《欧姆定律》经典习题(六)解析

《欧姆定律》经典习题(六)解析
《欧姆定律》经典习题(六)解析

欧姆定律

一、学习指要

1. 本章中考考试内容及要求(“▲”表示该标准要求属于评价水平这一层次)

评价目标

标准要求

评价水平

知识性

目标

技能性

目标

体验性

目标

独立

操作

化(1)通过实验,探究电流、电压和电阻的关系。▲

(2)理解欧姆定律。用欧姆定律解决实际问题。▲

(3)会用伏安法测量电阻▲

2.中考怎样考

电阻及欧姆定律试题题型全面,以填空题、选择题、实验探究题和计算题为主,所占分值一般在6—10分左右。解答电路及欧姆定律的题,需要正确分析电路的连接,准确掌握串联和并联电路特点,欧姆定律等基础知识,所以这部分考题是中考重点,且个别难度较大。

二、单元高频考点例析

【例1】在如图所示的电路中,电源电压保持不变,开关闭合后,滑动变阻器的滑片向右移动时,三个电表的示数变化情况是

A.○A的示数变小,V1的示数不变,V2的示数变小

B.○A的示数变大,V1的示数变大,V2的示数变小

C.○A的示数变小,V1的示数不变,V2的示数变大

D.○A的示数变大,V1的示数变小,V2的示数变大

【答案】C

【详解易错点】此题易错点是:(1)电路是串联还是并联的判断;(2)三个电表分别测量哪个物理量的分析;(3)滑动变阻器滑片的移动,电路电阻的变化情况。在掌握这几个方面知识点后,结合欧姆定律及其变形,分别研究就可以得出正确的结论。

【例2】如图所示,电源电压保持不变,S1和 S2为定值电阻。下列说法正确的是()

A .只闭合 S1,滑片P 向右滑动,电压表示数变大

B .先闭合S1,再闭合S2,电压表示数变大,电流表示数不变

C .先闭合S1和S2,再闭合S3,电压表与电流表示数的比值变小

D .闭合S1、S2和S3,滑片P向右滑动,电压表与电流表示数的比值变大、

【答案】C

【解析】闭合合S1和S2,R1被短路,电路中只有R2有电流通过,电压表与电流表之比为R2的阻值,再闭合S3,R1、R2和变阻器组成并联电路,电流表测量通过R1、R2的总电流,电压表电流表之比为R1、R2并联后的总电阻,根据并联电路的电阻特点:总电阻小于任何一个支路电阻,故电压表和电流表示数的比值变小。【考查的知识点】欧姆定律的理解

【例3】在图所示电路中,电源电压不变,闭合开关S,电压表V1与V2的示数之比为3∶5,电流表A的示数为1A;若将电压表V1换成电流表A1,则电流表A1的示数为2A,那么R1∶R3=________.

【答案】R1∶R3=1∶3

【考查的知识点】串并联电路电流电压特点和欧姆定律的理解。

【例4】如图,电源电压保持不变,当开关S闭合,滑动变阻器的滑片P向右滑动时,电压表()

A.V1示数增大,V2的示数增大 B.V1示数减小,V2的示数增大

C.V1示数减小,V2的示数减小 D.V1示数增大,V2的示数减小

【答案】B

【解析】分析电路中电压的变化,考查对公式U=IR的理解.在串联电路中,由于R的变化,引起I的变化,从而引起某个电阻两端电压的变化.从图中看:R1和R2串联,V1测的是R1两端电压U1,V2测的是变阻器两端的电压U2,画出便于分析的图。

进一步分析可知,滑片P向右移动,变阻器电阻增大,根据I=U/R,总电压不变,总电阻变大,电流

I减小.致使U1的变化:U1=I R1,其中R1不变,I减小,U1减小.U2的变化:U2=U-U1,U不变,U1减小,U2增大.

【详解易错点】如果用公式U2=IR2分析U2的变化不易得到结论,因为I减小,R2增大,两者的乘积如何变化是个未知数.所以采用先分析定值电阻两端的电压变化,再分析变化电阻两端的电压变化的方法更好.

最新人教版中考总复习《欧姆定律》单元综合达标检测试题

一、单项选择题(本题包括12小题,每小题2分,共24分。每小题只有一个正确答案,把正确答案的序号填写入题后的括号内)

1.某同学在探究“电阻上的电流跟两端电压的关系”时,利用左图所示电路,在A、B两点间分别接入定值电阻R1,R2,通过调节滑动变阻器测得了多组数据,并根据数据绘制了两个电阻的U-I关系图像,如右图所示,若将R1,R2组成并联电路,当通过R1的电流为1A时,通过R2的电流为()

A.0.5A B.1A

C.2A D.3A

2.如图所示的电路中,电源电压不变,闭合开关S1、S2,电压表示数为U1;接着只断开开关S2,此时电压表示数为U2,若已知U1∶U2 = 5∶3,则电阻R1和R2的阻值之比是()

A.1∶2 B.2∶3

C.3∶2 D.5∶3

2题图 3题图 4题图

3.在如图所示的电路中,电源电压U保持不变,定值电阻R=20Ω。闭合开关S,当滑动变阻器R′的滑片P 在中点C时,电流表示数为0.4A,当移动滑片P至最右端时,电流表示数为0.3A。则电源电压U与滑动变阻器R′的最大阻值为()

A.6V 10Ω B.6V 20Ω C.12V 20Ω D.12V 40Ω

4.如图所示的电路,闭合开关S,将滑片P向右移动时( )

A.电压表示数变大,电流表示数变大

B.电压表示数变小,电流表示数变大

C.电压表示数变小,电流表示数变小

D.电压表示数与电流表示数的比值变大

5.下列图象中,能正确表示定值电阻上的电流与两端电压关系的是()

6.如右下图所示的电路中,电源两端电压保持不变,当开关S闭合时,灯L正常发光;如果

将滑动变阻器的滑片P向右滑动,下列说法中正确的是()

A.电压表的示数变大,灯l变亮

B.电压表的示数变大,灯L变暗

C.电压表的示数变小,灯L变暗

D.电压表的示数变小,灯L变亮

7.在做“探究电流与电阻的关系”实验中,小翔连接了如图所示的电路。他先在电路的A、B间接入10Ω的电阻,移动滑动变阻器的滑片,读出电压表与电流表的示数;记录数据后,改用15Ω电阻替换10Ω电阻,闭合开关,接下来他的实验操作应该是()

A.观察电压表,向右移动滑片,读取电流数据

B.观察电流表,向右移动滑片,读取电压数据

C.观察电压表,向左移动滑片,读取电流数据

D.观察电流表,向左移动滑片,读取电压数据

8.如图所示,是物理学习小组设计的自动测定油箱内油面高度的装置,油量表由电压表改装而成。其中,能实现油面越高油量表示数越大,且刻度均匀的是()

R是定9.小梦为济宁市2014年5月份的体育测试设计了一个电子身高测量仪。如图所示的四个电路中,

值电阻,R是滑动变阻器,电源电压不变,滑片会随身高上下平移。能够实现身高越高,电压表或电流表示数越大的电路是()

10.我国法律规定,驾驶员醉驾要负刑事责任。为了判断驾驶员是否酒后驾车,交警需要用酒精测试仪对驾驶员进行检测。小林设计了一种酒精测试仪的电路,如图所示。图中R为定值电阻;Q为酒精气敏元件,它在电路中的作用相当于一个可变电阻,其阻值随被测的酒精气体浓度的增大而增大。电源两端的电压不变,闭合开关S,当气敏元件所测酒精气体的浓度增大时,则下列判断中正确的是()

A.电压表示数变大,电流表示数变小 B.电压表示数变大,电流表示数变大

C.电压表示数变小,电流表示数变小 D.电压表示数变小,电流表示数变大

11.如图所示,电源电压保持不变,开关S闭合后,灯L1、L2都能正常工作,甲、乙两个电表的示数之比是2︰3,此时L1、L2的电阻之比是()

A.2︰1

B.1︰2

C.3︰2

D.2︰3

12.如图所示的电路中,电源电压保持不变.R1为滑动变阻器,R2、R3为定值电阻.闭合开关S,将滑片P由a端向b端滑动一段距离后,电压表V1、V2示数变化的大小分别为△U1、△U2,电流表示数变化的大小为△I.下列判断不正确的是()

A.△U2大于△U1

B. △U2 /△I与△U1/△I的差值等于R2

C.R2和R3消耗的电功率的和增加了△U2?△I

D.电压表V1示数变小、电压表V2示数变大,电流表示数变大

二、多项选择题(本题包括3小题,每小题3分,共9分。每小题有多个正确答案,把正确答案的序号填写入题后的括号内,都选对给分)

13.如图所示是小明设计的一个简易电子身高测量仪的示意图。其中,电源电压恒为6 V,保护电阻R0=20 Ω;R是一只固定着的、竖直放置的硬电阻棒、总长为40 cm,其接入电路的电阻与接入电路的棒长成正比;金属杆cd和MP(右端P是滑片)与电路接触良好,电阻不计。小明用该测量仪对小聪、小英和小亮的身高进行了测量,其数据见下表。若已知小英测量时,滑片恰在电阻棒ab的中点位置,则根据题中提供的信息可知()

小聪小英小亮

A表示数I/A 0.20 0.15 0.12

V表示数U/V 2.0 3.0 3.6

身高h/m 1.6

A.电阻棒的总电阻是40 Ω

B.小聪的身高是1.7 m,小亮的身高是1.5 m

C.小聪的身高是1.5 m,小亮的身高是1.7 m

D.从理论上分析,该测量仪的身高测量范围是1.2~1.8 m

14.如图所示,电源电压不变,R1为定值电阻,R2为滑动变阻器。当开关闭合后,滑片P向右移时,下列说法中正确的是()

A.○v1的示数变大

B.○v2的示数变大

C.○A的示数变小

D.○v1和○A的比值不变

15.如图所示的电路中,电源两端的电压保持不变,闭合开关S,将滑动变阻器的滑片P向右移,下列说法中正确的是()

A.电流表A的示数变小

B.电压表V l的示数不变

C.电压表V2的示数变大

D.电压表V l与电压表V2的示数之和保持不变

三、填空题(每空1分共20分)

16.如图所示是某酒精浓度检测仪的原理图,R1为一种气敏电阻,它的阻值随酒精浓度的增大而减小,酒精浓度增大时,电流表的示数将,电压表的示数将(填“增大”“减小”或“不变”).

16题图 17题图 18题图

17.如图所示的电路中,电源电压不变,R1为定位电阻,开关S闭台后,滑动变阻器R2滑

片向右移动时,电流表的示数______.电压表的示______,R2两端的电压_____(选填“变

大”、“变小”或“不变”)。

18.如图所示,R1=10 Ω, 开关闭合后电流表的示数是0.2 A,电压表的示数是4 V,R2的电阻为_______ Ω。19.如图所示,电源电压恒定,R1= 20Ω.闭合开关S,断开开关S1,电流表示数是0.3A;若再闭合S1,发现电流表示数变化了0.2A,则电源电压为 V,R2的阻值为Ω.

19题图 20题图 21题图

20.智能手机上已普遍使用电阻触摸屏,如图在竖直方向上触摸屏相当于一根电阻丝,触摸

P点时电阻丝被分为上、下两部分,电阻分别为R1、R2。电源电压不变,当触摸点在竖直方

向移动时,若测得R1两端电压减小,则R1阻值,触摸点P到屏下端的距离

(均填“增大”“减小”或“不变”)。

21.通过两电路元件A和B的电流与其两端电压的关系如图,则元件A的电阻为Ω,将A和B串联后接在某一电路中,已知电路中电流为0.2A,则电源电压为V.

22.如图电路,电源两端的电压不变,定值电阻R的阻值为R0。闭合开关S,当滑动变阻器接入电路中的电阻值为10Ω时,电压表的示数为U0。断开开关S,把电阻R换成阻值为3R0的另一定值电阻,闭合开关S,调节滑动变阻器滑片P的位置使电压表的示数仍为U0,则此时滑动变阻器接入电路中的电阻值为Ω。

22题图 23题图 24题图

23.在如图所示的电路中,电源电压保持不变,当开关S闭合,甲、乙两表为电压表时,两表的示数之比U

甲:U乙=5:3,则R1:R2= ;当开关S断开,甲、乙为电流表时,两表示数之比是I甲:I乙= .

24.在如图甲所示电路中,闭合开关S后,电压表示数为2V,两个电流表的指针在如图乙所示的同一位置。

则通过电灯L1的电流I1= A;通过电灯L2的电流I2= A,L1和L2的电阻之比为。

25.一条电阻丝接在220V的电压上,通过它的电流是1.1A,如果它两端电压为0时,通过它的电流是______A,

它的电阻是______Ω。(不考虑温度对电阻值的影响)

四、分析简答题( 26题4分、27题6分,共10分)

现在市场上一些不法商贩常用纯净水冒充价格较高的矿泉水对外出售,矿泉水中含有人体所需的多种矿

物质,导电能力较强;纯净水是用自来水经过多层过滤后得到的饮用水,矿物质较少,导电能力较差.小

明根据这两种水导电能力不同这一特点,设计了如图所示的装置,验证他家购买的水是不是矿泉水.(P、Q

是相同的两根细长玻璃管.P内装满已知矿泉水,Q内装满待测的“矿泉水”).根据小明的这一装置,请

你回答小明是怎样验证出是纯净水还是矿泉水的?

27.小华同学在探究通过导体的电流与其电压的关系时,将记录的实验数据通过整理做出了如图所示的图像,请你根据图像结合学过的欧姆定律知识,写出三条有用的信息。

第一条信息:;

第二条信息:;

第三条信息:。

五、作图、探究与实验题(28题3分、29题5分、30题8分、31题6分,共22分)

28.现有两只定值电阻R1和R2(R1=2R2),一个电压恒定的电池组及若干导线。试在图12-11的虚线框内把这些器材连接在A、B、C、D四个接线柱上,使它们组成一个完整的电路,并能满足以下要求:当开关S断开时,电流表有一定的示数;当开关S闭合时,电流表的示数为S断开时的3倍。

29.如图甲,是小凯连接的测量标有电压为2.5V 的某小灯泡电阻的实验电路,图中的①~⑤是部分导线的序号,A~N是部分接线柱的编号。

(1)只改接图中的一根

..导线,就能改正电路中的连接错误。请简述你的改正方法:

_______________________________________________________________。

(2)检查电路无误后,闭合开关,移动滑片,使电压表的示数为2.5V,电流表读数如图乙,示数是_________A,小灯泡正常发光,此时灯丝的电阻为_______Ω。向________(选填“左”或“右”)移动滑动变阻器滑片,灯泡两端电压逐次下降,灯丝温度也不断降低,测量数据如下表。

实验次数 1 2 3 4 5 6

发光情况明亮较亮不很亮较暗微光熄灭

电压U/V 2.5 2.1 1.7 1.3 0.9 0.5

电流I/A 0.26 0.24 0.21 0.19 0.16

电阻R/Ω8.1 7.1 6.2 4.7 3.1 (3)对比不同电压下小灯泡的阻值,把你的发现写成具有概括性的一句话:

_______________________________________________________________。

30.在探究“电流与电阻的关系”实验过程中,老师给同学们准备了以下器材:

蓄电池(6V)、电流表(0-0.6A ,0-3A )、电压表(0-3V ,0-15V)、定值电阻(5Ω、10Ω、15Ω各1个)、开关、滑动变阻器(1.5A,20Ω)、导线若干。

(1)连接电路时,开关应处于 (选填“断开”或“闭合”)状态。

(2)小明按图甲连好电路后,闭合开关发现电压表和电流表都无示数,经检查,漏

接了一根导线,如图乙,请你帮小明补接上。

(3)补接后,小明先将5Ω电阻接入电路,调节滑动变阻器使电压表示数为2V,电流表示数如图丙为A;再将5Ω的电阻更换为10Ω电阻,为了使电压表示数仍为2V,应将滑动变阻器适当向______(选填“左”或“右”)移动。

(4)当小明再换接15Ω电阻时,无论怎样调节滑动变阻器,都不能使电压表示数为2V,分析其可能的原因。(答出一种情况即可)

(5)同组的小娟同学思考了一会,在不增减器材的条件下解决了这一问题,完成了实验,数据如下表:

实验结论:;

(6)本实验采用的方法是,利用该电路还能完成的实验有:(答出1个实验名称即可)。

电阻R/Ω 5 10 15

电流I/A 0.6 0.3 0.2

31.“曹冲称象”的故事流传至今,最为人称道的是曹冲采用的方法,他把船上的大

象换成石头,而其他条件保持不变,使两次的效果(船体浸入水中的深度)相同,于是得出大象的重就等于石头的重.人们把这种方法叫“等效替代法”.请尝试利用“等效替代法”解决下面的问题.

[探究目的]粗略测量待测电阻Rx的值.

[探究器材]待测电阻Rx、旋转式电阻箱,若干开关、干电池、导线和一个刻度不准确但灵敏度良好的电流表(电流表量程足够大).

信息链接:旋转式电阻箱属于一种变阻器,如图所示,利用它可以在电路中准确调节电阻值,元件符号

.电阻箱连入电路时可以通过旋钮指针指向的数字及旋钮下的“倍率”的对应关系读出此时的电阻值

[设计实验和进行实验]

(1)在下边的方框内画出你设计的实验电路图;

(2)将下面的实验步骤补充完整,并用字母表示需要测出的物理量:

第一步:开关断开,并按设计的电路图连接电路;

(3)写出Rx的表达式:Rx=.

六、综合应用题(32题6分、33题9分,共15分)

32.如图所示的电路中,电源电压不变,电阻R1的阻值为20Ω。当断开开关S1和S2,闭合开关S3时,电流表的示数为0.50A;当断开开关S2,闭合开关S1、S3是,电流表的示数为0.90A。求:

(1)电阻R2的阻值。

(2)断开开关S1和S3,闭合开关S2时,加在电阻R1两端的电压。

33.如图甲所示的电路中,电源电压为18V保持不变,电阻R1的阻值为10Ω。闭合开关S后,电流表A的示数如图乙(a)所示。

(1)求电阻R1两端的电压U1。

(2)求此时滑动变阻器R2连入电路的阻值。

(3)现有标有“20Ω 2A”、“50Ω 1A”字样的滑动变阻器可供选择,有一个表盘如图乙(b)所示的

R,并把电压表接入____两点间时(选填电压表可接入电路。当选用标有____字样的变阻器替换

2

“AB”、“CD”、“AB或CD”),在移动变阻器滑片P的过程中电压表示数的变化量ΔU最大。求电压表示数的最大变化量ΔU最大。

最新人教版中考总复习《欧姆定律》单元综合达标检测试题参考答案

一、单项选择题(本题包括12小题,每小题2分,共24分。每小题只有一个正确答案,把正确答案的序号填写入题后的括号内)

1.A

2.C

3.C

4.D

5.A

6.B

7.A

8.B

9.B 10.C 11. B 12. C

二、多项选择题(本题包括3小题,每小题3分,共9分。每小题有多个正确答案,把正确答案的序号填写入题后的括号内,都选对给分)13.AC 14. BCD15.ACD

三、填空题(每空1分共20分)

16. 增大减小17. 变小变大变大18. 20 19.6 30 20. 减小增大

21. 5 3 22.30 23.2:3 2:5 24.0.2 0.8 10 25.0 200

四、分析简答题( 26题4分、27题6分,共10分)

26.单刀双掷开关S从1拨到2时,若电压表示数不变,则Q内是矿泉水,若电压表示数变小,则Q内是纯净水

计数原理与排列组合经典题型

计数原理与排列组合题型解题方法总结 计数原理 一、知识精讲 1、分类计数原理: 2、分步计数原理: 特别注意:两个原理的共同点:把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。 不同点:如果完成一件事情共有n类办法,这n类办法彼此之间相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情,求完成这件事情的方法种数,就用分类计数原理。分类时应不重不漏(即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类) 如果完成一件事情需要分成n个步骤,各个步骤都是不可缺少的,需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后,相互依存,缺一不可。 3、排列 (1)排列定义,排列数 (2)排列数公式: (3)全排列列: 4.组合 (1)组合的定义,排列与组合的区别; (2)组合数公式: (3)组合数的性质 二、.典例解析 题型1:计数原理 例1.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。 A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;

③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 。 例2(1)如图为一电路图,从A 到B 共有 条不同的线路可通电。 例3: 把一个圆分成3块扇形,现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色,要求相邻扇形的颜色互不相同,问有多少钟不同的涂法?若分割成4块扇形呢? 例4、某城在中心广场造一个花圃,花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 ________ 种.(以数字作答) 例5、 四面体的顶点和各棱的中点共10个,在其中取4个不共面的点,问共有多少种不同的取法? 例6、(1)电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? (2)三边均为整数,且最大边长为11的三角形的个数是 D C B A

排列组合典型例题(带详细答案)

例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数? 例2三个女生和五个男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法? 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种? (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种? 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法. 例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员,每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种? 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法? 例77名同学排队照相. (1)若分成两排照,前排3人,后排4人,有多少种不同的排法?

(2)若排成两排照,前排3人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法? (3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法? (4)若排成一排照,7人中有4名男生,3名女生,女生不能相邻,有多少种不面的排法? 例8计算下列各题: (1) 215 A ; (2) 66 A ; (3) 1 1 11------?n n m n m n m n A A A ; 例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队,限定a 要排在b 的前面(a 与b 可以相邻,也可以不相邻),求共有几种排法. 例10 八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有多少种安排办法? 例11 计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且不彩画不放在两端,那么不同陈列方式有 例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数的个数共有( ). 例13 用5,4,3,2,1,这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ). 例14 用543210、、、、、共六个数字,组成无重复数字的自然数,(1)可以组成多少个无重 复数字的3位偶数?(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数?

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型与通用方法 1. 相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列 例1. A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 A,B 必须相邻且B 在A 的右边,则不同的排法有( ) A 、60 种 B 、48 种 C 、36 种 D 、24 种 2. 相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几 个元素全排列,再把规定的相离的 几个元素插入上述几个元素的空位和两端 ? 例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是( ) A 、1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种 3. 定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法 例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在A 的右边(A, B 可以不相邻)那么不同的排法有 ( ) 4. 标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上, 可 先把某个元素按规定排入, 第二步再排另一个元素, 如 此继续下去,依次即可完成 ? 例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所 填数字均不相同的填法有( ) A 、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种 5. 有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法 例5.( 1 )有甲乙丙三项任务,甲需 2人承担,乙丙各需一人承担,从 10人中选出4人承担这三项任务, 不同的选法种数是( ) A 、1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种 (2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口 6. 全员分配问题分组法: 例6.( 1)4名优秀学生全部保送到 3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种? A 、24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、 120 种 4人,则不同的分配方案有( 4 4 4 C 12C 8C 4 种 4 4 3C 12C 8C C 、 C 12C 8 A 3 种

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定: 组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路:①直接法; ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意:分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集, 所有各类的并集为全集。 (3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分 类,又要分步。其原则是先分类,后分步。 (43.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑; (3).相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 (5)、顺序一定,除法处理。先排后除或先定后插 解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排,再除以定序元素的全排列。 解法二:在总位置中选出定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有1种排法;若不要求,则有2种排法; (6)“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体”内部的排列。 (7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。 (8).数字问题(组成无重复数字的整数) ① 能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇数。②能被3整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数; ③能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征:末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征:末两位数是25,50,75。 ⑦能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数。 4.组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: (2). “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3.分组问题: 均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组:分步取,得组合数相乘。即组合处理。 混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。 4.分配问题: 定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合 (一)典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种, 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是: 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排,如果,A B必须相邻且B在A 的右边,则不同的排法有() A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是() A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(,A B可以不相邻)那么不同的排法有()A、24种 B、60种 C、90种D、120种

4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成. 例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( ) A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法. 例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是( ) A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 (2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有( ) A 、44412 8 4 C C C 种 B 、44412 8 4 3C C C 种 C 、44312 8 3 C C A 种 D 、 4441284 33 C C C A 种

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定: 组合数性质: .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ,, ①;②;③;④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。

高考排列组合典型例题

高考排列组合典型例题 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

排列组合典型例题 例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数 分析:这一问题的限制条件是:①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8、,从限制条件入手,可划分如下: 如果从个位数入手,四位偶数可分为:个位数是“0”的四位偶做,个位数是 2、4、6、8的四位偶数(这是因为零不能放在千位数上).由此解法一与二. 如果从千位数入手.四位偶数可分为:千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类,由此得解法三. 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类,先求出四位个数的个数,用排除法,得解法四. 解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有39A 个; 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有281814A A A ??(个). ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439 =+=??+A A A A 个. 解法2:当个位数上排“0”时,同解一有39A 个;当个位数上排2、4、6、8中之一时,千位,百位,十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千 位数是“0”排列数得:)(283914 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 22961792504)(28391439 =+=-?+A A A A 个.

高中排列组合知识点汇总和典型例题[全]

一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; (3)111111(1)! (1)! (1)!(1)! !(1)! n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定: 组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路:①直接法; ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决 排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意: 分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。 (3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计 数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。其原则是先分类,后分步。 (4)两种途径:①元素分析法;②位置分析法。 3.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元 素优先考虑、特殊位置优先考虑; (3).相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空

排列组合典型例题

排列组合典型例题

典型例题一 例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数? 分析:这一问题的限制条件是:①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8、,从限制条件入手,可划分如下: 如果从个位数入手,四位偶数可分为:个位数是“0”的四位偶做,个位数是 2、4、6、8的四位偶数(这是因为零不能放在千位数上).由此解法一与二. 如果从千位数入手.四位偶数可分为:千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类,由此得解法三. 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类,先求出四位个数的个数,用排除法,得解法四. 解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有3 A个; 9 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,

则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有2 8181 4 A A A ??(个). ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 179250428181439=+=??+A A A A 个. 解法2:当个位数上排“0”时,同解一有3 9 A 个;当个位数上排2、4、6、8中之一时,千位,百位,十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得:) (28391 4 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 1792504)(28391439=+=-?+A A A A 个. 解法3:千位数上从1、3、5、7、9中任选一个,个位数上从0、2、4、6、8中任选一个,百位,十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 2 81 515A A A ??个 干位上从2、4、6、8中任选一个,个位数上从余下的四个偶数中任意选一个(包括0在内),百位,十位从余下的八个数字中任意选两个作排列,有 2 81414A A A ??个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有

高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; ' (3)111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10=n C 规定: 组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ① ;②;③;④ 11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。 " 2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路:①直接法; ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决 排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意: 分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。 (3数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。其原则是先分类,后分步。 (4 3.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元 素优先考虑、特殊位置优先考虑; ) (3).相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空

排列组合专题复习及经典例题详解

排列组合专题复习及经典例题详解 1.学习目标 掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点 (1)特殊元素优先安排的策略: (2)合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略. 3.难点 综合运用解题策略解决问题. 4.学习过程: (1)知识梳理 m种不完成一件事,有几类办法,在第一类办法中有1.分类计数原理(加法原理):1mm种不同的方法,类型办法中有种不同的方法……在第n同的方法,在第2类办法中有n2N?m?m?...?m 种不同的方法.那么完成这件事共有n12m种不步有个步骤,做第12.分步计数原理(乘法原理):完成一件事,需要分成n1mm种不同的方法;那么完成这步有种不同的方法……,做第同的方法,做第2步有n n2N?m?m?...?m种不同的方法.件事共有n12特别提醒: 分类计数原理与“分类”有关,要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性; 分步计数原理与“分步”有关,要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性,应用这两个原理进行正确地分类、分步,做到不重复、不遗漏. 3.排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n m?nm?n 时叫做全排列. 时叫做选排列,排列个不同元素中取出m个元素的一个,4.排列数:从n个不同元素中,取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同m P. 个元素的排列数,用符号表示元素中取出m n n!?m)?Nmn(m?)...()(1n?2n?m1)??,n、?(?Pnn5.排列数公式: n(n?m)!1mmm?mPPP??排列数具有的性质:nn1?n特别提醒: 规定0!=1 1 6.组合:从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个不同元素,组成一组,叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合. 7.组合数:从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数,叫做从n个m C. 个不同元素的组合数,用符号表示不同元素中取出m nm Pn(n?1)(n?2)...(n?m?1)n!mn???C.组合数公式:8 nm)!m!(n?m!mP mmn?mmmm?1C?CC?C?C;②组合数的两个性质:①nnnnn?1特别提醒:排列与组合的联系与区别. 联系:都是从n个不同元素中取出m个元素. 区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.

排列组合专题复习及经典例题详解

排列组合专题复习及经典例题详解 1. 学习目标 掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点 (1)特殊元素优先安排的策略: (2)合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略. 3.难点 综合运用解题策略解决问题. 4.学习过程: (1)知识梳理 1.分类计数原理(加法原理):完成一件事,有几类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类型办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理):完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法……,做第n 步有n m 种不同的方法;那么完成这件事共有n m m m N ???=...21种不同的方法. 特别提醒: 分类计数原理与“分类”有关,要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性; 分步计数原理与“分步”有关,要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性,应用这两个原理进行正确地分类、分步,做到不重复、不遗漏. 3.排列:从n 个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列,n m <时叫做选排列,n m =时叫做全排列. 4.排列数:从n 个不同元素中,取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号m n P 表示. 5.排列数公式:)、(+∈≤-= +---=N m n n m m n n m n n n n P m n ,)! (!)1)...(2)(1( 排列数具有的性质:11-++=m n m n m n mP P P 特别提醒: 规定0!=1

排列组合问题经典题型(含解析)

排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排,如果,A B必须相邻且B在A的右边,则不同的排法有() A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是() A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(,A B可以不相邻)那么不同的排法有()A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成. 例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有() A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法. 例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是() A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 (2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有() A、 444 1284 C C C 种 B、 444 1284 3C C C 种 C、 443 1283 C C A 种 D、 444 1284 3 3 C C C A种 6.全员分配问题分组法: 例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种? (2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为() A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案? 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案? 9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有()A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 (2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种? (3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?

排列组合基础知识及习题分析

排列组合基础知识及习题分析 在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式! C53=(5×4×3)/(3×2×1) C62=(6×5)/(2×1)通过这2个例子看出 n C m n公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N的阶层作 为分母 p53=5×4×3 p66=6×5×4×3×2×1 通过这2个例子 p m n=从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当N=M时即M的阶层排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中,任取m (m≤n)个元素,有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二: 其一是看问题是有序的还是无序的?有序用“排列”,无序用“组合”;其二是看问题需要分类还是需要分步?分类用“加法”,分步用“乘法”. 分类:“做一件事,完成它可以有n类方法”,这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次,分类时要注意满足两条基本原则:①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步:“做一件事,完成它需要分成n个步骤”,这是说完成这件事的任何一种方法,都要分成n个步骤.分步时,首先要根据问题的特点,确定一个可行的分步标准;其次,步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后,这件事才算最终完成. 两个原理的区别在于一个和分类有关,一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法,这n 类办法彼此之间是相互独立的,无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用加法原理;如果完成一件事需要分成n个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点: 1.有限制条件的排列问题常见命题形式:“在”与“不在”“邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法: ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”,可把两个以上的元素当做一个元素来看,这是处理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. ⑶“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制,等排列完毕后,利用规定顺序的实情求出结果. 2.有限制条件的组合问题,常见的命题形式:“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3.在处理排列、组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重、不漏,按事件的发生过程分步,正确地交替使用两个原理,这是解决排列、组合问题的最基本的,也是最重要的思想方法。. ***************************************************************************** 提供10道习题供大家练习

排列组合习题_[含详细答案解析]

圆梦教育中心 排列组合专项训练 1.题1 (方法对比,二星) 题面:(1)有5个插班生要分配给3所学校,每校至少分到一个,有多少种不同的分配方法? (2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校,每校至少分到一个名额,有多少种不同的名额分配方法? 解析:“名额无差别”——相同元素问题 (法1)每所学校各分一个名额后,还有2个名额待分配, 可将名额分给2所学校、1所学校,共两类: 213 3 C C +(种) (法2——挡板法) 相邻名额间共4个空隙,插入2个挡板,共: 246C =(种) 注意:“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别,且 每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别,元素无差别) 同类题一 题面: 有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 答案:6 9C 详解: 因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有6 9C 种分法。 同类题二 题面: 求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。 答案:36. 详解: 将10个球排成一排,球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板),规定 由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值, 故解的个数为C 92=36(个)。 2.题2 (插空法,三星) 题面:某展室有9个展台,现有3件展品需要展出,要求每件展品独自占用1个展台,并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有______种;如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位,则不同的展出方法有____种. 答案:60,48 同类题一 题面: 6男4女站成一排,任何2名女生都不相邻有多少种排法? 答案:A 66·A 4 7种. 详解: 任何2名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有A 66·A 4 7种不 同排法. 同类题二 题面: 有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A .36种 B .48种 C .72种 D .96种 答案:C. 详解:恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个 空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A 33A 2 4=72种排法,故选C. 3.题3 (插空法,三星) 题面:5个男生到一排12个座位上就座,两个之间至少隔一个空位.

排列&组合计算公式及经典例题汇总

排列组合公式/排列组合计算公式 排列A------和顺序有关 组合 C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1.排列及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A(n,m)表示. A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

c(n,m) 表示. c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=A(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列(Anm(n为下标,m为上标)) Anm=n×(n-1)....(n-m+1);Anm=n!/(n-m)!(注:!是阶乘符号);Ann(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;An1(n为下标1为上标)=n

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