重庆市2020学年中考数学实现试题研究新定义阅读理解题题库

新定义阅读理解题

1.阅读下列材料，解答下列问题：

材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”.如：65362，362-65=297=11×27，称65362是“网红数”.

材料二：对任意的自然数p 均可分解为p =100x +10y +z （x ≥0，0≤y ≤9,0≤z ≤9且想，x ，y ，

z 均为整数），如：5278=52×100+10×7+8，规定：G （p ）= z

x x z x x -++-+112）（ . （1）求证：任意两个“网红数”之和一定能被11整除；

（2）已知：s =300+10b +a ，t =1000b +100a +1142（1≤a ≤7,0≤b ≤5，且a 、b 均为整数），当s +t 为“网红数”时，求G （t ）的最大值.

（1）证明：设两个“网红数”为mn ，ab （n ，b 分别为mn ，ab 末三位表示的数，m ，a 分别为mn ，ab 末三位之前的数字表示的数），

则n -m =11k 1，b -a =11k 2， ∴mn +ab =1001m +1001a +11（k 1+k 2）=11（91m +91a +k 1+k 2）.

又∵k 1，k 2，m ，n 均为整数，

∴91m +91a +k 1+k 2为整数，

∴任意两个“网红数”之和一定能被11整除.

（2）解：s =3×100+10b +a ，t =1000（b +1）+100（a +1）+4×10+2，

S +t =1000（b +1）+100（a +4）+10（b +4）+a +2，

①当1≤a ≤5时，s +t =））（）（）（（2a 4b 4a 1b ++++， 则））（）（（2a 4b 4a +++-（b +1）能被11整除，

∴101a +9b +441=11×9a +2a +11b -2b +40×11+1能被11整除，

∴2a -2b +1能被11整除.

∵1≤a ≤5，0≤b ≤5，

∴-7≤2a -2b +1≤11，

∴2a -2b +1=0或11，

∴a =5，b =0，∴t =1642，G （1642）=1714

1， ②当6≤a ≤7时，s +t =））（）（）（（2a 4b 6a 2b ++-+， 则））（）（（2a 4b 6a ++--（b +2）能被11整除，

∴101a +9b -560=11×9a +2a +11b -2b -51×11+1能被11整除，

∴2a -2b +1能被11整除.

∵6≤a ≤7，0≤b ≤5，

∴3≤2a -2b +1≤15，

∴2a -2b +1=11，

∴???==1b 6a ，???==2

b 7a ，

∴t =2742或3842，G （2742）=28

251，G （3842）=39361， 综上，G （t ）的最大值为3936

1. 2.若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P ，到点P 距离为1的点所对应的数分别记为a ，b .定义：若数K ＝a 2＋b 2－ab ，则称数

K 为“尼尔数”．例如：若P 所表示的数为3，则a ＝2，b ＝4，那么K ＝22＋42－2×4＝12；若P 所表示的数为12，则a ＝11，b ＝13，那么K ＝132＋112

－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．

(1)请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；

(2)已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．

解：(1)6不是尼尔数，39是尼尔数．

证明：设P 表示的数为3m ，则a ＝(3m －1)，b ＝(3m ＋1)， K ＝(3m －1)2＋(3m ＋1)2－(3m －1)(3m ＋1)＝9m 2＋3，

∵m 为整数，∴m 2

为整数，

∴9m 2＋3被9除余3；

(2)设这两个尼尔数分别是K 1，K 2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P 1，P 2分别记为3m 1，3m 2.

∴K 1－K 2＝9m 12－9m 22＝189，

∴m 12－m 22

＝21，

∵m 1，m 2都是整数，

∴m 1＋m 2＝7，m 1－m 2＝3， ∴???==2m 5m 2

1， ∴???==39k 228k 21.

3.若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2 ，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N 的“诚勤数”，如 34 的“诚勤数”为 324 ；若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数”，如 34 的“立达数”为 36.

(1)求证：对任意一个两位正整数 A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除；

(2)若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值.

解：（1）设A 的十位数字为a ，个位数字为b ，

则A ＝10a +b ，它的“诚勤数”为100a +20+b ，它的“立达数”为10a +b +2，

∴100a +20+b -（10a +b +2）＝90a +18＝6（15a +3），

∵a 为整数，

∴15a +3是整数，

则“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；

（2）设B ＝10m +n ，1≤m ≤9，0≤n ≤9（B 加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位）， ∴B +2＝10m +n +2，

则B 的“立达数”为10（m +1）+（n +2-10），

∴m +1+n +2﹣10=2

1（m +n ）， 整理，得m +n ＝14，

∵1≤m ≤9，0≤n ≤9，

∴???==6n 8m 、???==8n 6m 、???==5n 9m 、???==9n 5m 、?

??==7n 7m ， 经检验：77、86和95不符合题意，舍去，

∴所求两位数为68或59．

4．一个正偶数k 去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k 为“魅力数”，把这个商叫做k 的魅力系数，记这个商为F （k ）．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记(722)4F =．

(1)计算：(304)(2052)F F +；

(2)若m 、n 都是“魅力数”，其中3030101m a =+，40010n b c =++(0≤a ≤9，0≤b ≤9，0≤c ≤9，a 、b 、c 是整数)，规定：(,)a c G m n b -=

．当()()24Fm Fn +=时，求(,)G m n 的值．

解：（1）∵30+2×4=38，38÷19=2，∴F (304)=2.

∵205+2×2=209,209÷19=11， ∴F （2025）=11.

∴F （304）+F （2052）=13；

（2）∵m =3030+101a =3000+100a +30+a ，

∴F （m ）=19a 23a 10300+++=19a 12303+=15+19

a 1218+. ∵m 是“魅力数”， ∴19

a 1218+是整数. ∵0≤a ≤9，且a 是偶数，∴a =0,2,4,6,8.

当a =0时，19

a

1218+=

1918不符合题意. 当a =2时，19

a 1218+=1942不符合题意. 当a =4时，19

a 1218+=1966不符合题意. 当a =6时，19

a 1218+=1990不符合题意. 当a =8时，19a 1218+=19114=6符合题意. ∴a =8，此时m =3838，F （m ）=F （3838）=6+15=21.

又∵F （m ）+F （n ）=24，

∴F （n ）=3.

∵n =400+10b +c ，

∴F （n ）=19

c 2b 40++=3， ∴b +2c =17，

∵n 是“魅力数”，∴c 是偶数，

又∵0≤c ≤9，∴c =0，2,4,6,8.

当c =0时，b =17不符合题意.

当c =2时，b =13不符合题意.

当c =4时，b =9符合题意.此时，G （m ，n ）=

b c a -=948-=9

4. 当c =6时，b =5符合题意.此时，G （m ，n ）=b c a -=568-=5

2. 当c =8时，b =1符合题意.此时，G （m ，n ）=b c a -=1

88-=0. ∵ 94＞5

2＞0， ∴G （m ，n ）的最大值是94. 5.已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位数字的4倍，如果和是13

的倍数，则称原数为“超越数”．如果数字和太大不能直接观察出来，就重复上述过程．如：1131：113+4×1＝117，117÷13＝9，所以1131是“超越数”；又如：3292：329+4×2＝337，33+4×7＝61，因为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”．

（1）请判断42356是否为“超越数” （填“是”或“否”），若ab +4c ＝13k （k 为整数），化简abc 除以13的商（用含字母k 的代数式表示）．

（2）一个四位正整数N ＝abcd ，规定F （N ）＝|a +d 2﹣bc |，例如：F （4953）＝|4+32

﹣5×9|＝32，若该四位正整数既能被13整除，个位数字是5，且a ＝c ，其中1≤a ≤4．求出所有满足条件的四位正整数N 中F （N ）的最小值．

解：（1）否，

4235+4×6＝4259，425+4×9＝461，46+4×1＝50，因为50不能被13整除，所以42356不

是超越数. ∵ab +4c ＝13k ，

∴10a +b +4c ＝13k ，

∴10a +b ＝13k ﹣4c ，

∵abc ＝100a +10b +c ＝10（10a +b ）+c ＝130k ﹣40c +c ＝130k ﹣39c ＝13（10k ﹣3c ）， ∴13

abc ＝10k ﹣3c ； （2）由题意得d ＝5，a ＝c ，

∴N ＝1000a +100b +10c +5，

∵N 能被13整除，

∴设100a +10b +c +4×5＝13k ，

∴101a +10b +20＝13k ，且a 为正整数，b ，k 为非负整数，

1≤a ≤4，

∴a ＝2，b ＝9，k ＝24 或a ＝3，b ＝8，k ＝31，或a ＝4，b ＝7，k ＝38，

∴F （N ）＝|2+25﹣18|＝9，或F （N ）＝|3+25﹣24|＝4，或

F （N ）＝|4+25﹣28|＝1，

∴F （N ）最小值为1．

6.一个两位正整数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n 为“启航数”，将n 的两个数位上的数字对调得到一个新数'n .把'n 放在n 的后面组成第一个四位数，把n 放在'n 的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为()F n ，例如：23n =时，32n '=，23323223(23)8111

F -==-. （1）计算(42)_____;F = 若m 为“启航数”，()F m 是一个完全平方数，求()F m 的值；

（2）s t 、为“启航数”，

其中10,10s a b t x y =+=+（1≤b ≤a ≤9，1≤x 、y ≤5，且y x b a ,,,为整数） 规定：(,)s t K s t t

-=

，若()F s 能被7整除，且()()81162F s F t y +-=，求(,)K s t 的最大值.

解：（1）F （42）=162，

设m =pq （1≤p ≤q ≤9，且p 、q 为整数）， 则()=81()11

pqqp qppq F m p q -=-， ∵()F m 完全平方数，∴p q -为完全平方数，

∵1≤p ≤q ≤9，且p 、q 为整数，

∴0＜p -q ≤8，∴14p q -=或，

∴F （m ）=81或324；

（2）由题意知：s =ab ，t =xy （1≤b ≤a ≤9,1≤x 、y ≤5，且a b x y 、、、为整数）， ∴()81()F s a b =-，()81()F t x y =-，

∵()F s 能被7整除，∴81()7

a b -为整数， 又∵1≤b ≤a ≤9，∴0＜a -b ≤8，

∴7a b -=，∴9,28,1a b a b ====或，

∴s =92或81.

又∵()()81162F s F t y +-=，

∴81（a -b ）+81（x -y ）-81y =162，

∴2y =x +5，

∵1≤x ，y ≤5且x y ≠，

∴1,33,4x y x y ====或，

∴t =13 或34， ∴79(92,13)13K =，K （92，34）=3458，68(81,13)13K =，47(81,34)34

K = K max =13

79. 7.若一个三位数，其个位数加上十位数等于百位数，可表示为t ＝100（x +y ）+10y +x （x +y

≤9），则称实数t 为“加成数”，将t 的百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，组成一个新的三位数h ．规定q ＝t ﹣h ，f （m ）＝9

q ，例如：321是一个“加成数”，将其百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，得到的数h ＝213，∴q ＝321﹣213＝108，f （m ）＝9

108＝12． （1）当f （m ）最小时，求此时对应的“加成数”的值；

（2）若f （m ）是24的倍数，则称f （m ）是“节气数”，猜想这样的“节气数”有多少个，

并求出所有的“节气数”．

解：（1）∵f （m ）＝9

q ， ∴当f （m ）最小时，q 最小，

∵t ＝100（x +y ）+10y +x=101x+110y ，h ＝100y +10x +x +y ＝101y +11x ，

∴q ＝t ﹣h ＝101x+110y ﹣（101y +11x ）＝9y +90x ，且1≤y ≤9，0≤x ≤9，x 、y 为正整数， 当x ＝0，y ＝1时，q ＝9，此时对应的“加成数”是110；

（2）∵f （m ）是24的倍数，

设f （m ）＝24n （n 为正整数），

则24n ＝9

q ，q ＝216n ， 由（1）知：q ＝9y +90x ＝9（y +10x ），

∴216n ＝9（y +10x ），

24n ＝y +10x ，（x +y ＜10）

①当n ＝1时，即y +10x ＝24，解得：x ＝2，y ＝4，则这样的“节气数”是24；

②当n ＝2时，即y +10x ＝48，解得：x ＝4，y ＝8，x +y ＝12＞10，不符合题意；

③当n ＝3时，即y +10x ＝72，解得：x ＝7，y ＝2，则这样的“节气数”是72；

④当n ＝4时，即y +10x ＝96，解得：x ＝9，y ＝6，x +y ＝15＞10，不符合题意；

⑤当n ＝5时，即y +10x ＝120，没有符合条件的整数解，

综上，这样的“节气数”有2个，分别为24，72．

8.在任意n （n ＞1且为整数）位正整数K 的首位后添加6得到的新数叫做K 的“顺数”，在

K 的末位前添加6得到的新数叫做K 的“逆数”．若K 的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K 是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．

（1）请根据以上方法判断31568 （填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个

首位是5的四位“最佳拍档数”N ，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N 的值．

（2）证明：任意三位或三位以上的正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．

（1）解：是；

【解法提示】∵361568﹣315668＝45900，且45900÷17＝2700，

∴根据最佳拍档数的定义可知，31568是“最佳拍档数”；

故答案为：是

设“最佳拍档数”N 的十位数字为x ，百位数字为y ，则个位数字为8﹣x ，y ≥x ， N ＝5000+100y +10x +8﹣x ＝100y +9x +5008，

∵N 是四位“最佳拍档数”，

∴50000+6000+100y +10x +8﹣x ﹣[50000+1000y +100x +60+8﹣x ]，

＝6000+100y +9x +8﹣1000y ﹣100x ﹣68+x ，

＝5940﹣90x ﹣900y ，

＝90（66﹣x ﹣10y ），

∴66﹣x ﹣10y 能被17整除，

①x ＝2，y ＝3时，66﹣x ﹣10y ＝34，能被17整除，此时N 为5326；

②x ＝3，y ＝8时，66﹣x ﹣10y ＝﹣17，能被17整除，此时N 为5835；

③x ＝5，y ＝1时，66﹣x ﹣10y ＝51，能被17整除，但x ＞y ，不符合题意；

④x ＝6，y ＝6时，66﹣x ﹣10y ＝0，能被17整除，此时N 为5662；

⑤x ＝8，y ＝3时，66﹣x ﹣10y ＝28，不能被17整除，但x ＞y ，不符合题意；

⑥当x ＝9，y ＝4时，66﹣x ﹣10y ＝17，能被17整除，但x ＞y ，不符合题意；

综上，所有符合条件的N 的值为5326，5835，5662；

（2）证明：设三位正整数K 的个位数字为x ，十位数字为y ，百位数字为z ，

它的“顺数”：1000z +600+10y +x ，

它的“逆数”：1000z +100y +60+x ，

∴（1000z +600+10y +x ）﹣（1000z +100y +60+x ）＝540﹣90y ＝90（6﹣y ），

∴任意三位正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，

设四位正整数K 的个位数字为x ，十位数字为y ，百位数字为z ，千位数字为a ，

∴（10000a +6000+100z +10y +x ）﹣（10000a +1000z +100y +60+x ）＝5940﹣900z ﹣90y ＝90（66

﹣10z ﹣y ），

∴任意四位正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，

同理得：任意三位或三位以上的正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．

9.若实数a 可以表示成两个连续自然数的倒数差，即a ＝n

1-1n ＋1，那么我们称a 为第n 个

“1阶倒差数”，例如

21＝1-21，∴21是第1个“1阶倒差数”，61＝21-3

1，∴16是第2个“1阶倒差数”．同理，若b ＝n 1-2n 1+，那么，我们称b 为第n 个“2阶倒差数”． (1)判断132

是否为“1阶倒差数”；直接写出第5个“2阶倒差数”； (2)若c ，d 均是由两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，且

d 1-c

1＝22，求c ，d 的值． 解：(1)132不是“1阶倒差数”，235

； 【解法提示】∵32＝1×32＝2×16＝4×8，不是两个连续自然数的积， ∴

32

1不是“1阶倒差数”． 第5个“2阶倒差数”为51-71＝352. (2)设m 是由两个连续奇数2x -1，2x +1组成的“2阶倒差数”，则

m =1x 21--1x 21+=））（（）（1x 21x 21x 21x 2-+--+=1

x 422-. ∵c ，d 是两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，

∴可设c ＝1y 42

2-，d ＝1z 42

2-， ∵d 1－c

1＝22， ∴4z 2－12－4y 2－12

＝22， 即z 2－y 2＝11，

∴(z ＋y )(z －y )＝11>0，

∴z ＞y .

∵11＝1×11，

∴???=-=+1y z 11y z ，解得???==6

z 5y ，

∴c =

15422-?=299，d =16422-?=2143. 10.任意一个正整数n ，都可以表示为：n ＝a ×b ×c （a ≤b ≤c ，a ，b ，c 均为正整数），在

n 的所有表示结果中，如果|2b ﹣（a +c ）|最小，我们就称a ×b ×c 是n 的“阶梯三分法”，并规定：F （n ）＝b

c a +，例如：6＝1×1×6＝1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|＝5，|2×2

﹣（1+3）|＝0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F （6）＝2

31+＝2． （1）如果一个正整数p 是另一个正整数q 的立方，那么称正整数p 是立方数，求证：对于

任意一个立方数m ，总有F （m ）＝2；

（2）t 是一个两位正整数，t ＝10x +y （1≤x ≤9，0≤y ≤9，且x ≥y ，x +y ≤10，x 和y 均为

整数），t 的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t 为“满意数”，求所有“满意数”中F （t ）的最小值．

解：（1）∵m 为立方数，

∴设m ＝q ×q ×q ，

∴|2q ﹣（q +q ）|＝0，

∴q ×q ×q 是m 的阶梯三分法，

∴F （m ）=q

q q +=2； （2）由已知，[23（10x +y ）+x +y ]能被13整除，

整理得：231x +24y 能被13整除，

∵231x +24y ＝13（18x +2y ）﹣（3x +2y ），

∴3x +2y 能被13整除，

∵1≤x ≤9，0≤y ≤9，

∴3≤3x +2y ≤45，

∵x ，y 均为整数，

∴3x +2y 的值可能为13、26或39，

①当3x +2y ＝13时，

∵x ≥y ，x +y ≤10，

∴x ＝3，y ＝2，t ＝32，

∴32的阶梯三分法为2×4×4，

∴F （32）＝2

3242=+； ②同理，当3x +2y ＝26时，

可得x ＝8，y ＝1或x ＝6，y ＝4，

∴t ＝81或64，

∴F （81）＝4，F （64）＝2； ③同理，当3x +2y ＝39时，

可得x ＝9，y ＝6（不合题意舍去）， ∴综合①②③，F （t ）最小值为23.