复化辛普森公式
复化梯形公式及复化辛普森公式的精度比较
实验四、复化梯形公式和复化Simpson公式的精度比较 （2学时） 一、实验目的与要求 1、熟悉复化Simpson公式和复化梯形公式的构造原理； 2、熟悉并掌握二者的余项表达式； 3、分别求出准确值，复化梯形的近似值，复化Simpson的近似值，并比较后两 者的精度； 4、从余项表达式，即误差曲线，来观察二者的精度，看哪个更接近于准确值。 二、实验内容： 对于函数 sin () x f x x =，试利用下表计算积分1 sin x I dx x =?。 表格如下： 注：分别利用复化梯形公式和复化Simpson公式计算，比较哪个精度更好。其中：积分的准确值0.9460831 I=。 三、实验步骤
1、熟悉理论知识，并编写相应的程序； 2、上机操作，从误差图形上观察误差，并与准确值相比较，看哪个精度更好； 3、得出结论，并整理实验报告。 四、实验注意事项 1、复化梯形公式，程序主体部分： for n=2:10 T(n)=0.5*T(n-1) for i=1:2^(n-2) T(n)=T(n)+(sin((2*i-1)/2^(n-1))/((2*i-1)/2^(n-1)))/2^(n-1)； end end 2、复化Simpson公式，程序主体部分： for i=1:10 n=2.^i x=0:1/n:1 f=sin(x)./x f(1)=1 s=0 for j=1:n/2
s=s+f(2*j) end t=0 for j=1:(n/2-1) t=t+f(2*j-1) end S(i)=1/3/n*(f(1)+4*s+2*t+f(n+1)) end 五．实验内容 复化梯形公式和复化辛普森公式的引入 复化梯形公式： 1 10[(()]2 n n k k k h T f x f x -+==+∑； 复化辛普森公式： 1 1102 [(4()()]6n n k k k k h S f x f x f x -++ ==++∑； 根据题意和复化梯形公式、复化辛普森公式的原理编辑程序求解代码如下： Matlab 代码 clc s=quad('sin(x)./x',0,1) p1=zeros(10,1);
matlab实现复化梯形公式,复化simpson公式以及romberg积分
（一） 实验目的 熟悉并掌握数值积分的方法，重要训练复化梯形公式，复化simpson 公式以及romberg 积分。 （二） 问题描述 问题三数值积分椭圆周长的计算。考虑椭圆22221x y a b +=,为计算其周长,只要计算其第一象限的长度即可. 用参数方程可以表示为cos (0/2)sin x a t t y b t π=?≤≤?=? , 计算公式为/0π? 为计算方便,我们可以令1a =,即计算下面的积分 / 0π?/0π=? (/0π?/0a π=?可以归结为上面的形式) 采用复化梯形公式，复化Simpson 公式以及Romberg 积分的方法计算积分 / 0()I b π=? 给出通用程序，该通用程序可以计算任何一个函数在任意一个区间在给定的精度下的数值积分。程序输出为计算出的数值积分值以及计算函数值的次数。 （三） 算法介绍 首先利用给出的各迭代公式，设计程序。在matlab 对话框中输入要计算的函数，给出区间和精度。
复化梯形的迭代公式为： ; 复化simpson迭代公式为： ; Romberg迭代公式为： 。 （四）程序 对于复化梯形公式和复化simpson公式，我们放在中。 （%标记后的程序可用来把b看为变量时的算法实现） %复化梯形公式 function y=jifenn(f,n,a,b) （说明：f表示任一函数，n精度，a，b为区间）fi=f(a)+f(b); h=(b-a)/n; d=1; %function f=jifen(n,a,b,c) %syms t %y=sqrt(1+(c^2-1)*cos(t)^2); %ya=subs(y,t,a); %yb=subs(y,t,b); %fi=ya+yb; for i=1:n-1 x=a+i*h; fi=fi+2*f(x);
编程MATLAB程序实现复化梯形和辛普森数值积分
数值分析实验报告—— 实验目的[1] 掌握复化梯形和辛普森数值积分法的基本原理和方法； [2] 编程MA TLAB程序实现复化梯形和辛普森数值积分 实验内容与步骤1.编程序实现复化梯形数值积分求积公式 function y=f(x) y=sqrt(x).*log(x); function T_n=F_H_T(a,b,n) h=(b-a)/n; for k=0:n x(k+1)=a+k*h; if x(k+1)==0 x(k+1)=10^(-10); end end T_1=h/2*(f(x(1))+f(x(n+1))); for i=2:n F(i)=h*f(x(i)); end T_2=sum(F); T_n=T_1+T_2;
实验内容与步骤运行结果： >> T_n=F_H_T(0,1,20) T_n = -0.4336 2.编程序实现复化辛普森数值积分求积公式 function y=f(x) y=sqrt(x).*log(x); function S_n=S_P_S(a,b,n) h=(b-a)/n; for k=0:n x(k+1)=a+k*h; x_k(k+1)=x(k+1)+1/2*h; if (x(k+1)==0)|(x_k(k+1)==0) x(k+1)=10^(-10); x_k(k+1)=10^(-10); end
S_1=h/6*(f(x(1))+f(x(n+1))); for i=2:n F_1(i)=h/3*f(x(i)); end for j=1:n F_2(j)=2*h/3*f(x_k(j)); end S_2=sum(F_1)+sum(F_2); S_n=S_1+S_2; 运行结果： >> S_n=S_P_S(0,1,20) S_n = -0.4423 实验心得 通过此次实验的操作，我掌握了复合梯形公式和复合辛普森公式，对编程又有了新的突破！
9个求积公式
第四章共包含9个求积公式，1个余项公式。 1，机械求积公式 f x dx = A k f (x k )n k =0b a 2，插值求积公式 Ln x dx =b a [ l k (x )dx b a L (x k )n k =0] 3，梯形求积公式 f x dx = b ?a b a [f a +f b ] R n x =? b ?a 3f ′′ ξ 4，辛普森求积公式 f x dx = b ?a b a [f a +f (a +b )+f b ] R n x =? b ?a (b ?a )4f (4) ξ 5，复合梯形公式 f x dx =?b a [f a + f x k n?1k =1+f b ] h=(b-a)/n R n x =? b ?a h 2f ′′ ξ 6，复合辛普森公式 f x dx =?b a [f a +4 f x k +12 n?1k =0+2 f x k n?1k =1+f b ] h=(b-a)/n R n x =? b ?a (h )4f (4) ξ 7，高斯求积公式 ρ(x )f x dx = A k f (x k )n k =0b a 其中x k 为高斯点，n+1个节点对应2n+1级代数精度。 高斯点公式：ωn+1=（x-x 0）（x-x 1）…（x-x n ）= x n+1 + a 0x n + a 1x n-1+…+a n-1x+a n ，用 ρ(x )ωn +1 x φk (x )dx b a =0(k=0,…，n)求出待定系数a ，解方程ωn+1=0得高斯点。 重新代入 ρ(x )f x dx = A k f (x k )n k =0 b a 中求解方程组得到系数A 。
复化梯形公式和复化Simpson公式word.doc
数值计算方法上机题目3 一、计算定积分的近似值： 2 21x e xe dx =? 要求： （1）若用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，要求误差限7102 1 -?=ε，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计； （2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分； （3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。 1.复化梯形公式 程序： 程序1（求f （x ）的n 阶导数： syms x f=x*exp(x) %定义函数f （x ） n=input('输入所求导数阶数:') f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n 阶导数 结果1 输入n=2 f2 = 2*exp(x) + x*exp(x) 程序2： clc
clear syms x%定义自变量x f=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可 f2=inline('(2*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。 f3='-(2*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值 e=5*10^(-8) %精度要求值 a=1 %积分下限 b=2 %积分上限 x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值 for n=2:1000000 %求等分数n Rn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1) %计算余项 if abs(Rn) 实 验 原 理 （ 算 法 流 程 图 或 者 含 注 释 的 源 代 码）利用复化simpson 公式的程序代码如下： 同样首先建立被积函数的函数文件： function f=fx1(x) f=x.^4; a=0; ％积分下线 b=1; ％积分上线 T=[]; ％用来装不同n值所计算出的结果 for n=2:10 h=(b-a)/(2*n); ％步长 x=zeros(1,2*n+1); ％给节点定初值 for i=1:2*n+1 x(i)=a+(i-1)*h; ％给节点赋值 end y=x.^4; ％给相应节点处的函数值赋值 t=0; for i=1:n t=t+h/3*(y(2*i-1)+4*y(2*i)+y(2*i+1)); ％利用复化simpson公式求值end T=[T,t] ; ％把不同n值所计算出的结果装入T中 end R=ones(1,9)*(-(b-a)/180*((b-a)/2).^4*24) ; ％积分余项（计算误差） true=quad(@fx1,0,1); ％积分的真实值 A=T-true; ％计算的值与真实值之差（实际误差） x=linspace(0,1,9); plot(x,A,'r',x,R,'*') 摘要 在工程实验及研究中，实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系.可以说，曲线拟合模型与我们的生活生产密切相关. 本课题着重介绍曲线拟合模型及其应用，其中包括它的基本思想、模型的建立、以及具体应用.为了更好的了解曲线拟合模型，可以将它分为线性与非线性模型，在模型建立的基础上我们可以用最小二乘法来解决一些我们日常所应用的问题. 关键词曲线拟合；线性与非线性模型；最小二乘发 目录 引言 (1) 第一章曲线拟合 (2) §1.1 基本思想及基本概念 (2) §1.1.1 方法思想 (2) §1.1.2几个基本概念 (2) §1.2辛普森算法基本定义及其应用 (4) §1.2.1辛普森求积公式的定义 (4) §1.2.2辛普森求积公式的几何意义 (5) §1.2.3辛普森求积公式的代数精度及其余项 (5) §1.2.4辛普森公式的应用 (6) 第二章辛普森求积公式的拓展及其应用 (7) §2.1 复化辛普森求积公式 (7) §2.1.1问题的提出 (7) §2.1.2复化辛普森公式及其分析 (7) §2.1.3复化辛普森公式计算流程图 (8) §2.1.4复化辛普森公式的应用 (9) §2.2 变步长辛普森求积公式 (10) §2.2.1变步长辛普森求积公式的导出过程 (10) §2.2.2变步长辛普森求积公式的加速过程 (12) §2.2.3变步长辛普森求积公式的算法流程图 (13) §2.2.4变步长辛普森公式算法程序代码 (14) §2.2.5变步长辛普森求积公式的应用 (14) §2.2.6小结 (14) §2.2.7数值求积公式在实际工程中的应用 (14) 参考文献 (16) 附录A (17) 数值分析与实验课程设计 班级: 姓名: 学号: 08级应用数学《数值分析与实验（实践）》任务书 一、设计目的 通过《数值分析与实验（实践）》实践环节，掌握本门课程的众多数值解法和原理，并通过编写C语言或matlab程序，掌握各种基本算法在计算机中的具体表达方法，并逐一了解它们的优劣、稳定性以及收敛性。在熟练掌握C语言或matlab语言编程的基础上，编写算法和稳定性均佳、通用性强、可读性好，输入输出方便的程序，以解决实际中的一些科学计算问题。 二、设计教学内容 1、数值方法的稳定性； 2、禾U用牛顿法和割线法程序求出非线性方程的解，并比较它们之间的优 劣； 3、高斯消去法和列主元高斯消去法求解线性方程组； 雅克比法和高斯-赛德尔迭代法解方程组； 4、利用Lagrange插值多项式求未知点的近似值； 5、利用所给数据进行数据的多项式和可转化成多项式形式的函数拟合； 6、编写复化辛卜生公式和龙贝格算法，通过实际计算体会各种方法的精确 \ 度； 7、利用改进Euler方法和四阶Runge-Kutta方法求解初值问题的微分方程组； &利用幕法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量； \ （8个中选取1个） 二、设计时间 2011 —2012学年第1学期：第16周共计一周 教师签名: 2011年12月12日 、八 刖 数值计算方法是一种利用计算机解决数学 .言 问题的数值近似解方法， 特别是无法用人工过计算器计算的数学问题。数值计算方法常用于矩阵高次代数方程矩阵特征值与特征向量的数值解法，插值法，线性方程组迭代法，函数逼近，数值积分与微分，常微分方程初值问题数值解等。 作为数学与计算机之间的一条通道，数值计算的应用范围已十分广泛，作为用计算机解决实际问题的纽带，数值算法在求解线性方程组，曲线拟合、数值积分、数值微分，迭代方法、插值法、拟合法、最小二乘法等应用广泛。 数值计算方法是和计算机紧密相连的，现代计算机的出现为大规模的数值计 算创造了条件，集中而系统的研究适用于计算机的数值方法是十分必要的。数值计算方法是在数值计算实践和理论分析的基础上发展起来的。 通过数值计算方法与实验将有助于我们理解和掌握数值计算方法基本理论和相关软件的掌握，熟练求解一些数学模和运算，并提高我们的编程能力来解决实际问题。 关于复化辛普森(simpson)公式在线路坐标计算中的应用 天津西站项目部刘思传 摘要：本文里利用辛普森公式导证了线路坐标计算的公式，并在卡西欧FX-4800P计算器中编写了中边线坐标计算的源程序。 关键词：复化辛普森公式，线路坐标计算，曲率。 一.引言 随着我国道路建设等级和质量水平的飞速发展，公路、铁路建设的机械化和日产量日益提高，促使施工中在满足设计精度的前提下，尽可能快速、准确地进行测量放样和检查工作，本文线路曲率变化的特点，利用复化辛普森公式导证了线路坐标计算的通用公式，并利用卡西欧FX-4800P计算器编写了计算线路中边线坐标的源程序。 二.复化辛普森公式数学模型 把积分区间分成偶数等分，记，其中是节点总数，是积分子区间的总数。 记，，在每个区间上用辛普森数值积分公式计算，则得到复化辛普森公式，记为。 复化辛普森积分计算公式 而，称 (1) 式(1)即为辛普森复化公式。 三.线路坐标计算 2. 回旋曲线上点位坐标方位角的计算 如图1，设回旋曲线起点A 的曲率为A ρ，其里程为DK A ；回旋曲线终点B 的曲率为B ρ，其里程为DK B ，Ax ’'y 为以A 为坐标原点，以A 点切线为'x 轴的局部坐标系；Axy 为线路坐标系。 由此回旋曲线上各点曲率半径为R i 和该点离曲线起点的距离?i 成反比，故此任意点的曲率为 c l R i i i /1==ρ（=为常数）. （2） y ' Y B 图1 由式（2）可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此回旋曲线上里程为DK i 点的曲率为 )(A i A B A B A i DK DK DK DK ---+=ρρρρ （3） 当曲线右偏时，取正；当曲线左偏时取负。在图1中有 ???????=== ?I A DK DK i i i dl dl dl R d ρβρβ1 （4） 将式（3）代入式（4）得 πρρβ180 *)(2A i A i i DK DK -+= （5） 若已知回旋曲线起点A 在线路坐标系下切线坐标方位角αA ，则里程为Dk i 点切线坐标方位角为 i A i βαα+= π180 （6） 将式(5)代入式（6）得 *)(2A i A i A i DK DK -++=ρραα π180 （7） 对于式(7) ，当，时，，则a i =a A ，式(7)变成计算直线段上任意点切线坐标方位角计算公式；当，时，， ，则式(7)代表圆曲线上任意点切线坐标方位角 计算公式。 可见，若已知曲线段起点和终点的曲率及起点的切线坐标方位角，式(7)便能计算任意线型点位切线坐标方位角。 3、回旋曲线点位坐标计算 由图1可得回旋曲线上点位在坐标系下坐标计算公式： 复化积分法（复化梯形求积，复化Simpson 公式，变步长求积法） MATLAB 编程实验报告 一、 问题描述： 编写函数实现复化积分法。 二、 实验步骤（过程）： （一）复化求积法 （1）复化梯形求积：用复化梯形求积公式求解 dx x x ?10sin function [f]=Tn(a,b,n,y) syms t; h=(b-a)/n; f=0; for k=1:n+1 x(k)=a+(k-1)*h z(k)=subs(y,t,x(k)); end for i=2:n f=f+z(i); end q=subs(y,t,a); if y=='sin(t)/t'&&a==0 q=1; end p=subs(y,t,b); T=h/2*(q+p+2*f); T=vpa(T,7) clc,clear; syms t; a=0;b=1; y=sin(t)/t; n=8; Tn(a,b,n,y); （2）复化Simpson 公式：用复化Simpson 公式求解?211dx e x function [f]=simpson(a,b,n,y) syms t; h=(b-a)/n; f=0;l=0; for k=1:n+1 x(k)=a+(k-1)*h w(k)=0.5*h+x(k) z(k)=subs(y,t,x(k)); end for i=2:n f=f+z(i); end for i=1:n l=l+w(i); end q=subs(y,t,a); if y=='sin(t)/t'&&a==0 q=1; end p=subs(y,t,b); T=h/2*(q+p+2*f); T=vpa(T,7) clc,clear; syms t; a=1;b=2; y=exp(1/t); n=5; simpson(a,b,n,y); （3）变步长求积法：以书本例4.5为例function [f]=TN(a,b,y,R0) syms t; T=[]; f=0; q=subs(y,t,a); if y=='sin(t)/t'&&a==0 q=1; end p=subs(y,t,b); T(1)=(b-a)/2*(q+p); i=2; n=i-1; h=(b-a)/n; z1=a+h/2; z2=subs(y,t,z1); SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 题目名称：复合梯形公式与复合辛普森公式对比学生: 学生学号: 班级: 学院(系): 目录 1.概述 (3) 2.问题提出 (3) 3.算法推导 (3) 4.算法框图 (3) 4.1复合梯形公式算法流程图 (3) 4.2 复合辛普森公式算法流程图 (3) 5.MATLAB源程序 (3) 6.结论与展望 (3) 图表目录 图4-1 复合梯形公式算法流程图 (1) 图4-2 复合辛普森公式算法流程图 (1) 图6-1 MATLAB计算结果 (3) 表2-1函数计算结果表 (3) 1.概述 梯形求积公式和辛普森求积公式分别是牛顿-科斯特公式中n=1和n=2时的情形。其中梯形求积公式可表示为 由于牛顿-科斯特公式在n≥8时不具有稳定性，故不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间上用低阶求积公式。这种方法称为复合求积法。 本文主要讨论复合梯形公式和复合辛普森公式在同一数学问题中的应用。首先给出了复合梯形公式和复合辛普森公式的推导过程以及其余项的表达形式，然 后用流程图的形式介绍算法思路，再运用MATLAB编写代码计算结果，最后对结果进行对比讨论。 希望通过两个算法在同一个算例中的应用对比，更好的理解和掌握复合梯形公式和复合辛普森公式的适用围和适用条件。并且能够熟悉MATLAB编程求解问题的流程，掌握编程化的思想方法。同时对两种方法的计算结果对比分析，讨论两种求积方法的计算精度。 2.问题提出 对于函数给出的函数表如下，试用复合梯形公式和复合辛普森公 式计算积分。 表2-1函数计算结果表 x f(x) 0 1 1/8 0.997397867081822 1/4 0.989615837018092 期中测试（下） 班级： 姓名： 学号： 分数： 一、填空题（20分） 1、计算积分1 ? 2、5个节点的牛顿- 3、求积公式 0()()b n k k k a f x dx A f x =≈∑? 4 、数值积分公式 ()1 1 ()29[(1)8(0)(1)]f x dx f f f -'≈-++? 5、求解一阶常微分方程初值问题00(,),()y f x y y x y '==的改进欧拉公式为 二、选择题（6分） 1、舍入误差是( A )产生的误差。 A. 只取有限位数 B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C ． 观察与测量 D ．数学模型准确值与实际值 2、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( C )误差。 A ． 模型 B ． 观测 C ． 截断 D ． 舍入 3、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。 A ．控制舍入误差 B ． 减小方法误差 C ．防止计算时溢出 D ． 简化计算 4、求解初值问题00(,),()y f x y y x y '==欧拉法的局部截断误差是( A )；中心欧拉法的局部截断误差是( B )； 改进欧拉法的局部截断误差是( B )；四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( D ) A. 2()O h B. 3()O h C. 4()O h D. 5()O h 三、计算题（64分） 1、（10分）试分别推导复化梯形和复化辛普森求积公式。 证明：以积分 ()b f x dx 为例。将积分区间[,]a b 做n 等分，步长()/h b a n =-。 2、(10分) 求A 、B 使求积公式1 1 ()[(1)(1)][(0.5)(0.5)]f x dx A f f B f f -≈-++-+? 的代数精度尽量高, 并求其代数精度； 利用此公式求2 1 1 I dx x = ? (保留4位小数)。 解：2 ,,1)(x x x f =是精确成立，即 3、(12分) 取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算积分2 201 I dx = ?的近似值（保留4位小数）。 高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式 解答： 1.拉格朗日插值函数： function y=lagrange (a,b,x) y=0; if length(a)==length(b) n=length(a); else disp('ERROR!length(a)!=length(b)') return; end for i=1:n k=1; for j=1:n if j~=i k=k.*(x-a(j))/(a(i)-a(j)); end end y=y+k*b(i); end 2.问题（a）： function Q_a m=100; n=10; x=-1:2/n:1; y=1./(1+9*x.^2); x0=-1:2/m:1; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+9*x0.^2); plot(x0,y0,'--r'); hold on; plot(x0,y1,'-b'); end 3.问题（b）： function Q_b m=100; n=10; x=zeros(1,n+1); for i=1:n+1 x(i)=cos((2*i-1)*pi/(2*n+2)); end y=1./(1+9*x.^2); x0=-1:2/m:1; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+9*x0.^2); plot(x0,y0,'--r'); hold on; plot(x0,y1,'-b'); end 4.问题（c）： main.m（m文件） figure(1) Q_a() figure(2) Q_b() syms x y=1/(1+9*x^2); I0=int(y,-1,1);%准确值 n=10; Simpson算法及其推广形式 摘要：本文研究了辛普森公式的数值积分的计算方法问题，并且更进一步研究了变步长复化的辛普森公式和二重积分的辛普森公式的问题。首先是对 一维辛普森公式和变步长复化辛普森公式以及二维辛普森公式的推导及 其算法，进行误差分析，并且列举了实例。然后，对辛普森公式进行改 进，这里的改进最主要是对辛普森公式的代数精度进行提高，从而使辛 普森公式对积分的计算更加精确。另外，还研究了辛普森公式的推广形 式。最后，在结论的当中列举了一个例子。 关键词：辛普森公式算法改进推广形式二重积分的辛普森公式 Abstract：This paper first studies the calculation methods of the numerical integration in simpson formula, and then study of the long-simpson formula and the double integral simpson formula problem. First, study the algorithm and derived of one-dimensional simpson formula and step-change in simpson formula, as well as two-dimensional simpson formula, and then analysis the error. Finally , list the example. In this , improve the simpson formula. This improved the most important is to incre ase the simpson formula’s accuracy of algebra. Besides, we study the simpson formula’s promotion of forms. At the last, we list a example in the conclusion. Key word:The simpson formula, Algorithm, Improve, Promotion of forms, The simpson formula of the two-dimensional integral. 复化梯形公式与辛普森公式的matlab程序【程序代码】 cclc; disp('1.复化梯形公式求解'); disp('2.simpson公式求解'); disp('请进行选择：'); c=input(' '); if c==1 clc; disp('复化梯形公式'); disp('请输入积分下限'); a=input('a='); disp('请输入积分上限'); b=input('b='); disp('请输入等分的数目'); n=input('n='); h=(b-a)/n; s1=0; for i=1:n-1 s1=s1+fun1(i*h); end disp('复化梯形公式的结果：'); T=h/2*(fun1(a)+2*s1+fun1(b)) else if c==2 clc; disp('simpson公式'); disp('请输入积分下限'); a=input('a='); disp('请输入积分上限'); b=input('b='); disp('请输入等分的数目'); n=input('n='); h=(b-a)/n; s2=0; for i=0:n-1 s2=s2+fun1((i+0.5)*h); end disp('辛普森公式的结果：'); S=h/6*(fun1(a)+4*s2+2*s1+fun1(b)) end end disp('菜单选项'); disp('1.继续运算'); disp('2.退出程序！'); p=input(' '); if p==1 (fuhua); else if p==2 disp('正在退出，请稍候。。。'); 第三次实验 实验名称复合辛普森求积计算积分实验时间2012.05.06 姓名班级数应二班学号成绩 一、实验目的，内容 1.目的： 学习并理解复合辛普森求积计算积分的matlab实现。 2. 内容： 用matlab计算积分 1 4 ln 9 x xdx=- ? （精确值-0.4444），并求出达到。 二．代码 1. function Sn=ComSimpson(a,b,n) %复合辛普森求积 %f表示被积函数，本题中由f.m调用 %a,b分别表示积分上下限 %n表示区间分割次数 %sn表示该方法计算所返回的值 h=(b-a)/n; for k=0:n x(k+1)=a+k*h; x_k(k+1)=x(k+1)+1/2*h; if (x(k+1)==0)|(x_k(k+1)==0) x(k+1)=10^(-10); x_k(k+1)=10^(-10)；%误差精度 end end S1=h/6*(f(x(1))+f(x(n+1)));%复合辛普森求积公式第一部分for i=2:n F_1(i)=h/3*f(x(i)); end for j=1:n F_2(j)=2*h/3*f(x_k(j)); end S2=sum(F_1)+sum(F_2);%复合辛普森求积公式第二部分 Sn=S1+S2;%算得值 f的表达式由f.m（见附）文件调用。 附：function y=f(x) y=sqrt(x).*log(x); 三.数值结果: 在命令窗口输入如下指令时，出现如下结果 Sn=ComSimpson(0,1,300) Sn =-0.4438 Sn=ComSimpson(0,1,700) Sn =-0.4442 四．计算结果的分析: 当步长取值很小的时候，误差较大。当步长取得越细，即区间分割的越小时，实验计算值的精度越高，即越 趋近精确值。 五. 计算中出现的问题，解决方法及体会： 本实验过程中，了解了复合求积公式的几个构成，以及在matlab中的实现，深化了对于该问题的理解。一的个很简单的问题，哪怕就是一个小小符号的不注意，也不会得到结果。实验的严谨性，细腻性有待进一步提升。 对于实验，网上的程序有不少，关键是要看懂，弄懂，在实际的问题中能运用。借鉴吸收的同时，学会编程。多练习，才会有效果。 教师评语 指导教师：年月日 复合梯形公式与复合辛普森公式求积分 2010-12-26 09:37:23| 分类：数值分析| 标签：|字号大中小订阅 一实验目的 1. 掌握复合梯形公式与复合辛普森公式的基本思想。 2. 编程实现用复合梯形公式与复合辛普森公式求积分。 3. 熟悉matlab软件的使用。 二实验内容 1、用复合梯形公式计算积分I=4/(1+x2)dx ,求它0到1的积分。精确度为10-5.（0.00001） ，精确到 ●1计算公式 h=(b-a)/n h=h/2[(f(x0)+f(x1))+(f(x1)+f(x2))+(f(x2)+f(x3)+...+(f(xn-1)+f(xn)] 。 l1 算法分析 En=h2/12[f'(b)-f'(a)] 将区间[a,b]等分成n个小区间，在小区间上分别应用低次积分公式来构造公式，通过for循环来实现， 分的越细，越接近实际结果，精确度越高。 l2 源程序 function f1=fun4(x) %原函数 f1=4/(1+x^2); function ff=fun2(x) %函数对x求导 ff=-8*x/((1+x^2)^2); function f=tixing(a,b) %a，b是区间 a=0;b=1; disp('******复合梯形公式******') h=0.008; %h表示区间被等分成若干份后，每两个数的间距 m=(a:h:b); %形成一维矩阵，每两个数间的间隔是h n=length(m); %求上矩阵的长度，即元素个数 for i=1:n-1 D(i)=fun4(m(i))+fun4(m(i+1)); end R=h/2*sum(D); %积分结果 E=-(h^2)*(fun2(b)-fun2(a))/12; %余项，即精度 t=pi-R; [R;E;t] 实验结果讨论和分析 通过对h的值的改变，发现h值越小，即等分的区间越小，结果越精确，精确度越高。通过手算得到积分结果为π，实验结果为3.14158198692313，结果正确，可见复合梯形公式的精确度较高，运算次数 实验5 复合辛普森公式 李涛 201226100108 计自1201 一、实验目的 ● 用复合辛普森公式计算积分 dx x ? +48 2cos 1， 使误差不超过-4 10（注意所给积分特点，做出相应的处理后再计算） 二、实验步骤 1.算法原理 复合辛普森原理： 将区间],[b a 划分为n 等分，在每个子区间[]1,+k k x x 上采用辛普森公式，若记 ,2 1 21h x x k k + =+则得 ● ∑? -=== 1 )()(n k b a dx x f dx x f I ● ).()]()(4)([61 21f R x f x f x f h n n k k k k +++=∑-=+ 记 ● ∑-=+++=1 21)]()(4)([6n k k k k n x f x f x f h S ● ],)()(2)(4)([6101 1 21∑∑-=-=++++=n k n k k k b f x f x f a f h 称为复合辛普森求积公式，其余项为 ● .),(),()2(180)(10 1) 4(4∑-=+∈-=-=n k k k k k n n x x f h h S I f R ηη 于是当],[)(4b a C x f ∈时，与复合梯形公式相似有 ● ),(),()2 (180)() 4(4b a f h a b S I f R n n ∈-- =-=ηη 易知误差阶为4 h ，收敛性是显然的，实际上，只要],[)(b a C x f ∈则可得到收敛性，即 ● ? = ∞ →b a n n dx x f S )(lim 此外，由于n S 中求积公系数均为正数，故知辛普森公式计算稳定。 2.算法步骤 复合辛普森： 首先将区间],[b a 划分为n 等分，在每个子区间[]1,+k k x x 上采用辛普森公式，若记 ,2 1 21h x x k k + =+则得 ∑-=+++=1021)]()(4)([6n k k k k n x f x f x f h S ])()(2)(4)([6101 1 21∑∑-=-=++++=n k n k k k b f x f x f a f h 算法过程： 这里将辛普森公式写为Sn()函数，然后在Solve()函数里依次计算S1,S2,S4,S6.......当相邻的精度小于eps 时退出循环，则S2n 保存结果。 三.程序代码 #include 2012-2013（1）专业课程实践论文 复化Simpson公式 肖云龙，0818180214，R数学08-2班 Simpson 公式是一个数值积分公式，在计算一些多项式函数（三次或三次一下）的定积分时会得出精确值。但容易验证它对于)(x f =4x 通常是不准确的，因此，Simpson 公式实际上具有三次代数精度。提高阶的途径并不总能取得满意的效果。为了改善求积的精度，通常采用复化求积法。 Simpson 公式 )]()2 (4)([6b f b a f a f a b S +++-= 将定积分?=b a dx x f I )(的积分区间],[b a 分隔为n 等分，各节点为 n j jh a x j ,,1,0, =+= n a b h -= 复化梯形公式的形式 ])()(2)([21 1 ∑-=++=n j j n b f x f a f h T 记子区间[1,+j j x x ] 的中点为2 1+ j x 则复化Simpson 公式： n S ])(4)(2)()((61 02 111∑∑-=+-=+++=n j j n j j x f x f b f a f h #include辛普森求积公式
数值分析与实验复化辛卜生公式龙贝格算法
关于辛普森(simpson)公式在线路坐标计算中的应用
复化积分法(复化梯形求积-复化Simpson公式-变步长求积法)MATLAB编程实验报告 (1)
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计算方法期中测试(二)答案
高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式
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