高二数学上册期末复习题及答案6

高二数学上册期末复习题及答案6

一、填空题：

1、六个数5，7，7，8，10，11的方差是 ．

2、2

2ln y x x =-的极小值为 ．

3、以双曲线22

145

x y -=的左焦点为焦点的抛物线标准方程是 ．

4、曲线x

y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积

为 ．

5、若x e x x f )8()(2-=，则)(x f 的单调递减区间为 ．

6、直线a y =与函数x x x f 3)(3

-=的图像有相异的三个公共点，

则a 的取值范围是 ．

7、设a R ∈，若函数ln y x ax =+有大于零的极值点，则a 的取值

范围为 ． 8、运行右图的程序：其输出结果是 ．

9、设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，0

,0)3(0)(')()()('=>+g x g x f x g x f 且则不等式0)()(

23

--+=x x x y 在[]2,0上的最小值为 ． 11、设010211()sin ,()(),()(),

()()n n f x x f x f x f x f x f x f x +'''====，)(N n ∈，

则2009

()3

f π

'= ． 12、函数tx x x x f --=cos sin )(在???

???2,

0π上单调递增，则实数t 的取值范围是 ． 13、如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点,A D 为椭圆的 两个焦点，其余四个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率的

值是___________________． 14、一般来说，一个人脚越长，他的身体就越高，现对10名成年人的脚长x 与身高y 进行cm x 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 y 141 146 154 160

169

176

181

188

197

203

作出散点图后，发现散点在一条直线附近.经计算得到一些数据：24.5,171.5x y ==，

B C

F E

A D 13

10000

2Pr int s i While s s s i i i End

while

i ←←<←?←+

10

1

()()577.5i

i

i x x y y =--=∑，5.82)(2

10

1

=-∑=i i

x x

，某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚

印，量得每个脚印长26.5cm ，请你估计案发嫌疑人的身高为 . 二、解答题：

1、计算由2

23,3y x x y x =-+=+所围成的封闭图形的面积.

2、已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90

底面

ABCD ，且2,1====AB DC AD PA ,M 是PB 的中点．

（1）求AC 与PB 所成的角余弦值； （2）求二面角A MC B --的余弦值．

3、设不等式组0606x y ≤≤??

≤≤?

表示区域为A ，不等式22

9x y +≤表示区域B ，060x x y ≤≤??-≥?表示

区域C 。

（1）在区域A 中任取一点（x ，y ），求点（x ，y ）∈B 的概率； （2）在区域A 中任取一点（x ，y ），求点（x ，y ）∈C 的概率；

（3）若x ，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点（x ，y ）在区域C 中的概率。

4、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在他们之间的此岸边合建一个污水处理厂C ，从污水处理厂到甲厂和乙厂的铺设的排污管道费用分别为每千米3a 元和5a 元，记铺设管道的总费用为y 元。 （1）按下列要求建立函数关系式：

①设BCD θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数； ②设CD x =（km ），将y 表示成x 的函数；

（2）请你选用（1

使铺设的污水管道的总费用最少。

挑战高考需要的是细心、耐心、恒心！以下题目你能挑战到哪一层？祝你取得最大成功！

5、已知1F ，2F 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的两个焦点，过2F 做椭圆的弦AB ，若1AF B ?

的周长是16，椭圆的离心率e =

（1）求椭圆的标准方程； （2）若1290F AF ∠=，求1F AF ?的面积S ；

（3）已知P （2，1）是椭圆内一点，在椭圆上求一点Q 22QF +最小，并求出最小值。

6、已知a R ∈，函数2

()2ln f x x a x =-. (1)当1a =时，求)(x f 的单调区间和最值；

(2)若0>a ，试证明：“方程ax x f 2)(=有唯一解”的充要条件是“2

1=a ”．

答案

一、填空题：

1、4；

2、1

3、2

12y x =-； 4、2

2

e ； 5、3； 6、)2,4(-； 7、0a <；

8、13； 9、(-∞,-3))3,0(?； 10、3

17

-； 11、12； 12、(]1,∞-；

13、13-；14、185.5． 二、解答题： 1、解：9

2

S =

2、证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

1

(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2

A B C D P M ．

（1）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==

10

||2,||5,2,cos ,|||

|

AC PB AC PB AC PB AC PB AC PB ?==?=<>=

=?故所以

所以，AC 与PB …………………………………5分 （2）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,λ=

..2

1

,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC

要使14

,00,.25AN MC AN MC x z λ⊥=-==只需即解得

),5

2

,1,51(),52,1,51(,.

0),5

2

,1,51(,54=?-===?=MC BN BN AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ

ANB MC BN MC AN ∠⊥⊥=?=?所以得由.,0,0为

所求二面角A MC B --的平面角．

30304

||,||,.555AN BN AN BN =

==- 2cos(,).3||||

AN BN AN BN AN BN ∴=

=-? 2

.3

-故所求的二面角的余弦值为…………………………………10分

另解：可以计算两个平面的法向量分别为：平面ＡＭＣ的法向量1(1,1,2)n =-，平面ＢＭＣ的法向量为)2,1,1(2=n ，><21,cos n n =3

2

， 所求二面角A MC B --的余弦值为－3

2． 3、解：（1）()16

P A π

=

（2）1()2P B =

（3）7

()12

P C =

4、解：解法一：设∠BCD=θ,则BC=

θsin 40,CD=40cot θ,(0＜θ＜2

π

),∴AC=50－40cot θ 设总的水管费用为f(θ),依题意，有

f(θ)=3a(50－40·cot θ)+5a ·θsin 40=150a+40a ·θ

θ

sin cos 35-

∴f ′(θ)=40a ·θ

θ

θθθθθ2

2sin cos 5340sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(-?='?--?'-a 令f ′(θ)=0,得cos θ=5

3

根据问题的实际意义，当cos θ=53时，函数取得最小值，此时sin θ=54,∴cot θ=4

3

,

∴AC=50－40cot θ=20(km),即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.

解法二：根据题意知，只有点C 在线段AD 上某一适当位置，才能使总运费最省， 设C 点距D 点x km,则

∵BD=40,AC=50－x,∴BC=222240+=+x CD BD

又设总的水管费用为y 元，依题意有： y=30(5a －x)+5a 2240+x (0＜x ＜50) y ′=－3a+

2

2

40

5+x ax ,令y ′=0,解得x=30

在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50－x=20(km)

∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.

5、解：（1）

22

1164

x y += （2）124S F AF ?=

（3） 当Q （3，1）时，22PQ QF + 有最小值，最小值为8-6、解：（Ⅰ）)1(222)('2>-?=-=x x

a x x a x x f ⑴若1,1>≤x a ，则0)('>x f ，∵)(x f 在),1[+∞上连续， ∴)(x f 在),1[+∞上是单调递增函数。 ∴当1,1≥≤x a 时，1)1()(min ==f x f ⑵若1,1>>x a ，令0)('=x f ，得a x =

当),1(a x ∈时，0)('

当),(+∞∈a x 时，0)('>x f ，)(x f 在),[+∞a 上是单调递增函数． 则a x =

时，)(x f 取得最小值．

∴当1,1≥>x a 时，a a a a a a x f ln ln 2)(min -=-=．

∴?

?

?>-≤=),1(,ln ),1(,

1)(a a a a a a g

（Ⅱ）记ax x a x ax x f x g 2ln 22)()(2

--=-=，

).(2

222)('2a ax x x a x a x x g --=--

= ⑴充分性：若2

1=a ，则x x x x g --=ln )(2

，

).1)(12(1

)12(1)('2-+=--=x x x x x x x g

当)1,0(∈x 时，)(,0)('x g x g <在（0，1）上是单调递减函数；

当),1(+∞∈x 时，)(,0)('x g x g >在),1(+∞上是单调递增函数．

∴当1=x 时，0)1()(min ==g x g ，即0)(≥x g ，当且仅当1=x 时取等号． ∴方程ax x f 2)(=有唯一解．

⑵必要性：若方程ax x f 2)(=有唯一解，即0)(=x g 有唯一解． 令0)('=x g ，得.02

=--a ax x

∵,0,0>>x a ∴02421<+-=a a a x （舍去），.2

422a

a a x ++=

当),0(2x x ∈时，)(,0)('x g x g <在),0(2x 上是单调递减函数； 当),(2+∞∈x x 时，)(,0)('x g x g >在),(2+∞x 上是单调递增函数． ∴当2x x =时，)()(,0)('2min 2x g x g x g == ∵0)(=x g 有唯一解，∴0)(2=x g ．

则???==,0)(',0)(22x g x g 即?????=--=--,

0,

02ln 2222222

2a ax x ax x a x ∴0ln 222=-+a ax x a ，∵0>a ，∴(*)01ln 222=-+x x 设函数,1ln 2)(-+=x x x

∵在0>x 时)(x h 是增函数，∴0)(=x h 至多有一解．

∵0)1(=h ，∴方程（*）的解为12=x ，即

1242=++a a a ，解得.2

1

=a 由⑴、⑵知，“方程ax x f 2)(=有唯一解”的充要条件是“2

1

=a ”