高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》知识点讲义

第三章 空间向量与立体几何

一、坐标运算

()()111222,,,,,a x y z b x y z ==

()()()()121212121212

11112121

2,,,,,,,,a b x x y y z z

a b x x y y z z a x y z a b x x y y z z λλλλ+=+++-=---=?=???则 二、共线向量定理

(),0,=.a b b a b a b

λλ≠←??→?充要对于使 三、共面向量定理

,,.a b p a b x y p x a y b

←??→?=+充要若与不共线，则与共面使 ,,, 1.O OP xOA yOB P A B x y =+←???→+=充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线

,1.P A B C O OP xOA yOB zOC P A B C x y z =++←??→++=充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点

()()()11,

1.P A B C AP xAB y AC OP OA x OB OA y OC OA OP xOB yOC x y OA x y z x y z ∴=+∴-=-+-∴=++----=∴++=证明：①必要性

、、、四点共面，

，，，

令()()() 1,

1,x y z OP y z OA yOB zOC OP OA y OB OA z OC OA AP y AB z AC A B C P ++=∴=--++∴-=-+-∴=+∴②充分性，，、、、四点共面. 六、空间向量基本定理

{}

,,a b c p x y z p xa yb zc a b c a b c ?若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，,

,都叫做基向量.

七、立体几何中的向量方法

121212,,.n n l l v v αβ设平面和的法向量为和直线和的方向向量为

111211111212

121212

12n v l

l l n v l l l v v l l v v

n n n n αααβαβ⊥???⊥?⊥?⊥?⊥?⊥①或②若③④⑤⑥

八、角、距离

()1θ异面直线的夹角，

c o s c o s ,A B C D A B C D A B C

D θ?=

=?则

()2,θ线与面的夹角

s i n c o s a n a n θα?==?则

()3,θ二面角 1212cos cos n n n n θα?==

?则

θ说明：只能由已知图观察锐钝.

()4,d 点到平面的距离

c o s P A n

d P A n θ?=?=则

cos cos d PA n PA n PA n

d PA n θ

θ?=???∴=?=说明：由图可知为在方向上的投影的绝对值，