2[1].4.2分组分解、拆添项法(二).讲义学生版

板块一：拆项与添项

模块一：利用配方思想拆项与添项

【例1】已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．

【巩固】分解因式：432234232a a b a b ab b ++++=_______.

【例2】分解因式：4231x x -+；

【巩固】分解因式：42231x x -+；

【例3】分解因式：4224a a b b ++

例题精讲

分组分解、拆添项法

【例5】已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n =_______.

【例6】分解因式：()()()22

2241211y x y x y +-++-

【例7】分解因式：42222222()()x a b x a b -++-

【例8】分解因式：33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++

【例9】把444x y +分解因式．

【巩固】分解因式：464x +

【例10】证明：在m n 、都是大于l 的整数时，444m n +是合数．

【例11】分解因式：444222222222a b c a b b c c a ---+++

模块二：拆项与添项

【例12】分解因式：343a a -+

【巩固】分解因式：32265x x x +--

【例13】分解因式：3234x x +-

【例14】分解因式：267x x +-

【巩固】分解因式：398x x -+

【例15】（“CASIO”杯河南省竞赛）把下列各式因式分解：326116x x x +++

【例16】若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于(

)

A.0

B.1-

C.1

D.3

【例17】分解因式：323233332a a a b b b ++++++

【例18】分解因式：3333a b c abc ++-.

【例19】分解因式：22268x y x y -++-

【例20】分解因式： 224414x y x y -++

【例21】分解因式：42471x x -+

【巩固】分解因式： 4414x y +

【例22】分解因式：432433x x x x ++++

分解因式：43221x x x x ++++

分解因式： 841x x ++

分解因式： 4224781x x y y -+

课后练习

4.分解因式：51

x x

5.分解因式：541

a a

6.（“CASIO”杯河南省竞赛）把下列各式因式分解：432

2928

+--+

x x x x 7.分解因式：4

x+=__________.

分组分解法教案讲课稿

分组分解法教案

要点：对于四项式的各项没有共同的公因式，而且也没有供四项式作分解的公式可用，所以用我们前面学过的基本方法都无法直接达到分解的目的．但如果分组后在局部分别分解，然后在组与组直接再看看有没有公因式，就可以创造整体分解的机会．试一试：分解因式（1） 22-+-y x xy （2）1+++ab b a （4）y x y x 2422-+- （4）b a b a ---3922 环节2 如何将多项式12)2(22-++b ab a 分解因式？教师：提出问题：两两分组可行吗？多项式有什么特征？学生：尝试探索总结意图：拓展学生的思维再一次认识如何合理分组？要点：组和组之间存在平方差的联系巩固练习：（1）y x y xy x 5251022-++- （2）b ab a a 332+-- （3）a a x x 2222--- 三课堂小结：引导学生从知识，技能，方法，整体等方面自主小结如何合理分组，教师点评，总结四作业布置：练习册：9.16 补充思考题：

分组分解法因式分解(5课时)

（一）复习把下列多项式因式分解 (1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) （二）新课讲解 1．引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有： am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。练习：把下列各式分解因式 (1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) 2．应用举例例1．把a2-ab+ac-bc分解因式分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx） =2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式 (1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz (5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n (9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2 四、课外作业把下列各式分解因式 1．a(m＋n)－b(m＋n) ⒉xy(a－b)＋x(a－b) 3．n(x＋y)＋x＋y ⒋a－b－q(a－b) 5．p(m－n)－m＋n ⒍2a－4b－m(a－2b) 7．a2＋ac－ab－bc ⒏3a－6b－ax＋2bx 9．2x3－x2＋6x－3 ⒑2ax＋6bx＋7ay＋21by ⒒xy＋x－y－1 ⒓ax2＋bx2 －ay2－by2 ⒔x3－2x2y－4xy2＋8y3 ⒕3m－3y－ma＋ay ⒖4x3＋4x2y－9xy2－9y3⒗x3y－3x2－2x2y2＋6xy

分组分解法教案

9.16 分组分解法上海市民办中芯学校张莉莉教学目标： 1．理解分组分解法在因式分解中的重要意义． 2．在运用分组分解法分解因式时，会筛选合理的分组方案． 3．能综合运用各种方法完成因式分解．教学重点：理解分组分解法的概念.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式. 教学难点：筛选合理的分组方案和综合运用各种方法完成因式分解教学过程：一复习引入 1.什么是因式分解？ 2.学过几种因式分解的方法？ 3.思考：如何将多项式 by bx ay ax +++)1(分解因式？二新知探究环节1 内容：因式分解 by bx ay ax +++)1( 教师：提出问题指导学生一题多解引入定义学生：思考回答板书练习意图：1.通过一题多解，培养学生的发散思维 2.使学生整体感悟因式分解的方法，再局部的把握知识。 3. 探索讨论总结分组的原则要点：对于四项式的各项没有共同的公因式，而且也没有供四项式作分解的公式可用，所以用我们前面学过的基本方法都无法直接达到分解的目的．但如果分组后在局部分别分解，然后在组与组直接再看看有没有公因式，就可以创造整体分解的机会．试一试：分解因式（1） 22-+-y x xy （2）1+++ab b a （4）y x y x 2422-+- （4）b a b a ---392 2 环节2 如何将多项式12)2(2 2-++b ab a 分解因式？教师：提出问题：两两分组可行吗？多项式有什么特征？学生：尝试探索总结意图：拓展学生的思维再一次认识如何合理分组？要点：组和组之间存在平方差的联系巩固练习：（1）y x y xy x 5251022-++- （2）b ab a a 332+-- （3）a a x x 222 2---

数学教案-分组分解法

数学教案－分组分解法教学目标 1.使学生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式； 2.通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力. 教学重点和难点重点：在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用. 难点：灵活运用已学过的因式分解的各种方法. 教学过程设计一、复习把下列各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法. (1)a2－ab+3b－3a；(2)x2－6xy+9y2－1；(3)am－an－m2+n2；(4)2ab－a2－b2+c2. 解(1) a2－ab+3b－3a =(a2－ab)－(3a－3b) =a(a－b)－3(a－b) =(a－b)(a－3); (2)x2－6xy+9y2－1 =(x－3y) 2－1 =(x－3y+1)(x－3y－1); (3)am－an－m2+n2 =(am－an)－(m2－n2) =a(m－n)－(m+n)(m－n) =(m－n)(a－m－n); (4)2ab－a2－b2+c2 =c2－(a2+b2－2ab) =c2－(a－b) 2 =(c+a－b)(c－a+b). 第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式. 第(2)题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式继续分解因式. 第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式. 第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式，

第四项与这一组再运用平方差公式分解因式. 把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时，要注意符号的变化. 这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式. 二、新课例1 把分解因式. 问：根据这个多项式的特点怎样分组才能达到因式分解的目的? 答：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法. 解方法一方法二；例2 把分解因式. 问：观察这个多项式有什么特点?是否可以直接运用分组法进行因式分解? 答：这个多项式的各项都有公式因ab，可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式. 解：= = = =例3 把45m2－20ax2+20axy－5ay2分解因式. 分析：这个多项式的各项有公因式5a，先提取公因式，再观察余下的因式，可以按：一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式. 解45m2－20ax2+20axy－5ay2=5a(9m2－4x2+4xy－y2) =5a[9m2－(4x2－4xy+y2)] =5a[(3m2)－(2x－y) 2] =5a(3m+2x－y)(3m－2x+y). 例 4 把2(a2－3mn)+a(4m－3n)分解因式. 分析：如果去掉多项式的括号，再恰当分组，就可用分组分解法分解因式了. 解2(a2－3mn)+a(4m－3n)=2a2－6mn+4am－3an =(2a2－3an)+(4am－6mn) =a(2a－3n)+2m(2a－3n)

分组分解的八种技巧

分组分解的八种技巧分组分解法是多项式不能应用提取公因式、公式法、十字相乘法进行分解的情况下产生的，它是因式分解的基本方法之一，分组是难点.下面介绍八种常见的分组技巧. 一、按公因式分组【例1】bc ad cd ab +++. 分析：一、三项有公因式a ，二、四项有公因式c ，故把一、三和二、四项分别分为一组. 二、按乘法公式分组【例2】1222++-x y x .分析：由于一、三、四项合在一起能用完全平方公式，故将其分为一组. 三、同时按公因式和公式分组【例3】y x y x 2222-+-.分析：由于一、二项能用平方差公式，三、四项有公因式2，故把一、二和三、四项分别分为一组. 四、按系数比分组【例4】124323+--x x x .分析：由于12:)4()3(:1-=-，故把一、二和三、四分别分为一组. 五、按次数分组【例5】y x y xy x 824322-+--.分析：因为前三项的次数均为2，后二项的次数为1，所以分别划为一组. 六、先拆项后分组【例6】 653++x x .

分析：此题难以分组，故可将6拆为5+1，再将一、四和二、三项分别分为一组. 解：原式...)55()1(15533=+++=+++=x x x x 七、先展开后分组【例7】)()(2222b a xy y x ab +++. 分析：此题直接分组行不通，故把括号展开，再按公因式分组. 八、先添项后分组【例8】 84+x .分析：此题可添减24x 这一项，使之能按公式分组. 解：原式=)22)(22()2()2(4)44(22222224+-++=-+=-++x x x x x x x x x 2 520t t h -=

分组分解法练习

因式分解之分组分解法 1. 按字母特征分组（1）1a b ab +++ （2） a 2－ab ＋ac －bc 2. 按系数特征分组（1）27321x y xy x +++ （2）263ac ad bc bd -+- 3. 按指数特点分组（1）22926a b a b -+- （2）2242x x y y +-- 4.按公式特点分组（1）a 2－2ab ＋b 2－c 2 （2）2229124c bc b a -+- 四．总结规律 1.合理分组（2+2型）； 2.组内分解（提公因式、平方差公式） 3.组间再分解（整体提因式） 4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化. 五．练习巩固 1．用分组分解法把ab －c ＋b －ac 分解因式分组的方法有（） A ．1种B .2种C .3种D .4种 2. 用分组分解a 2－b 2－c 2＋2bc 的因式，分组正确的是（） 3．填空：（1）ax ＋ay －bx －by =(ax ＋ay )－ ( ) =( ) ( ) （2）x 2－2y －4y 2＋x = ( )＋( ) =( ) ( ) （3）4a 2－b 2－4c 2＋4bc = ( )－( ) =( ) ( ) 4．把下列各式分解因式（4）9m 2－6m ＋2n －n 2 )2().() 2().(222222bc c b a C bc b c a A ------)2(.2).(2222 22bc c b a D bc c b a B -+-+--xy x y x 21565)1(2--+b a ab a 3217)2(2--+1243)3(22--+a x ax

2[1].4.2分组分解、拆添项法(二).讲义学生版

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