高考数学专题11导数的几何意义黄金解题模板

专题11 导数的几何意义

【高考地位】

导数的几何意义是高考重点考查的内容，常与解析几何知识交汇命题，旨在考查学生对导数的几何意义的正确理解. 导数的几何意义主要用于求曲线的切线方程，在高考中多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步，其试题难度考查相对较小. 【方法点评】

类型一过曲线上一点求曲线的切线方程

使用情景：过曲线上一点求曲线的切线方程

解题模板：第一步计算函数()f x 的在曲线上该点处的导函数'

0()f x ；

第二步运用导数的几何意义即可求出所求切线方程的斜率；第三步得出结论.

例1 曲线在点

处的切线方程是（） A. B. C. D.

【答案】D

【变式演练1】曲线2

y x =

-在点(1,1)-处的切线方程为（） A ．3y x =- B ．21y x =-+ C ．24y x =- D ．23y x =-- 【答案】B 【解析】对2

x x y 求导得2

)2(2

--='x y ,代入1-x 得2-='y ,则切线方程为)1(2)1(--=--x y ,即21y x =-+.故选B.

考点：导数的概念及其几何性质.

【变式演练2】设函数()3

f x x ax =+，若曲线()y f x =在点()()

00,P x f x 处的切线方程

为0x y +=，则点P 的坐标为（）．

A. ()0,0

B. ()1,1-

C. ()1,1-

D. ()1,1-或()1,1- 【答案】D

考点：导数的几何意义．

【变式演练3】过函数()3

325f x x x x =-++图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角

的范围是_________．【答案】30,,24πππ??

????????

【解析】

试题分析：()2

'3623(1)11f x x x x =-+=--≥-?切线倾斜角的范围是

30,,24πππ??

????????

．考点：1、函数的导数；2、切线的斜率与倾斜角．

【变式演练4】曲线()ln f x x x =在点(1,0)P 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是．

【答案】2

1)21()21(22=-+-y x 【解析】

试题分析：因x x f ln 1)(/

+=,故切线的斜率1=k ,切线方程为1-=x y ,令1,0-==y x ;

令1,0==x y 交点坐标分别为)0,1(),1,0(B A -,由题设2=AB 是直径,圆心为)2

,21(-,则

圆的方程为2

1)21()21(22=

-+-y x . 考点：导数的几何意义和圆的方程．

【变式演练5】若曲线()3

3f x x ax =+在点()1,3a +处的切线与直线6y x =平行，则

a =__________．

【答案】1 【解析】

试题分析：∵()3

3f x x ax =+，∴()2

33f x ax '=+，∴()1336f a '=+=，∴1a =，故

答案为1.

考点：利用导数求切线斜率. 【变式演练6】曲线2

sin 21

y x x =+++,在0x =处的切线斜率为．【答案】-1 【解析】

试题分析：()

cos +-='x x y ，当0=x 时，1-='y ，故填：-1.

考点：导数的几何意义

类型二过曲线外一点求曲线的切线方程

使用情景：过曲线外一点求曲线的切线方程

解题模板：第一步设出切点的坐标为00(,())x f x 并求出函数()f x 在切点处的导数'

0()f x ；

第二步充分考虑题目的已知条件，抓住切线的定义，挖掘题目的隐含条件，寻找解题的等量

关系；

第三步利用方程的思想即可得出结论.

例2 若直线()0y kx k =≠是曲线()3

2f x x x =-的一条切线，则k =______．

【答案】1

（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.

【变式演练7】若直线2+=kx y 是函数132

---=x x x y 图象的一条切线，则=k （） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 【答案】C 【解析】

试题分析：直线2y kx =+过()0,2，()'

2323f

x x x =--，设切点为()00,x y ，故切线方程

为()

()20000323y y x x x x -=---，将()0,2代入切线方程，解得001,0x y =-=，代入

2y kx =+，解得2k =．

考点：导数与切线．

【变式演练8】已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为___________．【答案】2

考点：导数的几何意义．

【变式演练9】函数()ln f x x =在点00(,())P x f x 处的切线l 与函数()x

g x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有_______个.

【答案】2. 【解析】

试题分

析：因为()ln f x x =，所以切线l 的方程为)(1

ln 00

0x x x x y -=

-，即1ln 1

-+=

x x x y .设直线l 与曲线()x g x e =的图象相切点),(11x e x ，则x e x g =)('，所以=

1x e 01x ，所以01ln x x -=，所以直线l 也为)ln (1

100

0x x x x y +=-

，即0001)ln (1x x x x y ++=

，于是可得0001)ln (1x x x x ++1ln 100

-+=x x x ，即11ln 000-+=x x x .

然后分别画出函数x y ln =与11-+=

x x y 的图像，可知函数x y ln =与1

-+=x x y 有两个交点，进而得出满足条件的切点P 的个数有2个，故应填2. 考点：1、导数的几何意义；2、函数的图像及其性质.

【变式演练10】若直线y kx b =+是曲线ln 1y x =+的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则b =_________. 【答案】ln 2b =

考点：导数的几何意义

【变式演练11】已知函数()[

)sin cos ,0,f x x x x =-∈+∞，直线L 过原点且与曲线

()y f x =相切，其切点的横坐标从小到大依次排列为123,,,

n x x x x ，则下列说法正确的

是（）

A. ()1n f x =

B. 数列{}n x 为等差数列

C. tan 4n n x x π?

?=+ ??

? D. ()222

21n n n x f x x ??=??+ 【答案】D

【解析】易得()1n f x <，故A 错误，设切点为(),sin cos n n n x x x -， ()cos sin f x x x =+'，则切线的斜率为()cos sin n n f x x x +'=，又切线过原点，则

sin cos cos sin n n

n n n

x x x x x -=+，

整理得tan 11tan n n n x x x -=

+，即tan 4n n x x π?

?=- ??

?① ，故B,C 错误，

因为(

)sin cos 4n n n n f x x x x π?

?=-=

- ??

?，

由①得222

22sin sin 44cos 1sin 44n n n n n x x x x x ππππ???

?-- ? ?

????==????

--- ? ?

???

?，即()()22

2112n n n f x x f x ????=??-?

?，整理得()22221n n n x f x x ??=??+，故选D

点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点

()00,P x y 及斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线

方程为： ()()000'y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点()()

00,P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．【高考再现】

1.【2017全国I 文，9】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则

A ．()f x 在（0，2）单调递增

B ．()f x 在（0，2）单调递减

C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称

D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对

称【答案】C

2.【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（）（A ）sin y x =

（B ）ln y x =

（C ）e x y =

（D ）3y x =

【答案】A

考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.

【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.

3. 【2016年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,

ln ,1,x x x x -<?

图象上点P 1，

P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的

取值范围是( )

（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞)

【答案】A

考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围. 【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B坐标，由两直线相交得出P点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．

4.【2017天津文，10】已知a∈R，设函数()ln

f）处的切线

f x ax x

=-的图象在点（1，(1)

为l，则l在y轴上的截距为 .

【答案】1

5.【2017全国文，14】曲线2

y x x

=+在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】1y x =+

6. 【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲

线()y f x =

在点(1,3)-处的切线方程是_______________．【答案】21y x =--

7.【2015高考陕西，文15】函数x

y xe =在其极值点处的切线方程为____________. 【答案】1y e

【解析】()()(1)x

y f x xe f x x e '==?=+，令()01f x x '=?=-，此时1

(1)f e

-=-

函数x

y xe =在其极值点处的切线方程为1y e

=- 【考点定位】：导数的几何意义.

【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识，

考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：○1切点在曲线上；○

2切点在切线上；○3切点处导函数值等于切线斜率. 8. 【2015高考新课标1，文14】已知函数()3

1f x ax x =++的图像在点()()

1,1f 的处的切

线过点()2,7，则 a = . 【答案】1 【解析】

试题分析：∵2

()31f x ax '=+，∴(1)31f a '=+，即切线斜率31k a =+，

又∵(1)2f a =+，∴切点为（1，2a +），∵切线过（2,7），∴

3112

a a +-=+-，解得a =1.

考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；

【名师点睛】对求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程，思路明确，关键是运算要细心.

9. 【2015新课标2文16】已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线

()221y ax a x =+++ 相切,则a = ．

【答案】8

【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题.

【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的方法是：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率,然后用点斜式就可写出切线方程.而直线与抛物线相切则可以通过判别式来解决,本题将导数的几何意义与二次函数交汇在一起进行考查,具有小题综合化的特点.

10.【2017天津文，19】设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，

()e ()x g x f x =.

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；

（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，递减区间为(),4a a -.（2）（ⅰ）()f x 在

0x x =处的导数等于0.（ⅱ）b 的取值范围是[7],1-.

试题解析：（I ）由32

4()63()f x x a x x a b =--+-，可得

2()3123()3()((44))f 'x x a x a a x x a -=---=--，

令()0f 'x =，解得x a =，或4x a =-.由||1a ≤，得4a a <-. 当x 变化时，()f 'x ，()f x 的变化情况如下表：

(,)a -∞ (),4a a - (4,)a -+∞

()f 'x +

()f x

所以，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(),4a a -.

（II ）（i ）因为()e (()())x

x x g'f f 'x =+，由题意知0

00()e ()e x x x x g g'?=??=??，所以

000()e e e (()())e

x x x

x f f f x 'x x ?=??+=??，解得00()1()0f 'x x f =??=?. 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0.

（ii ）因为()e x

g x ≤，00[11],x x x ∈-+，由e 0x >，可得()1f x ≤.又因为0()1f x =，

0()0f 'x =，故0x 为()f x 的极大值点，由（I ）知0x a =.

另一方面，由于||1a ≤，故14a a +<-，

由（I ）知()f x 在(,)1a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，

故当0x a =时，()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，从而()e x

g x ≤在00,[11]x x -+上恒成立.

【考点】1.导数的几何意义；2.导数求函数的单调区间；3.导数的综合应用.

【名师点睛】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出0x a = ，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.

11.【2016年高考北京理数】设函数()a x

f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切

线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.

【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞.

考点：导数的应用.

【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．

12.【2016高考新课标2文数】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.

（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）220x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞

（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)

ln 0.1

-->+a x x x 令(1)

()ln 1

-=-

+a x g x x x ，则222

122(1)1

(),(1)0(1)(1)+-+'=-

==++a x a x g x g x x x x ，（i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，2

2(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；

（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得22121(1)1,1(1)1=---=---x a a x a a ，由21>x 和121=x x 得11

故当2(1,)∈x x 时，()0'

考点：导数的几何意义，函数的单调性. 【名师点睛】求函数的单调区间的方法： (1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；

(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 13.【2016高考北京文数】设函数()3

.f x x ax bx c =+++

（I ）求曲线().y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程；

（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；（III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 【答案】（Ⅰ）y bx c =+;（Ⅱ）320,

27c ?

∈ ???

;（III ）见解析.

（II ）当4a b ==时，()3

44f x x x x c =+++，

所以()2

384f x x x '=++．

令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23

x =-

． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：

(),2-∞-

22,3??-- ???

2,3??-+∞ ???

()f x ' +

()f x

c -

所以，当0c >且32027c -

<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ?

?∈-- ??

?，

32,03x ??

∈- ???

，使得()()()1230f x f x f x ===．

由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ??∈ ???

时，函数()32

44f x x x x c =+++有三个不同零点．

综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ?=->．故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．

当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()2

32442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点，所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件．因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点【名师点睛】

1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明． 2．求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值．

3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论． 4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．

14.【2015高考天津理20】已知函数()n ,n

f x x x x R =-∈，其中*

n ,n 2N ∈≥.

(I)讨论()f x 的单调性； (II)设曲线()y

f x 与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y

g x ,求证：

对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；

(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|

21a x x n

【答案】(I) 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.

(II)证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则11

0n x n

-=，2

0()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处

的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即

()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-

由于1

()n f x nx

n -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为

0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()

F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有

0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.

【考点定位】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式. 【名师点睛】本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函数证明不等式.第(I)小题求导后分n 为奇偶数讨论函数的单调性，体现了数学分类讨论的重要思想；第(II)(III)中都利用了构造函数证明不等式这一重要思想方法，体现数学中的构造法在解题中的重要作用，是拨高题.

15.【2015高考重庆，理20】设函数()()23x

x ax

f x a R e

+=∈ （1）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程；

（2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。【答案】（1）0a =，切线方程为30x ey

；（2）9

[,)2

-+∞.