论文函数的极值问题在实际中的应用.

函数的极值问题在实际中的应用

一、函数求极值方法的介绍

利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。

1、一元函数极值的判定及求法

定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。

使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。

定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。

（1）若当时，当时，则在点取得最小值。

（2）若当时，当时，则在点取得最大值。

定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在

处二阶可导，在处二阶可导，且，。

（1）若，则在取得极大值。

（2）若，则在取得极小值。

由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，

在这些点的导数为0，即为驻点。因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。

下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：

（1）求函数的导数；

（2）令，求出在内的驻点和导数不存在的点

；

（3）计算函数值；

（4）比较上述函数值的大小，最大者就是在区间上的最大值，最小者就是在闭区间上的最小值。

2、多元函数极值的判定

在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值最小值问题。与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值极小值有密切联系，因此我们以二元函数为例，先来讨论多元函数的极值问题。

定义设函数的定义域为。为的内点。若存在的某个邻域，使得对于该邻域异于的任何内点，都有

则称函数在点，点称为函数的极大值点；若对于该领域内异于的任何点，都有

则称函数在点有极小值，点称为函数的极小值点，极大值、极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为极值点。

关于二元函数的极值概念，可推广到元函数，设元函数的定义域为

。为的内点，若存在的某个领域，使得该邻域内异于的任何点，都有

（或）

则称函数在点有极大值（或极小值）。

二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决，下面两个定理就是关于这问题的结论。

定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则有

怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。

定理2（充分条件）设函数在点的某个邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令

则在处是否取得极值的条件如下：

（1）时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；（2）时没有极值。

对于多元函数中有条件约束的这类问题，可采用拉格朗日乘数法。

拉格朗日乘数法要找函数在附加条件下的可能极值点，可以先做拉格朗日函数

其中为参数，求其对与的一阶偏导数并使之为零，然后与方程（2）联立起

来：

由这方程组解出及，这样得到的就是函数在附加条件

下的可能极值点。

这方法还可以推广到自变量多于两个条件多于一个的情形。至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来确定。

有了上面的基础，下面将重点介绍函数的极值问题在实际中的应用。

二、函数极值问题的应用

在实际问题中为了发挥最大的经济效益，往往要求在一定条件下，提高生产效率，降低成本，节省原材料，解决这一类问题，就需要用到函数的最大值最小值知识，这一节讲重点看一些这方面的例子。

1、合理密植

设每亩中50株葡萄藤，每株葡萄藤将产出葡萄，若每亩再多种一株葡萄藤

（最多20株），每株产量平均下降。试问每亩种多少株葡萄藤才能使产量达到最高？

解：设每株多种株，则产量为

问题归结为求目标函数在上的最大值

令，解得

由二阶微商检验法，当时，有极大值，而是内唯一极大值点，根据实际，取整体株时，取得最大值，即每亩种株时，产量可达最高。

2、环境污染

某经济开发区的项目建设，对释放到空气中的污染要进行控制，设对污染的测定要求与污染源的距离至少要，在污染源相对集中的情况下，空气受污染的成都与释放的污染量成正比，与到污染源的距离成反比（设比例系数为1），先有两个相距的工厂区与，分别释放的污染为与，若想在

，间建造一个居民小区，试问居民小区建在何处所受污染最小？

解：设为居民小区受到污染最小时到工厂区的距离，居民小区受工厂区的污

染为，居民小区受工厂区的污染为，居民小区受到的总污染为，这就是要寻找的目标函数

，

令

即

解得再与区间的端点的值作比较，得

（最小）

居民小区建在离工厂区处所受污染最小。

3、用料最省

市场上装饮料的易拉罐是用铝合金制造的，罐身（侧面和底部）用整块材料拉制而成顶盖的厚度是罐身厚度的3倍。以容积为的易拉罐为例，问如何设计一拉罐的底面直径和高才能使用料最省？

解：记易拉罐的容积（常数）设罐身的厚度为，顶盖为，底面直径为，高，于是，罐身用料（体积）为

顶盖用料（体积）为

易拉罐的用料

因此，问题化为求目标函数在内的最小值。

对求微商，得

令得是在内的惟一驻点。

这是实际问题。最小值肯定存在，因此是的最小值点。而高。

4、最快速度

设一辆水陆两用汽艇在水上的速度为，

在陆地上的速度为。现因需要，要求汽艇最