惠州市2017高二上学期期末考试数学文试题及答案

惠州市2017—2018学年第一学期期末考试

高二数学（文科）试题

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

（1）设命题01,:2

>+∈?x R x P ，则P ?

为( )

A ．01,2

00>+∈?x R x B ．01,2

00≤+∈?x R x C ．01,2

00>+∈?x R x

D ．01,2

00≤+∈?x R x

（2）某公司10位员工的月工资(单位：元)为1210,,,x x x ，其均值和方差分别为x 和

2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分

别为( )

A ．22,100x s +

B ．22100,100x s ++

C ．2

,x s

D ．2

100,x s +

（3）已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆22

143

x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )

A ．8

B ．4

C ．．（4）双曲线221x y -=的焦点到其渐近线的距离等于( )

A ．

21 B ．2

2

C ．1

D ．2 （5）设x R ∈，则“1x >”是“2

20x x +->”的( )

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

（6）十进制数49化成二进制数是( )

A ．100011（2）

B ．100101（2）

C ．110001（2）

D ．101001（2） （7）某校高二年级有1221名同学，现采用系统抽样方法抽取37名同学做问卷调查，将1221名同学按1,2,3,4，...，1221随机编号，则抽取的37名同学中，标号落入区间[496,825]的人数有（ ）

A ．12人

B ．11人

C ．10人

D ．9人 （8）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，考虑以下结论： ①甲运动员得分的中位数大于乙运动员 得分的中位数；

②甲运动员得分的中位数小于乙运动员 得分的中位数；

③甲运动员得分的标准差大于乙运动员 得分的标准差；

④甲运动员得分的标准差小于乙运动员 得分的标准差；

其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )

A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．②④ （9）如右图，设直线:220l x y -+=过椭圆的左焦点F 和一个顶点B ，则这个椭圆的离心率e =( ) A

B

C

D ．1

2

（10）函数()(3)x

f x x e =-的单调递增区间是( )

A ．(),2-∞

B ．（0，3）

C ．（1，4）

D ．()2,+∞

（11）椭圆22

:143

x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线1PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线2PA 斜率的取值范围是( )

A ．1324??????，

B ．3384??

????， C ．112??

????， D ．314??????

， （12）某中学早上8点开始上课，若学生小明与小方均在早上7：40至8：00之间到校，

且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明比小方至少早5分钟到校的概率为( )

A ．

12 B ．364 C ． 564 D ．932

二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. （13）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21

，甲获胜的概率是13

，则甲不输的概率为________.

（14）已知函数2()813,f x x －=+且0()4,

f x '=

则0x =________.

（15）如右图，程序框图中，若输入4,10m n ==， 则输出a 的值是________.

（16）设抛物线C ：2

4y x =的焦点为F 的直线l

过点F 且与抛物线C 交于,A B 两点，则||AB =________.

三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分10分）

某种饮料每箱6听，其中4听（标记为1，2，3，4）合格，2听（标记为,a b ）不合格，质检人员从中随机抽出2听检测.

（1）列出所有可能的抽取结果；

（2）求检测出不合格产品的概率.

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

（1）在答题卡．．．

上作出这些数据的频率分布直方图；

（2）估计这种产品质量指标值的平均数.

（19）（本小题满分12分）

设函数()ln 1f x x x =-+． （1）求函数()f x 的极值； （2）证明: ln 1x x ≤-．

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01）；

（2）预测2018年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：

参考公式：设具有线性相关关系的两个变量,t y 的一组观察值为(,)(1,2,

,)i i t y i n =，

则回归直线方程???y

bt a =+的系数为： 1

1

2

22

1

1

()()

?()

n

n

i

i i i

i i n

n

i

i

i i t

t y y t y nt y

b

t

t t

nt

====---==

--∑∑∑∑，a y bt =- .

参考数据:

7

1

9.32i

i y

==∑，7

1

40.17i i i t y ==∑.

17-注：年份代码分别对应年份2008-2014t

年份代码年生活垃圾无害化处理量y

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆E 两个焦点的坐标分别是()1,0－，()1,0，并且经过点31,2??

???

． （1）求椭圆E 的标准方程；

（2） 已知A 是椭圆E 的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交椭圆E 于A ，M 两点，

点N 在E 上，MA NA ⊥，2AM AN =2k <<.

（22）（本小题满分12分）

已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.

（1）当6a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （2）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞成立，求a 的取值范围.

高二数学试题（文科）参考答案与评分标准

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 1.【解析】选B 或D ．

2.【解析】每个数据都加上了100，故平均数也增加100，而离散程度应保持不变，故选D.

3.【解析】设椭圆的另一个焦点为F ，根据椭圆的定义可得||||2BA BF a +=，

||||2CA CF a +=,所以|||B |||4AB C CA a ++=,再根据椭圆的方程可知2a =，可得

△ABC 的周长为8，故选A

4.【解析】等轴双曲线22

1x y -=

的焦点坐标是(，渐近线是0x y ±=，选其中一

个焦点坐标和一条直线方程，直接用点到直线距离公式或画出图形利用三角形知识求得距离为1，故选C ．

5.【解析】由不等式x 2＋x －2>0，得x >1或x <－2，所以由x >1可以得到不等式x 2

＋x －2>0

成立，但由x 2＋x －2>0不一定得到x >1，所以x >1是x 2

＋x －2>0的充分不必要条件,故选B 6.【解析】直接用“除2取余法”

543210(2)49121202020212110001=?+?+?+?+?+?=求得或用验证法可得，故选

C.

7.【解析】使用系统抽样方法，从1221人中抽取37人，即从33人抽取1人，所以从区间[]825,496共330人中抽取10人，故选C.

8.【解析】甲运动员每场比赛得分按从小到排列是：08,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51,中位数是26，乙运动员每场比赛得分按从小到排列是：12,15,24,25,31, 31,36,36,37,39,44,49,50, 中位数是36，所以②对；从叶在茎上的分布情况看，乙运动员的得分更集中于峰值附近，这说明乙运动员的发挥更稳定，即标准差更小，所以③对，所以选C.

9.【解析】由已知得，(0,1)B ，(2,0)F -

，故2,1,c b a ==

，5

c e a ==，故选A.

10.【解析】()e (3)e (2)e x x x

f x x x '=+-=-，令()0f x '>，得2x >，所以选D.

11.【解析】因为12

1233

4,4

PA PA PA PA k

k k k -

?=-∴=，

又1[2,1]PA k ∈--，可得2

3

421PA k -

-≤≤-，解得

233

84

PA k ≤≤，故选B. 12.【解析】设小明到校的时间为x ，小方到校的时间为y ．（x ，y ）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x ，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小明比小方至少早5分钟到校事件A={x|y ﹣x≥5}作出符合题意的图象，

则符合题意的区域为△ABC，联立

得C （55，60），由

得B （40，45），

则S △ABC =×15×15，由几何概率模型可知小明比小方至少早5

分钟到校的概率为

=

，故选D

二．填空题 13.

5

6 14.

20

6. 163 13. 【解析】甲不输概率为

115

.236

+= 14.

【解析】()8.f x '=-+由0()4f x '=

得048,=-+

解得0x =.

15.【解析】第一次执行循环体时，a=4,判断框的条件不成立，i=2;

第二次执行循环体时，a=8,判断框的条件不成立，i=3; 第三次执行循环体时，a=12,判断框的条件不成立，i=4; 第四次执行循环体时，a=16,判断框的条件不成立，i=5;

第五次执行循环体时，a=20,判断框的条件成立，输出a=20，i=5. 16. 【解析】由题意可得抛物线焦点F (1,0)，直线l

的方程为1)y x =-，代入2

4y x

=并化简得2

31030x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y , 则 17.

1216

|||3

AB x x =-==. 三．解答题

17.解:（1）所有可能的抽取结果是{1,2}、{1,3}、{1,4}、{1,}a 、{1,}b 、{2,3}、{2,4}、

{2,}a 、{2,}b 、{3,4}、{3,}a 、{3,}b 、{4,}a 、{4,}b 、{,}a b ...........5分

（2）不合格产品包含的结果有{1,}a 、{1,}b 、{2,}a 、{2,}b 、{3,}a 、{3,}b 、{4,}a 、

{4,}b 、{,}a b 共9种结果。 ..........8分

又由(Ⅰ)知所有可能的抽取结果共15种， 所以检测出不合格产品的概率93

155

P =

=. .......10分

18．解：（1）频率分布直方图如下：

.....6分 （2）估计这种产品质量指标值的平均数为

800.06900.261000.381100.221200.08100?+?+?+?+?＝ ..........12分 19.解析：（1）由题设，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ..........1分

11()1x

f x x x

-'=

-=

， ..........2分 令()0f x '=，得1x =. .........3分 当()0f x '>，即01x <<时；当()0f x '<，即1x >时. .........5分 当x 变化时， ()f x '，()f x 的变化情况如下表：

分

因此，当1x =，函数()f x 有极大值，并且极大值为(1)0f =. ......8分 （2）由（1）可知函数()f x 在1x =处取得最大值，且最大值为0....10分 即()ln 10f x x x =-+≤，得ln 1x x ≤-. .........12分

20.解析：（1）由折线图中数据和附注中参考数据得127

47

t +++=

= ....1分

7

2

2221

127140i

i t

==++

+=∑， ..........2分

7

179.32

i i y y =?==∑

..........3分 因此1

2

22

1

40.1749.32 2.89

?0.1031407428

n

i i

i n

i

i t y nt y

b

t

nt ==--?==

=≈-?-∑∑

..........6分

又由331

.1732

.9≈=

y

..........7分 得92.04103.0331.1??≈?-≈-=t b y a

.

..........8分 所以，y 关于t 的回归方程为：t y 10.092.0?+=. ..........9分 注意：为使系数?a

精确到0.01的值更精准，前面?b 和y 小数点后应保留3位参与运算. （2）将2018年对应的11t = ..........10分

代入回归方程得：?0.920.1011 2.02y

=+?= . 所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约2.02亿吨. .........12分

21.解析：（1）解法一：由焦点的坐标设椭圆标准方程是22

221(0)x y a b a b

+=>>．

又知半焦距1c =，∴22

1a b -=． ① ..........1分 ∵点31,2C ?? ???

在椭圆E 上，则

221914a b

+=． ② ..........2分 由①、②解得，2

4a =，2

3b =． ..........3分

∴椭圆E 的方程为

22

143x y +=． ..........4分 解法二：由焦点的坐标设椭圆标准方程是22

221(0)x y a b a b

+=>>．

设左、右焦点是12(1,0),(1,0)

F F - ∵点31,2C ??

???

在椭圆E 上，

∴

1224

a CF CF =+==，

即

2a =．..........2分

由已知半焦距1c =，∴2

2

2

3b a c =-=． ..........3分

∴椭圆E 的方程为

22

143x y +=． ..........4分 解法三：由焦点的坐标设椭圆标准方程是22

221(0)x y a b a b +=>>．设左、右焦点是

12(1,0),(1,0)F F -

又∵点31,2C ?? ???

在椭圆E 上，∴212

CF F F ⊥

∴232

CF =

，152CF ===

∴1235

2422

a CF CF =+=

+=，即2a =． ..........2分

由已知半焦距1c =，∴222

3b a c =-=． ..........3分

∴椭圆E 的方程为

22

143

x y +=． ..........4分 （2）由（1）知 (2,0)A -，直线AM 的方程是(2)(0)y k x k =+> ..........5分 将方程代入22143

x y +=得2222

(34)1616120k x k x k +++-=. ..........6分 设11(,)M x y ，则由题意知10y >，由212

1612

(2)34k x k -?-=+得2122(34)34k x k -=+，

故1||2|AM x =+=.

..........7分

由题设，直线

AN 的方程为1(2)y x k

=-+，故同理可

得

||AN = ..........8分

由2||||AM AN =得

2

2

2

3443k k k

=

++，即32

46380k k k -+-=. ..........9分 设32

()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点， ..........10分

22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，

所以()f t 在(0,)+∞

单调递增，又260,(2)60f f =<=>，.......11分 因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k

在2)内，所

以

2k <<. ..........12分

22.解析：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞. ..........1分 当6a =时，()(1)ln 6(1),f x x x x =+--所以(1)0.

f =

.......... 2分

1

()ln 5f x x x

'=+

-, ..........3分

1

(1)ln154,

1f '=+-=- ..........4分

所以曲线

()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为4(1y x =--即

40x y +-=4 ..........5分

（2）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)

ln 0.1-->+a x x x

令(1)

()ln 1

-=-+a x g x x x ， ..........6分

则222

122(1)1

(),(1)0(1)(1)+-+'=-

==++a x a x g x g x x x x ， ..........7分

（i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，2

2

2(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，

故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ； ..........9分

（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得1211=-=-+x a x a ， 由21>x 和121=x x 得11

故当2(1,)∈x x 时，()0'

综上，a 的取值范围是(],2.-∞

..........12分