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2015艺考生高考数学总复习讲义
第一章、集合基本运算
一、基础知识：
1.元素与集合的关系:用∈或?表示；
2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.
3.集合的分类：
①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如
数集{y|y=x2},表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线；
4.集合的表示法：
={0，1，2，①列举法：用来表示有限集或具有显着规律的无限集，如N
+
3，…}；
②描述法：一般格式：{}
∈，如：{x|x-3>2}，
x A p x
()
{(x,y)|y=x2+1}，…；
描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合
③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R;
5．集合与集合的关系:用?，≠?，=表示;A 是B 的子集记为A ?B ；A 是B 的真子集记为A ≠?B 。
常用结论：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；空集是任何非空集合的真子集；
③如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ；如果A B ?，B C ?，
A C ?那么. ④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个.
6．交集A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ?A ｝，集合U 表示全集. 7.集合运算中常用结论:
;A B A B A ??=A B A B B ??=
注：本章节五个定义
1.子集
定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A?B（或B?A）,即若任意x∈A,有x∈B，则A?B(或A?B)。这时我们也说集合A是集合B的子集（subset）。
如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A,就记作A?B（或
B?A），即:若存在x∈A,有x?B，则A?B(或B?A)
说明：A?B与B?A是同义的，而A?B与B?A是互逆的。
空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}
{φ的区别；0与三者间的关系）
规定:空集?是任何集合的子集，即对于任意一个集合A都有??A。(注意：B
A?，讨论时不要遗忘了φ
A的情况。)
=
2.真子集：
由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：
(1)A?A (任何集合都是其自身的子集)；
(2)若A?B，而且A≠B（即B中至少有一个元素不在A中），则称集
合A是集合B的真子集（proper subset），记作A?≠B。（空集是任何非空集合的真子集）
(3)对于集合A，B，C，若A?B，B?C，即可得出A?C；对A?
≠B，B?
≠
C，同
样有A?
≠
C,即：包含关系具有“传递性”。
3并集的定义：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集（union set）。记作：A∪B（读作：“A并B”），即
{}
,
A B x x A
?=∈∈
或x B
这样，在问题（1）（2）中，集合A，B的并集是C，即
A B
?= C
例．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝。
4，交集的定义：
一般地，由属于集合
A 且属于集合
B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B 的交集（intersection set ），记作A ∩B （读“A 交B ”）即：
A ∩
B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}
例，已知集合A ＝｛(x ,y )|64=+y x ｝,B ={(x ,y )|723=+y x },求A ∩B 。 5，补集的定义：
对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ），记作：U C A ，
读作：“A 在U 中的补集”，即
{},U C A x x U x A =∈?且
例．设U ＝{x|x<8，且x ∈N}，A ＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则U C A ＝ ；
C U A
三．考题精选
一、选择题
1、（2012福建文科卷2）已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是（ D ）
? ∪N=M ∩N=N ∩N={2}
2、已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}6,5,4{=B ，则结合
)(C U B A =（ B ）
A ．}6,4,2{
B ．}2{
C ．}5{
D ．}6,5,4,3,1{
3、有下列结论：（ A ）
（1）空集没有子集；（2）空集是任何集合的真子集；
（3）任何一个集合必有两个或两个以上的子集；
（4）如果N M ?，则不属于集合M 的元素必不属于集合N 。
A 、 0个
B 、 1个
C 、2个
D 、 3个
4、设集合A={x |x ∈Z 且-10≤x ≤-1}，B={x |x ∈Z ，且|x |≤5}，则A ∪B 中的元素个数是( C )
(A)11 (B)1 (C)16 （D) 18
5、设{}
220,M x x x x R =++=∈，a =lg(lg10)，则{a }与M 的关系是( B )
(A){a }=M (B)M ?{a } (C){a }∈M (D)M ?{a }
6、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{45}x x <<是有限集. 其中正确的说法是（ D ）.
A. 只有（1）和（4）
B. 只有（2）和（3）
C. 只有（2）
D. 以上四种说法都不对
7、（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学）已知集合A ={0,1,2},则集合B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 （ C ） (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9
8、{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为（ B ）
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
9、（2013年新课标）已知集合{}{}2|(1)4,,1,0,1,2,3M x x x R N =-<∈=-,
则=N M （ A ） (A){}2,1,0 (B){}2,1,0,1- (C){}3,2,0,1-
(D){}3,2,1,0
10、（辽宁卷1）已知集合{}3|
0|31x M x x N x x x +??
==<=-??-?
?
，≤，则集合{}|1x x ≥＝（ D ）
A ．M N
B ．M N
C ．)(N M C U
D ．)(N M C U
11、（2013浙江）设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ,则
=?T S C R )( （ C ）
A.(2,1]-
B. ]4,(--∞
C. ]1,(-∞
D.),1[+∞
12、（2012全国卷3）已知集合A ＝m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则
m= （ B ）
A 0或3
B 0或3
C 13
D 1或3
13、已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于 （ C ）
A.[1,4)- B (2,3) C (2,3] D (1,4)-
14、设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于（ B ）
A ．R
B ．{},0x x R x ∈≠
C ．{}0
D ．? 15、若集合{}{}2135,322A x a x a B x x =+≤≤-=≤≤，则能使A B ?成立的所有a 的集合是（ A ）
A 、{}19a a ≤≤
B 、{}69a a ≤≤
C 、{}9a a ≤
D 、?
16、已知a 、b 、c 为非0实数，则=M a b c abc a b c abc
+++的所有值组成
的集合为（ D ）
A 、{4}
B 、{-4}
C 、{0}
D 、 {0，4，-4}
二、填空题
17、满足{}{}1,31,3,5A =的集合A 最多有 4 个。
18、用列举法表示集合A=},512
|
{**N x N x
x ∈∈-=___ A={、设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}b a b a b a
+=，则b a -= 2
20、已知集合11{11
}|242
x M N x x +?
?=-=<<∈???
?
Z ，，，，则M N = -1
21、若A ={(x ，y )| y =x +1},B={y |y =x 2+1},则A ∩B =（0，1）（1，2） .
22、已知集合A={x │a+1＜x ＜2a —1}，B={x │-1＜x ＜4}，若A ≠?，且
A B ?，则a 的取值范围是________(2,二分之五）
23、定义集合运算:{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集
合A B *的所有元素之和为 6 集合是不是{0,2,4} 24、已知函数
()
f x =
的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M
∩N=（-1,1）
25、已知A={4|
2m m Z -∈}，B={x |3
}2
x N +∈，则A ∩B=__空集 （m 是偶数，x 是奇数）__ 。
26、已知集合A ＝{x|-3 27、若}{ 2228 x A x -=∈Z ≤<，{2R |log |1}B x x =∈>，则)(C R B A ?的元素 个数为___1___ B 的范围小于二分之一或大于2 28、已知集合A ＝{x|x 值范围是____a 大于等于2_____ 三、简答题 29、设全集的值。求实数b a A C b A a a U U ,},5{},2,{},32,3,2{2==-+= a =-4或2 b =3 30、 B.x B,B A },,1{},x ,4,1{A 2的值及集合求且已知=?==x B 第一种情况：X=x 的平方 x=0或1 由于集合元素的互异性，x 不等于1 所以B={1,0} 第二种情况：x 平方=4 x=正负2 B={1,4} 31、已知集合{|12},{|0}M x x N x x a =-≤<=-≤，若M N ≠?，求a 的取 值范围. X 大于等于-1 32、（1）已知集合},03|{},3,1{=-==mx x B A 且A B ?，则m 的值是 1或3 。 （2）已知集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ，若A B ?，求实 数m 的取值范围。 [2,3]? 33、已知集合A={ 2 210,,x ax x a R x R ++=∈∈}. (1)若A 中只有一个元素,求a 的值; (2)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围. b 的平方-4ac=0 一个解 大于零 有两个解 小于零则无解 （1）a=1 （2）a 大于等于1