2014年高考数学压轴题(理科)

2014年包九中数学压轴模拟卷一（理科）

（试卷总分150分 考试时间120分钟）

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集{2}x M x y ==,集合2{|lg(2)}N x y x x ==-,则M N =（ ）

A ．(0,2)

B ．),2(+∞

C ．),0[+∞

D ．),2()0,(+∞?-∞

2． 在复平面内，复数311z i i =--，则复数z 对应的点位于 （ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．关于直线m ，n 与平面 α，β，有下列四个命题：

①m ∥α，n ∥β 且 α∥β，则m ∥n ；

②m ⊥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ⊥n ； ③m ⊥α，n ∥β 且 α∥β，则m ⊥n ；

④m ∥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ∥n ．

其中真命题的序号是( )．

A ．①②

B ．②③

C ．①④

D ．③④ 4.已知)(x g 为三次函数cx ax x a x f ++=233

)(的导函数，则函数)(x g 与)(x f 的图像可能是（ ）

5.已知数列12463579{}1(),18,log ()n n n a a a n N a a a a a a ++=+∈++=++满足且则等于（ ）

A ．2

B ．3

C ．—3

D ．—2

6．执行右面的程序框图，如果输出的是341a =，那么判断框（ ）

A ．4?k <

B ．5?k <

C ．6?k <

D ．7?k <

7． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓

度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上

三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下

罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以

上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三

个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上

2000元以下罚款．

据《法制晚报》报道，2013年8月15日至8

月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共

28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血

液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布

直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）

A ．2160

B ．2880

C ．4320

D ．8640

8．—个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

C ．48

D ． 80

9． 已知函数()f x 在x R ∈上恒有()()f x f x -=，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[0,2)x ∈时， 2()log (1)f x x =+，则(2012)(2013)f f -+的值为（ ）

A ．2-

B ．1

C ．1-

D ．2

10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 所对的边，设向量m ＝(b －c ，c －a)，n ＝(b ，c ＋a)，若向量m ⊥n ，则角A 的大小为( )

A ．π3

B ．π6

C ．π2

D ．2π3

11．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上

存在二阶导函数，记()()

()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在0,2π?? ???

上不是凸函数的是（ ） A ．()sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =-

C ．3()21f x x x =-+-

D ．()x

f x xe -=- 12．过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若2FB FA =，则此双曲线的离心率为（ ）

A B C ．2 D

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

13．在A B C △

中，3A π∠=，3B C =，A B ，则C ∠= ．

14．若c b a ,,是直角三角形ABC ?的三边的长（c 为斜边），则圆4:22=+y x C 被直线0:=++c by ax l 所截得的弦长为 ．

15．若x ，y 满足约束条件????? x ＋y ≥1，x －y ≥－1，

2x －y ≤2，

目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围

是 ． 16． 已知函数,0()2,0

x e x f x x x ?=?-

=+k x f f 给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有1个实根；

②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根；

③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根；

④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．

其中正确命题的序号是 （把所有满足要求的命题序号都填上）．

三．解答题：本大题共8小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17． (本小题满分12分)

已知等差数列}{n a 的公差不为零，且53=a ，521,,a a a 成等比数列．

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列}{n b 满足n n n a b b b b =++++-13221222 ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．

18． (本小题满分12分)

某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间T （单位：年）有关，若T ≤1，则销售利润为0元；若13,则销售利润为200元．设每台该种电器的无故障使用时间T ≤1，1

T>3这三种情况发生的概率分别为123,,P P P ，又知12,P

P 为方程25x 2-15x+a=0的两根,且23P P =． (Ⅰ)求123,,P P P 的值;

（Ⅱ）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列及数学期望．

19． (本小题满分12分)

在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ， 90=∠ABC ，2AB PB PC BC CD ====，ABCD PBC 平面平面⊥

（Ⅰ）在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面PAD ？若存在， 求PM PB

的值；若不存在，请说明理由． （Ⅱ）求平面PAD 和平面BCP 所成二面角（小于90°）的大小；

20．（本小题满分12分）

已知点M 是椭圆C ：22

221x y a b

+=(0)a b >>上一点，12,F F 分别为C

的左右焦点，12||F F =，01260F MF ∠=，12F MF ?

的面积为

3

． （1）求椭圆C 的方程；

P

A B C D

（2）设过椭圆右焦点2F 的直线l 和椭圆交于两点,A B ，是否存在直线l ，使得△2OAF 与

△2OBF 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．

21． (本小题满分12分)

已知函数)R (ln )(2

∈+=a x ax x f

(Ⅰ)当2=a 时，求)(x f 在区间],[2e e 上的最大值和最小值；

(Ⅱ)如果函数)(),(),(21x f x f x g 在公共定义域D 上，满足)()()(21x f x g x f <<，

那么就称)(x g 为)(),(21x f x f 的“伴随函数”．已知函数 x a ax x a x f ln )1(2)21()(221-++-=，ax x x f 22

1)(22+=．若在区间),1(+∞上， 函数)(x f 是)(),(21x f x f 的“伴随函数”，求a 的取值范围．

请考生在第22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22.（本小题满分10分）

如图，已知⊙O 的半径为1，MN 是⊙O 的直径，过M 点作⊙O 的切线AM ，C 是AM 的中点，AN 交⊙O 于B 点，若四边形BCON 是平行四边形；

（Ⅰ）求AM 的长； （Ⅱ）求sin ∠ANC ．

23. （本小题满分10分）

已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，直线l 的参数方程是：???

????+=+-=t y t x 225225 为参数）t (．

（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；

（Ⅱ）将曲线C 横坐标缩短为原来的

21，再向左平移1个单位，得到曲线曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 距离的最小值．

24. （本小题满分10分） 已知函数a x x f -=)(．

（I ）当2=a 时，解不等式14)(--≥x x f ；

（II ）若1)(≤x f 的解集为{})0,0(211,

20>>=+≤≤n m a n m x x ，求证：42≥+n m ．