2019-2020学年吉林油田高级中学高一下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年吉林油田高级中学高一下学期期末考试数学
（理）试题
一、单选题
1．集合{}21A x x =-<<，{}
0B x x =≥，则A B =（ ）
A ．{}
2x x >- B ．{}
0x x ≥
C ．{}
01x x ≤<
D ．{}
21x x -<<
【答案】A
【分析】利用并集的定义可求得集合A B .
【详解】集合{}
21A x x =-<<，{}0B x x =≥，因此，{}
2A B x x ?=>-.
故选：A.
【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．直线tan 0x =的倾斜角为（ ） A ．0 B ．45
C ．90
D ．不存在
【答案】C
【分析】由解析式可直接得出.
【详解】可知直线tan 00x ==与x 轴垂直，故倾斜角为90. 故选：C.
3．在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到tan tan A B =，由此得到A B =，进而判断出正确选项.
【详解】由正弦定理得sin cos sin cos A B B A =，所以tan tan A B =，所以A B =，故三角形为等腰三角形，故选A.
【点睛】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
4．已知sin 60a =， cos60b =，A 是 a 、b 的等差中项，正数 G 是a 、 b 的等比中项，那么a 、 b 、A 、 G 的从小到大的顺序关系是（ ）
A ．b A G a <<<
B ．b a G A <<<
C ．b a A G <<<
D ．b G A a <<<
【答案】D
【详解】∵sin60cos60a b =?=?，，A 是a 、b 的等差中项，正数G 是a 、b 的等比中项，
∴2212a b A G A G =======，，
∴b G A a <<<， 故选D ．
5．以下命题正确的是
A ．两个平面可以只有一个交点
B ．一条直线与一个平面最多有一个公共点
C ．两个平面有一个公共点，它们可能相交
D ．两个平面有三个公共点，它们一定重合 【答案】C
【解析】试题分析：两个平面只要有一个公共点，就有一条通过该点的公共直线，故A 错
一条直线若在平面内，其上的所有点都在平面内，故B 错
两个平面有一个公共点，它们可能相交也可能是同一个平面，故C 对，选C ． 【解析】本题主要考查平面的基本性质及推论． 点评：基础题，分析选项利用“排除法”．
6．已知直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ） A ．3210x y +-= B ．3270x y ++= C ．2350x y -+= D ．2380x y -+=
【答案】A
【详解】直线2x –3y +1=0的斜率为
2
,3
则直线l 的斜率为3,2
-
所以直线l 的方程为
3
2(1).3210.2
y x x y -=-++-=即故选A
7．已知点()P x,y 在不等式组x 20y 10x 2y 20-≤??
-≤??+-≥?
表示的平面区域上运动，则z x y =-的
取值范围是( ) A ．[]
1,2- B ．[]
2,1-
C ．[]
2,1--
D ．[]
1,2
【答案】A
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义进行求解即可．
【详解】作出不等式组2010220x y x y -≤??
-≤??+-≥?
表示的平面区域，
得到如图的ABC 及其内部，其中
()A 2,0，()B 2,1，()C 0,1
设()z F x,y x y ==-，将直线l ：z x y =-进行平移， 观察x 轴上的截距变化，可得
当l 经过点C 时，z 达到最小值；l 经过点A 时，z 达到最大值
()z F 0,11∴==-最小值，()z F 2,02==最大值
即z x y =-的取值范围是[]
1,2- 故选A ．
【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z 的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．
8．已知一圆的圆心为点(1，-1),一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上,则此圆的方程是
A ．22(1)(1)8x y -++=
B ．22(1)(1)8x y ++-=
C ．22(1)(1)2x y ++-=
D ．22(1)(1)2x y -++=
【答案】D
【分析】首先根据已知条件求出直径两个端点的坐标，从而可得到圆的半径，进而求出圆的方程．
【详解】设直径的两个端点分别为：A （a ，0），B （0，b ）． 则112222
a b a b ＝，＝．，．-∴==- ∴圆的半径为()()
22
21012r =
-++= ．
∴此圆的方程为（x-1）2+（y-2）2=2. 故选D.
【点睛】本题考查中点坐标公式，圆的标准方程，属于基础题． 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A ．483
π+ B ．
163
π C ．
283
π D ．12π
【答案】C
【详解】由三视图可知，该几何体由一个球和一个圆柱组成，故体积为
324π28π1π2233
?+??=. 10．已知正数,x y 满足81
1x y
+=，则2x y +最小值为（ ） A ．16 B ．17
C ．18
D ．19
【答案】C
【分析】由题可得()8122x y x y x y ??
+=++ ???
，展开利用基本不等式即可求出.
【详解】
正数,x y 满足
81
1x y
+=，
()811622101018y x x y x y x y x y ??∴+=++=++≥= ???
，
当且仅当
16y x
x y
=，即12,3x y ==时等号成立， 故2x y +最小值为18. 故选：C.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
11．直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )
A ．
B ．
C
D ．1
【答案】B
【分析】先由点到直线距公式求出圆心到直线距离d ，再由弦长=，即可得出结果.
【详解】因为圆2
2
4x y +=圆心为(0,0)，半径为2r ；
所以圆心(0,0)到直线3450x y +-=的距离1d =
=，
因此，弦长===. 故选B
【点睛】本题主要考查求直线被圆所截的弦长，熟记几何法求解即可，属于基础题型. 12．若,a b 是函数()()2
0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b -
这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】D
【解析】试题分析：由题意可得：a+b=p ，ab=q ， ∵p ＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，
又a ，b ，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 可得22{
4
b a ab =-=①或22{
4
a b ab =-=②．
解①得：4
1a b =??=?
；解②得：1{4a b ==． ∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9．
【解析】等比数列的性质；等差数列的性质
二、填空题
13．在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1
3,cos 2
a A ==-，则ABC 的外
接圆的面积为 ____________. 【答案】3π
【分析】先求出sin A ，再由正弦定理即可求出外接圆半径，进而求出面积. 【详解】
在ABC 中，1cos 2A =-
，sin 2
A ∴==， 设外接圆的半径为R ，
则由正弦定理可得
2sin a R A =
==
R 则ABC 的外接圆的面积为23R ππ=. 故答案为：3π.
14．在空间中，若直线a 与b 无公共点，则直线,a b 的位置关系是________； 【答案】平行或异面
【分析】根据直线与直线的位置关系直接判断
【详解】a 与b 无公共点，a 与b 可能平行，可能异面．
【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意空间思维的培养，属基础题．
15．二次方程22(1)20x a x a +++-= 有一个根比1大，另一个根比1小，则a 的取值范围是 ______________.(用集合或区间表示) 【答案】10a -<<
【分析】由题可得只需满足()2
10f a a =+<即可求出.
【详解】设()2
2
(1)2f x x a x a =+++-，
则()f x 的对称轴为2102
a x +=-<，开口向上，
若方程有两个根，则必有一个根小于0，即小于1，
要使另一个根比1大，则需满足()2
10f a a =+<，解得10a -<<.
故答案为：10a -<<.
【点睛】关键点睛：本题考查一元二次方程根的分布问题，解题的关键是得出
()210f a a =+<.
16．已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=相交于P ，Q 两点，O 为原点，且OP OQ ⊥，则实数m 的值为________. 【答案】3
【分析】先配方得圆心坐标与半径，再求出PQ 中点M ，最后利用垂径定理以及直角三角形性质列方程解得结果. 【详解】
222213760()(3)24x y x y m x y m ++-+=∴++-=-，圆心1
(,3)2
C -,
半径r =
所以圆心1(,3)2C -到直线230x y +-=
1
|233|-+?-= 过圆心1
(,3)2
C -且与直线230x y +-=垂直的直线方程为：240x y -+=
由240230x y x y -+=??+-=?
得PQ 中点M 坐标为(1,2)-
因为OP OQ ⊥，所以22221375()(1432244
OM PQ r m m ==-∴+=--∴= 故答案为：3
【点睛】本题考查直线与圆位置关系、垂径定理，考查综合分析求解能力，属中档题.
三、解答题
17．已知直线l ：240x y -+=在x 轴上的截距为m ，在y 轴上的截距为n . （1）求实数m ，n 的值； （2）求点(),m n 到直线l 的距离. 【答案】(1)2m =-,4n =.
【解析】分析：（1）在直线方程中，令0x =可得在y 轴上的截距n ，令0y =可得x 轴上的截距m ．（2）由（1）可得点(),m n 的坐标，然后根据点到直线的距离公式可得结果．
详解：（1）在方程240x y -+=中， 令0y =，得2x =-，所以2m =-； 令0x =，得4y =，所以4n =． （2）由（1）得点(),m n 即为()2,4-，
所以点(),m n 到直线l 的距离为d =
=
点睛：直线在坐标轴上的“截距”不是“距离”，截距是直线与坐标轴交点的坐标，故截距可为负值、零或为正值．求直线在x 轴（y 轴）上的截距时，只需令直线方程中的y 或
x 等于零即可．
18．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ； （2）令()*2
1
1
n n b n N a =
∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =+，22n S n n =+；（2）()
41n n
T n =
+．
【分析】（1）通过设等差数列{}n a 的公差为d ，利用已知条件计算可知首项、公差，进而可得通项公式及前n 项和； （2）通过（1）裂项可知111
()41
n b n n =
-+，进而利用裂项相消法即得结论． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ． 因为37a =，5726a a +=，
所以11
2721026a d a d +=??+=?．
解得132a d =??=?
，所以()32121n a n n =+-=+，
()213222
n n n S n n n -=+?=+．
所以，21n a n =+，22n S n n =+． （2）由（1）知21n a n =+， 所以2
211111111(21)14(1)41n n b a n n n n n ??
=
==?=?- ?-+-++??， 所以111111111142231414(1)
n n T n n n n ????=
?-+-+???+-=?-= ? ?+++????， 即数列{}n b 的前n 项和()
41n n
T n =
+．
【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．已知A 、B 、C 为ABC 的三内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若
1
cos cos sin sin 2
B C B C -=．
（1）求角A 的大小；
（2
）若a =求ABC 的面积的最大值． 【答案】（1）23
A π
=
；（2
【分析】（1）由和的余弦公式化简即可求出；
（2）由余弦定理可得2212b c bc ++=，再由基本不等式可得4bc ≤，利用三角形面积公式即可求出.
【详解】（1）
1
cos cos sin sin 2
B C B C -=，
()1cos 2
B C ∴+=，0B C π<+<，3B C π
∴+=，
()23
A B C π
π∴=-+=；
（2）由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，
2212b c bc ∴++=，
222b c bc +≥，当且仅当b c =时等号成立，
123bc ∴≥，即4bc ≤，
133sin 43244
S bc A bc ∴==≤?=，
故ABC 的面积的最大值为3.
20．已知梯形ABCD ，按照斜二测画法画出它的直观图''''A B C D ，如图所示，其中
''2A D =，''4B C =，''1A B =，
求：（1）梯形ABCD 的面积；
（2）梯形ABCD 以BC 为旋转轴旋转一周形成的几何体的表面积和体积. 【答案】（1）6；（2）(1242)π+，
32
3
π. 【分析】（1）由题可得四边形''''A B C D 还原成直角梯形ABCD ，求出面积即可； （2）可知旋转后形成的几何体为一个圆柱和一个圆锥形成的组合体，由此可求出表面积和体积.
【详解】（1）根据题意，四边形''''A B C D 还原成直角梯形ABCD ，如图，
其中2,4AB AD BC ===，
则梯形ABCD 的面积为
()1
24262
?+?=；
（2）可知旋转后形成的几何体为一个圆柱和一个圆锥形成的组合体，
2
2S AB AB AD AB CD πππ∴=+?+?
222222(12ππππ=?+??+??=+，
()22
13V AB AD AB BC AD ππ=?+?-
22132
222233
πππ=??+???=.
21．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.
（2）当直线与圆C 相交于A 、B
两点，且AB =. 【答案】（1）3
4
a =-
；（2）20x y -+=或7140x y -+=. 【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；
（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程.
【详解】（1）圆C 的标准方程为()2
244x y +-=，圆心C 的坐标为()0,4，半径长为
2，
当直线l 与圆C
2=，解得3
4a =-；
（2）由题意知，圆心C 到直线l
的距离为d ==，
由点到直线的距离公式可得d ==整理得2870a a ++=，解得1a =-或
7-.
因此，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题. 22．已知在等比数列{}n a 中，213121,1a a a a =+-=，数列{}n b 满足3
21()23n n b b b b a n n
*+
++???+=∈N .
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若任意*n N ∈，n n S a λ>恒成立，求λ的取值范围.
【答案】（1）1
2
n n
a ，2
1,1
2,2n n n b n n -=?=??≥?
；（2）1λ<. 【分析】（1）由已知求出{}n a 的公比即可得出通项公式，再由1n
n n b a a n
-=-即可求出{}n b 的通项公式；
（2）利用错位相减法求出n S ，记n
n n
S c a =，可得数列{}n c 递增，求出{}n c 的最小值即可.
【详解】(1)设公比为q
，213121,1a a a a =+-=，
则2
2q q =，解得2q ，
12n n
a
.
3
21()23n n b b b b a n n
*+
++???+=∈N ， 当1n =时，111b a ==， 当2n ≥时，
1221222n n n n
n n b a a n
----=-=-=，即22-=?n n b n . ∴2
1,12,2n n n b n n -=?=??≥?
； （2）012122322n n S n -=+?+?+
+?，1212222322n n S n -=+?+?+
+?，
两式相减得：1221112222(1)21n n n n S n n ---=----
-+?=-?+.
∴*n N ?∈，有1
(1)21n n S n -=-?+，
n
n n n
S S a a λλ>?<
， 记n n n S c a =
，则111
(1)211
122n n n n n c n ----?+==-+，
∴11111
(1)10222n n n n n
c c n n +--=+
---=->， ∴数列{}n c 递增，其最小值为11c =.
故1λ<.
【点睛】关键点睛：本题考查数列不等式的恒成立问题，解题的关键是判断数列的单调
性求出最值解决.