

124ke

e 0ke 2e s m kg 1027.52--???=+=

c

E E E p

将其代入（3）式可得电子运动方向

'

3259sin )(arcsin sin arcsin 0e 0e =??

?

????+=??

??

??=θννθν

?c p h c p h

题17.8：波长为0.10 nm 的辐射，射在碳上，

从而产生康普顿效应。从实验中测量到散射辐射的方向与入射辐射的方向相垂直。求：（1）散射辐射的波长；（2）反冲电子的动能和运动方向。

题17.8解：（1）由散射公式得

nm 1024.0)cos 1(C 0=-+=?+=θλλλλλ

（2）反冲电子的动能等于光子失去的能量，因此有

J 1066.41117

00k -?=???

? ??-=-=λλννhc h h E

根据动量守恒的矢量关系，可确定反冲电子的方向 '1844arctg /arctg 0

00=???

? ??=?

??? ?

?=λλλλ?h h

题17.9：试求波长为下列数值的光子的能量、动量及质量：（1）波长为1500 nm 的红外线；

（2）波长为 500 nm 的可见光；（3）波长为 20 nm 的紫外线；（4）波长为 0. 15 nm 的X 射线；（5）波长为 1.0 ? 10-3

nm 的γ 射线。

题17.9解：由能量νh E =，动量λ

h

p =

以及质能关系式2/c E m =，可得

（1）当nm 15001=λ时，J 1033.1191

11-?===λνhc

h E

12811s m kg 1042.4--???==λh

p

kg 1047.1361

2

11-?==

=

λc h

c E m （2）当nm 5002=λ时，因123

1λλ= 故有 J 1099.331912-?==E E 12722s m kg 1033.13--???==P p

kg 1041.433612-?==m m

3）当nm 203=λ时，因1375

1λλ= 故有 J 1097.9751813-?==E E 12613s m kg 1031.375--???==P p

kg 1010.1753413-?==m m

4）当nm 15.04=λ时，因14410λλ-=，故有

J 1033.11015144-?==E E 124144s m kg 1022.410--???==P p

kg 1047.11032144-?==m m

（5）当nm 10135-?=λ时，J 1099.1135

55-?===λνhc

h E

12255s m kg 1023.6--???==λh

p

kg 1021.2305

2

55-?===

λc h c

E m

题17.10：计算氢原子光谱中莱曼系的最短和最长波长，并指出是否为可见光。

题17.10解：莱曼系的谱线满足

???? ??-=2i 2f 111

n n R λ 令 n i = 2，得该谱系中最长的波长nm 5.121max =λ 令∞→i n ，得该谱系中最短的波长nm 2.91min =λ

对照可见光波长围（400～760 nm ），可知莱曼系中所有的谱线均不是可见光，它们处在紫外线部分。

题17.11：在玻尔氢原子理论中，当电子由量子数5i =n 的轨道跃迁到n f = 2的轨道上时，对

外辐射光的波长为多少？若再将该电子从n f =2的轨道跃迁到游离状态，外界需要提供多少能量？

题17.11解：根据氢原子辐射的波长公式，电子从5i =n 跃迁到n f = 2轨道状态时对外辐射

光的波长满足

??? ??-=22512

1

1

R λ 则 μm 4.43m 1034.47=?=-λ

而电子从n f = 2跃迁到游离态∞→i n 所需的能量为

eV 4.32

2

12-=∞

-

=

-=?∞E

E E E E 负号表示电子吸收能量。

题17.12：如用能量为12.6 eV 的电子轰击氢原子，将产生哪些谱线？ 题17.12解： 根据跃迁假设和波数公式有

2

i

1

2

f

1

f n

E

n

E

E

E

E

i

-

=

-

=

?（1）

?

?

?

?

?

?

-

=

2

f

2

i

1

1

1

n

n

R

λ

将eV

6.

13

1

-

=

E，n f= 1和eV

6.

13

=

?E（这是受激氢原子可以吸收的最多能量）代入式（1），可得69

.3

i

=

n，取整3

i

=

n（想一想为什么？），即此时氢原子处于n = 3的状态。

由式（2）可得氢原子回到基态过程中的三种可能辐射，所对应的谱线波长分别为102.6nm、657.9nm和121.6nm。

题17.13：试证在基态氢原子中，电子运动时的等效电流为1.05?10-3A在氢原子核处，这个电流产生的磁场的磁感强度为多大？

题17.13解：基态时，电子绕核运动的等效电流为

A

10

05

.1

4

2

3

2

1

2

1

1-

?

=

=

=

=

mr

eh

r

ev

ef

I

π

π

式中v1为基态时电子绕核运动的速度，

1

12mr

h

v

π

=

该圆形电流在核处的磁感强度

T

5.

12

2

1

r

I

B

μ

=

上述过程中电子的速度v << c，故式中m取电子的静止质量。

题17.14：已知α粒子的静质量为6.68×10－27 kg，求速率为5000 km/s的α粒子的德布罗意波长。

题17.14解：由于α粒子运动速率v << c，故有 m = m0，则其德布罗意波长为

nm 1099.150-?===

v

m h p h λ

题17.15：求动能为1.0 eV 的电子的德布罗高波的波长。

题17.15解：由于电子的静能 MeV 512.0200==c m E ，而电子动能0k E E <<，故有

2/1k 0)2(E m p =，则其德布罗意波长为

nm 23.1)2(2

/1k 0===

E m h p h λ 题17.16：求温度为27℃时，对应于方均很速率的氧气分子的德布罗意波的波长。 题17.16解：理想气体分子的方均根速率M

RT

v 32=

。对应的氧分子的德布罗意波长

nm 1058.232A 2-?====

MRT

h N v m h

p h λ

题17.17：若电子和光子的波长均为0.20 nm ，则它们的动量和动能各为多少？

题17.17解：由于光子与电子的波长相同，它们的动量均为

124s m kg 1022.3--???==

λ

h

p

光子的动能 )0,0(eV K 22.600k =====E m pc E E 对光子：

电子的动能

keV 8.3720

2

k ==m p E （此处电子动能用非相对论方法计算）

题17.18：用德布罗意波，仿照弦振动的驻波公式来求解一维无限深方势阱中自由粒子的能

量与动量表达式。

题17.18解：势阱的自由粒子来回运动，就相当于物质波在区间a 形成了稳定的驻波，由两端固定弦驻波的条件可知，必有2/λn a =，即

),3,2,1(2Λ==

n n

a λ

由德布罗意关系式λ

h

p =，可得自由粒子的动量表达式

),3,2,1(2Λ==

=

n a

nh h

p λ

由非相对论的动量与动能表达式m

p E 22

=，可得自由粒子的能量表达式

),3,2,1(82

2

2Λ==

n ma h n E

从上述结果可知，此时自由粒子的动量和能量都是量子化的。

题17.19：电子位置的不确定量为5.0 ? 10－2nm 时，其速率的不确定量为多少？

题17.19解：因电子位置的不确定量nm 1052-?=?x ，由不确定关系式以及x x v m p ?=?可得

电子速率的不确定量

17s m 1046.1-??=?=

?x

m h

v x 题17.20：铀核的线度为7.2 ? 10－5m 。求其中一个质子的动量和速度的不确定量。

题17.20解：对质子来说，其位置的不确定量m 106.3m 2

102.71515

--?=?=?r ，由不确定关

系式h p r ≥??以及v m p ?=?，可得质子动量和速度的不确定量分别为

120s m kg 1089.1--???=?=?r

h

p

17s m 1013.1-??=?=

?m

p

v 题17.21：一质量为40g 的子弹以1. 0 ? 103 m/s 的速率飞行，求：（ 1）其德布罗意波的

波长；（2）若子弹位置的不确定量为0.10 μm ，求其速率的不确定量。

题17.21解：（1）子弹的德布罗意波长为

m 1066.135-?==v

m h

λ

（2）由不确定关系式以及x x v m p ?=?可得子弹速率的不确定量为

128x s m 1066.1--??=?=?=

?x

m h

m p v 由计算可知，由于h 值极小，其数量级为10－34

，故不确定关系式只对微观粒子才有实际

意义，对于宏观物体，其行为可以精确地预言。

题17.22：试证如果粒子位置的不确定量等于其德布罗意波长，则此粒子速度的不确定量大

于或等于其速度。

题17.22证：由题意知，位置不确定量λ=?x ，由不确定关系式可得λh x h p =?≥

?，而m

p

v ?=?，故速度的不确定量

v v m

p

m h v ≥?=≥

?，即λ

题17.23：已知一维运动粒子的波函数为

?

??=-0)(x Axe x λψ 00

<≥x x

式中0>λ，试求：（1）归一化常数A 和归一化波函数； （2）该粒子位置坐标的概率分布函数（又称概率密度）；（3）在何处找到粒子的概率最大。

题17.23解：（l ）由归一化条件 1d )(2

=?

∞∞

-x x ψ，有

14d d d 032

22

2220

20

2

===+-∞

-∞

∞

-???

λ

λλA x e

x A x e

x A x x

x

λλ2=A （注：利用积分公式3

20

2

d b y

e y by =

-∞?

） 经归一化后的波函数为

??

???=-02)(x

xe x λλλψ 00<≥x x

（2）粒子的概率分布函数为

?

??=-04)(2232

x e x x λλψ 00

<≥x x

（3）令

,0d ])([d 2

=x

x ψ，有40)22(2223=---x x e x xe λλλλ，得λ

1

0=

=x x ，和∞→x 时，函数2

)

(x ψ有极值。由二阶导数[

]

0d )(d 1

2

2

2<=λ

ψx x x 可知，在λ

1

=

x 处，2

)(x ψ有最大值，即粒子在该处出

现的概率最大。

题17.24：设有一电子在宽为0.20 nm 的一维无限深的方势阱中。（1）计算电子在最低能级

的能量；（2）当电子处于第一激发态（n = 2）时，在势阱中何处出现的概率最小，其值为多

少？

题17.24解：（1）一维无限深势饼中粒子的可能能量2

22

8ma h n E n =，式中a 为势阱宽度，当

量子数n =1时，粒子处于基态，能量最低。因此，电子在最低能级的能量为

eV 43.9J 1051.18182

1=?==-ma

h E

（2）粒子在无限深方势阱中的波函数为

...,2,1,sin 2)(==

n x a n a x πψ 当它处于第一激发态（n = 2）时，波函数为

a x x a

a x ≤≤=

0,2sin 2)(πψ 相应的概率密度函数为

a x x a

a x ≤≤=

0,2sin 2)(22

πψ 令

0d ])([d 2

=x

x ψ

得

02cos 2sin 82=a

x a x a πππ 在a x ≤≤0的围讨论可得，当x =0,

4a , 2a , a 4

3和a 时，函数2

)(x ψ取得极值。由0d ]

)([d 2

>x

x ψ可知，函数在x = 0, x = a /2和x = a （即 x = 0, 0.10nm, 0.20 nm ）处概率

最小，其值均为零。

题17.25：在线度为1.0 ? 10―5 m 的细胞中有许多质量为m = 1.0 ? 10―7kg 的生物粒子，若将生物粒子作为微观粒子处理，试估算该粒子的n = 100和n = 101的能级和能级差各是多

大。

题17.25解：按一维无限深方势阱这一物理模型计算，可得

J 1049.58100372

2

2

1-?===ma

h n E n 时，

J 1060.58101372

2

2

2-?===ma

h n E n 时， 它们的能级差 J 1011.13812-?=-=?E E E

题17.26：一电子被限制在宽度为 1.0 ? 10-10 m 的一维无限深势阱中运动。（1）欲使电子从

基态跃迁到第一激发态，需给它多少能量？（2）在基态时，电子处于x 1 = 0.090×10-10

m 与x 2 = 0.110 ? 10-10 m 之间的概率为多少？（3）在第一激发态时，电子处于0'1=x 与

m 1025.0'102-?=x 之间的概率为多少？

题17.26解：（l ）电子从基态（n = 1）跃迁到第一激发态（n = 2）所需能量为

eV 112882

22

12222

12=-=-=?ma h n ma h n E E E

（2）当电子处于基态（n = 1）时，电子在势阱中的概率密度为x a

a x π

ψ22

sin 2)(=。所求区间宽度12x x x -=?，区间的中心位置2

2

1c x x x +=

，则电子在所求区间的概率近似为 3122122

12

21

1108.3))(2

(sin 2)(d )(-?=-+?=

?≈=?

x x x x a a x x x x P c x x πψψ （3）同理，电子在第一激发态（n = 2）的概率密度为x a

a x π

ψ2sin 2)(22

2=，则电子在所求区间的概率近似为

25.0)'')(2

'

'2(sin 2122122=-+?=

x x x x a a P π

题17.27：在描述原子电子状态的量子数l m l n ，，中，（l ）当n = 5时，l 的可能值是多少？

（2）当5=l 时，l m 的可能值为多少？（3）当4=l 时，n 的最小可能值是多少？（4）当n =

3时，电子可能状态数为多少？

题17.27解：（1）n = 5时，l 的可能值为5个，它们是l = 0，1，2，3，4；

（2） l = 5时，l m 的可能值为11个，它们是l m = 0，±1，±2，±3，±4，±5；

（3）l = 4时，因为l 的最大可能值为（n - 1），所以n 的最小可能值为5； （4） n = 3时，电子的可能状态数为2n 2

= 18。

题17.28：氢原子中的电子处于n = 4、l = 3的状态。问：（1）该电子角动量L 的值为多少？（2）这角动量L 在z 轴的分量有哪些可能的值？（3）角动量L 与z 轴的夹角的可能值为多

少？

题17.28解：（1） n = 4, l = 3时，电子角动量

π

π2122)

1(h

h l l L =+= （2）轨道角动量在z 轴上的分量π

2z h

m L l =，对于 n = 4，l = 3的电子来说l m = 0，±1，±2，± 3，则L z 的可能取值为0, π

ππ23,22,2h

h h ±

±±

。 （3）角动量L 与z 轴的夹角)

1(arccos arccos

z

+==l l m L L l θ，如图所示，当l m 分别取3，2，1，0，-1，-2，-3时，相应夹角θ分别为30?，55?，73?，90?，107?，125?，150?。

题17.29： 氢介于原子是由一质子和一绕质子旋转的介子组成的。求介子处于第一轨道（n =

1）时离质子的距离。（介子的电量和电子电量相等，介子的质量为电子质量的210倍）

题17.29解：由题意可知，氢介子原子在结构上与氢原子相似，故可采用玻尔氢原子理论的

有关公式求解。

氢介子原子第一轨道半径22

01''e m h r πε=，

与氢原子第一轨道半径m 10529.0102

2

01-?==me

h r πε相比较，可得

m 1052.2210

''13111-?===

r r m m

r 题17.30：已知氢原子基态的径向波函数为1

/2/13

1)4()(r r e r r R --=，式中1r 为玻尔第一轨道半径。

求电子处于玻尔第二轨道半径（124r r =）和玻尔第一轨道半径处的概率密度的比值。

题17.30解：电子在核外r 处的径向概率密度22

)()(r r R r =ρ，将不同的r 值代入后，可得

电子在相应r 处的径向概率密度。则电子处于玻尔第二轨道和玻尔第一轨道的概率密度的比值为

2621

22

1

821122222121097.31616)()(1111----?====e r e r e r r R r r R p p r r r r